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SEMEJANZA
U. D. 8 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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LONGITUDES
U. D. 8.4 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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PROBLEMA 1
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Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que
forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir
de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué
distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media?
B
4 km/h
A
Julia
c
50º
distancia = Lado a
6 km/h
b
María
C
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Resolución_1
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Se visualiza un triángulo no rectángulo
Lado a = distancia pedida.
Lado b = v.t = 6 km/h . 1,5 h = 9 km anda María
Lado c = v.t = 4 km/h . 1,5 h = 6 km anda Laura
Ángulo A = 50º
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Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
Sustituyendo los datos conocidos:
a / sen 50º = 9 / sen B = 6 / sen C
Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil.
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Nos vamos al T. del Coseno.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A
a2 = 92 + 62 – 2.9.6.cos 50º  a2 = 81 + 36 – 69,42 
a2 = 47,58  a = 6’8977 km
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PROBLEMA 2
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Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm, y forman un
ángulo de 32º. ¿Cuánto miden las diagonales?
B
d
6 cm
a
c
D
32º
8 cm
A
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b
C
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Resolución_2
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Se visualiza un triángulo no rectángulo
Lado a = d = diagonal menor.
Lado b = 8 cm
Lado c = 6 cm
Ángulo A = 32º
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Nos vamos al T. del Coseno.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A
a2 = 82 + 62 – 2.8.6.cos 32º  a2 = 64 + 36 – 81,41 
a2 = 18,59  a = d = 4,31 cm
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Hallamos el ángulo suplementario de 32º
A’ = 180 – 32 = 148º
Y visualizamos otro triángulo no rectángulo cuyos lados son los dos lados
del paralelogramo y la diagonal mayor.
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Resolución_2
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Se visualiza un triángulo no rectángulo
Lado a = D = diagonal menor.
Lado b = 8 cm
Lado c = 6 cm
Ángulo A = 148º
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Nos vamos al T. del Coseno.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A
a2 = 82 + 62 – 2.8.6.cos 148º  a2 = 64 + 36 – 96.( – 0,84805) 
a2 = 181,41  a = D = 13,47 cm
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Observamos que la diagonal mayor es mucho mayor que la menor al ser el
ángulo que forman los lados algo pequeño.
A su vez vemos que D < b + c, pues 13,47 < 14
Y que d > b – c , pues 4,31 > 2
Por todo ello la solución es correcta.
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PROBLEMA 3
•
Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus
tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcula la distancia entre
sus centros.
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d
10
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Radios y tangentes
forman un ángulo recto.
El ángulo formado por
los radios será por ello
el mismo que el formado
por las tangentes, de
30º.
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Resolución_3
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Se visualiza un triángulo no rectángulo
Lado a = d = distancia entre centros.
Lado b = 10 cm
Lado c = 13 cm
Ángulo A = 30º
d
13
30º
10
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Nos vamos al T. del Coseno.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A
a2 = 102 + 132 – 2.10.13.cos 30º  a2 = 100 + 169 – 260.0,866 
a2 = 43,84  a = d = 6,62 cm
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PROBLEMAS_4
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Queremos hallar la distancia entre dos árboles, A y B, el segundo de los
cuales es inaccesible. Tomando otro árbol, C, como referencia que dista del
primero 42,6 m , desde los árboles A y C se dirigen visuales a B, que
forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º.
Halla la distancia entre los árboles A y B.
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Resolución_4
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Se visualiza el problema.
Se idealiza el triángulo:
A=53,7º
B= ?
C=64º
a= ?
b=42,6 m
c= ?
Nos piden el valor del lado c.
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A
B
53,7º
42,6 m
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64º
C
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Resolución_4
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Resolución_4
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Tenemos: A=53,7º , C=64º y b=42,6 m
Como tenemos dos ángulos, hallamos el tercero:
C=180 – A – B = 180 – 53,7 – 64 = 62,3º
Al tener los tres ángulos podemos aplicar el Teorema del Seno:
a
b
c
------ = ------- = ------Sen A sen B sen C
a
42,6
c
------------- = ------------ = ------------Sen 53,7
sen 64
sen 62,3
En la segunda proporción: 42,6.sen 62,3 = c.sen 64
Despejando el lado c:
c=42,6.0,8854 / 0,8988 = 41,965 m
Solución: 41,965 m
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