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Tema 4: Electrocinética
4.1 Corriente eléctrica y densidad de corriente
4.2 Conductividad, resistividad, resistencia y Ley de Ohm
4.3 Potencia disipada y Ley de Joule
4.4 Fuerza electromotriz y baterías
4.5 Leyes de Kirchhoff
4.6 Circuito RC: carga y descarga de un condensador
4.1 Corriente eléctrica y densidad de corriente
• Consideramos un segmento de un hilo conductor que transporta una corriente.
• Q es la cantidad de carga que atraviesa un área A en un tiempo t
• La intensidad de la corriente es:
I
Q
t
• Unidad de corriente: 1 Ampere = 1 C/s
Q   qi
•
i
n: densidad de partículas = número de partículas por
unidad de volumen (la densidad de carga es =qn)
Vvol  A(vd t )
Q  q nVvol  q n A(vd t )
• donde vd es la velocidad media de desplazamiento de las cargas (<< que la
velocidad instantánea media).

I  q n Av   Av
d
d
Ejemplo
Un cable de cobre tiene radio 0.815 mm y transporta una corriente de 1 A.
a) Calcular la carga de los electrones de 1 m de cable. Asumir que cada átomo
aporta un electrón libre (densidad de masa m: 8.93 g/cm3, masa molecular M=
63.5 g/mol, NA=6.02x1023 atomos/mol)
b) Calcular la velocidad media de desplazamiento de los electrones libres.
c) Asumiendo el teorema de equi-partición de la energía (la energía cinética media
de un electrón es 3kBT/2, kB=1.38 x10-23 J/K) calcular la velocidad media
instantánea de los electrones libres a T=300K.
Q  e n AL
n
m
M
NA
I  e n A vd  Q / Lvd  vd 
me v
2
2

Q / L  2.8  104 C/m
I
 3.5  102 mm/s
Q/L
3k BT
3k BT
 v 
 1.17  105 m/s
2
me
Densidad de corriente
I   A vd
• Densidad de corriente = corriente por unidad de área


J   vd
(A/m2)
• Corriente (carga por unidad de tiempo) que
atraviesa una superficie: es el flujo de la densidad
de corriente a través de la superficie.

J

I   J  nˆ dA
• Densidad de corriente superficial (A/m): cuando
las cargas se mueven sobre una superficie.


K   vd
• Cuando las cargas se mueven sobre una línea
(un cable conductor con densidad de carga ):
I
J    vd
A


I   vd
Ecuación de continuidad y conservación de la carga
• Consideremos una superficie cerrada S que encierra a un volumen V


 J  nˆ dA    J dV
S
V
• Como la carga se conserva, el flujo que carga que sale a través de la
superficie tiene que ser igual a la disminución de la carga encerrada.

d
dQ


J
dV



dV


V
dt V
dt


• Considerando un volumen fijo.


J
dV


V
V t dV
Ecuación de continuidad:
 
• Como se cumple para todo V:
 J 
 0 representa la
t
conservación de la carga
• Forma integral de la conservación de la carga:

dQ
S J  nˆ dA   dt
4.2 Conductividad, resistividad, resistencia y
Ley de Ohm
• En un conductor la densidad de corriente es proporcional a la fuerza eléctrica
por unidad de carga (F/q=E)


J  E
• donde  es la conductividad del material (no confundir con densidad de carga!)
• La resistividad  del material es (no confundir con densidad de carga!)


  1/ 
 E J


• Ley de Ohm (forma diferencial): J   E


E J
• La conductividad (y la resistividad) de una sustancia dependen de la temperatura.
• Para un conductor perfecto:
• Unidad: 1 ohm  = 1 V/ 1 A
• Unidad de resistividad :  m
 
 0
Modelos de conducción en metales




J   vd  qn vd  enevd
• ne es la densidad de electrones libres (número de electrones por unidad de
volumen) y -e es la carga del electrón.


 E
J  E 



E


 enevd
• En presencia del campo eléctrico, la ecuación del movimiento de un electrón es

  eE
t
 v  v0 
me


eE
vd   
me


me a  eE

•  es el tiempo medio entre colisiones
Modelo clásico de Drude

E

 enevd



eE
vd   
me


me
e2ne
 v
me v
  2
e ne
• La velocidad de desplazamiento media es:
 es la distancia media que un
electrón recorre entre dos
colisiones consecutivas
3k BT
v 
me
• Según el modelo clásico,  se relaciona con:
• El tamaño de los iones de la red cristalina (A)
• El número de iones por unidad de volumen (nion)

1
nion A
• Como  y <v> no dependen del campo eléctrico, la resistividad  tampoco, lo que
esta de acuerdo con la Ley de Ohm.
• Problema:  debería variar con la temperatura,   T porque v  T
• Experimentalmente se observa que la resistividad aumenta linealmente con T.
• El modelo clásico falla porque los electrones no obedecen la mecánica clásica.
Ejemplo: tiempo de redistribución de la carga en
el interior de un conductor óhmico


J  E
 
 J 
0
t





   J     E  
t





 
t

 (t )   0 e  (  /  ) t   0 e  t / 



Tiempo de relajación: el tiempo que
demora en disminuir la densidad de
carga a un e-1 (36.7%) del valor inicial.
Para el cobre: 10-19 s, para la mica 15 hs
Ejemplo: conductor óhmico homogéneo que
transporta una corriente estacionaria


J  E
 

 J 
 0   J  0
t
Corriente
estacionaria


  E  0    E  0
 
Conductor
homogéneo
Consecuencias:
 
   0 En el interior del conductor la densidad de carga libre
 E 
es cero (ya lo sabíamos para cargas en reposo).


2)
 E  0

 
E  V    V   0  2V  0
1)
 E  dl  0
En el interior del conductor podemos calcular el
potencial resolviendo la ecuación de Laplace.
Resistencia


J  E
I  JA
J
I/A
V 
V  EL  L 
L


L
L
L L
V 
I RI
R

A
A A
E
• La resistencia depende de la temperatura
• La resistencia del filamento de
la bombilla (y de todos los
metales) aumenta con T
Ejemplo
Los dos cilindros están separados por un material dieléctrico de permitividad  y
resistividad  y se mantienen a una diferencia de potencial V. El cilindro interior
tiene carga  por unidad de longitud.
E
1 
 2r

V    Edr  
b
2
a

I   J  nˆ dA  
s
, 
arb
s

E


a
b
dr

b

ln
r 2 a
 nˆ dA
donde S es una superficie cilíndrica que encierra el cilindro interior.
L
I  2rL 


E



L
I
b
 
V  
ln  I
 2L a 
V  R I


b
R
ln
2L a
Conductores, semiconductores y aislantes

  0  / 0
T  T0
• El carbono es normalmente utilizado para las resistencias de equipos electrónicos.
Ejemplo: Un cable de nicrom tiene un radio de 0.65 mm. ¿Qué longitud
de cable se necesita para obtener una resistencia de 2 ? Resp: 2.65 m
Asociaciones de resistencias
Serie
Paralelo
Req  R1  R2  R3  ...
Ejemplo:
1
1
1
1
 
  ...
Req R1 R2 R3
1
1


Req Ri
 Req  Ri
4.3 Potencia disipada y Ley de Joule
• Cuando por un conductor de resistividad  circula corriente eléctrica, parte de
la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los
choques que sufren los electrones con los átomos del material, lo que produce
un aumento de la temperatura (efecto Joule).
• Cuando por el conductor circula una corriente estacionaria una parte de la
energía se disipa en forma de calor debido a las colisiones de electrones libres
con los átomos fijos.
Vb
W  U  Q(Vb  Va )
V  Va  Vb  0

Va
U  Q V
U
Q


V   IV

t
t
V 2 Potencia disipada
2
 P  IV  RI 
R en una resistencia
4.4 Fuerza electromotriz y baterías
• Para mantener una corriente estacionaria en un circuito real (que posee una
cierta resistencia) se requiere un suministro de energía.
• Batería o pila: convierte energía química en energía eléctrica.
• Motor: convierte energía mecánica en energía eléctrica.
• Fuente de FEM (motor o batería): realiza trabajo sobre toda carga que pasa a
través de la fuente, elevando su energía potencial.
• Una fuente de FEM ideal es un dispositivo que suministra energía eléctrica
(fuente electromotriz) y que mantiene una diferencia de potencial Efem
constante entre sus dos terminales.
• Para una fuente real:
E fem
Fuente de fuerza electromotriz
•
En el interior de la fuente las cargas se mueven de una región de bajo
potencial a otra de mayor potencial.
• Cuando un elemento de carga Q atraviesa la fuente su energía aumenta en
Q E fem
• La potencia suministrada por la fuente es
• Analogía mecánica:
P
Q E fem
t
 IE fem
Energía almacenada en una batería
I
E fem
Rr
r es la resistencia
interna de la
batería.
• Las baterías se suelen especificar en
Ampere hora, lo que indica la carga total Q
que pueden suministrar:
E fem
1 Ah  (1 C/s)(3600 s)  3600 C
• La energía total almacenada es:
P  IE fem
I
dQ
dt
dEalmacenada dQ

E fem
dt
dt
P
dEalmacenada
dt
E fem

es constante
Ealmacenada  Q(t ) E fem
La energía almacenada es
la carga total multiplicada
por la fem y es igual al
trabajo total que puede
realizar la batería.
Potencia suministrada por una batería
I
E fem
Rr
2
P  IE fem
 E fem 
2
 I R  
 R
Rr
dP
0Rr
dR
La potencia
suministrada por la
batería es máxima
cuando la resistencia
externa es igual a la
interna.
4.5 Leyes de Kirchhoff
• Permiten calcular las corrientes y la diferencia de potencial en cada componente de
un circuito en situación estacionaria (corrientes y voltajes constantes en el tiempo).
• Regla de las mallas
 
 E  dl  0 
 V
i
0
i
La suma algebraica de las
variaciones de potencial a lo
largo de cualquier bucle o
malla cerrada del circuito
debe ser igual a cero.
• Regla de los nudos

dQ
S J  nˆ dA   dt  0
I
i
i
0
La carga no se acumula (ni se pierde) en ningún
punto del circuito, por lo que en cada nudo donde
puede dividirse la corriente, la suma de las
corrientes que entran (negativas) debe ser igual a
la suma de las corrientes que salen (positivas).
Circuitos de una sola malla
E1  E2
I
R1  R2  R3  r1  r2
Circuitos de múltiples mallas
Calcular I1, I2 y la energía disipada en 3 s en la resistencia de 4 .
Resp: 1.5 A, 0.5 A y 27 J
Amperímetros, Voltímetros y Ohmímetros
• Se conectan en serie (amperímetro) y en paralelo (voltímetro) para poder medir
la intensidad (que circula por un cable) y la diferencia de potencial (entre dos
puntos) respectivamente.
• El amperímetro, el voltímetro y el ohmímetro contienen un galvanómetro: la
lectura del galvanómetro es proporcional a la corriente que pasa por el
galvanómetro. Suele consistir en una bobina de alambre situada en un campo
magnético permanente (imán). Cuando una corriente I circula por la bobina el
campo magnético del imán ejerce un momento que hace girar la bobina y este giro
permite medir la corriente I.
Amperímetros, Voltímetros y Ohmímetros
Amperímetro construido
con un Galvanómetro
(Rp pequeña)
Resistencia efectiva del
amperímetro Rp la
corriente que circula por
el circuito casi no se
modifica.
Voltímetro construido
con un Galvanómetro
(Rs grande)
Resistencia efectiva del
voltímetro Rs la
corriente que circula por
el voltímetro es muy
pequeña.
Ohmímetro: Rs se
elije tal que la aguja
indica 0 cuando a y b
están en cortocircuito
4.6 Circuito RC: carga y descarga de un condensador
Descarga de un condensador
I 
dQ
dt
Q
dQ
dQ
Q

 IR
I 

C
dt
dt
RC
t RC
dQ
dt
Q

Q
e


0
Q
RC
Constante
  RC de tiempo
Q  Q0e
I0 
 t /
V0 Q0 / C

R
R
I 
Q0 t /
e  I 0 e t / 
RC
Carga de un condensador
Q
E fem  IR 
C
dQ
I
dt
dQ Q
 E fem  R
 0
dt C

Q  CE fem 1  et RC 
E fem t /
dQ
 I
I
e
dt
R