Download Teoremas del Seno y del Coseno.

TRIGONOMETRÍA
U.D. 10 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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TEOREMAS DEL SENO Y
DEL COSENO
U.D. 10.8 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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TEOREMA DEL SENO
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TEOREMA DEL SENO
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En todo triángulo una altura parte al
triángulo en dos triángulos rectángulos.
En el triángulo AHB podemos poner:
sen B = h / c
En el triángulo ACH podemos poner:
sen C = h / b
Como la altura h es común a los dos
triángulos, la despejamos e igualamos
sus resultados:
h=c.sen B ,, h=b.sen C 
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 c.sen B = b.sen C
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Trazando otra altura cualquiera y
repitiendo el proceso quedaría:
a.sen B = b.sen A
y también c.sen A = a.sen C
@ Angel Prieto Benito
A
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b
c
h
B
C
B
H
a
C
Englobando dos cualesquiera
de los resultados queda:
a
b
c
-------- = -------- = --------sen A sen B sen C
Que es la fórmula resultante.
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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TEOREMA DEL SENO
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La fórmula obtenida para el teorema del
Seno es la misma con independencia de
si el triángulo es acutángulo u
obtusángulo.
Observar en la figura de la izquierda que
la altura correspondiente al vértice A
queda fuera del área del triángulo y no
corta al lado a.
Pues bien, también se forman dos
triángulos rectángulos, uno el de color
naranja y otro la suma del naranja más el
amarillo. Y también la altura es común a
los dos.
A tener en cuenta que sen B = sen B’
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Casos que resuelve
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Si tenemos dos lados del triángulo y un
ángulo distinto del que comprenden.
Si tenemos dos ángulos y un lado.
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A
b
c
h
B
B’
H
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B
C
a
C
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Ejercicios
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Ejemplo 1
Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son:
A=100º, a=5 cm, b= 3
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Por el Teorema del Seno:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
Sustituyendo los datos conocidos:
5
3
c
----------- = -------- = --------sen 100 sen B sen C
Tenemos: 5.sen B = 3.sen 100  sen B = 3.0,9848 / 5 = 9,5901
Luego B=arcsen 0,5901 = 36’22º y 143’78º
Si el ángulo A ya es obtuso, B debe ser agudo, luego B=36’22º
El ángulo C valdrá: C = 180 – A – B = 180 – 100 – 36’22 = 43’78º
Volviendo al Teorema del seno:
a.sen C = c.sen A  c = 5.sen 43’78 / sen 100 = 5.0’6919 / 0’9848 = 3,51
cm
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Ejercicios
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Ejemplo 2
Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son:
B=45º, C=75º, a = 10 cm
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Hallamos el ángulo A: A = 180 – B – C = 180 – 45 – 75 = 60
Por el Teorema del Seno:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
Sustituyendo los datos conocidos:
10
b
c
----------- = --------- = ---------sen 60
sen 45 sen 75
Tenemos: 10.sen 45 = b.sen 60 
 b = 10.0’7071 / 0,8660 = 8’165 cm
Volviendo al Teorema del seno:
a.sen C = c.sen A 
 c = 10.sen 75 / sen 60 = 10.0’9659 / 0’8660 = 11,15 cm
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TEOREMA DEL COSENO
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TEOREMA DEL COSENO
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En todo triángulo una altura parte al
triángulo en dos triángulos rectángulos.
En el triángulo AHB podemos poner,
mediante Pitágoras:
h2 = c2 – m2
Siendo m la proyección de c sobre a.
En el triángulo ACH podemos poner:
h2 = b2 – n2
Siendo n la proyección de b sobre a.
Como la altura h es común a los dos
triángulos, igualamos sus resultados:
c2 – m2 = b2 – n2
La suma de las proyecciones es el lado a
m+n=a  m = a – n
c2 – (a – n)2 = b2 – n2
c2 – a2 + 2.a.n – n2 = b2 – n2
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@ Angel Prieto Benito
A
b
c
h
B
C
m
B
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n
H
a
C
Finalmente como n=b.cos C
c2 – a2 + 2.a.b.cos C = b2
Despejando c2 queda:
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
que es la fórmula buscada.
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TEOREMA DEL COSENO
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Si trazamos otra altura cualquiera y
repetimos el proceso, obtendremos otras
dos fórmulas del Teorema del Coseno.
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En total tendremos tres muy semejantes:
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c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
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A
b
c
h
B
C
m
Casos que resuelve
Si tenemos dos lados del triángulo y el
ángulo que comprenden.
Si tenemos los tres lados.
Nota: Tener los tres lados del triángulo no
significa que tenga solución. Ejemplo: a=3,
b=4, c= 8
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B
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n
H
a
C
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Ejercicios
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Ejemplo 3
Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son:
a=5 cm, b= 3 cm, C = 100º
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Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
Sustituyendo los datos conocidos:
5 / sen A = 3 / sen B = c / sen 100
Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil.
Nos vamos al T. del Coseno.
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C , al conocer el ángulo C
c2 = 52 + 32 – 2.5.3.cos 100  c2 = 39’21  c = 6’26 cm
Volviendo al Teorema del seno:
a.sen C = c.sen A  sen A = 5.sen 100 / 6’26 = 0’7866 
A = arc sen 0,7866 = 51’87º y 128’13º, que no vale al ser C >90º
Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 51’87 – 100 = 28’13º
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Ejemplo 4
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Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son:
a=5 cm, b= 3 cm, c = 7 cm
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Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
Sustituyendo los datos conocidos:
5 / sen A = 3 / sen B = 7 / sen C
Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil.
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Nos vamos al T. del Coseno, con una cualquiera de las fórmulas.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , para hallar el ángulo A
52 = 32 + 72 – 2.3.7.cos A  cos A = (9 + 49 – 25) / 2.3.7 = 0,7857 
 A = arcos 0,7857 = 38,21º y - 38’21º, esta última no vale.
Volviendo al Teorema del seno:
a.sen C = c.sen A  sen C = 5.sen 38,21º / 7 = 0,4418 
 C = arcsen 0,4418 = 26,22º y 153’78º , que pueden valer las dos.
Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 26,22º = 115’57º ;
Y también: B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 153,78º = – 12º , que no vale
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ÁREA DEL TRIÁNGULO
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ÁREA DEL TRIÁNGULO
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El área de un triángulo es A = a.h / 2
En el triángulo AHB podemos poner:
h = c.sen B
En el triángulo ACH podemos poner:
h = b.sen C
El área será:
A= ½ a.c.sen B
Y también:
A= ½ a.b.sen C
Igualmente, si hubiéramos trazado otra •
altura distinta, tendríamos:
A= ½ b.c.sen A
Que son las tres fórmulas
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trigonométricas utilizadas para hallar el
área de un triángulo cuando conocemos
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dos lados y el ángulo que forman.
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A
b
c
h
B
C
B
H
a
C
Si conocemos los tres lados, lo
usual es emplear la fórmula:
A = √ [ p.(p – a).(p – b).(p – c) ]
Siendo p el semiperímetro:
p = (a+b+c)/3
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Ejercicios
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Ejemplo 5
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Hallar el área de los triángulos de los ejercicios anteriores.
5.1
a=5, b=3, C=43’78º
El área será: A= ½ a.b.sen C
A= ½ 5.3.sen 43’78º = 5,19 cm2
5.2
a=10, B=45º, c=11,15
El área será: A= ½ a.c.sen B
A= ½ 10.11,15.sen 45º = 39,42 cm2
5.3
a=5, b=3, C=100º
El área será: A= ½ a.b.sen C
A= ½ 5.3.sen 100º = 7,386 cm2
5.4
A=38,21º, b=3, c=7
El área será: A= ½ b.c.sen A
A= ½ 3.7.sen 38’21º = 6,4947 cm2
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