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Conceptos Generales de
Geometría
Bernardo Alarcón Navarro
Profesor de Computación
Índice
Punto
Triángulos
Recta
Clasificación de Triángulos
Rayo
Polígonos
Segmento
Elementos de los Polígonos
Ángulo
Clasificación de los Polígonos
Unidades de Medida en los Ángulos
Ángulos de un Polígono
Herramientas para Medir Ángulos
Ángulos Adyacentes Suplementarios
Clasificación de los Ángulos
Cuadriláteros
Rectas Paralelas
Paralelogramos, Trapecios, Trapezoides
Rectas Secantes
Cuadrados, Rectángulos
Rectas Perpendiculares
Rombo, Romboide
Bibliografía
Punto
•El punto es un elemento geométrico que no puede dimensionarse,
este se representa dibujando una cruz (x) o un pequeño círculo que
describe su posición en el espacio.
•Los puntos suelen nombrarse con letras mayúsculas A, B, C, D, etc.
•Observemos que dos puntos determinan una recta y sólo una. Del
mismo modo tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.
x
Ejemplo
A
B
x
x
x
Recta
•La recta o línea recta es la sucesión continua e indefinida de puntos
en una misma dimensión.
•También se puede considerar a la recta como la distancia más corta
entre dos puntos.
•La recta es de longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos.
Ejemplo
Ejemplos cotidianos de una recta:
La infinita línea del horizonte
puede representar una recta.
Representamos 2 rectas en
esta línea del tren.
También podemos
representar una recta como
la línea más delgada que se
puede dibujar con un lápiz.
Rayo
Los rayos son aquella parte de la línea recta que queda
a algún lado de un punto llamado origen, señalado sobre
ella.
Ejemplo
S
T
En el ejemplo se muestra el Rayo ST, de origen S.
Ejemplos cotidianos de un Rayo:
En todas las figuras el rayo se
representa por una flecha de
color rojo.
Segmento
Los segmentos son una parte de la recta, la cual se
señala entre dos puntos llamados extremos del
segmento. Los segmentos son finitos y pueden ser tan
grandes como se quiera.
Ejemplo
A
B
En el ejemplo se muestra el segmento AB.
Ejemplos cotidianos de un Segmento:
A
B
Este testigo forma el Segmento AB.
En la recta formada por la calle
Eberhard, tenemos el segmento
formado por las calles Barros Aranas
y Magallanes.
Ángulo
Los ángulos son la unión de dos rayos. Note que ambos
rayos tienen un mismo origen, al cual se le conoce con
el nombre de vértice del ángulo y a los rayos se les
conoce como lados del ángulo.
Ejemplo
El ángulo se mide
en Grados.
Vértice
Lados
Ejemplos cotidianos de un Ángulo:
En las figuras podemos observar diversas representaciones
de ángulos, con las cuales nos encontramos a diario.
Unidades de medida para los ángulos
Los ángulos se pueden medir en:
•Radian
•Grado Centesimal
•Grado Sexagesimal
Nosotros utilizaremos la unidad de medida llamada
Grado Sexagesimal y como ejemplo de su notación
tendríamos: 90º. Lo leeremos como “noventa grados”.
El grado sexagesimal es la nonagésima (1/90) parte de
un ángulo recto.
Herramientas para medir Ángulos
La Escuadra
La escuadra es una regla que en uno
de sus vértices tiene un Angulo de
90º.
El Transportador
El transportador es un regla similar a
la mitad de una circunferencia, la cual
esta marcada con los grados.
Grados
Vértice de
Angulo Recto.
Esta sirve para hacer, medir o
comprobar ángulos rectos, es decir,
ángulos de 90º.
Este sirve para medir cualquier
ángulo. En el ejemplo tenemos un
ángulo de 80º.
Clasificación de los Ángulos
Ángulo Agudo
Ángulo Recto
Mide menos de 90º
Mide 90º
Ángulo Obtuso
Ángulo Extendido o Llano
Mide más de 90º
Mide 180º
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Se dice que
dos rectas a y b son paralelas cuando son equidistantes, es decir,
cuando todos los puntos de una recta están a igual distancia de la
otra recta.
También podemos decir que dos rectas son paralelas si nunca
llegan a cortarse en un punto.
Ejemplo
Todos los puntos de
estas rectas están
equidistantes, es
decir, a igual
distancia entre
ambas, por lo tanto
son rectas
paralelas.
Representación de Rectas Paralelas
Todos los puntos de
estas rectas están
equidistantes, es
decir, a igual
distancia entre
ambas, por lo tanto
son rectas
paralelas.
Ejemplos cotidianos de rectas paralelas:
Estos lápices están
equidistantes entre sí, por lo
tanto representan rectas
paralelas.
En esta escalera también
podemos representar rectas
paralelas.
En esta construcción puedes
apreciar diversas rectas
paralelas.
Rectas Secantes
Dos rectas son secantes si están en el mismo plano y se cortan en
un mismo punto, formando cuatro ángulos, cada uno diferente de
90º.
Ejemplo
Todos los Ángulos son
distintos de 90º
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si están en el mismo plano y se
cortan en el mismo punto, forman 4 ángulos iguales de 90º cada
uno.
A estos ángulo que miden 90º se les llama ángulos rectos, y esto
permite definir a dos rectas como perpendiculares.
Ejemplo
Angulo de 90º
Angulo de 90º
Ejemplos cotidianos de Rectas Secantes,
Perpendiculares y Paralelas:
La calle Manuel
Bulnes es
perpendicular a la
calle Carrera Pinto.
La Avda. Ultima
Esperanza y la
Avda. España son
Rectas Secantes.
La calle Blanco
Encalada es
paralela a calle
Baquedano.
Triángulos
Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está
determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados,
o tres puntos no alineados que se llaman vértices.
Ejemplo
C
γ
b
a
β
B
α
A
c
Sean:
a b c, los lados del triangulo.
A B C, los vértices del triangulo.
α β γ, los ángulos interiores del triangulo.
Ejemplos cotidianos Triángulos:
Clasificación de los Triángulos
Los Triángulos se pueden clasificarse según sus lados y según sus
ángulos. A saber:
Según sus lados:
Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los
tres ángulos internos miden 60 grados ó \pi
Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los
ángulos que se opone a estos lados tienen la misma medida.
Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes.
En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.
Clasificación de los Triángulos
Según sus ángulos:
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos
lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al
otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de
90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°.
Clasificación de los Triángulos según sus
Lados y según sus Ángulos
En la tabla de la izquierda
puedes observar una especial
clasificación de triángulos
según sus ángulos y lados.
Así tendremos:
Triángulo acutángulo que
puede ser equilátero, isósceles
o escaleno.
Triángulo rectángulo que
puede ser isósceles o
escaleno.
Triángulo obtusángulo que
puede ser isósceles o
escaleno.
Para mayores antecedentes
revisa la siguiente diapositiva.
Clasificación de los Triángulos según sus
Lados y según sus Ángulos
Triángulo acutángulo equilátero: sus tres ángulos son menores a 90° y sus tres lados son
de igual medida.
Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro
distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene
ejes de simetría.
Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada
uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los
catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el
ángulo recto hasta la hipotenusa.
Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son
diferentes.
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los
que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
Polígonos
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos
tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.
También podemos decir que los polígonos son figuras cerradas,
formadas por varios segmentos de líneas, a las que llamamos lados.
Ejemplos
Ejemplos cotidianos de Polígonos:
Elementos de los Polígonos
Los elementos de un polígono son: Lados, Vértices, Ángulos,
Diagonales. Veamos algunos ejemplos:
•Los lados son segmentos que forman el polígono.
•Los vértices son cada uno de los puntos en que se forman los lados.
•Los ángulos del polígono son los ángulos que forman los lados.
•Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no
consecutivos.
Clasificación y denominación de los
Polígonos según el número de lados
Nº de
Lados
Nombre
3
Figura
Nº de
Lados
Nombre
7
Triangulo
Heptágono
4
Cuadrilátero
8
Octágono
5
Pentágono
9
Eneágono
6
Hexágono
Figura
Clasificación y denominación de los
Polígonos según el número de lados
Nº de
Lados
Nombre
10
Decágono
11
Endecánogo
12
13
Figura
Nº de
Lados
Nombre
14
Tetradecánogo
15
Pentadecánogo
20
Isodecágono
Dodecágono
Tridecánogo
Figura
Ángulos de un Polígono
Recordemos que uno de los elementos del polígono son los ángulos
que forman la unión de dos segmentos. La característica de estos
ángulos es que pueden ser Internos o Externos, según sea su
ubicación.
Ejemplo
 B

Medida del
ángulo interior
En este polígono de
cinco lados,
podemos reconocer
los ángulo interiores
por el arco de color
amarillo y los
ángulos exteriores
por el arco de color
blanco.
Vértice

A
 
Medida del
ángulo externo
 C

E 
 
D
Ángulos Adyacentes Suplementarios
En cada vértice es posible encontrar un ángulo interior y un ángulo
exterior.
La suma de un ángulo interior con un ángulo exterior dará
exactamente 180º, por lo tanto estos dos ángulos forman un ángulo
suplementario.
Ejemplo
Ambos ángulos
forman un
ángulo
extendido o de
180º
α + β = 180º
Ángulo
Interior
Ángulo
Exterior
Polígonos de Cuatro Lados: Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los
cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro
lados, cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la
suma de los ángulos interiores es igual a 360º.
Ejemplos
Los Cuadriláteros se clasifican según sus
lados en:
Trapezoides
Paralelogramos Trapecios
Estos son cuadriláteros que
tienen dos pares de lados
opuestos
paralelos.
Ejemplos de ellos tenemos:
Un trapecio es un
cuadrilátero que tiene
dos lados paralelos y
los otros dos no
paralelos. Ejemplos de
ellos tenemos:
Un trapezoide es un
polígono cuadrilátero
cerrado en el que
ninguno de sus cuatro
lados es paralelo a
otro. Ejemplos de ellos
tenemos:
El trapezoide no es un
paralelogramo, pero cumple
con las propiedades básicas
de estos polígonos, la suma
de sus ángulos internos es
de 360º.
Cuadrado
Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos
entre sus opuestos.
Sus lados son de igual longitud y forman cuatro
ángulos rectos, es decir de 90º.
Rectángulos
Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos
entre sus opuestos que forman cuatro ángulos
rectos, es decir de 90º.
Los lados opuestos tienen la misma longitud entre
sus opuestos.
Rombo
El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus
cuatro lados son de igual longitud y son paralelos
entre sus opuestos.
Romboide
El romboide es un paralelogramo de cuatro lados
cuyos opuestos son de igual longitud. Los
ángulos formados por estos lados no son rectos,
por lo tanto no es un rectángulo. Cada par de
lados opuestos son de diferente longitud.
Bibliografía
•
•
- Libro para 4º Año Básico "Pensamiento y Matemática", Proyecto Espiral, Editorial Santillana,
2007.
- "Geometría con aplicaciones y solución de problemas", Addison Wesley y Longman, 1998.
Linkografía
Nombre del Recurso
Enlace
- "Diccionario de Geometría", Waldo Montecinos Perez,
USACH, 2001.
http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/mpwe.html
- El Mundo de las Matemáticas "Los Polígonos", Educa
Red Chile.
http://www.educared.cl/educared/hojas/articulos/detalleartic
ulo.jsp?pagina=1&idapr=27_178_esp_4__&articulo=3312
- "Actividad Interactica sobre Rectas y Ángulos", Portal
GenMagic.Org - Investigación Multimedia Educativa, Roger
Rey y Fernando Romero.
-Enciclopedia Online Wikipedia
- Área Matemáticas de Escolares.net
http://www.genmagic.org/mates1/ra1c.swf
http://es.wikipedia.org
http://www.escolares.net
Para recordar:
Punto
Recta
Rayo
Segmento
x
Para recordar:
Línea Curva Abierta
Línea Curva Cerrada
Línea Poligonal Abierta
Línea Poligonal Cerrada