Download PPT - Universidad de Sonora

Trabajo y Energía
Autores
Ignacio Cruz Encinas
Mario Enrique Álvarez Ramos
Roberto Pedro Duarte Zamorano
Ezequiel Rodríguez Jáuregui
Rogelio Gámez Corrales
UNIVERSIDAD DE SONORA
Departamento de Física
Contenido

Introducción

Trabajo y Energía debido a una Fuerza Constante

Aplicada en la dirección de movimiento.

Aplicada en dirección diferente a la del movimiento.

Producto Escalar de Vectores (repaso)

Trabajo y Energía debido a una Fuerza Variable

Aplicada en la dirección de movimiento.

Aplicada en dirección diferente a la del movimiento.
Introducción

En los capítulos anteriores, se resolvieron problemas donde se
involucraban Fuerzas constantes utilizando la segunda ley de Newton:
F=ma

Donde F viene expresada en función de las propiedades del cuerpo y
del medio ambiente que lo rodea, por medio de la ley de fuerzas ( o
ley de la naturaleza ) respectiva que rige el movimiento de un cuerpo.
Bajo ciertas condiciones iniciales, pudimos conocer la aceleración a
del cuerpo y al sustituirla en las ecuaciones de movimiento o
Ecuaciones de cinemática
(exclusivas para aceleración constante)
x = x0 + v0 t + ½ a t2
x = x0 + ½ ( v + v0 ) t
v = v0 + a t
v2 - v02 = 2 a ( x – x0 )
Introducción
Ecuaciones que determinan la posición como una función del tiempo
x(t) así como su velocidad v(t), con lo cual queda resuelta la primera
parte del problema fundamental de la mecánica clásica.
Es una primera parte ya que únicamente se consideró el caso de una
Fuerza constante y en consecuencia una aceleración dada por la
segunda ley de Newton:
a=F∕m
Si se analiza la ecuación anterior, la aceleración del cuerpo depende
de la Fuerza y de la masa.
La segunda parte del problema de la mecánica clásica es cuando la
Fuerza que actúa sobre el cuerpo es variable, en cuyo caso, la
aceleración también lo será y consecuentemente, no se pueden
aplicar las ecuaciones de movimiento de cinemática anteriores ya que
éstas son exclusivamente para aceleración constante. En este
capítulo se aborda el método (integración) para resolver este tipo de
problemas.
Introducción
La tercera parte del problema es cuando se consideran sistemas de masa
variable como en el caso de los cohetes que al ir quemando combustible
su masa varía. Sin embargo, este tipo de problemas corresponde a un
segundo curso de mecánica.
Dentro de la primera parte, aunque podemos conocer la posición y
velocidad de la partícula como una función del tiempo sin necesidad de
abordarlos desde el punto de vista del Trabajo y Energía, para fines
didácticos y facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados
como el de fuerzas variables, es necesario definir estos conceptos y
poder llegar al teorema del trabajo y la energía, en el cual no es
necesario conocer la aceleración de la partícula aunque indirectamente
se aplique la segunda ley de Newton.
En el capítulo anterior vimos que el concepto de fuerza lo
relacionábamos con jalar o empujar un objeto y que para fines
científicos requeríamos de una definición mas formal. De la misma
forma, el concepto que tenemos de la palabra trabajo, lo relacionamos
con cualquier actividad que requiere de un esfuerzo muscular o
intelectual, así decimos que vamos al trabajo, que al levantar y sostener
un objeto estamos realizando trabajo, que se requiere de un trabajo
intelectual para entender las notas de clase, etc.
Trabajo
En física, el científico requiere enunciar con exactitud lo que significa
la palabra trabajo, restringiéndola a los casos en los cuales interviene
la aplicación de una fuerza sobre un cuerpo y un desplazamiento.
Sin embargo, dentro de dicha restricción existen diferentes variantes
ya que la fuerza aplicada sobre un cuerpo puede ser:
a. Constante
b. Variable
En cualquiera de los dos casos el desplazamiento puede ocurrir
i. En una dimensión
ii. En dos dimensione.
iii. En tres dimensiones
Adicionalmente, la fuerza aplicada puede estar en:
a) En la dirección de movimiento
b) En dirección diferente a la del movimiento.
Así como en cinemática donde al inicio se abordan los casos mas
sencillos y después se van complicando a medida que se avanza en el
curso, para el caso del trabajo y la energía se procede de la misma
forma, abordando el caso mas sencillo que es:
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Consideremos un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal
áspera, al cual se le aplica una fuerza horizontal constante ( P ) de tal
manera que mueve al cuerpo en la dirección positiva, desde la posición
inicial x0 hasta la posición final xf
P
x0
P
x
P
xf
x +(m)
│ ∆ x │= │ x – x0 │= d
En una primera aproximación, definimos el trabajo (W) realizado por la
fuerza P aplicada sobre el cuerpo como:
W = P ∆x = Pd
la unidad de trabajo es el Newton-metro denominado Joule.
( 1 N ) ( 1 m ) = 1 Joule
El trabajo realizado por esta fuerza tiene un valor positivo ya que tanto
P como ∆x apuntan en la dirección positiva.
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Sobre un cuerpo pueden estar actuando varias fuerzas, en el siguiente
diagrama se presentan varias fuerzas que pueden estar actuando sobre
el cuerpo.
b)
a)
N
fk
fk
P
P
W
W
En el caso anterior, encontramos que la fuerza P realiza un trabajo
positivo, sin embargo, se pueden dar las condiciones para que el trabajo
sea negativo o nulo. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento cinético que la
superficie áspera del piso ejerce sobre el cuerpo se opone al
movimiento resultando un trabajo negativo, ya que la dirección de la
fuerza (fk) y el desplazamiento son opuestos.
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Cuando actúan varias fuerzas sobre el cuerpo, el trabajo realizado por
cada una de ellas se determina a partir de la definición de trabajo dada
anteriormente, y el trabajo neto realizado por las fuerzas sobre el
cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de
las fuerzas, calculados individualmente, esto es:
WTotal = WP + Wmg + WN + Wfk
a)
fk
N
P
W
En el diagrama de cuerpo libre a), al aplicar la segunda ley de Newton
encontramos una fuerza resultante o neta F positiva y constante,
motivo por el cual el trabajo neto sobre el cuerpo es positivo.
El efecto de este trabajo positivo, en virtud de la segunda ley de
Newton, se manifiesta en una aumento de la velocidad del cuerpo.
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
En el diagrama de cuerpo libre b), reducimos la fuerza aplicada de tal
manera que su magnitud fuera igual a la fuerza de rozamiento, de esta
manera el cuerpo va a continuar moviéndose con velocidad constante por
lo que la aceleración del cuerpo será cero y en consecuencia la fuerza
neta o resultante, luego entonces, el trabajo neto efectuado por las
fuerzas sobre el cuerpo es nulo.
b)
fk
N
P
W
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Para encontrar la relación entre el trabajo y los cambios de velocidad,
analicemos un movimiento que nos es familiar en el laboratorio. El
ejemplo es el siguiente:
Un móvil se desplaza sobre un riel de aire sin fricción bajo la acción de
una fuerza constante transmitida por medio de la tensión de un hilo que
pasa por una polea sin fricción, en cuyo extremo se encuentra
suspendido un peso a una altura h, tal como se muestra en la siguiente
figura.
│∆x│= d
v1
v0 = 0
x0 = 0
x1
h
mg
Trabajo realizado por una Fuerza Constante
Al soltar el peso, el móvil inicia su movimiento (v0= 0 ) a partir del
origen (x0 = 0 ), y la posición (x1) del móvil al recorrer una distancia d
vendrá dada por la ecuación:
y el trabajo realizado es:
v12
x1 
2a
W=Tx
donde T es la tensión del hilo, siendo la única fuerza que actúa sobre el cuerpo
(en el eje x) y en consecuencia la Fuerza neta, la cual viene expresada de
acuerdo con la segunda ley de Newton como:
T=ma
Sustituyendo los valores de T y x1 en W tenemos que:
 v2 
v2 1 2
W  ma   m  mv
2 2
 2a 
Trabajo y Energía para Fuerza constante
Al adquirir esta velocidad (v1), el móvil se encuentra en la posición x1 y el
peso ha chocado con el suelo por lo cual la fuerza representada por la
tensión del hilo desaparece. Como no existe rozamiento, el móvil
continuará moviéndose con esta misma velocidad
Sin embargo, el móvil ha adquirido una propiedad que no poseía cuando se
encontraba en reposo, esta propiedad consiste en la capacidad que tiene
ahora de realizar trabajo sobre otro objeto que interaccione con él.
Para comprobar lo anterior hagamos lo siguiente:
En la posición x2 coloquemos un clavo apuntalado horizontalmente en un
bloque de algún material (frigolit) que permita al clavo penetrar en él y
que a la vez evite que el móvil retroceda en el choque.
v = constante
v0 = 0
v1
x0 = 0
x1
v1= v2
x2
Trabajo y Energía para Fuerza constante
De ésta forma, el móvil que tiene una velocidad v1 = v2 ejercerá una
fuerza F constante sobre el clavo, la cual se suspenderá cuando su
velocidad v3 sea cero.
v = variable
v = constante
v0 = 0
x0 = 0
v1
x1
v1= v2
v3 = 0
x2
x3
La aceleración (desaceleración) del móvil que en magnitud es la misma
que experimenta el clavo se puede determinar a partir de la siguiente
ecuación de movimiento:
v32  v22  2a( x3  x2 )
donde v2 es la velocidad del móvil al momento del impacto e igual a v1 y
v3 = 0 por lo que:
 v12  2a( x3  x2 )
Trabajo y Energía para Fuerza constante
v12
a
2( x3  x2 )
Por lo que la fuerza que ejerce el clavo sobre el móvil (Fc/m) de acuerdo
a la segunda ley es:
Fc
m


v12
1 mv12
 ma  m


2 ( x3  x2 )
 2( x3  x2 ) 
Por la tercera ley de Newton, esta fuerza debe de ser de igual magnitud
pero en sentido contrario a la que ejerce el móvil sobre el clavo.
Fc   Fm
m
Fm
c
c
1 mv12

2 ( x3  x2 )
El trabajo realizado por el móvil sobre el clavo al clavarlo una distancia
x3 - x2 es:
Trabajo y Energía para Fuerza constante
 1 mv12 
W  Fm x  
( x3  x2 )
c
2
(
x

x
)
3
2 

W  1 mv12
2
Luego entonces se puede afirmar lo siguiente:
El trabajo realizado por una fuerza neta sobre el móvil es el mismo
trabajo que éste puede realizar sobre otro objeto que interaccione con
él.
A la propiedad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo se le
denomina Energía, en este caso, el trabajo se relaciona con la velocidad
del móvil, recibiendo el nombre de Energía Cinética.
La palabra cinética proviene del griego kinematics que significa
movimiento, utilizándose el símbolo K para representarla y su valor es
igual al trabajo que puede efectuar un cuerpo en movimiento hasta
quedar en reposo.
Trabajo y Energía para Fuerza constante
W K
K  1 mv12
2
Para terminar el análisis de esta sección, supongamos que de la posición
x2 retiramos el bloque con el clavo y a partir de esta posición cancelamos
todos los orificios por donde sale el aire, en esta nueva situación, el
móvil ya no estará "suspendido", por lo que las superficies entrarán en
contacto generando una nueva fuerza: la fuerza de rozamiento cinético.
v = variable
v = constante
v0 = 0
x0 = 0
v1
x1
v1= v2
v3 = 0
2
Esta fuerza será la única que actúe sobre el móvil
y por lo 3tanto la
fuerza neta que hará que se detenga a una determinada distancia (x3-x2)
El trabajo realizado por esta fuerza será:
W  f k x
x
x
Trabajo y Energía para Fuerza constante
donde la fuerza fk viene dada por la segunda ley de Newton:
fk = m a
sustituyendo tenemos que:
W = m a (∆x)
donde la aceleración se encuentra a partir de la ecuación:
v32  v22
a
2( x3  x2 )
sustituyendo tenemos el trabajo realizado por la fuerza neta, en éste
caso la fuerza de fricción:
 v32  v22 
W  ma( x3  x2 )  m
( x3  x2 )  1 m(v32  v22 )

2
 2( x3  x2 ) 
W  1 mv32  1 mv22
2
2
W  K  K0
Teorema del Trabajo y la Energía
siendo K la energía cinética final del móvil y K0 su energía cinética inicial. Luego
entonces:
W  K  K 0  K
relación que se conoce con el nombre deTeorema del Trabajo y la Energía, cuyo
enunciado es:
El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante es igual al cambio
de su energía cinética.
Como el valor de la velocidad está elevada al cuadrado, la energía cinética
siempre es positiva, pero en cambio, la diferencia de energías puede ser
positiva, negativa o nula. En el caso anterior, como v < v0 encontramos
una ∆K < 0, es decir el trabajo realizado por la fuerza neta sobre el
móvil es negativo y en virtud de la tercera ley de Newton, el trabajo
efectuado sobre el móvil es el negativo del trabajo realizado por el
móvil sobre el agente que produjo esa fuerza, por lo anterior decimos
que: la energía cinética de un cuerpo disminuye en la misma proporción
en que dicho cuerpo efectúa trabajo.
Trabajo y Energía para Fuerza constante
En la sección anterior se definió el trabajo hecho por una fuerza
constante, la cual estaba aplicada en la dirección de movimiento
(entendiéndose por dirección el eje x), en algunos casos el sentido de la
fuerza era el mismo y en otros contrario, como por ejemplo la fuerza de
rozamiento.
Sin embargo, esta fuerza constante aplicada puede estar en una
dirección diferente a la del movimiento, tal como se muestra en la
siguiente figura, en donde la fuerza forma un ángulo  con respecto a la
dirección de movimiento.
P
P



x0
P
x
│ ∆ x │= │ x – x0 │= d
xf
x +(m)
Trabajo y Energía para Fuerza constante
En este caso, se define el trabajo efectuado por la fuerza sobre el
cuerpo como:
El producto de la componente de la fuerza en la dirección de
movimiento por la distancia que recorre el cuerpo a lo largo de dicha
dirección.
De la figura observamos que dicha componente es:
Px = │ P │ cos 
luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza P para llevar al cuerpo
de la posición inicial x0 hasta la posición final x es:
W = (│P│cos  ) │ Δx │
W = (│P│cos  ) (│ x – x0 │)
W = Pcos  (d)
W = P d cos 
donde d es la distancia recorrida por el cuerpo y
 es el ángulo que forma la fuerza con respecto a la dirección de movimiento
Trabajo y Energía para Fuerza constante
Según la ecuación anterior, el trabajo realizado por la fuerza aplicada,
al igual que en la sección anterior, puede ser positivo, negativo o nulo,
esto dependerá del ángulo que forme la fuerza con respecto a la
dirección del movimiento ( el ángulo se mide a partir de la dirección de
movimiento y en sentido contrario a las manecillas del reloj ), de tal
forma que si:
00 <  < 900
900 <  < 1800
1800 <  < 2700
2700 <  < 3600
el trabajo W > 0
el trabajo W < 0
el trabajo W < 0
el trabajo W > 0
Para ejemplificar lo anterior, supongamos que una persona se pone a
jugar con una cuerda en cuyo extremo se encuentra atado un cuerpo de
masa m. En todos los casos que se presentan a continuación, la persona
realiza un esfuerzo físico que puede manifestarse en cansancio.
Trabajo y Energía para Fuerza constante
1. La persona levanta verticalmente al cuerpo hasta una altura h, de tal forma
que el movimiento es tan lento que no se pueden apreciar los cambios de
velocidad. Con esta condición, la fuerza aplicada es constante, la aceleración
resultante será cero y en consecuencia también la fuerza neta.
La fuerza aplicada por la persona sobre el cuerpo es igual a la tensión de la
cuerda.
A continuación calculamos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas
que intervienen.

El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
W1 = T h cos 
Donde T, por la segunda ley de Newton es T = mg y  = 00 por lo que:
W1 = + m g h

El trabajo realizado por la Tierra (peso):
W2 = w h cos 
Donde w, es el peso del cuerpo y  = 1800 por lo que:
W2 = - m g h
El trabajo total efectuado sobre el cuerpo para levantarlo verticalmente, es
igual a la suma de los trabajos individuales calculados en los incisos
anteriores, esto es:
W = W1 + W2 = mgh – mgh = 0
Trabajo y Energía para Fuerza constante
2.
3.
Posteriormente, la persona sostiene al cuerpo en esa posición a una
altura h
El trabajo realizado por las fuerzas del punto No. 1 es cero debido a
que no existe desplazamiento.
La persona se mueve hacia la derecha una cierta distancia d

El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
con  = 900
W3 = m g d cos 
W3 = 0

El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la tierra sobre el cuerpo
es:
con  = 2700
W4 = m g d cos 
W4 = 0
El trabajo total realizado por las fuerzas para desplazar el cuerpo
una distancia d hacia la derecha es:
W = W3 + W4 = 0
Trabajo y Energía para Fuerza constante
4.
La persona baja el cuerpo desde la altura h hasta el suelo, en las
mismas condiciones en que lo subió (v = constante).

El trabajo efectuado por la fuerza aplicada es:
W5 = m g h cos 
con  = 2700
W5 = - mgh

El trabajo efectuado por la Tierra es:
W6 = m g h cos 
con  = 00
W5 = + mgh
El trabajo total realizado por las fuerzas al bajar el cuerpo una
altura h es:
W = W5 + W6 = 0
Trabajo y Energía para Fuerza constante
5.
Una vez colocado en el suelo, la persona tira de él en forma
horizontal, arrastrándolo con velocidad constante hasta llevarlo
nuevamente a su posición inicial.

El trabajo realizado por la fuerza aplicada es:
W7 = Fa d cos 
con  = 00
W7 = Fa d

El trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento cinético es:
W8 = fk d cos 
con  = 2700
y puesto que se mueve con velocidad constante, por la segunda ley
de Newton, la fuerza aplicada es igual a la fuerza de rozamiento
cinético ( fk = Fa )
W8 = - Fa d
El trabajo total realizado por las fuerzas al desplazar al cuerpo
sobre el suelo una distancia d es:
W = W 7 + W8 = 0
Trabajo y Energía para Fuerza constante
Si deseamos conocer el trabajo total realizado sobre el cuerpo en
todo el recorrido, desde que se levantó hasta que regresó a su
posición original al ser arrastrado por el suelo, hacemos:
W T = W1 + W2 + W 3 + W4 + W5 + W6 + W 7 + W 8
WT = +mgh – mgh +0 + 0 –mgh + Fa d - Fa d = 0
6.
En el punto 1, se encontró que el trabajo realizado por una fuerza
constante para subir el cuerpo hasta una altura era mgh, es decir,
dependía del peso del cuerpo y de la altura.
Calcularemos ahora el trabajo que se realiza cuando el cuerpo es
subido a esa misma altura h pero bajo las siguientes condiciones:




es empujado por una fuerza constante,
es subido con velocidad constante,
el plano inclinado es liso (sin fricción),
el plano inclinado es de diferentes longitudes.
Analicemos el caso mediante la siguiente figura:
Trabajo y Energía para Fuerza constante
P
P
h

N
P
Wx
Wy

mg
La fuerza necesaria para subirlo con velocidad
constante se encuentra aplicando la segunda ley de
Newton:
SFx = max (ax = 0 es subido con v = constante)
P – wx = 0
P – mg sen  = 0
P = mg sen 
La distancia que recorre es la longitud del plano
inclinado:
d = h ∕ sen 
El trabajo realizado por la fuerza P es:
WP = Pd cos 
(con  = 00 ; misma dirección)
WP = (mg sen  ) (h ∕ sen  )
WP = mg h
Trabajo y Energía para Fuerza constante
Como se puede apreciar, la fuerza aplicada depende del peso y del ángulo
de inclinación del plano inclinado.
P = mg sen 
si se desea subir hasta una altura h con el mínimo esfuerzo, el ángulo
debe ser pequeño, lo que trae como consecuencia que la distancia
(longitud del plano) se incremente.
d = h ∕ sen 
Sin embargo, el trabajo realizado es independiente del ángulo de
inclinación del plano.
WP = mg h
depende exclusivamente del peso y de la altura h del plano.
P
P
h


Trabajo y Energía para Fuerza constante
7.
Analicemos un último caso: La persona hace girar el cuerpo sobre su
cabeza, describiendo una trayectoria circular con movimiento
uniforme
Cuando se analizó el movimiento circular, se vio que el
desplazamiento es tangente a la trayectoria y que la fuerza
centrípeta es radial y dirigida hacia el centro de rotación por lo que
la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 900, por lo que el
trabajo realizado es:
W=0
Producto Escalar (repaso)
Aunque en la parte relativa a vectores se abordó éste tema,
nuevamente se retoma para redefinir el concepto de trabajo.
Sean A y B dos vectores que forman un ángulo  entre ellos. Se define
el producto escalar como el producto de la magnitud de uno de ellos
(digamos A) por la proyección de B sobre A.
B
B

A
│B│cos 
Proyección de B sobre A

A
o viceversa, es decir , la magnitud de B por la proyección de A sobre B,
tal como se muestra en la figura adjunta a la anterior.
Producto Escalar (repaso)
Del producto punto entre vectores unitarios (perpendiculares entre sí)
tenemos que:
iˆ  iˆ  iˆ iˆ cos   (1)(1) cos 00  1
ˆj  ˆj  ˆj ˆj cos   (1)(1) cos 00  1
iˆ  ˆj  iˆ ˆj cos   (1)(1) cos 900  0
ˆj  iˆ  ˆj iˆ cos   (1)(1) cos 900  0
Lo cual nos muestra que el producto punto entre dos vectores es un
escalar debido a que tenemos la multiplicación de la magnitud de un
vector por la magnitud del otro lo cual nos da un escalar, que se multiplica
por el coseno del ángulo que se forma entre ellos, el cual también es un
escalar adimensional.
Toda vez que tenemos definido el producto punto entre vectores,
tenemos que el trabajo lo podemos definir como:
W = F●Δx =│F│cos  │Δ x│= F d cos 
ya que la magnitud del desplazamiento es la distancia recorrida (d
=│Δx│) y │F│cos  es la proyección del vector fuerza sobre el vector
desplazamiento. Por ello:
W = F●Δx
Trabajo y Energía para Fuerza constante (método gráfico)
Antes de abordar el siguiente tema, para fuerzas variables, retomemos
nuevamente el caso donde la fuerza es constante y hagamos un análisis
gráfico de la situación mostrada a continuación.
P
x0
P
x
P
x +(m)
xf
│ ∆ x │= │ x – x0 │= d
Si graficamos la fuerza constante aplicada contra desplazamiento
tendremos la siguiente gráfica:
F (Newton)
P
ctte.
x0
xf
x (m)
Trabajo y Energía para Fuerza constante (método gráfico)
En donde se ha sombreado toda la parte que se encuentra bajo la
recta que indica a la fuerza P constante, formándose un rectángulo
de altura P y base d.
Como vimos anteriormente, el trabajo realizado por la fuerza
constante es:
W = P•Δ x=│P││Δx│cos  = P d cos 00 = P d
El producto de P por d no es otra cosa mas que la altura del rectángulo
multiplicado por su base, es decir, el área del rectángulo. Luego
entonces:
A=Pd=W
El trabajo realizado por la fuerza P es igual al área del rectángulo que
se forma bajo la recta.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es
constante.
El caso más sencillo es cuando la fuerza está aplicada en la dirección
de movimiento y que ésta depende de la posición del cuerpo.
Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos
fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado
mediante una cuerda.
Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de
ejercer una fuerza F1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una
fuerza F2 mayor.
En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que
recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es
constante.
El caso más sencillo es cuando la fuerza está aplicada en la dirección
de movimiento y que ésta depende de la posición del cuerpo.
Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos
fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado
mediante una cuerda.
Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de
ejercer una fuerza F1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una
fuerza F2 mayor.
En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que
recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.
Trabajo y Energía para Fuerza variable (aplicada en dirección
de movimiento)
F0 = 0
x0 = 0
F1
x0
F variable y aplicada en la dirección
de movimiento
x1
F2
x0
x1
x2
Si medimos la fuerza con un dinamómetro y la posición del cuerpo para
esa fuerza aplicada, estaremos en posibilidad de realizar una
tabulación de Fuerza contra posición (F vs. x) y graficar como se
muestra a continuación.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
F (Newton)
F5
F4
F3
h = F5 – F0
F2
F1
x1
x2
x3
x4
x5
x (m)
d = x 5 – x0
Al igual que para el caso de una fuerza constante, el trabajo realizado por una
fuerza variable también es igual al área bajo la recta, en este caso, un
triángulo rectángulo de altura F5 - F0 y base x5 - x0, siendo ésta:
W  A
bh ( F5  F0 )( x5  x0 ) F5 d


2
2
2
Trabajo y Energía para Fuerza variable
En los dos casos anteriores, calcular el trabajo realizado por las
fuerzas mediante el método del área bajo la curva fue sencillo debido
a que las figuras geométricas que se forman son conocidas.
Sin embargo, existen fuerzas variables que dependen de la posición y
cuya gráfica de fuerza contra posición son complejas.
En estos casos, el problema se complica y se requiere de un método
mas sofisticado para calcular el trabajo realizado por la fuerza.
Dicho método es el método matemático de la integración.
Para llegar a él, supongamos que un cuerpo se mueve en la dirección del
eje x de la posición x1 hasta la posición x2 bajo la acción de una fuerza
variable que depende de la posición y que al medirla se obtiene la
siguiente gráfica.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
F(x)
Ff
Fi
xi
xf
x +(m)
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Dividamos el desplazamiento total de xi hasta xf en pequeños
desplazamientos iguales de anchura Δx
F(x)
Ff
F2
F4
F3
Fi
F2
F1
xi
Δx
Δx
F4
F3
Δx
Δx
xf
x +(m)
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Como se puede observar, se forman rectángulos de altura F variable y
anchura Δx constante.
Consideremos el primer desplazamiento de x1a x2 (o bien de x1 a x1 + Δx),
en este intervalo, la fuerza puede considerarse aproximadamente
constante, teniendo un valor F1.
El trabajo realizado por dicha fuerza para desplazar al cuerpo un Δx es:
ΔW1 = F1 Δx
(área del primer rectángulo)
En el siguiente intervalo de x1 a x2 (o bien de x1 a x1 + Δx ), el trabajo
realizado es:
ΔW2 = F2 Δx
(área del segundo rectángulo)
De esta forma se sigue calculando el trabajo para cada desplazamiento
(áreas de los rectángulos). El trabajo total aproximado será la suma de
todos los incrementos de trabajo calculados individualmente, lo cual
expresado en notación matemática es:
n
n
i 1
i 1
W   Wi   Fi x
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Se dice que es un trabajo aproximado debido a que dentro de cada
intervalo la fuerza varía. Si tomamos el valor de F1 en la posición x1,
observaremos que para el primer intervalo se forma un rectángulo de
altura F1 y anchura Δx, además de una figura geométrica por encima.
Para el siguiente intervalo, se forma un rectángulo de altura F2 y también
de anchura Δx, así como una segunda figura geométrica parecida a un
triángulo.
En los siguientes dos intervalos sucede algo parecido.
Con el procedimiento anterior, se puede asegurar que lo que estamos
calculando son las áreas de los rectángulos de altura Fi y anchura Δx,
quedándonos por encima de ellos las áreas de las figuras geométricas sin
calcular, las cuales representan la diferencia entre el trabajo aproximado
y el trabajo real efectuado por las fuerzas.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
F(x)
Ff
F2
F4
F3
Fi
xi
Δx
Área faltante
Δx
Δx
Área excedente
Δx
xf
x +(m)
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Para minimizar los faltantes y excedentes, procedemos a aumentar el
número de intervalos haciendo mas pequeños los Δx, con lo cual
obtendremos un mayor número de figuras geométricas por encima y
debajo de los rectángulos pero cuyas áreas son mucho menores que las
anteriores.
Ff
F2
F4
F3
Fi
xi
Δx
Δx
Área faltante
Δx
Δx
Δx
Δx
Δx
Área excedente
Δx
xf x +(m)
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Seguimos aumentando el número de intervalos haciendo mas pequeños
los Δx.
Ff
F4
F3
F2
Fi
xi
+
Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx xf x (m)
Área faltante
Área excedente
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Seguimos aumentando el número de intervalos haciendo mas pequeños
los Δx.
Ff
F4
F3
F2
Fi
xi
xf x +(m)
Δx
Área faltante
Área excedente
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Sin embargo aún seguimos teniendo pequeñas áreas faltantes y
excedentes, por lo que se procede nuevamente a tomar Δx cada vez más
pequeños.
Si queremos aproximarnos aún mas al trabajo real, debemos hacer que el
número de rectángulos tienda a infinito y que Δx → 0 por lo que para cada
rectángulo tendremos valores mas representativos de la fuerza.
De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza será:
W  lim
n
 F x
i
n   i 1
Se define la integral definida de F con respecto a x como:
n
lim
 F x  
n  i 1
i
xn
x1
F ( x)dx
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Cuyo significado es el siguiente:
En el límite cuando cada rectángulo se aproxima a cero, el área [F(x) Δx ]
de cada rectángulo se aproxima al valor real del área situada debajo de la
curva F(x) entre los límites x1 y xn, lo cual nos permite decir que
El valor de la integral F(x) entre los limites x1 y x2 es igual al área situada
debajo de la curva descrita por F(x) entre esos límites.
Por lo tanto, el trabajo efectuado por la fuerza F(x) que mueve al cuerpo
de la posición xi hasta la posición xf es:
xf
W   F ( x)dx
xi
o en forma vectorial
xf
W   F( x)  dx
xi
Trabajo y Energía para Fuerza variable
De igual forma que encontramos la relación entre el trabajo realizado por
una fuerza constante y la velocidad del cuerpo (energía cinética), así
mismo lo hacemos para una fuerza variable que dependa de la posición.
En aquella parte hicimos uso de las ecuaciones de cinemática ya que la
aceleración era constante, pero ahora, no se pueden usar debido a que la
fuerza aplicada es variable y en consecuencia también lo es la
aceleración.
Para salvar esta dificultad, realizamos un truco matemático (multiplicar y
dividir por la misma cantidad) expresando la aceleración de la siguiente
forma:
dv dv dx dx dv
dv
a


v
dt dt dx dt dx
dx
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Con ello, la ecuación para el trabajo la podemos expresar como:
xn
xn
x1
x1
W   F( x)dx   ma dx
Sustituyendo la expresión de la aceleración encontrada anteriormente y
recordando que en la posición inicial (xi ) el cuerpo tiene una velocidad
inicial (v0 ); y que en la posición final (xf ) tiene una velocidad final (v ),
tenemos que:
W 
xf
xi
v
dv
m(v ) dx  m  v dv
v0
dx
Del cálculo tenemos que la integral:
v n 1
 v dv  n  1
n
Luego entonces:
Trabajo y Energía para Fuerza variable
11 v
2 v
v
v
W  m  v dv  m
m
v0
11 v
2
v
0
v0
1
2
 m(v 2  v 0 )
2
1 2 1 2
W  mv  v0
2
2
W  K  K 0  K
Que es el Teorema del Trabajo y la Energía encontrado anteriormente
para una Fuerza constante
Trabajo y Energía para Fuerza variable (aplicada en cualquier
dirección)
La fuerza que actúa sobre un cuerpo puede variar tanto en magnitud
como en dirección por lo que el cuerpo se moverá en un plano o en el
espacio tridimensional describiendo trayectorias curvas.
Encontraremos el trabajo realizado por una fuerza variable que actúa
sobre un cuerpo que se mueve en el plano, pudiendo generalizarse el
resultado de igual forma para el espacio.
En la siguiente figura se representa la trayectoria que describe el cuerpo
y la fuerza F que actúa sobre él en varios puntos ( x , y ), así como el
ángulo  que forma la fuerza con respecto al vector desplazamiento Δ r
el cual es tangente a la trayectoria en esos puntos.
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Y + (m)
b ( x2 , y2 )
y2
Δ
r

y1

F
Δ
r

F
F
a ( x1 , y1 )
Δ
x1
r
x2
x +(m)
El trabajo realizado sobre el cuerpo por una de las fuerzas puede
calcularse a partir de:
W  F(x.y)  r (x.y)
Trabajo y Energía para Fuerza variable (aplicada en cualquier
dirección)
Donde la fuerza y el desplazamiento dependen de las coordenadas (x ,
y), la fuerza podemos descomponerla en sus componentes
rectangulares:


Una perpendicular al vector desplazamiento
Otra paralela o tangente a la trayectoria;
siendo esta última componente la que realiza trabajo.
El trabajo realizado por esta componente podemos considerarlo como
un elemento de trabajo que contribuye al trabajo total realizado sobre
el cuerpo para llevarlo desde la posición a hasta la posición b.
De esta forma, el elemento de trabajo correspondiente a un punto
sobre la trayectoria viene expresado por:
W  F(x.y)  r (x.y)  (Fcos )r
Trabajo y Energía para Fuerza variable (aplicada en cualquier
dirección)
El trabajo aproximado se encuentra sumando todos los estos pequeños
elementos de trabajo calculados para cada uno de los segmentos lineales
de Δ r. Cuando estos segmentos se van haciendo mas pequeños, los
incrementos pueden reemplazarse por los diferenciales dr y la suma por
una integral. Luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza para
llevar al cuerpo desde a hasta b será:
b
b
a
a
Wab   F(x.y)  dr(x.y)   Fcos dr
Como podemos observar, en la expresión anterior, F y cos  varían por lo
que no podemos realizar la integración hasta no conocer esta variación de
punto a punto sobre la trayectoria.
Por otro lado, sabemos que:
F ( x, y )  Fx iˆ  Fy ˆj
dr ( x, y)  dx iˆ  dy ˆj
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Por lo que el producto escalar entre ellos vine dado por:
F(x.y)  dr (x.y)  (Fx iˆ  Fy ˆj )  (dx iˆ  dy ˆj )
Desarrollando y haciendo uso del producto escalar entre vectores
unitarios, encontramos lo siguiente:
F(x.y)  dr (x.y)  Fx dx  Fy dy
Sustituyendo esta última expresión encontramos que:
b
Wab   (Fx dx  Fy dy)
a
La integral anterior es sobre todos los puntos de la trayectoria desde a
hasta b por eso se le conoce con el nombre de integral de línea.
Para encontrar la relación entre el trabajo realizado por la fuerza
variable y la velocidad del cuerpo, hacemos uso de la ecuación:
b
Wab   (F(x.y)  dr(x.y)
a
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Descomponemos la Fuerza en sus componentes tangencial Ft y
perpendicular F┴ o normal FN a la trayectoria como se muestra en la
siguiente figura:
Y + (m)
y2
F
Δ r
y1
x1
x2
x +(m)
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Expresando la segunda ley de Newton en términos de la componente
tangencial de la fuerza y la aceleración (la componente normal no realiza
trabajo) tenemos que:
dv
Ft  mat  m
dt
donde v es la velocidad lineal o tangencial del cuerpo, la cual viene
expresada como:
dr
vt 
dt
despejando
Luego entonces:
dr  vt dt
F(x.y)  dr (x.y)  ma t drt  ma t cos  dr  mat dr  m
dv
dr
dt
sustituyendo en la expresión para el trabajo tenemos que:
b
b
b
a
a
a
Wab   F  dr   ma  dr  
v dv
v
dv
ma t cos  drt   ma t dr  m 
dr  m 
(vt dt )  m  v dv
a
a dt
v0 dt
v0
b
b
Trabajo y Energía para Fuerza variable
Cuando el cuerpo se encuentra en el punto a, tiene asociada una
velocidad v = vi y cuando pasa por el punto b tiene una velocidad v = vf,
por lo que los límites de integración cambiaron en la expresión anterior
al cambiar las variables de integración, quedándonos:
v
Integrando tenemos que:
Wa b  m  v dv
v0
W a b 
1
2
2
m(v f  v 0 )
2
Wa b 
1
1
2
2
mv f  mv0
2
2
Wa b  K f  K 0  K
Por lo que el teorema del trabajo y la Energía se sigue cumpliendo, no
importa si la fuerza es constante o variable; si el movimiento es en una,
dos o tres dimensiones; o si la fuerza aplicada se encuentra en la
dirección de movimiento o no.
Potencia
En las secciones anteriores se analizó la parte de trabajo y energía
cinética. Para una fuerza constante, se calculo el trabajo realizado
para subir un cuerpo hasta una altura h con velocidad constante, ya sea
subiéndolo verticalmente o utilizando un plano inclinado con diferentes
ángulos de inclinación. Se encontró que:
 La fuerza aplicada depende del peso y del ángulo de inclinación.
P = mg sen 
 La distancia recorrida o longitud del plano depende de la altura a
la que se encuentre la parte superior y del ángulo de inclinación.
d = h ∕ sen 
 Finalmente, que el trabajo realizado es independiente del ángulo
de inclinación del plano.
WP = mg h
P
P
h


Potencia
El trabajo realizado para subir un objeto hasta una cierta altura
puede efectuarse en un segundo, un minuto, un día, una semana, o en
el tiempo que se desee. Sin embargo, el trabajo seguirá siendo el
mismo. Lo que puede cambiar es la Potencia ( P ) con que se realiza el
trabajo. Este nuevo concepto se define como: el trabajo realizado
por una fuerza aplicada por el tiempo que tarda en efectuarse, es
decir, la rapidez con que se efectúa.
Si una cantidad de trabajo ΔW se realiza en un intervalo de tiempo
Δt, la potencia media P se define como:

P

W F   r

t
t
Es una cantidad escalar cuyas unidades son el Watt que se define
como:
1 Watt 
1 Joule
s
Si el trabajo realizado en una unidad de tiempo no es constante (por
ejemplo cuando lo produce una fuerza variable), en este caso la
potencia instantánea P se define como el límite de este cociente
cuando Δt → 0


W dW F  d r


t 0 t
dt
dt
P  lim
Potencia
En nuestra vida cotidiana es común referirnos a la potencia que
desarrolla un motor en unidades del sistema británico: caballos de
fuerza o “horse power” abreviado hp. Su equivalencia en el Sistema
Internacional es:
1 hp = 746 watts
La potencia también puede ser expresada como:
P
W Fd

 Fv
t
t
para una fuerza constante que mueve el cuerpo (con velocidad
también constante) en la dirección de movimiento.
Como sabemos, el trabajo tiene unidades de energía (Joule), con la
definición de potencia y a partir de la ecuación que la define, al
despejar el trabajo se encuentra un nuevo tipo de unidad.
W  Pt
el Watt por segundo. que en unidades derivadas es mejor conocido
como kilowatt hora (kWh).
Potencia
“Un kilowatt hora es el trabajo realizado por un agente que desarrolla
una potencia constante de 1000 watts”
Es decir, en un segundo el agente desarrolla una potencia de 1000
Watts, luego entonces, en una hora el trabajo realizado es:
1 kWh = (3600 s) (1000 Watts) = 3.6 x 106 J = 3.6 MJ
El ejemplo mas notable del uso de esta unidad, lo encontramos en los
recibos de luz o de consumo de energía eléctrica.
Fuerzas conservativas y no conservativas
En dinámica se hizo una clasificación de fuerzas dependiendo de su
naturaleza (por contacto o interacción a distancia).
Las fuerzas conservativas o no conservativas no son un nuevo tipo de
fuerzas; son referidas mas bien a sistemas donde interaccionan cuerpos
que disipan o no energía .
El trabajo realizado por estas fuerzas es:
Wtotal = Wc + WD
Un ejemplo de fuerza no conservativa o disipativa es la fricción.
Al lanzar un cuerpo con una velocidad inicial sobre una superficie áspera,
vemos que el cuerpo se detiene después de recorrer una distancia.
El trabajo realizado por el piso para detenerlo es:
a) Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética
Wfk = ΔK = K – K0 = ½mv2 - ½mv02 = - ½mv02
Fuerzas conservativas y no conservativas
b) Aplicando trabajo, dinámica y cinemática
Wfk = fk •Δx
Wfk = fk Δx cos 
Donde por la segunda ley, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la
fricción y por consecuencia:
-fk = max
El desplazamiento de acuerdo a cinemática, en función de velocidades y
aceleración es:
Δx = (v2 – v02) ∕2a
Sustituyendo:
Wfk = - ma Δx cos 1800
Wfk = - ma Δx (-1)
Wfk = ma (v2 – v02) ∕2a
Wfk = - ½ mv02
Fuerzas conservativas y no conservativas
Donde el trabajo encontrado es el máximo trabajo realizado por el
cuerpo hasta que se detiene. A medida que éste avanza, va realizando
trabajo (disipando energía en forma de calor), es decir, depende de la
trayectoria, a mayor distancia recorrida mayor será el trabajo
realizado, hasta un máximo igual a la energía cinética que se le
proporcionó.
En el caso de fuerzas conservativas, se tienen la fuerza gravitacional, la
fuerza eléctromagnética y la fuerza elástica.
En estos casos, se encuentra que el trabajo realizado:
 Es independiente de la trayectoria.
 Se puede recuperar en su totalidad.
 Depende de la posición inicial y de la final.
Los cuales se analizan en las siguientes secciones
Energía Potencial
En las secciones anteriores se analizó la parte de trabajo y energía
cinética. Uno de los casos analizados fue subir un cuerpo hasta una
determinada altura moviéndolo con velocidad constante, ya sea
subiéndolo verticalmente o utilizando un plano inclinado con diferentes
ángulos de inclinación. Se encontró que el trabajo realizado por la
persona (o agente externo) fue
W = mgh
Que depende exclusivamente del peso del cuerpo y de la altura a la que
se encuentra con respecto a un cierto nivel o posición inicial.
A este término se le denomina Energía Potencial (U):
Energía por que se realizó un trabajo para subirlo y,
Potencial por que adquiere una propiedad que no poseía antes: la
capacidad de poder realizar un trabajo.
Para ver que tanto trabajo puede realizar, analicemos nuevamente un
caso que nos es familiar: un cuerpo que se desliza sobre un plano
inclinado liso partiendo del reposo.
Energía Potencial
v0 = 0
Sen  = h ∕ x
v=?
h

N
Wx
W

mg
y
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la
fuerza normal y el peso. El cuerpo se acelera debido
a la componente del peso en la dirección del
movimiento. Esto es:
Fx = max
wx = max
mg sen  = max
ax = g sen 
La velocidad con la que llega a la parte inferior del
plano después de recorrer una distancia Δx = h ∕ sen
 es:
v2 – v02 = 2aΔx
v2 = 2gsen  (h ∕ sen  )
v2 = 2gh
Energía Potencial
El cambio de energía cinética es:
K – K0 = ½mv2 - ½mv02
ΔK = ½m(2gh)
Δ K = mgh
Por el teorema del trabajo y la energía cinética:
ΔK=W
W = mgh
Es decir, el cuerpo puede realizar un trabajo igual al que se realizó para
subirlo hasta la altura h.
Un cuerpo puede tener diferentes valores de energía potencial, debido a
que ésta, está referida a un cierto nivel (o sistema) de referencia.
Pongamos el siguiente ejemplo: A un profesor que imparte clases en el
tercer piso de un edificio, inadvertidamente se le cae el borrador. Si
desea colocarlo nuevamente sobre el pizarrón, debe realizar un trabajo.
Energía Potencial
W = mgh2
Donde h2 = y2 – y1 es la altura del piso a la parte inferior del pizarrón.
Si desea colocarlo en la parte superior del pizarrón, debe realizar un
trabajo adicional:
W = mgh3
Donde h3 = y3 – y2 es el ancho del pizarrón.
La energía potencial con respecto al piso, es
U = mg (h2 + h3)
Pero con respecto a la parte inferior del pizarrón es:
U = mgh3
Se puede decir que la energía potencial del borrador es cero cuando
está en el suelo, pero si recordamos que nos encontramos en el tercer
piso, el borrador continúa teniendo energía potencial, debido a que
realizamos trabajo para llevarlo a ese tercer piso, esto es:
U = mgh1
Donde h1 = y1 – y0
Energía Potencial
Siendo y0 la posición en el suelo del primer piso y y1 la posición en el piso
del tercer piso.
Energía que puede ser liberada si dejamos caer el borrador desde el
tercer piso y que puede realizar un trabajo (producir un sonido al
golpear el suelo, abollar o clavar un objeto, etc.).
En todos los casos, se ha analizado el trabajo realizado por el profesor,
es decir, por la fuerza que éste le aplica al borrador. Sin embargo,
también actúa la Fuerza Gravitacional.
El trabajo realizado por dicha fuerza, es el negativo del realizado por el
profesor, en virtud de que la dirección de movimiento y la fuerza
gravitacional son opuestas ( 1800).
WG = -WP
Donde WG es el trabajo realizado por la Fuerza Gravitacional y WP es el
trabajo realizado por el profesor. En término de energía potencial
gravitacional
WP = ΔU = mgh = mg (y2- y1)
WG = - ΔU
Energía Potencial Elástica
Cuando se abordó el trabajo realizado por una fuerza variable, se
consideró a un cuerpo elástico, los cuales se definen como aquéllos que
recobra su tamaño y forma original cuando deja de actuar la fuerza
deformante.
Robert Hooke encontró que cuando se aplica una fuerza Fa sobre un
resorte, se produce en él un alargamiento x que es directamente
proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada.
Fa = kx
Donde k es una constante de proporcionalidad que varía de acuerdo al
tipo de material (en resortes rígidos k es grande, en resortes flexibles k
es pequeño). Las unidades son N / m.
Por el contrario y de acuerdo a la tercera Ley de Newton, el resorte
ejerce una fuerza (FR) de igual magnitud pero en sentido contrario a la
fuerza aplicada
FR = -kx
Donde FR es una fuerza restitutiva que se opone al movimiento
Energía Potencial Elástica
Ya sea para alargar o comprimir un resorte, se debe aplicar una fuerza
variable.
El trabajo realizado por dicha fuerza es:
W x0  x  
x
x0  0
Fx dx  
x
x0  0
kx dx kx2 0x  kx2
Este trabajo realizado por el agente externo sobre el resorte, queda
almacenado en forma de Energía Potencial Elástica, que se libera al
momento de soltar el resorte.
Ver video
Energía mecánica de sistemas conservativos
Al lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial,
éste adquiere una energía cinética:
K0 = ½mv02
Al ir ascendiendo y en ausencia de fuerzas disipativas, va perdiendo
velocidad (energía cinética) pero a la vez va ganando altura (energía
potencial).
ΔU = mg (y – y0 )
En el punto de máxima altura, su velocidad es cero y ha adquirido su
máxima energía potencial con respecto al lugar de lanzamiento.
El trabajo realizado para lanzarlo, de acuerdo al teorema del trabajo y
la energía cinética es
W = ΔK = K – K0 = ½mv2 - ½mv02
Por otro lado, para poder subir el cuerpo hasta esa altura, se debió
realizar un trabajo en contra de la fuerza gravitacional
W = - ΔU = - (U – U0)
Igualando ambas expresiones para el trabajo
ΔK = -ΔU
ΔK + ΔU = 0
Energía mecánica de sistemas conservativos
(K – K0) + (U – U0) = 0
½mv2 - ½mv02 + mg y – mgy0 = 0
½mv2 + mg y = ½mv02 + mgy0
Se define la energía mecánica total (E) de un sistema de fuerzas
conservativas como la suma de las energía cinética y la potencial en
cualquier momento.
E=K+U
Siendo E una constante. Es decir:
Ef = E0
Lo cual es el principio de la conservación de la energía mecánica para
sistemas conservativos:
“Si sobre un sistema actúan solo fuerzas conservativas que están
efectuando trabajo, la energía mecánica total del sistema no crece ni
disminuye, permanece constante, es decir, se conserva”
Trabajo hecho por fuerzas no conservativas
Cuando arrojamos un cuerpo sobre una superficie horizontal, éste se
detiene. La energía cinética inicial se convirtió en otra forma de energía
(térmica). El trabajo realizado por el piso para detenerlo es:
Wfk = fk •Δx
Wfk = fk Δx cos 
Donde por la segunda ley, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo en la
dirección de movimiento es la fricción y por consecuencia:
-fk = max
El desplazamiento de acuerdo a cinemática y en función de velocidades y
aceleración es:
Δx = (v2 – v02) ∕2a
Sustituyendo:
Wfk = - ma Δx cos 1800
Wfk = - ma Δx (-1)
Wfk = ma (v2 – v02) ∕2a
Wfk = - ½ mv02
Ley de la conservación de la energía
En la vida diaria generalmente tenemos disipación de energía por fricción.
En un sistema la energía debe conservarse, es decir, que en cualquier
proceso la energía inicial debe ser igual a la final.
En el caso de sistemas disipativos, la ley de la conservación de la energía
dice que:
“La energía (cinética y potencial) inicial de un sistema es igual a la energía
(cinética y potencial) final mas las pérdidas de energía”.
K0 + U0 = K + U + Q
½mv02 + mgy0 = ½mv2 + mgy + Wfk