Download MODULO IV GEOMETRIA CICLO GRADO NOVENO

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I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE GEOMETRÍA
CICLO IV
GRADO NOVENO
2
TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
2.
CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN
SEGMENTOS PROPORCIONALES
4
5
UNIDAD 2
1.
2.
3.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORAS
6
6
7
UNIDAD 3
1.
2.
3.
DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO
DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
10
11
13
UNIDAD 4
1.
2.
3.
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS
ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS
CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
BIBLIOGRAFÍA
15
17
20
21
23
3
UNIDAD 1
1. CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN
numerador se le suma el denominador de la fracción
La razón como concepto geométrico viene
definido así: razón de dos números es el cociente
indicado del primero entre el segundo.
- es importante el orden en que se dicen o escriben
los términos.
- se indica en forma de fracción.
- los dos números se llaman términos de la razón.
- el primer término se llama antecedente y el
segundo termino consecuente.
6. Una proporción puede convertirse en una
proporción equivalente si en cada fracción al
numerador se le resta el denominador de la fracción
7. Si tres términos de una proporción son iguales a
tres términos de otra proporción el cuarto término de
la primera es igual al cuarto término de la segunda
8. En una serie de razones (fracciones) iguales, si se
suman respectivamente los numeradores y
denominadores de dos o más de estas razones, la
nueva razón obtenida es igual a cualquiera de las
razones inicialmente iguales
¿Cuándo son dos razones iguales?
Dos razones son iguales cuando el producto de
medios es igual al producto de extremos.
Ejemplo
Ejemplo: la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o
como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La
razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la
definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y
8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa
como 12:3::8:2, que se lee “12 es a 3 como 8 es a
2”.
18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual
a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es
3, su antecedente 18, y su consecuente 6.
La proporción es la igualdad de dos razones. Una
proporción tiene por tanto cuatro términos
ordenados:
- los cuatro números se llaman términos de la
proporción
- el primero y el último se llama extremos y el
segundo y el tercero se llaman medios.
EJERCICIOS…..
- Supongamos que 420 galones de agua fluyen por
una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de
galones a minutos en los términos más simples.
Propiedades de las proporciones.
1 En cualquier proporción el producto de los medios
es
igual
al
producto
de
los
extremos.
- Encuentre los extremos y los medios en la siguiente
proporción:
2. si el producto de dos números es igual al producto
de otros dos, cualquier par puede ocupar los medios
de una proporción y el otro par ocupará los extremos
- Determine si el par de razones forman una
proporción:
3. Una proporción puede convertirse en una
proporción equivalente si se invierten el numerador y
el denominador de cada una de las fracciones.
- Resuelva la proporción:
4. Una proporción puede convertirse en una
proporción equivalente si se intercambian los medios
o
se
intercambian
los
extremos.
- Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina.
¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720
millas?
5. Una proporción puede convertirse en una
proporción equivalente si en cada fracción al
- Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800
de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra
propiedad cuyo valor es de $120,000?
4
2. SEGMENTOS PROPORCIONALES
LES
Un segmento es la porción de una recta limitada por dos puntos diferentes de la misma.
PROPORCIONALIDAD. Uno de los teoremas
teorema más importantes del trazado geométrico es el llamado Teorema de
Thales, que dice lo siguiente: “Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los
segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra
recta”
Vamos a verlo con un dibujo:
Las rectas secantes son r y s, que se cortan en P. Otras dos rectas t y u, que
son paralelas, cortan a r y s en los puntos A, A’ y B, B’ respectivamente.
Thales nos dice entonces que se cumple esta ley de proporcionalidad:
5
UNIDAD 2
1. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
y la congruencia de todos los ángulos de uno con
todos los ángulos correspondientes del otro.
La congruencia de
triángulos estudia los
casos en que dos o
más triángulos presen
tan ángulos y
lados
de igual medida o
congruentes.
Condiciones
congruencia
Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres
lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede
demostrarse la congruencia de dos triángulos si se
sabe que algunas de sus partes correspondientes
son homólogas.
de
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos
triángulos para que sean congruentes se denominan
criterios de congruencia, los cuales son:
Para que se dé la
congruencia de dos o más triángulos, se requiere
que sus lados respectivos sean congruentes, es
decir que tengan la misma medida. Esta condición
implica que los ángulos respectivos también tienen la
misma medida o son congruentes.
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados
de uno son respectivamente congruentes con los
del otro, entonces los triángulos son
congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo,
y éste, son congruentes con dos lados y el
ángulo comprendido por estos de otro triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos
son respectivamente congruentes con los
mismos de otro triángulo, entonces los triángulos
son congruentes.
Las figuras congruentes son aquellas que tienen la
misma forma y el mismo tamaño. Las partes
coincidentes de las figuras congruentes se
llaman homólogas o correspondientes.
Para corroborar que dos triángulos son congruentes
se debe asegurar la congruencia de todos los lados
de uno con todos los lados correspondientes del otro
2. POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando los ángulos el primero son respectivamente iguales a los
ángulos del segundo y cuando los lados del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.
Dos triángulos son semejantes si:
-
Tienen dos ángulos iguales (A-A).
Tienen los lados proporcionales (L-L-L).
tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual (L-A-L).
EJERCICIOS…………..
1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden
12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.
2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la
proporcionalidad de sus lados.
6
3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el
lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.
4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y
30, determina los lados del segundo.
3. TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORAS
Teoremas de proporcionalidad de segmentos (Teorema de Thales)
Si tenemos dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al
trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s ,
determinarán en esta otros dos segmentos , proporcionales
proporcionales a los primeros, o sea que se verifica: Si dos rectas de
un plano son cortadas por varias paralelas , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus
homólogos de la otra , es decir , la razón entre un segmento y su homólogo es con
constante.
stante.
Teorema de la bisectriz. El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de
la geometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.
Tales O lo que es equivalente:
Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción:
En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado,
BA:AC = BD:DC
7
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
2
2
2
cuadrados de los catetos. a = b + c
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él.
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
2
2
Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo se sigue la siguiente fórmula b + c = a
2
EJERCICIOS……….
Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta
Calcula AB en la figura adjunta
Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo
sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del
árbol.
Calcula la hipotenusa en el triángulo de la figura
8
Calcula el cateto de C en el triángulo de la figura
Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6,6 cm y 8,8 cm
Calcula la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m, y el otro cateto 16 m
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UNIDAD 3
1. DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Se
define:
Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.
Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la
consecante es 1 entre el seno
Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.
Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.
De las definiciones anteriores se deduce que:
EJERCICIOS…………
Dado el anterior triángulo rectángulo, se sabe que los
catetos miden:
a=5
b=8
Calcula la tangente del ángulo A
Se sabe que los catetos miden:
a=3
b=4
Calcula el seno del ángulo A
Se sabe que los catetos miden:
a=3
b=8
Calcula la cosecante del ángulo A
Se sabe que los catetos miden:
a=7
b=8
Calcula la secante del ángulo A
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2. GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO
Seno de un ángulo
El punto P, en la figura, se desplaza sobre la circunferencia centrada en el origen y cuyo radio vale 1. Al ángulo
de giro lo llamamos α. A la ordenada del punto P la llamaremos seno de α. y se representa por: sen α
Actividad
Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º
ángulo
seno
La función seno
Actividad
Representa la función senα. En el eje de abcisas sitúa los valores del ángulo en grados, en intervalos de 30º
desde 0º hasta 360º.
La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abcisas
aparece la medida del ángulo en radianes.
•
Es la gráfica de una función continua y definida en
R.
• Los valores del seno se repiten cada 2π radianes
(cada 360º). Este valor se llama periodo de la función
• Esta gráfica se llama sinusoide.
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Coseno de un ángulo
Ahora en la siguiente figura observaremos la abcisa del punto P. La
llamaremos coseno del ángulo α.. y se representa por: cos α
Actividad
Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:
ángulo
coseno
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º
La función coseno
Actividad
Ahora representa la función cos α,, en el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en grados, en
intervalos de 30º desde 0 hasta 360º.
La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de
abscisas está la medida del ángulo en radianes.
• También su domino es todo el conjunto R y se trata de una
función continua.
• Los valores del coseno también se repiten cada 2π
2 radianes
(cada 360º).
•
Esta gráfica se llama cosinusoide..
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3. DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
En realidad la definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una
distancia fija de un centro".
Radio y diámetro
El radio es la distancia del centro al borde.
El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el
centro y termina en el otro lado.
Así que el diámetro es el doble del radio:
Diámetro = 2 × Radio
Longitud de la circunferencia
La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo.
Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea:
Circunferencia = π × Diámetro
Y estas fórmulas también:
Circunferencia = 2 × π × Radio
Circunferencia/Diámetro = π
Área del círculo
El área del círculo es π por el cuadrado del radio,
se escribe así:
2
A=π×r
O, en términos del diámetro:
2
A = (π/4) × D
Es fácil acordarse si piensas en el área del
cuadrado en el que cabe el círculo.
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Nombres
Los círculos son objetos conocidos desde hace miles de años así que hay muchos nombres especiales.
Nadie quiere decir "la línea que empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro
lado" cuando vale con decir "diámetro".
Aquí tienes los nombres especiales más comunes:
Líneas
Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro se
llama cuerda.
Si la línea que pasa por el centro se llama diámetro.
Si una línea "sólo toca" la circunferencia al pasar se llama
tangente.
Y una parte de una circunferencia se llama arco.
Trozos
Hay dos tipos importantes de "trozos" de un círculo
Un trozo "de pizza" se llama sector.
Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.
Sectores comunes
El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:
Un cuarto de círculo se llama cuadrante.
Medio círculo se llama semicírculo.
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UNIDAD 4
1. ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS
Consideramos primero el área de un polígono regular de n lados.
Teorema 24.2.1. El área de un polígono regular de n lados es el semiperímetro por la apotema.
Demostración: Sabemos que todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles
congruentes y de vértices en el centro O. El área del polígono regular será la suma de las áreas de los triángulos
isósceles.
El área del triángulo isósceles y el área del polígono es:
AB iOH
2
1


= n  ℓ n an 
2


Área( polígono ) = n( AOB ) = n
=
n iℓ n ian
2
pero n iℓ n es el perímetro (2 p ) del polígono. Por tan to :
Área ( polígono ) =
2 pian
= pian
2
Teorema 24.2.2. El área de un círculo de radio r es el producto del número irracional π y el cuadrado del radio.
Un círculo no puede descomponerse en triángulos isósceles congruentes como lo hicimos con los polígonos
regulares, pero puede dividirse en sectores circulares congruentes suficientemente pequeños y considerados
aproximadamente iguales a triángulos isósceles. Para lograr lo anterior basta dividir la circunferencia en un
número muy grande de arcos congruentes y trazar los segmentos radiales por sus puntos de división.
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Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro arcos congruentes y el
círculo en cuatro sectores circulares congruentes de ángulo central 90°. Si a continuación trazamos la s bisectrices
de estos ángulos rectos, obtenemos en la circunferencia ocho arcos congruentes y en el círculo ocho sectores
circulares congruentes de ángulo central 45°; si co ntinuamos en forma similar, obtenemos la circunferencia
dividida en 16, 32, 64, 128, 256,.... arcos congruentes y el círculo en el mismo número de sectores circulares
congruentes.
Si imaginamos la circunferencia dividida en un número par muy grande de arcos
congruentes y al círculo como la unión de igual número de sectores circulares
congruentes, y disponemos estos sectores como lo muestra la siguiente figura,
obtendríamos una figura muy similar a un paralelogramo, de altura igual al radio
y de base igual a la longitud de la semicircunferencia.
Teorema 24.2.3. El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la longitud de su arco. Recordemos
que un sector circular es la región del círculo limitada por un ángulo central.
Consideremos el círculo dividido en 360 sectores circulares congruentes de ángulo central 1º. Entonces el área
que corresponde a cada uno de estos sectores es:
Área del sector de 1º =
πr2
360º
θ.
Si el ángulo central que corresponde a un sector circular es
Área del sector circular de
θ0 =
πr2
360º
θ
16
θ 0 , entonces su área es:
El área del sector circular puede expresarse como:
( )
0 AB =
πr
360
θ ir =
º
RESUELVA
( ) ir = r θ .
long AB
2
2
2
2
1. Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm , la base x + 3 y la altura x + 1.
2
2. En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm .
3. En un rombo encuentre:
2
a) Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cm
2
b) El lado, si el área es 54 m y las diagonales son entre sí como 4 : 3.
2
c) El lado, si el área es 100 m y una diagonal es el doble de la otra.
2
d) El lado, si el área es 24 m y una diagonal mide 8 m.
e) El lado, si el área es 6 m2 y una diagonal es cuatro veces la otra.
2. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen.
Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por
definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por
P ejemplo, en la
3
figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm .
3
Volumen del cubo unidad = 1 cm
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En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del
unidad
cubo Unidad
de
asociada
Volumen
Abreviatura
3
1 Milímetro
Milímetro cúbico
mm
1 Centímetro
Centímetro cúbico
cm
1 Decímetro
Decímetro cúbico
dm
1 Metro
Metro cúbico
m3
1 Decámetro
Decámetro cúbico
Dm
1 Hectómetro
Hectómetro cúbico
Hm
1 Kilómetro
Kilómetro cúbico
Km
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el
centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes
obtenidos a partir de él estarán en centímetros
cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo
unidad tiene otra unidad de volumen.
3
3
3
3
3
3
El volumen a · a · a = a de un cubo se puede
también definir como el producto del área de la cara
basal a · a por la altura a, es decir:
Medición del volumen de algunos
algun
cuerpos
simples con dos caras paralelas
V = a · a · a= (a · a ) · a = a
Volumen de un cubo. Un cubo ess cuerpo formado
por seis caras cuadradas y en cada vértice
convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.
El hectómetro cúbico (Hm ), es una medida de
volumen, con la que se nombra, la capacidad de los
embalses o de una tubería o de un trasvase de agua.
El volumen de un cubo es igual al valor de su arista
elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si
la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su
volumen se obtiene elevando a tres su arista:
Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 m de
lado.
3
3
3
3
3
3
6
3
1 Hm = 1.000.000 m = 10 m .
3
Vcubo=(3cm) = 3 cm = 27cm
Litro. El litro es una unidad de capacidad,
normalmente utilizada para medir líquidos o sólidos
granulares, y que corresponde al volumen
volum que ocupa
1 Kg de agua a 4 °C y a 1 atm de presión.
Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces
su volumen se calcula a través de la fórmula:
18
Muchas veces cuando preparamos un jugo volcamos
el líquido en una jarra o una botella. Cuando
hacemos una torta volcamos el azúcar o la harina en
un recipiente. Se necesitan tantos gramos para llenar
una jarra o tantos gramos para llenar una cacerola.
Por tanto hay una relación entre las medidas de
volumen, capacidad y peso.
Se abrevia con la letra l o con la letra L, para evitar
problemas en la tipografía, cuando la l puede
confundirse con el número 1.
Equivale a la capacidad de un contenedor de un
decímetro cúbico o a una milésima de metro cúbico.
3
1 l = 1 dm = 0.001 m3 = 10-3 m3
Al igual que la masa, el volumen puede medirse en
muchas unidades: pintas, galones, arrobas, etc. pero
las medidas más usadas son el litro (l) y la unidad del
3
S.I. el metro cúbico (m ), que equivale a 1.000 litros
o, lo que es lo mismo, un litro es igual que un
3
decímetro cúbico (dm ) o sea que es la cantidad de
agua que cabe en un cubo que tiene 1 dm de arista.
Las equivalencias entre los múltiplos y submúltiplos
más habituales del metro cúbico y el litro aparecen
en la siguiente tabla:
3
1 l = 1000 ml = 100 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm =
3
0.001 m
3
2
1
3
10 ml = 10 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm = 10
3
m
-3
Además de masa, los cuerpos tienen una extensión
en el espacio, ocupan un volumen. El volumen de un
cuerpo representa la cantidad de espacio que ocupa
su materia y que no puede ser ocupado por otro
cuerpo.
Nombre
3
Abreviatura Equivalencia en m Equivalencia en l
3
3
Hectómetro cúbico Hm
10.000 m
3
10.000.000 l
3
metro cúbico
m
1m
1.000 l
Hectolitro
hl
0'1 m
decímetro cúbico
dm
3
3
0'001 m
3
100 l
3
1l
3
centímetro cúbico c.c. o cm
0'000001 m
decilitro
dl
0'0001 m
centilitro
cl
0'00001 m
mililitro
ml
0'000001 m
3
0'001 l
0'1 l
3
0'01 l
3
0'001 l
Si observas un recibo del agua podrás ver que el agua que gastas no aparece en litros sino en metros
cúbicos
Para medir el volumen de un líquido se emplean distintos recipientes graduados. Pero la relación entre las
medidas de peso y volumen no es constante. ¿Por qué? Porque solo un litro de agua destilada pesa 1kg.. Así por
3
3
ejemplo 1 dm hierro pesa7,8 kg y un dm de aceite pesa 0,92 kg..Entonces ¿cómo hacemos para averiguar la
relación de volumen y peso de cualquier sustancia que no sea agua destilada?. Par eso necesitamos conocer su
peso específico que es la relación entre el peso y el volumen de cualquier parte de esa sustancia.
19
El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, como un cubo o una esfera, su
volumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se
trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente con
c
un líquido, al
introducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta
cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado estamos
midiendo el del sólido que
ue sumergimos en él. Este método fue descubierto por Arquímedes,
Arquímedes un sabio griego del
siglo III antes de Cristo.
3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
El volumen nos indica la cantidad
tidad de espacio que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de cuerpos regulares
utilizamos las siguientes ecuaciones matemáticas:
Ejercicios de áreas y volúmenes
1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y
2500 mm de alto.
S pinta la piscina a razón de
2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se
18.000 pesos el metro cuadrado.
a. Cuánto costará pintarla.
b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
3. En un almacén
macén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de
dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?
4. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.
2
5. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm y 48 l de capacidad.
6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de
diámetro y 20 cm de altura.
7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.
Calcular:
a) El área total.
b) El volumen
8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará
el agua cuando se derritan?
9. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica,, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 €
2
el m , ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
20
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
ROMPECABEZAS
LOS POLIOMINÓS
EL TANGRAM
El tangram es un rompecabezas de origen chino.
Consta de un cuadrado dividido en siete partes que
forman siete figuras geométricas. Estas figuras son:
un cuadrado pequeño, dos triángulos pequeños, uno
mediano, dos grandes y un paralelogramo. Dentro de
sus variaciones se encuentran los cuadrados, que se
dividen en diferentes figuras geométricas, la mayoría
de ellas simétricas o regulares (Figuras 1 y 2).
Los poliominós son polígonos construidos a partir de
un conjunto de cuadrados del mismo tamaño. Éstos
se encuentran conectados entre sí por uno de sus
lados (lado adyacente), de tal forma que no queden
espacios huecos en el interior del polígono
resultante.
De acuerdo con el número de cuadrados que se
emplee podemos hablar de dominós (2 cuadrados),
triminós (3 cuadrados), tetrominós (4 cuadrados),
pentominós (5 cuadrados), etc.
Para que dos poliominós formados con la misma
cantidad de cuadrados, sean diferentes, uno de ellos
no puede ser obtenido por reflexiones o rotaciones
del otro (Figura 3).
Sin embargo, existen variaciones en las que se
consideran diferentes los poliominós obtenidos por
reflexión, por rotación o por las dos transformaciones
(Figura 4).
Estos rompecabezas son especialmente interesantes
porque sus piezas forman un cuadrado y con ellas se
puede armar una amplia gama de figuras y formas
sin superponerlas.
Como vemos, la cantidad de poliominós que se
puede formar con cierto número de cuadrados
aumenta cuando se emplea mayor número de ellos.
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Considera que el área de cada cuadrado que hace
parte de uno de los poliominós se puede representar
2
por la expresión: 9 (x – 2) .
La relación existente entre los posibles poliominós y
el número de cuadrados empleados es:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
G
1
1
2
5
12
35
108
369
1285
H
1
1
2
7
18
60
196
704
2500
T
1
2
6
19
63
216
760
2725
9910
S
1
1
3
4
6
10
20
34
70
3. El área de cualquier pentominó puede
representarse así:
2
2
a) 45x – 180
c) 14 (x – 2)
2
2
b) 45x – 180x + 180
d) 9 (x – 2) + 5
4. El perímetro del poliominó de la ficha G es:
a) 30 (x – 2)
c) 3x – 6
2
2
b) 90 (x – 2)
d) 90x – 180
5. Al unir las piezas E y G de la figura 2, la
relación de la nueva pieza con la D es:
a) Las dos piezas son congruentes.
b) El área de la nueva pieza es mayor que el de
la D.
c) Las dos piezas son semejantes.
d) El área de la pieza D es mayor que el de la
nueva.
En la tala, n es el número de cuadrados empleados,
G es el número de poliominós que se pueden formar
sin contar rotaciones ni reflexiones. H, por su parte,
es el número de poliominós diferentes formados sin
contar rotaciones, T es el número de poliominós
distintos formados incluso por rotación y reflexión y S
los formados sin tener presente la reflexión de otros
poliominós. De los datos anteriores, se puede ver
que para cada n:
6. Para recubrir un cuadrado de 8 x 8 con el
tetraminó E, es necesario emplear:
a) 12 piezas
b) 16 piezas
c) 24 piezas
d) No se puede recubrir con un número exacto
de piezas.
S=2G–H
Los principales problemas que se trabajan a partir de
los poliominós son los recubrimientos de tableros,
esto es, cubrir con poliominós de determinado
tamaño un tablero cuadrado similar a uno de ajedrez.
7. Un cuadrado de dimensiones 4 x 4 puede ser
recubierto por:
a) 4 piezas E
c) 4 piezas C
b) 4 piezas G
d) 4 piezas H
1. En la figura 1, si cada unidad de la cuadrícula
tiene valor x, entonces el perímetro de la figura C
es:
a) 2 √10 x
b) 4x (2 + √2)
c) 12 x
d) 8x
8. Si para n=10, el número de poliominós que se
puede formar sin contar rotación ni reflexión es
de 4655 y los formados sin reflexión son 121,
entonces el número formado sin contar las
rotaciones es:
a) 16446
b) 9189
c) 4413
d) 4776
2. El área del cuadrado que puede formarse con
las partes del rompecabezas de la figura 1, es:
2
2
2
a) 64 x
b) 52 x
c) 16 x
d) 32 x
9. Si para n = 12, el número de poliominós que se
puede formar sin contar rotación y reflexión es
de 63600 y sin contar rotaciones es 126759,
entonces el número de poliominós que se puede
formar sin reflexión de otras es:
3. En la figura 2, en las piezas G y H:
a)
b)
c)
d)
XZ es un congruente con NP.
El triángulo XYZ es rectángulo.
El triángulo MNP es equilátero.
El ángulo M es congruente con el ángulo Z.
a) 441
22
b) 505861
c) 253959
d)
19035
BIBLIOGRAFÍA
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http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-14.htm
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http://tutormatematicas.com/GEO/Propiedades_cuadrilateros.html
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www.sectormatematica.cl/.../NM4_funciones_trigo...
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