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CAPITULO 5 Cuadripolos Teoría de Circuitos I Hemos visto que una red arbitraria de dos terminales (dipolo) compuesta por fuentes y elementos pasivos puede representarse por su equivalente de Thevenin o de Norton. Podemos extender el concepto de circuito equivalente para incluir una clase importante de redes de cuatro terminales denominadas cuadripolos. En la figura siguiente se muestra un cuadripolo vinculado a una red genérica y la nomenclatura asociada a los bornes. a y a’ configuran el Puerto 1 (entrada) b y b’ configuran el Puerto 2 (salida) IMPORTANTE !!! RED GENÉRICA Para que sea un cuadripolo se debe cumplir que: I1 = I 1 ’ y I2 = I 2 ’ Se denomina cuadripolo a cualquier red de cuatro terminales (dos puertos) en la cual se cumple que la corriente neta que entra a cada puerto es igual a cero. Las condiciones impuestas a las corrientes que entran a un cuadripolo son, a veces, el resultado de los elementos que lo componen, sin embargo, frecuentemente, dichas condiciones dependen de la forma en que se conecta a otros cuadripolos o a la red. Algunos ejemplos, 1) 3) 2) jw M I I 1 j w L1 * * 4) 2 jw L2 Caracterización de cuadripolos De las cuatro variables, V1, V2, I1 e I2, un par cualquiera puede considerarse como variables independientes, y el par restante como variables dependientes. Así, tenemos 6 posibles combinaciones para elegir el par de variables independientes. Para cada una podremos escribir las variables dependientes como combinación lineal de las restantes. A diferencia de los dipolos que pueden caracterizarse mediante un solo parámetro (relación entre una variable independiente y una dependiente, como ocurre en una resistencia V = R I), un cuadripolo requiere cuatro parámetros, siendo posibles seis conjuntos diferentes de cuatro parámetros cada uno. Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y ) Tomando V1 y V2 como variables independientes, e I1 e I2 como dependientes, podemos escribir: I1 y11 .V1 y12 .V2 I 2 y21 .V1 y22 .V2 Donde, los parámetros quedarán definidos según: I1 y11 V1 V2 0 I1 y12 V2 V1 0 I2 y21 V1 V2 0 I2 y22 V2 V1 0 Para el cálculo práctico de y11 y y21 podemos cortocircuitar los bornes 2-2’, conectar una fuente V1=1V, medir I1 e I2 y calcular las relaciones respectivas. Un los otros de y12 y y22 • Enplanteo caso de similar trabajar vale en CCpara hablaremos de conductancias. + parámetros 1V por ej. V =1V cortocircuitando los bornes 1-1’ y forzando • y , y son las admitancias de entrada vistas desde21-1' o 2-2‘. 11 22 • y12 , y21 son las admitancias de transferencia. Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y ) En notación matricial: I1 y11 I y 2 21 y12 V1 V1 . Y . y22 V2 V2 Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como las LKC en dos nudos: I1 y11 .V1 y12 .V2 I 2 y21 .V1 y22 .V2 Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo como: Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z ) Tomando I1 e I2 como variables independientes, y V1 y V2 como dependientes, tenemos: V1 z11 . I1 z12 . I 2 V2 z21 . I1 z22 . I 2 Donde, los parámetros quedarán definidos según: V1 z11 I1 I 2 0 V1 z12 I2 I1 0 V2 z21 I1 I 2 0 V2 z22 I2 I1 0 Para calcular los parámetros z11 y z21 podemos dejar los bornes 2-2' abiertos, conectar una fuente I1=1A, medir V1 y V2 y calcular las relaciones correspondientes. + + Un los otros parámetros de z y • Enplanteo caso de similar trabajar vale en CCpara hablaremos de resistencias. 12 V2 z22 1A V1 dejando los bornes 1-1’ forzando por- desde ej. I2 =1A • z , z abiertos son las impedancias de yentrada vistas 1-1' o 2-2‘.11 22 • z12 , z21 son las impedancias de transferencia. Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z ) En notación matricial: V1 z11 V z 2 21 z12 I1 I1 . Z . z22 I 2 I2 Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como las LKT en dos mallas: V1 z11 . I1 z12 . I 2 V2 z21 . I1 z22 . I 2 Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo como: Parámetros híbridos ( H ) Tomando I1 y V2 como variables independientes, y V1 e I2 como dependientes, tenemos: V1 h11 . I1 h12 .V2 I 2 h21 . I1 h22 .V2 Donde, los parámetros quedarán definidos según: V1 h11 I1 V2 0 V1 h12 V2 I1 0 I2 h21 I1 V2 0 I2 h22 V2 I1 0 Para calcular h11 y h21 habrá que cortocircuitar los bornes 2-2' y realizar los cálculos correspondientes, mientras que para calcular h12 y h22 deberemos dejar los bornes 1-1' abiertos. • h11 impedancia de entrada del puerto 1 con el puerto 2 cortocircuitado • h12 inversa de la ganancia en tensión en circuito abierto. • h21 ganancia de corriente en cortocircuito. • h22 admitancia de entrada del puerto 2 con el puerto 1 en circ. abierto. Parámetros híbridos ( H ) A diferencia de los parámetros Y y Z que tienen dimensiones de y respectivamente, los parámetros H tienen diferentes dimensiones (inclusive hay 2 que son adimensionales). En notación matricial: V1 h11 h12 I1 I1 . H . I h 2 21 h22 V2 V2 En este caso podemos pensar la primera ecuación como una LKT, la segunda como una LKC y sintetizar un modelo de cuadripolo: Parámetros híbridos ( H’ ) También podríamos haber definido una segunda matriz híbrida, tomando como variables independientes la tensión V1 y la corriente I2. A esto parámetros se los conoce como parámetros H’. I1 h '11 .V1 h '12 . I 2 V2 h '21 .V1 h '22 . I 2 En notación matricial: I1 h '11 h '12 V1 V1 . H ' . V h ' 2 21 h '22 I 2 I2 Se ve claramente que H' = H-1 si H es no singular. Ejercicio: Plantear un modelo circuital genérico de un cuadripolo representado a partir de parámetro H’. Parámetros de transferencia o fundamentales ( T ) Tomando I2 e V2 como variables independientes, y V1 e I1 como dependientes, tenemos: V1 A.V2 B . I 2 I1 C .V2 D . I 2 Donde, los parámetros quedarán definidos según: V1 A V2 I 2 0 V1 B I2 V2 0 I1 C V2 I 2 0 I1 D I2 V2 0 En este caso los ensayos para poder determinar los parámetros se realizan cortocircuitando (para los parámetros B y D) o dejando abierto (para los parámetros A y C) el puerto 2. • A : ganancia de tensión c/puerto 2 en circuito abierto. • B : impedancia de transferencia en cortocircuito. • C : admitancia de transferencia en circuito abierto. • D : opuesto de la ganancia de corriente c/puerto 2 en cortocircuito Parámetros de transferencia o fundamentales ( T ) En notación matricial: V1 A B V2 V2 I C D . I T . I 2 1 2 En este caso, no se puede dibujar un circuito equivalente como se hizo en los casos anteriores, dado que ambas ecuaciones corresponden a las variables tensión y corriente en el mismo puerto. Estos parámetros son muy convenientes para analizar redes conectadas en cascada, como se vera más adelante. Parámetros de transferencia inversa ( T’ ) Si hubiéramos tomando como variables independientes la tensión V1 y la corriente I1 podríamos también haber definido una segunda matriz de transferencia, tal que: V2 t '11 .V1 t '12 . I1 I 2 t '21 .V1 t '22 . I1 En notación matricial: V2 t '11 t '12 V1 V1 . T '. I t ' 2 21 t '22 I1 I1 Vemos que, la matriz de transferencia directa T expresa tensión y corriente en el puerto 1 en función de la tensión y corriente en el puerto 2, y la matriz de transferencia inversa T ' expresa la tensión y corriente en el puerto 2 en función de la tensión y corriente en el puerto 1, resulta que ambas matrices son inversas, es decir [T'] = [T]-1. Cálculo de parámetros para un circuito Ejemplo 1: Hallar los parámetros Z para el circuito mostrado Las ecuaciones de los parámetros Z son: =0 + V1 z11 . I1 z12 . I 2 V1 V2 z21 . I1 z22 . I 2 + V2 - Por lo tanto, forzando V1 y dejando abierto el puerto 2 podemos calcular z11 y z21: I2=0 I1= - I V1 I1 rb I re I1 rb re rb re z11 I1 I1 I 2 0 I1 I2=0 I1= - I V z21 2 I1 I 2 0 I rc I re I1 I1 rc re re rc I1 Cálculo de parámetros para un circuito Ejemplo 1: Hallar los parámetros Z (continuación) =0 + + V1 V2 - Para calcular z12 y z22 dejamos el puerto 1 en circuito abierto. V z12 1 I2 V z22 2 I2 - I = I2 I re I 2 re re I2 I2 I1 0 - I = I2 I I 2 rc I1 0 I2 I 2 I 2 rc I2 1 rc Cálculo de parámetros a partir de ensayos Ejemplo 2: Se realizaron los siguientes ensayos sobre un cuadripolo. Proponer un modelo cuadripolar. Puerto 2 abierto: V1 = 8 mV I1 = 4 µA Puerto 2 en cortocircuito: V1 = 5 V I1 = 5 mA V2 = - 8 V C I2 = 250 mA Como las variables que se anulan en los ensayos son siempre las variables independientes, V1 e I1 se escribirán en función de las mismas tal que: V1 A.V2 B . I 2 I1 C .V2 D . I 2 luego V1 A V2 C I1 V2 8 mV 8 V I 2 0 I 2 0 4 A 8 V V1 B I2 D I1 I2 5V 250 mA V2 0 V2 0 5 mA 250 mA Relaciones entre los distintos tipos de parámetros Sucederá a veces que teniendo expresado un cuadripolo a través de un determinado juego de parámetros, nos interesará conocer otra representación. Para ello, operando algebraicamente, podremos obtener cualquiera de los otros juegos de parámetros. Ejemplo 3: Hallar los parámetros H en función de los Z Conocidos V1 z11 . I1 z12 . I 2 queremos V2 z21 . I1 z22 . I 2 calcular Despejando I2 de la segunda ecuación: I2 V1 h11 . I1 h12 .V2 I 2 h21 . I1 h22 .V2 1 z .V2 21 . I1 z22 z22 Reemplazando en la primer ecuación y reagrupando tenemos: V2 z21 . I1 z12 z11. z22 z12 . z21 V1 z11 . I1 z12 . . I1 .V2 z22 z22 z22 Relaciones entre los distintos tipos de parámetros De manera similar se pueden calcular las restantes relaciones entre los diferentes parámetros (en el apunte pueden encontrarse otros ejemplos). Todos los resultados están en la: Ejemplo anterior H = f( Z ) Cuadripolos recíprocos Se dice que un cuadripolo es recíproco si su matriz de admitancia en cortocircuito y su matriz impedancia en circuito abierto son simétricas (es decir, si aij = aji para todo j). En otras palabras, si es simétrica respecto a la diagonal principal. Para que se verifique esta condición el cuadripolo solo debe contener elementos pasivos (pero no fuentes controladas). Analizando las ecuaciones del modelo en parámetros Z: V1 z11 . I1 z12 12 . I 2 V2 z1212 . I1 z22 . I 2 Vemos entonces que podemos caracterizarlo solo con tres parámetros. Si suponemos que las ecuaciones anteriores corresponden al método de bucles, vemos que existe un vínculo galvánico entre las mallas de entrada y de salida debido justamente al elemento z12 . Cuadripolos recíprocos Luego, podemos proponer un circuito que sintetice al cuadripolo, tal que se cumpla: V1 z11 . I1 z12 . I 2 z11 - z12 z22 - z12 C C z12 V2 z12 . I1 z22 . I 2 I 2 y12 .V1 y22 .V2 y12 C A este modelo circuital se lo denomina modelo “ ”. y22 - y12 I1 y11 .V1 y12 .V2 y11 - y12 A este modelo circuital se lo denomina modelo “ T ”. Análogamente, veamos que ocurre si consideramos las ecuaciones de un cuadripolo a partir de sus parametros Y, pero pensando en ecuaciones de nudos: Transformaciones de red T a red Ambas representaciones son únicas para redes recíprocas, es decir, cada red recíproca tiene una y sólo una T equivalente, y una y solo una equivalente. Surge así que cualquier red T que consista sólo en elementos pasivos tiene una red equivalente también pasiva, y viceversa. La transformación de T a es la que se conoce como estrella-triángulo, fue analizada en el Capítulo 4, z12 z A . zB z A . zC z1z. zB12. zC z . z z ..zz z B . zC z z. z. z z . z z B . zC zA z1 zBA B 12A C2 zC z2 A 1 B 2 A C zCz1 z12 z2 z1 zz12B z2 z1 z12 z2z A Interconexión de cuadripolos A continuación, analizaremos las distintas posibilidades de interconectar 2 cuadripolos según como se conecten entre si los puertos de entrada y de salida de cada cuadripolo. Así, tendremos cinco opciones: serie-serie, paralelo-paralelo, en cascada y mixta (serie-paralelo o paralelo-serie). Es interesante analizar para cada una cuál es el juego de parámetros más conveniente para hallar un cuadripolo equivalente. Interconexión paralelo-paralelo (o simplemente paralelo) En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idénticas tensiones de entrada (V1) e idénticas tensiones de salida (V2) por lo que decimos que se encuentran en paralelo. Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que las variables independientes sean las tensiones: I1o y11o .V1o y12o .V2o o I1o V I1 y11 .V1 y12 .V2 I1 V o 1 1 o Y o Y o o o o o I 2 y 21 .V1 y 22 .V2 I 2 V2 I 2 y 21 .V1 y 22 .V2 I 2 V2 Observando la corriente del cuadripolo total: o o o I I I I V1 I 1 o 1 1 1 1 o V1 V1 o Y o Y Y Y I o 2 I 2 I 2 I 2 I 2 V2 V2 V2 o V1 V1o V1 y V2 YVequiv 2 V2 Interconexión serie-serie (o simplemente serie) En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idénticas corrientes de entrada (I1) e idénticas corrientes de salida (I2) por lo que decimos que se encuentran en serie. Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que las variables independientes sean las corrientes: V1o z11o . I1o z12o . I 2o o V1o I o 1 Z V2o z 21o . I1o z 22o . I 2o V2o I 2o V1 z11 . I1 z12 . I 2 V1 I 1 Z V2 z 21 . I1 z 22 . I 2 V2 I 2 Observando la tensión del cuadripolo total: o o o V V V V V 1 I I 1 1 1 1 o 1 1 Z Z V o o o 2 V2 V2 V2 V2 I2 I2 I1 I1o I1 I1 Z Z I2 y I 2 IZ2oequiv I 2 o Interconexión mixta serie-paralelo En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idéntica corriente de entrada (I1) e idéntica tensión de salida (V2) por lo que decimos que la interconexión es mixta. Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que las variables independientes sean I1 y V2: V1o h11o . I1o h12o .V2o o V1o I o 1 o H o o o o o o I 2 h21 . I1 h22 .V2 I 2 V2 V1 h11 . I1 h12 .V2 V1 I 1 H I 2 h21 . I1 h22 .V2 I2 V2 Observando las variables V1 y I2 del cuadripolo total: o o o V V V V V I1 I I 1 o 1 1 o 1 1 1 1 o H o H H H I o 2 I 2 I 2 I 2 I 2 V2 V2 V2 I1 I1o I1 y V2 H V2oequiv V2 Interconexión mixta paralelo-serie En esta interconexión ambos cuadripolos tienen idéntica tensión de entrada (V1) e idéntica corriente de salida (I2) por lo que, como en el caso anterior, decimos que la interconexión es mixta. Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que las variables independientes sean V1 y I2: o I1o h11o .V1o h12o . I 2o I1o I h . V h . I V I V 1 1 2 o 1 1 1 11 12 H H I o V h .V h . I V I V2o h21o .V1o h22o . I 2o V2o 1 2 2 2 2 2 21 22 Observando las variables I1 y V2 del cuadripolo total: o o o I I I I I 1 o 1 1 1 1 o I1 I1 H H H H V o o o 2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 o V V V o V y V H V equiv 1 1 1 2 2 2 V1 V2 Interconexión de cuadripolos Resumiendo, de acuerdo a como estén conectados los puertos de entrada y los puertos de salida de los cuadripolos será conveniente utilizar un juego de parámetros determinados para hallar una representación equivalente resultante de la interconexión. PARALELO SERIE Puertos de salida Puertos de entrada SERIE PARALELO Z equiv Z o Z H'equiv H' o H' H equiv H o H Yequiv Y o Y Interconexión en cascada (o en tandem) En esta interconexión el puerto de salida de un cuadripolo se conecta al puerto de entrada del siguiente. Así, dado que las variables de salida de un cuadripolo son las variables de entrada del siguiente, el modelo más conveniente para analizar la interconexión será el de parámetros T. o V1o V V1 V o 2 V1 A .V2 B . I 2 2 o T o T o o o o o I1 C .V2 D . I 2 I1 I 2 I 2 I1 C .V2 D . I 2 I1 V1o Ao .V2o B o . I 2o Observando las variables de entrada del cuadripolo total tenemos: o o V V V V V 1 o V2 o o 1 2 1 o 2 I o T . o T . T . T T . T I I I I I 2 1 1 1 2 2 V2 V2 y I 2Tequiv I2 V2o V1 y I 2o I1 Observ: El producto matricial no es conmutativo! Respetar el orden según la conexión! Ejemplo 4: Interconexión de cuadripolos Hallar los parámetros del cuadripolo equivalente correspondiente a la conexión mostrada. Lo primero que observamos es que ambos cuadripolos comparten en sus puertos de entrada la misma tensión (V1) y en sus puertos de salida también (V2). Conviene utilizar los Interconexión paralelo-paralelo parámetros Y Para determinar los parámetros Y de cada cuadripolo habrá que ensayar cada cuadripolo con un corto en el puerto de entrada y con un corto en el puerto de salida y hallar las impedancias correspondientes. I1 y11 .V1 y12 .V2 I 2 y21 .V1 y22 .V2 Ejemplo 4: Continuación Cuadripolo 1: salida enencorto Ensayando el puerto de entrada corto =0 + V1 =0 II11 y 11 12 + V12 V2 I 22 y21 22 V12 1 0 2 x 106 VV2100 105 V1 1 75 105 75 VV21 0 75 V1 Cuadripolo 2: + V1 + V2 y1211 I1 V12 y2221 I2 V21 I2 1 2 1 3 2I 2x 10310 3 10 V21 0 2 2 I2 I12 1 3 3 I 23 103 103 10 V1200 I10 1 10 2 Ejemplo 4: Continuación Así, tenemos nuestra interconexión de dos cuadripolos en paralelo, donde cada cuadripolo está caracterizado por sus paramtros Y. 1 2 x 106 YC1 105 75 0 1 75 1 2 x 103 YC2 1 3 10 Cequiv 1 103 2 103 C1 C2 Luego, como se dedujo anteriormente, el cuadripolo equivalente estará caracterizado por: Yequiv YC1 YC2 Ejemplo 5: Interconexión de cuadripolos Para la siguiente interconexión de los cuadripolos C1 y C2 se conocen dos ensayos realizados sobre C1 y la matriz H del cuadripolo 2. + V1 - I2 C1 + V2 - C2 Cuadripolo 2: V2 = 8 V V2 = 2,5 V H C2 103 10 3 10 10 Cuadripolo 1: 1) Puerto 1 en circuito abierto: V1 = 8 mV I2 = 4 mA 2) Puerto 2 en circuito abierto: V1 = 5 V I1 = 1 mA I1 Cequiv Determinar el modelo cuadripolar equivalente más conveniente para caracterizar la interconexión. Lo primero que vemos es que la interconexión es del tipo cascada, por lo que conviene trabajar con los parámetros T de cada cuadripolo. A su vez de los ensayos sobre C1 vemos que al ser la variables independientes las que se anulan podemos calcular sus parámetros Z. Ejemplo 5: Continuación Cuadripolo 1: z21 V1 I1 V2 I1 I 2 0 5V 5K 1mA z12 2,5V 2,5K 1mA z22 I 2 0 V1 I2 V2 I2 I1 0 8mV 2 4mA I1 0 8V 2K 4mA Cuadripolo 2: HC2 Tabla 9,9 TC 2 -3 0,1 x 10 Tabla 2 TC1 -3 0, 4 x 10 TC1 3998 0,8 TC2 H C2 103 10 3 10 10 ZC1 z11 1 0,1 Como ya vimos anteriormente para la interconexión en cascada, la matriz de parametros equivalente Tequiv se obtiene a partir de la multiplicación matricial de TC1 por TC2. Tequiv TC1 TC2