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MUSICA:
La organización coherente de los sonidos
y los silencios (según una forma de
percepción) nos da los parámetros
fundamentales de la música, que son la
melodía, la armonía y el ritmo. [wikipedia]
Podríamos agregar otros como
Tono,Textura, Timbre, Forma Musical,
Instrumentación, etc.
Veamos algunas relaciones matemáticas
que podemos encontrar estudiando estos
3 parámetros:
MATEMATICAS
MUSICA
PARAMETRO
MUSICAL
1)FRACCIONES,
multiplicación /
División
RITMO
RITMO
2) CONJUNTOS y
SUBCONJUNTOS
Interaccion de
Escalas
ARMONÍA
3) FRACCIONES
(Escala Pitagorica)
Intervalos
musicales
MELODÍA
RAICES
(escala igualmente
temperada)
Intervalos
musicales
MELODÍA
1)
FRACCIONES / RITMO
La notación Musical guarda una relación
directa con las fracciones:
2/4, ¾, 4/4, 6/8,/7/8, etc.
Cada nota, en la notación músical es una
fracción de un tiempo, y cada tiempo es una
fracción de un compás.
Así una negra en una canción de 4/4 dura 1/4
de la duración de cada tiempo, de los cuales
hay 4 por cada compás. Una corchea dura 1/8,
una semicorchea 1/16, etc
2) CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS/
NOTAS Y ESCALAS, ARMONIA
2 notas son llamadas INTERVALO
3 o más notas son llamadas ACORDE
Una escala mayor se construye por los
intervalos:
TTSTTTS
Si consideramos las escalas de C, D, G,
B, utilizaríamos las siguientes notas
C: do - re - mi - fa - sol - la - si - do
D: re - mi - fa# - sol - la - si - do#
G: sol – la – si - do - re - mi - fa# - sol
SI: si - do# - re# - mi - fa# -sol# - la# - si
El sistema axial
[Bartok]
• Cada eje tiene dos extremos, polo y antípoda.
• Aunque el parentesco entre un polo y su antípoda es
menos cercano que con los puntos vecinos, cada polo
puede ser sustituido por su antípoda, realizando la
misma función.
• Por tanto, se mantienen las funciones tradicionales de I,
IV y V. Una sucesión MI-LA-RE-SOL-DO-FA, en Bartók
puede ser MI-LA-LAb-REb-DO-FA.
3)FRACCIONES Y RAICES /
INTERVALOS
La octava es un intervalo común en todas las
escalas del mundo. Muchas personas incluso no
son capaces de distinguir dos notas con una
octava de diferencia.
El intervalo entre dos notas guarda directa relación
con la proporción entre sus frecuencias.
Hay proporciones simples, razones perfectas
expresadas en la SERIE ARMONICA, la escala
pitagorica, justa, entre otras.
Hay numeros irracionales, utilizados en la ESCALA
IGUALMENTE TEMPERADA
3.1 FRACCIONES: INTERVALOS
SERIES ARMONICAS
Se pueden usar series armónicas para encontrar razones (proporciones)
para “intervalos puros”.
Por ejemplo los armónicos 2 y 3 forman una 5ta justa de distancia, así
que la razón de una 5ta justa es 2:3
Armónicos 4 y 5 están a una 3era mayor de distancia, así que la razón de
una 3era mayor es 4:5.
Armónicos 4 y 1 están 2 octavas aparte, así que la razón de sus
frecuencias es 4:1
Si tomas una botella con agua que da la nota SOL, y
tomas la suficiente agua como para dejar el doble de
aire en la botella, al soplar dará la misma nota Sol, una
octava más baja.
Si tomas una cuerda y la acortas en la mitad,
escucharas la misma nota una octava más arriba.
En esencia, la octava es una forma de escuchar el
numero 2.
EL NUMERO 3
Si acortas una cuerda en 1/3 de su largo, se escuchará
la segunda nota fundamental en la música: La 5ta de la
nota original. (Esto equivale a multiplicar el largo por 3/2)
Se dice que para lograr afinar utilizando solamente el
oído, sólo se puede confiar 100% en estas dos
relaciones, la de la 8va y la 5ta.
Los violines se afinan por 5tas.
Las armonías más primitivas sólo usaban 8vas y 5tas.
EJERCICIO 1:
Dadas 3 notas con frecuencias 220Hz , 440 Hz,
y 660 Hz.
1)Cual nota suena más aguda, y cual suena
más grave?
2)Cual tiene la longitud de onda mas larga y
cual la más corta?
3)Cual es la razón entre sus frecuencias
4)Cuantas ondas de la frecuencia 660 hay
por cada una de las de 220?
EJERCICIO 2
Encontrar la nota que está a una 5ta justa arriba
o abajo de una determinada nota:
La razón de las frecuencias de una 5ta justa es
3:2.
El numero más alto en la fracción representa la
nota más alta.
Si queremos la 5ta justa hacia arriba de un LA
440, utilizamos la fraccion 3:2
Si queremos la 5ta justa abajo del LA utilizamos
2:3
• Es importante poner bien los números en la fracción, ya que si
· 2 es la frecuencia mas alta, debe serlo también en la fracción.
Si deseas que #2 sea la frecuencia mas baja, entonces #2 debe
ser el numero mas bajo en la fracción.Debes verificar que el
resultado sea coherente, ya que una nota mas aguda siempre
debe dar una mayor frecuencia
.
IMPORTANTE!
Si miramos detenidamente la serie armónica, nos
daremos cuenta que algunos intervalos que debieran ser
iguales, utilizan diferentes proporciones: Por ejemplo el
intervalo entre los armónicos 7 y 8 es una 2nda Mayor,
pero también lo es el intervalo entre el 8 y 9, 9 y 10, 10 y
11
Pero 7:8 no es igual que 8:9, ni 9:10, ni 10:11
La escala igualmente temperada soluciona este
problema haciendo que todos los intervalos entre
semitonos sean iguales.
El aspecto positivo es que un instrumento estará
igualmente afinado en cualquier tono.
El aspecto negativo es que todos los intervalos excepto
la octava estarán levemente desafinadas.
3.2
ESCALA IGUALMENTE TEMPERADA
Intervalos puros que se encuentran en
el mundo físico, como en el caso de las
cuerdas o tubos son buenos ejemplos
de proporciones como 3:2, pero las
razones de la escala igualmente
temperada están en proporcion de la
doceava raiz de 2.
La escala igualmente temperada, hace
que todas las notas estén igualmente
levemente fuera de tono, y divide el error
a través de todas las notas.
Nuestros oidos, en rigor prefieren la
escala Pitagórica.
La escala pitagórica se basa en números
racionales, mientras que el intervalo
logrado en nuestra escala occidental, se
base en números irracionales: la
diferencia en frecuencia entre un semitono
y otro esta dado por la 12va raíz de 2 !
•
•
Supongamos que queremos comparar una 3era pura de la serie
armonica con la de la escala igualmente temperada.
Comparando las proporciones como numeros decimales, podemos
ver que una 3era mayor armonica es un poco más pequeña que el
mismo intervalo en la escala igualmente temperada.