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MICROTONALISMO Y AFINACIONES ALTERNATIVAS:
La música contemporánea actual tiene una gran riqueza. Existe un sinnúmero de estilos y
corrientes: Pop, New Age, Trip-hop, Electrónica, Jazz, etc. Y con el tiempo cada uno de ellos se
van ramificando vetas artísticas por explotar. Esto está muy bien, pero sin embargo, se han
olvidado, o bien se omiten por comodidad, ciertos tipos de estructuras que son igualmente
válidas y que están desperdiciándose. Si bien es cierto, corrientes clásicas como el
dodecafonismo, la música estocástica de Iannis Xenakis, la música aleatoria de John Cage, el
minimalismo de Philip Glass, se han mantenido en un ámbito más bien restringido, de academia
o bien se han contemplado como curiosidad.
Sin embargo, uno de los elementos fundamentales de la música, lo que parece establecido e
inamovible, se han dejado muertas. Nos referimos a las notas musicales.
Se llegó a la convención de que existen doce semitonos en una octava y se acabó. Es decir, do,
do#("# " significa sostenido), re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, y si. Atrás quedó Alois Hába,
con su sistema de cuartos de tono, quien hizo algunas obras que eran más manifiestos de su
pensamiento, que música propiamente como tal.
LA PRISIÓN DE LOS SEMITONOS
Examine un teclado de piano. Entre la primera nota y la última hay una octava, de Do a Do.
Examine ahora este teclado.
Escuche esto: entre la primera nota y la última nota de este extraño teclado también hay una
octava, de Do a Do. Este teclado no está incorrecto. Es una representación gráfica de un teclado
microtonal, con el que, en lugar de sólo 12 semitonos -es decir, olvidándonos de las bemoles,
para no enredarnos, sería: do, do#(do sostenido), re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, y sicontamos con muchos microtonos, lo que nos permite alcanzar nuevas y fascinantes armonías.
T
e
c
l
a
d
o
M
i
c
r
o
t
o
n
a
l
Un microtono, como ya lo habrá adivinado, significa cualquier fracción de tono que existe entre,
por ejemplo, do y do#. En otras palabras, cualquier nota que se encuentre entre las dos teclas
"juntas", en un piano, por ejemplo. Aunque no se vean o parezca una tontería.
Hace ya muchos años, un teórico musical llamado Alexander J. Ellis se percató de esto y
determinó una nueva unidad de medida para intervalos o notas: el cent. Un cent no es otra cosa
que la centésima parte entre un tono y un semitono. Es decir, entre do y do# tenemos 100 cents.
Entonces, en una octava de 12 semitonos tendremos 1200 cents
He aquí una tabla de ejemplo para que se entienda de lo que hablamos:
Escala Tradicional de 12 tonos (12 Tone Equal-Temperament)
Grado de tono
Valor en Cents
Nombre del Intervalo
Den.
1
0
unísono
-
2
100.000
semitono diatónico menor
men2
3
200.000
tono mayor íntegro
may2
4
300.000
tercia menor
men3
5
400.000
tercia mayor
may3
6
500.000
cuarta perfecta
4ta
7
600.000
tritono
tritono
8
700.000
quinta perfecta
5ta
9
800.000
sexta menor
men6
10
900.000
sexta mayor
may6
11
1000.000
séptima menor pitagórica
dom7
12
1100.000
séptima clásica mayor
may7
Excelente. Tenemos 1200 "teclas" para fabricar acordes y escalas. El grado de nota 13
corresponde a una "octava".
Observe que se hablamos de "grado de nota" en lugar de DO, RE, etc. Porque en
microtonalismo, las notas do, re y siguientes no existen, solo existen intervalos. Y tenemos
también la distancia en cents entre los grados, de 100 en 100 con respecto al grado 1, como
hablamos al principio.
Cada intervalo tiene un nombre. El intervalo es la diferencia de tono entre dos notas.
¿Significa entonces que el teclado que tocamos todos los días tiene una distancia, entre cada
semitono, de 100 cents equidistantes? Sí. Y no hay posibilidad de variarlo, a menos que posea un
sintetizador afinable, como el Kurzweil 1000, el Kurzweil 150FS u otros semejantes o bien
mediante algún demo o software de internet, herramientas con las que además puede construir
sus propias escalas y afinaciones, además, algunos tienen preseteadas varias afinaciones de las
que hablaré luego.
Ahora bien, ¿Cómo se ha llegado a la escala de doce tonos equitativos por octava? Por un
principio matemático investigado por el físico Hermann von Helmoltz. Es calculada tomando la
duodécima raíz de cada potencia sucesiva de 2, de 0 a 11, con las "octavas" más graves o agudas
de esas doce notas asumidas como equivalentes. La duodécima raíz de 2 puede ser escrita como
2 (1/12), el siguiente grado, la duodécima raíz de 22, como 2 (2/12). Como cualquier número elevado
a la potencia cero es uno, la nota principal de la escala, 2(0/12) tiene el radio o intervalo(distancia
entre nota y nota) de 1:1.
Con excepción de esta nota, todas las demás resultan en números irracionales. Esta escala nunca
fue afinada con precisión absoluta - con excepción de las "octavas de las notas principales"- sino
hasta la aparición de instrumentos electrónicos1.Como el sintetizador, cuya tecnología actual
permite "deslizarse" prácticamente por cualquier tono de la frecuencia auditiva. En este caso, ya
estamos hablando decents "con decimales".
Entonces, la escala de la que hablamos es una escala cuyos "pasos" o "notas", logarítmicamente
tienen intervalos iguales entre ellos.
Veamos ahora una escala "típica" de 31 tonos por octava, con igual distancia entre cada
intervalo. Pero en lugar de 100 cents, aquí hay intervalos de 38.70098 cents aproximadamente.
Verá nuevos y extraños nombres (quizá más extraños que los anteriores), pero no se enrede, es
sólo una manera de ponerle un nombre a esos tonos tan nuevos, raros, que se esconden entre las
teclas del piano o en cualquier instrumento afinable.
Escala Temperada de 31 tonos (31 Tone Equal Temperament)
Grado de
Nota
Valor en
cents
Nombre del Intervalo
1
0
unísono
2
38.710
1/5-tono
3
77.419
semitono clásico cromático
4
116.129
semitono menor diatónico
5
154.839
segunda septimal neutral
6
193.548
tono mayor completo
7
232.258
tono septimal íntegro
8
270.968
tercio septimal menor
9
309.677
tercia menor
10
348.387
tercio neutral undecimal
11
387.097
tercia mayor
12
425.806
cuarta clásica disminuida
13
464.516
cuarta estrecha
14
503.226
cuarta perfecta
15
541.935
cuarta aumentada septimal
16
580.645
tritono septimal
17
619.355
tritono de Euler
18
658.065
quinta septimal disminuida
19
696.774
quinta perfecta
20
735.484
quinta ancha
21
774.194
quinta clásica aumentada
22
812.903
sexta menor
23
851.613
sexta undecimal neutral
24
890.323
sexta mayor
25
929.032
sexta séptima mayor
26
967.742
séptima armónica
27
1006.452
séptima menor pitagórica
28
1045.161
21/4-tono, séptima undecimal neutral
29
1083.871
séptima clásica mayor
30
1122.581
octava clásica disminuida
31
1161.290
octava -comma septimal
Podemos ver entonces, que para algo sirven los cents, después de todo. Tenemos una escala
basada en una afinación alternativa, que tiene armonías no escuchadas antes y a la que se le
puede sacar mucho partido, si uno se lo propone. ¿Y si le dijera que existen muchas afinaciones?
¿Y muchas escalas?. Imagino que si es músico se le "harán agua los oídos".
AFINACIONES DESCONOCIDAS
Hasta aquí vamos bien. Doce tonos, 100 cents entre cada uno, 1200 cents. Sólo tuvimos que
variar el intervalo a 38.70098 cents y tenemos una escala de 31 tonos. Fácil ¿no?
No lo es. Parece sencillo construir escalas con tantas "notas" pero existen reglas, tradiciones y/o
compromisos auditivos y matemáticos que nos impiden hacer lo que queramos. Hay que
preguntarse ¿Cómo ejecutar determinado acorde en una escala de, por ejemplo, "re -53 cents
mayor", en que se omiten algunas notas? ¿Cuáles de estas 1200 teclas (¡sin contar los
decimales!) nos sirven para construir una escala? ¿Cómo saber la distancia en cents entre
intervalos para que exista una armonía--o desarmonía?.
Afortunadamente, durante años muchos, teóricos del microtonalismo y de las afinaciones
(tunings) han trabajado y expuesto sus investigaciones. Muchos de ellos se basan, como dije
antes, generalmente en las matemáticas, con complejísimos enrejados(lattices), que parecen
verdaderos mandalas chinos, otros recurren a los números primos, a la serie Fibonacci,
ecuaciones, matrices, etc. Lo que nos permite contar con un gran número de escalas o
afinaciones alternativas,( ya sea con más de 12 o menos de 12 notas, porque lo que importa no es
la cantidad de notas, sino cómo elegirlas) como por ejemplo, éstas son algunas escalas
descubiertas o investigadas por importantes teóricos y/o músicos:
La escala de 19 tonos de Joseph Yasser
La escala de Harry Partch de 43 tonos
El sistema de estructuras musicales simétricamente armónicas llamada Combination
Product Sets (CPS) inventada por Ervin M. Wilson a fines de los 60, basada en
procedimientos matemáticos, con los que se creó las escalas Hexany, de 6 tonos,
Eikosany, de 20 tonos, Dekatesserany de 14 tonos. Wilson también creo los Ciclos
Diafónicos.
El sistema Euler Genos o Euler-Fokker Genera, descubierto por Leonhard Euler, del que
deriva la escala Octony, de ocho notas de intervalos simétricos.
La Bohlen-Pierce de 13 tonos de intervalos simétricos.
La escala Enharmonica Exacta de 25 tonos de Ben Johnston
La escala de 24 tonos de Jon Catler
La escala de 16 tonos de Lou Harrison.
Alpha, de 19 notas; Beta,de 23 notas; Gamma, de 36 notas,Armónica, y SuperExacta
descubiertas por Wendy Carlos.
La escala de 53 tonos de Larry Hanson.
Un número de 700 tonos encontrados en una octava por el músico Kyle Gann.
Además, el microtonalismo ha fomentado el interés porlas escalas de otras culturas y etnias, las
que tienen ideas distintas de lo que es "armonía" o "música",como por ejemplo:
La escala javanesa Slendro tradicional, de 5 tonos.
La escala siamesa tradicional de 7 tonos.
Una escala del oeste de África, de 7 tonos.
Raga Shruti, de 22 tonos, India.
Tailandesa tradicional, de 8 tonos.
Lu, de 12 notas, por Huai-nan-dsi, de la era Han, en China.
Ceremonial, Tibetana.
Arábiga tradicional.
Pelog Armónica y Pelog Melódica de Bali.
Antiguas escalas en desuso, también están a nuestra disposición gracias a la magia de los cents y
la electrónica:
Kimberger I, Kimberger II y Kimberger III, escalas inventadas por Johann Philipp
Kirnberger (1721-1783).Músico del siglo 18.
Escala temperada de Thomas Young.
Escala Mayor de Ptolomeo.
Temperadas Pitagóricas.
1/4 de comma.
1/5 de comma.
Escala Vallotti & Young.
Escala Temperada III (circa 1681)de Andreas Werkmeister.
ALGUNOS EJEMPLOS
En un excelente artículo que aparece en http://www.wendycarlos.com/ tenemos varias
afinaciones y/o escalas:
Cuadro de afinaciones
Recuerde que la nota cero (original) es la nota "centrada", que puede ser un do, un fa#, cualquier
nota, y a partir de esta nota se construirá la escala. La escala 12 ET (Equal-Temperament) es la
común, en la que encontramos 100 cents entre dos semitonos, y cada nota tiene un valor cero de
afinación centesimal. Las siguientes tienen el valor, positivo o negativo, en el que se debe variar
el tono para la correspondiente escala. Ejemplo: En la afinación Clásica Exacta, al tono 1
(men2) debemos disminuirle 29 centésimas de tono, (-29); al tono 2 (may2), debemos
aumentarle 4 centésimas, etc.
Esta tabla puede ser útil si posee un sintetizador Kurzweil 1000 o 150FS. Si no, puede grabar
cada nota de un teclado a su ordenador, de DO a SI, y editarla en algún software que permita
afinar en centésimas de tono, como el Sound Forge. Luego probar algunos acordes, en MIDI o
cualquier programa que sirva para mezclar los sonidos.
Por cierto, estas afinaciones producen acordes que, respecto a los que estamos acostumbrados, se
les pueden dar varios adjetivos: suaves, exóticos, raros, pero no por eso carentes de valor. Cada
uno tiene sus ventajas y desventajas respecto a la pureza de ciertos tipo de acordes. La afinacion
1/4 Comma produce una escala que, si se toma como nota de referencia (origin) un DO, debe
tocarse de este modo:
DO - DO# -RE -MIb -MI - FA - FA# - SOL - LAb - LA - SIb - SI - DO
Esta afinación produce bellos tritonos. Pero no debe tomarse C# como la raíz de Db mayor, o
LAb como la tercia mayor de FA# mayor.
Un acorde muy bello puede obtenerse con esta misma afinación, con la misma nota de
referencia(DO), tocando el acorde LAb 7ma.
Una de las más increíbles es la Afinación Circular Werkmeister. Las notas sostenidas son
forzadas a mezclarse, como en un círculo, en las notas bemoles después de 12 notas. Como una
serpiente mordiendo su cola. Es decir, cada nota tiene un sonido distinto, con su propio color.
Las notas cercanas a la fundamental son muy suaves, a expensas de las lejanas. Compárese los
sonidos con el teclado 12 ET(Equal Temperament) Tradicional. (ver ejemplo en:
http://www.apocatastasis.com/microtonalismo-afinaciones-alternativas.php )
Otra escala interesante es la Armónica. Cuando la obtenga, pruebe lo siguiente: apriete (o
monte) un puñado de teclas, con la mano, muchas teclas juntas. Si te das cuenta, no hay
disonancias, todas las notas refuerzan la nota base.
CONSEJOS PARA «MICROTONALEAR»
Manejar sonidos que tengan las siguientes características (en teclado).
Un sonido brillante y sólido.
Sin efecto de coro (chorus)
Sin vibrato
Envolvente sostenida (no percusiva)
Sin procesamiento externo o reverberación
CONCLUSIONES
La curiosidad -y acaso fascinación -de tanto número decimal y tonos con nombres extraños no
debiera ser lo que el músico que ha tenido la paciencia de recorrer este artículo, saque en limpio.
El microtonalismo y las afinaciones alternativas debieran ser un medio, no un fin. Todo arte tiene
la simiente de la investigación y exploración de ideas y conceptos nuevos, pero estos elementos
deben ser una herramienta que posibilite la ampliación de recursos disponibles para la creación.
En otras palabras, es necesario aplicar estos conceptos, no quedarse en la mera teoría. Después
de todo, ahora podemos elegir las notas con las que deseamos trabajar una composición. Y
precisamente la razón de estas palabras ha sido fomentar el interés por estas armonías y acordes
que he presentado -cuyo efecto al oído es decididamente inusual, pero agradable (como decía
Claude Debussy "amo todo lo que satisfaga a mi oído"). Dichos tonos son tan fascinantes, tan
alejados de nuestros actuales conceptos de armonía occidental de 12 tonos, que producen un
placer estético sin precedentes.
Obviamente, el microtonalismo no es la panacea, la piedra filosofal, ni el nuevo arte del milenio.
Puede haber obras microtonalistas buenas y malas, mediocres y sublimes, por supuesto. Pero el
músico que desee "ir un poco más allá", debiese detenerse un momento a considerar estos
conceptos, enriqueciendo así, su quehacer creativo.
APÉNDICE: Escalas y sus valores en cents
¿Por qué la escala Alpha que al principio se dice que tiene 19 notas, aparece en la tabla de
afinaciones con solo 12? Porque esta tabla funciona sólo para teclados. Pero si desea saber, en
distancias de 0 a +1200 cents, cuáles son los valores de Alpha y algunas otras escalas con todas
sus "tonos irracionales", aquí van. A modo de despedida, y como una manera de tratar de
despertar el interés por salir de los claustrofóbicos 12 tonos. No tengo nada contra los 12 ET,
pero, si existen más herramientas ¿porqué no usarlas2? Ahí están, estas notas, escondidas,
esperando que las usemos. Después de todo, ¿Quién sabe si algún día, cuando los músicos del
mundo se decidan a entrar de lleno en el microtonalismo, se rebase el schisma, que es el
concepto actual que indica el límite del oído humano para reconocer pequeñísimas diferencias de
tono?
Escala Alpha Carlos de 19 tonos por octava
Escala Exacta Enarmónica de Ben Johnston de 25 tonos por octava
Escala de Harry Partch de 22 tonos por octava
Escala India Shruti de 22 tonos por octava
Escala China Lu por Huai-nan-dsi, de la era Han, Kurt Reinhard: “Chinesische Musik”
Nota: A diferencia del cuadro de afinaciones en donde los valores de cents se sumaban o
restaban tomando como referencia los intervalos exactos de 100 cents, para los valores en cents
de las siguientes tablas se toma como referencia el tono origin(unísono o cero).
1.Escala Alpha Carlos de 78 cents exactos
Grado de
Tono
Valor en
cents
Nombre del Intervalo
1
0
unísono
2
78.000
semitono menor
3
156.000
segundo séptimal neutral
4
234.000
tono íntegro séptimal
5
312.000
tercia menor
6
390.000
tercia mayor
7
468.000
cuarta estrecha
8
546.000
cuarta septimal aumentada
9
624.000
tritono de Euler
10
702.000
quinta perfecta
11
780.000
sexta mayor
12
858.000
sexta septimal mayor
13
936.000
séptima menor exacta
14
1014.000
séptima mayor clásica
15
1092.000
octava - comma septimal
16
1170.000
1/4-tono, diesis septimal + 1 octava
17
1248.000
-
18
1326.000
semitono mayor diatónico + 1 octava
19
1404.000
novena mayor
2.Escala Exacta Enharmónica de Ben Johnston de 25 notas por octava
Grado de
Tono
Valor en cents
Nombre del Intervalo
1
0
unísono
2
70.67245
semitono clásico cromático
3
92.17876
limma mayor, chroma larga
4
111.7313
semitono menor diatónico
5
182.4038
tono íntegro menor
6
203.9100
tono íntegro mayor
7
274.5825
segunda clásica aumentada
8
315.6414
tercia menor
9
386.3139
tercia mayor
10
407.8201
tercia mayor pitagórica
11
427.3727
cuarta clásica disminuida
12
498.0452
cuarta perfecta
13
519.5515
cuarta aguda
14
590.2239
tritono
15
631.2828
quinta clásica disminuida
16
701.9553
quinta perfecta
17
772.6278
quinta clásica aumentada
18
813.6866
sexta menor
19
884.3591
sexta mayor
20
905.8654
sexta mayor pitagórica
21
976.5379
sexta aumentada
22
996.0905
séptima menor pitagórica
23
1017.596
séptima menor exacta
24
1088.269
séptima mayor clásica
25
1129.328
octava clásica disminuida
3.Escala de Harry Partch de 43 tonos por octava
Grado de Tono
Valor en cents
Nombre del Intervalo
1
0
unísono
2
21.50629
comma sintónico
3
53.27296
comma undecimal
4
84.46723
semitono menor
5
111.7313
semitono menor diatónico
6
150.6371
3/4-tono, segunda undecimal neutral
7
165.0043
4/5-tono
8
182.4038
tono íntegro menor
9
203.9100
tono íntegro mayor
10
231.1741
tono íntegro septimal
11
266.8710
tercia septimal minor
12
294.1351
tercia menor pitagórica
13
315.6414
tercia menor
14
347.4080
tercia undecimal neutral
15
386.3139
tercia mayor
16
417.5081
-
17
435.0843
tercia septimal mayor
18
470.7811
cuarta estrecha
19
498.0452
cuarta perfecta
20
519.5515
cuarta aguda
21
551.3181
cuarta armónica aumentada
22
582.5125
tritono septimal
23
617.4880
tritono de Euler
24
648.6823
quinta armónica disminuida
25
680.4490
quinta estrecha
26
701.9553
quinta perfecta
27
729.2194
quinta ancha
28
764.9162
sexta septimal menor
29
782.4924
-
30
813.6866
sexta menor
31
852.5924
sexta undecimal neutral
32
884.3591
sexta mayor
33
905.8654
sexta mayor pitagórica
34
933.1295
sexta septimal mayor
35
968.8264
séptima armónica
36
996.0905
séptima menor pitagórica
37
1017.596
séptima menor exacta
38
1034.996
-
39
1049.363
21/4-tono, séptima undecimal neutral
40
1088.269
séptima clásica mayor
41
1115.533
-
42
1146.727
-
43
1178.494
octava - comma sintónico
4.Escala India Shruti de 22 notas por octava
Grado de Tono
Valor en
cents
Nombre del Intervalo
1
0
unísono
2
90.22504
limma pitagórica
3
111.7313
semitono menor diatónico
4
182.4038
tono íntegro menor
5
203.9100
tono íntegro mayor
6
294.1351
tercia menor pitagórica
7
315.6414
tercia menor
8
386.3139
tercia mayor
9
407.8201
tercia mayor pitagórica
10
498.0452
cuarta perfecta
11
519.5515
cuarta aguda
12
590.2239
tritono
13
611.7302
tritono pitagórico
14
701.9553
quinta perfecta
15
792.1803
sexta menor pitagórica
16
813.6866
sexta menor
17
884.3591
sexta mayor pitagórica
18
905.8654
sexta mayor
19
996.0905
séptima menor pitagórica
20
1017.596
séptima menor exacta
21
1088.269
séptima mayor clásica
22
1109.775
séptima mayor pitagórica
5.Escala China Lu por Huai-nan-dsi, de la era Han. Kurt Reinhard:
"Chinesische Musik"
Grado de Tono
Valor en cents
Nombre del Intervalo
1
0
unísono
2
98.955
dedo índice de Laúd Arábe
3
203.910
tono mayor íntegro
4
315.641
tercia menor
5
394.347
-
6
498.045
cuarta perfecta
7
608.352
-
8
701.955
quinta perfecta
9
800.910
-
10
905.865
sexta mayor pitagórica
11
1017.596
séptima menor exacta
12
1106.397
-
Notas:
* 1: (Sobre esto, un cent, poniéndonos más complicados, pero exactos, es también la 1200va raíz
de 2, o 2 (1/1200), lo que da el intervalo infinitesimal de 1:1.0005777895.)
*2 : Un bello ejemplo de utilización de escalas alternativas puede apreciarse en la obra Beauty in
the Beast de la músico Wendy Carlos ( Sello ESD 81552, año 2000 ) . En ésta se utilizan
exóticas escalas armónicas y subarmónicas, como Tibetana, Pelog, Slendro, Gamelan, Alpha,
Beta, Harmonic, en donde logra extrañas y hermosas armonías teniendo nada menos que ¡144
notas por octava!
En otra obra de esta excelente músico, podemos apreciar también la aplicación de escalas
alternativas: Tales of Heaven & Hell
Por otro lado, en su obra Switched-On Bach 2000 (CD-80323, Sello Telarc, año 1992) utiliza
escalas afinadas en torno a la nota principal de cada tema(Meantone), además de usar una
variación de la escala Circular Werkmeister que aparece en el Cuadro de afinaciones.
Internet:
Palabras clave- Keywords
Tunings, Microtonal, Microtonalism, Microtono, Semitonos, cent, lattices, tunes, tunings,
Alternative Tunings, triad,scales, afinación, escalas, música electrónica,harmonic scales,
subharmonic scales, enharmonic scales, Iannis Xenakis, John Cage, alexander ellis,
dodecafonism, Philip Glass, música aleatoria, aleatoric music, minimalism, Alois Haba, 12 tone
equal-temperament, pythagorean tuning, Just Tuning, Purely Harmonic Partials, Asymmetric
Divisions, tritono, intervalo, kurzweil 1000, Hermann Von Helmoltz, 31 tone equal
temperament, Fibonacci, combination productsets, cps, ervin m. wilson, hexany, eikosany,
dekatesserany, ciclos diafónicos, diaphonic cycles, euler genos, euler-fokker genera, Leonhard
Euler, schisma, octony, Bohlen-Pierce, Ben Johnston, ragas, Jon Catler, Lou Harrison, Larry
Hanson, Wendy Carlos, Alpha Carlos Scale, Beta Carlos Scale, gamma carlos scale,
Switched-On Bach 2000, Beauty in the Beast, Kyle Gann, Slendro, Pelog, Johann Philipp
Kirnberger, Vallotti & Young, Andreas Werkmeister, meantone, Robert Moran
Referencias (en inglés)
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Yunic, M. & Swift, G. W., 1980, "rr
Contribuciones de lectores
22-tone equal temperament
(4-diciembre-2007)
Scale archetypes:
0-218-436-655-709-927-1145-1200
0-218-327-655-764-982-1091-1200
0-55-109-436-491-818-873-1200
0-218-436-545-764-873-1091-1200
0-109-382-655-764-927-1036-1200
0-109-327-545-764-982-1091-1200
0-109-218-327-655-764-873-1200
Keyboard design: The diatonic notes are:
0-218-436-655-709-927-1145-1200
Or else, the WHITE notes are
0-218-436-655-709-927-1145-1200
Just fill in the other notes on top of the diatonic
(white) notes and you have the most efficient keyboard design
for 22-tone equal temperament."
Thanks, Robert Thomas Martin! (Australia)