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Semejanza de triángulos
¿Cómo podemos calcular la altura del árbol?
¿Son suficientes los datos que tenemos?
La altura de Sara es
1,5 metros
El problema se puede resolver usando Semejanza de
Triángulos
Comencemos por
entender qué es la
Semejanza de
Triángulos
Definición:
• Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos
son correspondientemente congruentes.
A
M
N
B
P
mA = 70
mB = 65
mC = 45
C
 ABC  MNP
mM = 70
mN = 65
mP = 45
NOTA IMPORTANTE:
Es importante utilizar adecuadamente la notación de
semejanza para dos triángulos.
Al decir que  ABC  MNP, implícitamente se está
diciendo que el ángulo BAC es congruente con el
ángulo NMP. Asimismo el ángulo ABC lo es con MNP, y
el ángulo ACB es congruente con el ángulo MPN.
Para identificar si dos triángulos son semejantes se utilizan 3
postulados o criterios de semejanza.
Veamos:
Criterios de semejanza
• Primer criterio:
• AA
• Dos triángulos son
semejantes si dos
ángulos de uno de
ellos son congruentes
a dos ángulos del
otro.
C
A
B
A’
C’
B’
AB
AC
BC


K
A´B´ A´C´ B´C´
Criterios de semejanza
• Segundo criterio:
• LLL
• Dos triángulos son
semejantes si los
lados de uno de ellos
son proporcionales
a los lados
homólogos del otro.
C
A
B
A’
C’
B’
AB
AC
BC


K
A´B´ A´C´ B´C´
Criterios de semejanza
• Tercer criterio:
• LAL
• Dos triángulos son
semejantes si dos
lados de uno de ellos
son proporcionales a
dos lados del otro y
los ángulos
comprendidos entre
dichos lados son
congruentes.
C
A
B
A
’
C’
B’
AB
AC
BC


K
A´B´ A´C´ B´C´
También es útil el siguiente teorema:
Teorema fundamental de semejanza de triángulos
• Al trazar una paralela
a un lado de un
triángulo, se forma un
triángulo semejante al
triángulo inicial.
A
E
F
B
Se deja como ejercicio para el alumno la demostración
de este teorema
C
¿Pero ahora cómo nos puede ayudar la semejanza de
triángulos a resolver nuestro problema inicial?
Se pueden sacar muchas conclusiones cuando se tienen
dos triángulos semejantes.
Veamos:
En dos triángulos semejantes se cumple que sus lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos son los opuestos a ángulos congruentes.
A la razón de uno de los lados con
su lado homólogo se le llama
constante de proporcionalidad k.
En este caso k = 1/2
Lo interesante es que esta proporción se mantiene también
para las alturas y las medianas, siempre correspondientes
a los lados homólogos de los triángulos semejantes.
La razón de los perímetros de ambos
triángulos también es igual a la
constante de proporcionalidad k.
Finalmente, la razón de las áreas de los
triángulos semejantes, es igual a la
constante de proporcionalidad elevada al
cuadrado; es decir a k2.
¿Podemos ahora resolver el problema?
La altura de Sara es
1,5 metros
FIN