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Física I
Apuntes complementarios
al libro de texto
TRABAJO
y
ENERGÍA MECÁNICA
Autor : Dr. Jorge O. Ratto
• Estudiaremos el trabajo mecánico de la siguiente manera :
F
constante
F
variable
F
variable
unidimensional
Tipo de
movimiento
bidimensional
Movimiento unidimensional ,
CASO fuerza constante.
F
F
θ
θ
∆x
W = Fx ∆x = F
∆x cos ( θ ) = F • ∆x
F • ∆x expresa el producto escalar entre estos vectores
Comentarios
•
El cos ( θ ) proporciona signo al trabajo :
-
+
v
-
+
En particular, si F ⊥ dirección
W=0
del movimiento
•
Unidades :
Fuerza
desplazamiento
Trabajo
dina
cm
ERGIO
newton
m
JULIO
1 Julio = 1 N . 1 m = 105 dinas . 102 cm = 107 ergios
• Interpretación “ geométrica ” del trabajo :
Fx
W = Fx ∆x
x1
∆x
x2
Movimiento unidimensional ,
CASO fuerza variable .
• Muchas fuerzas varían con la posición . Ej : la fuerza de un resorte .
• Una fuerza variable puede representarse como una serie de
fuerzas constantes en pequeñísimos intervalos ∆xi .
Como el trabajo es un escalar ,el trabajo total será simplemente
la suma de cada trabajo diferencial.
W = lím
∆xi →0
i
Fxi ∆xi =
xf
Fx d x
x0
• El caso de una fuerza constante se puede ahora estudiar como un
caso particular .Si la fuerza es constante :
W=
xf
Fx d x
x0
= Fx
xf
x0
d x = Fx ∆ x
Fx
xi
∆x
xF
• El trabajo total estará representado por el área bajo la curva,
comprendida entre los puntos : xi
y xf .
• Ejemplo de trabajo de una fuerza
constante : fuerza PESO.
y
mg
yf
F = −mg = −mg ĵ
•
h
yi
W=
•
xf
xi
{
x
} {(
f
f
F. d r = F . d r = F . ∆ r
i
i
) (
)}
W= −mg ĵ . xf î + yf ĵ − xi î + yi ĵ
W = − m g ( y f − yi ) = − m g h
No depende
de la trayectoria !
• Ejemplo de trabajo de una fuerza variable : fuerza de un resorte.
• En primer lugar, analizaremos cómo es la fuerza que ejerce un resorte,
y luego hallaremos la expresión del trabajo que puede hacer.
•
x
L : longitud natural
del resorte
x=L
Fx
•
∆x
x
Fx
•
x
∆x
La dirección de la
Fuerza que ejerce
el resorte , siempre
es contraria a la
dirección del
desplazamiento ∆x.
•
Experimentalmente se encuentra que , para desplazamientos
relativamente moderados , vale :
Fx = − k ∆ x = − k ( x − L )
Ley de Hooke
Comentarios
•
La constante positiva : k ( denominada : constante del resorte )
depende de las características del mismo.
[k ]
•
newton
=
metro
,
dina
centímetro
Si el origen de coordenadas se ubica en x = L , queda :
Fx = − k x
Fx = − k x
F( x )
W
•
x
Expresión para el trabajo :
f
k 2
2
W = ( −k x i ).( d x i ) = − ( x f − xi )
2
i
No depende
de la trayectoria !
Movimiento bidimensional ,
CASO fuerza variable .
f
ds
φ
• En general Wtotal = F • d s
será :
F
i
d W = F • d s = ( Fn n + Ft t ) • ( ds t ) = Ft d s
v
Ft
la componente normal de la fuerza
no realiza trabajo .
F
Fn
•
f
Luego :
Wtotal = Ft d s
i
P O T E N C I A
•
Es útil definir una magnitud que tenga en cuenta la rapidez con
que se ejerce el trabajo.
Pot
•
dW
≡
dt
F• ds
Pot =
dt
Unidades :
[ Pot
[
W ]
]=
=
[t ]
Pot
joule
= watt
s
1 kw = 1000 watt
=
F •v
( o : vatio )
1 h p = 746 watt
EJEMPLO El motor recoge el cable de manera tal que en el punto A
su aceleración vale 0,6 m s 2 hacia la derecha. En el instante indicado en
la figura, es v A = 0 , 8 m / s también hacia la derecha.
¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor ?
(despreciar la masa del cable y la de la polea , y considerar m = 100 kg ).
{
l1
l3
y
l2
m
x
A
•
•
g
•
Es :
Pot = F
•
v =T
•
vA = T vA = T 0 ,8 m / s ( 1 )
debemos calcular la tensión T en el cable .
•
Sobre la masa m :
F y = m a cuerpo
Despejando :
•
Vínculo :
•
m g − 2 T = m a cuerpo
m
T =
( g − a cuerpo )
2
(2)
L = l1 + y + l2 + y + l3 + x = cte
dL
= 0 = 2 vcuerpo + v A
2 vcuerpo = − v A
dt
aA
(3)
acuerpo = −
= − 0, 3 m/ s2
2
Reemplazando ( 3 ) en ( 2 ) y luego en ( 1 ) , resulta :
Pot = ( 515 N ) ( 0 , 8 m / s ) = 412 watt
TEOREMA TRABAJO – ENERGÍA CINÉTICA
•
Vimos que :
f
Wtotal = Ft d s
i
dv
• De acuerdo a la 2da. Ley de Newton : Ft = m
dt
dv dv ds dv
• Ahora :
v
=
=
dt d s dt d s
•
f
Luego :
f
f
dv
Wtotal = Ft d s = m v d s = m v d v
ds
i
i
i
Wtotal
1
1
2
2
= m v f − m vi
2
2
Comentarios
•
Denominamos a :
•
1
2
K ≡ mv
2
[ K ] = [W ] =
energía cinética
Joule o ergios
•
Este teorema nos dice que :
el resultado del trabajo de la fuerza resultante sobre el cuerpo es
producir un cambio en su energía cinética.
Wtotal
Si W
1
1
2
= m v f − m vi2 = ∆ K
2
2
>0
Kf
> Ki
<0
Kf
< Ki
=0
K f = K i = cte
E
•
N
E
R
G Í
A
Diremos que un sistema tiene ENERGÍA , si el mismo tiene
capacidad para realizar TRABAJO .
•
En Física I sólo estudiaremos el caso de la energía mecánica
( también podría ser : eléctrica, magnética, molecular,nuclear , etc)
•
¿ De dónde puede provenir la energía mecánica de un sistema ?
de su movimiento
se denomina : energía cinética
de la configuración del sistema
se denomina : energía potencial
ENERGÍA POTENCIAL MECÁNICA
•
En ciertos casos el trabajo realizado por las fuerzas externas sobre
un sistema no incrementa su energía cinética sino que
almacena energía .
la fuerza actuante es : conservativa
• E n dichos casos se dice que
y
el trabajo almacenado se denomina :
energía potencial
• En mecánica las fuerzas conservativas son :
peso
energía potencial gravitatoria
fuerza en un resorte
Ug
energía potencial elástica
Ue
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
g
g
¿tiene energía
potencial?
h
entonces este era el
trabajo almacenado!
•
Si la dejamos caer , realizará el siguiente trabajo :
W ↓ = − m g ( y f − yi ) = − m g ( 0 − h ) = m g h
Ug = m g h
ENERGÍA
POTENCIAL
x
ELÁSTICA
0
¿tiene energía
potencial?
•
•
Si soltamos al resorte, realizará el siguiente trabajo :
entonces este era el
trabajo almacenado!
k 2
k
k 2
2
2
W = − ( x f − xi ) =− ( 0− x ) = x
2
2
2
Ue
k 2
=
x
2
ENERGÍA
•
MECÁNICA TOTAL
Los sistemas pueden tener distintos tipos de energía.
Definimos entonces energía mecánica total como :
1
k 2
2
E ≡ K + U g + Ue = m v + m g h + x
2
2
LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
• Uno de los resultados experimentales más importantes de la Física es
la siguiente Ley :
La energía total del universo es constante .
Esto significa que la energía puede ser transmitida de una región a otra
o convertirse de una forma en otra, pero no puede ser creada o destruida .
• Dijimos que,cuando una fuerza conservativa realiza trabajo sobre el
sistema físico estudiado, éste lo “almacena ” como energía potencial.
•
¿ Qué ocurre cuando el sistema intercambia trabajo
( es decir, entrega o recibe )
con su medio exterior a través de fuerzas no conservativas ?
• De acuerdo a la ley de conservación de la energía podemos escribir
para el sistema :
E
f
al final
o sinó :
= E i + W NC
al inicio
intercambio
de energía
WNC = Ef −Ei = ∆ E
puede ser
positivo
o negativo
F
v
m
En este ejemplo , será :
WNC
>
0
v
f
m
En este ejemplo , será :
WNC
<
0
TEOREMA de la CONSERVACIÓN
de la ENERGÍA MECÁNICA
•
Si :
WNC = 0
Ei = E f = con st a n t e
Comentario
• Obsérvese que pueden existir fuerzas no conservativas aplicadas
al sistema, pero a pesar de ello conservarse constante la energía
mecánica total del mismo .
Para que : E = K + U g + Ue permanezca constante , se requiere
que las fuerzas no conservativas no realicen trabajo .