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SEMEJANZA
Descripción: Dos figuras son semejantes
cuando tienen la misma “forma”, pero no
necesariamente el mismo tamaño
La idea de la “misma forma” aparece
en las ampliaciones o reducciones.
¿ Qué observas ?
10 cm
5 cm
4 cm
8 cm
¿Cómo expresamos matemáticamente esta
idea de la “ misma forma”?
 La respuesta es comparando el largo y el
ancho de ambas fotografías :
Las razones entre el ancho y el largo de
cada foto son iguales; es decir:
4cm
5cm

8cm
10cm
Así es, ya que los
productos “cruzados”
son iguales
10 x 4 = 8 x 5
las dos fotografías son:
¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?
Dos
figuras
porque:
1º
son
semejantes
Tienen la misma forma, por
ampliación o por reducción.
2° Tienen diferente tamaño, porque los
lados de la figura mayor son
una
ampliación en forma proporcional
de los lados de la figura menor,
manteniéndose
constante
los
ángulos.
No son figuras semejantes
¿Qué elementos determinan la semejanza de las
figuras?
¿Qué elementos determinan la
semejanza de las figuras?
 Dos figuras son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales
y
sus
lados
correspondientes
proporcionales.
 Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman “homólogos”.
Triángulos semejantes
 Dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son, respectivamente, iguales y
sus lados homólogos son proporcionales.
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
A
6m
C
5m
4m
B
Multiplica cada uno de los lados por 3.
P
18m
15m
R
Los lados del triángulo se han triplicado.
12m
Q
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS
AB
BC
AC
PQ
QR
PR
11
Criterios de semejanza de triángulos
 Existen algunos principios que nos
permiten determinar si dos triángulos son
semejantes sin necesidad de medir y
comparar todos sus lados y todos sus
ángulos.
 Estos principios se conocen con el nombre
de criterios de semejanza de triángulos
Existen tres criterios de
semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)
Primer criterio : AA
 Dos triángulos que tienen los dos
ángulos congruentes son semejantes
entre sí.
A´
A
a´
a
b
C
g
B
Es decir: Si a  a´ ,
b´
b  b´
g´
C’
de lo anterior se deduce que
Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´
B´
g  g´
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
P
R
65°
A
C
65°
¡SI!
25°
B
Q
Por que al tener dos de
sus ángulos congruentes,
cumplen con el criterio AA
Segundo criterio: LLL
 Dos triángulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre sí.
A´
A
b
a
C
Es decir:
b´
B
a´
c
C’
a
b
c
=
=
a´
b´
c´ =K
c´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
recibe el nombre de
razón de semejanza.
B´
Ejemplo :
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
P
Verifiquemos si las medidas de los
B 1,5
lados son proporcionales
C
3,5
1,5
3,5
5 = 0,5
=
=
3
7
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos la razón entre
los lados correspondientes es
constante
7
5
A
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
10
Q
3
R
Tercer criterio:LAL
 Dos triángulos que tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre
ellos es igual, son semejantes entre sí.
A’
A
a
C
a’
a
c
B
a´
Es decir:
C’
a = c
a’
c’
y
a = a’
Entonces D ABC semejante a D A’B’C’
c’
B’
Ejemplo :
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
D
A
9
E
3
B
C
4
12
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos
F
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Aplicaciones de la semejanza de
triángulos
Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias
inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace lo
siguiente:
C
Los triángulos ABC y ADE
son semejantes, lo cual se
denota así:
E
ABC
A
D
B
CDE
Al separar los triángulos de la figura anterior se tiene lo siguiente:
C
E
A
En ellos se tiene:
D
B
A
A  A,
B  D,
C E
D
AB
AC
BC


AD
AE
DE
Dado que las longitudes AB y AD en el piso y la longitud DE en el asta se
pueden medir, entonces usando una de las proporciones anteriores se obtiene la
altura BC del árbol. Observe:
AB
BC

AD
DE

BC 
AB  DE
AD
En la semejanza de triángulos; la igualdad de las medidas de los ángulos,
define una correspondencia entre los vértices, los ángulos y entre los lados
de los triángulos. Dichas correspondencias se denotan con una flecha de
doble punta  , lo cual se lee “se corresponde con”. Observe:
Supóngase que
F
A  D,
C
A
B
B  E,
C F
Entonces, se tiene
A  D
A   D
D
E
AB  DE
B  E
B  E
BC  EF
C  F
C   F
AC  DF
Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos correspondientes tienen la
misma medida y si sus lados correspondiente son proporcionales.
ABC
CDE
F

A  D, B  E,

 AB
AC
BC



DF
EF
 DE
C  F
La sombra que una persona proyecta al alejarse
de un farol es 1/3 de su distancia al poste del
farol. Si la persona mide 1.70 m y la punta de la
sombra dista de dicho poste 12 m, ¿qué altura
tiene el farol y qué longitud tiene la sombra?
Un topógrafo desea medir el ancho de una
montaña, por donde se pretende hacer un túnel
desde un punto A hasta un punto B, opuesto a
ella y visibles ambos desde un punto C en la
llanura, como se muestra en la figura adjunta.
Para ello él localiza los puntos D y E de modo que
AC
BC

CE
CD
Calcule la longitud del túnel.
Se dispone de dos tirantes, uno de 30 m y
otro de 25 m, para contener un puente de
33 m de largo como se muestra en la figura
adjunta, en donde B  E .
Entonces:
¿A qué distancia está el punto C de las bases
de los postes AB y DE ?
Si AB  24 , ¿cuánto mide el poste DE ?.
C
¿Cuál de los segmentos de la figura mide
A
1
D
3
B
3 ?
Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos de uno miden lo mismo
que dos ángulos del otro.
C
Si AB DE , ¿son semejantes los triángulos
ABC y DEC ?
E
D
B
A
Si la razón de los lados correspondientes es uno, los triángulos son
congruentes.
C
F
El símbolo de congruencia es 
y se lee “ es congruente con”.
ABC  DEF ,
porque:
A
B
D
E
AB
BC
AC


1
DE
EF
DF
B
A
Si AB DC y O es punto
medio de AC , ¿son
congruentes los triángulos
AOB y COD ?
C
O
D