Download Azar y Probabilidad.

PROBABILIDAD
U.D. 11
@ Angel Prieto Benito
*
2º BCS
Matemáticas 2º Bachillerato CS
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AZAR Y
PROBABILIDAD
U.D. 11.1
@ Angel Prieto Benito
*
2º BCS
Matemáticas 2º Bachillerato CS
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Experimentos aleatorios
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SUCESOS ALEATORIOS
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Hay muchos fenómenos en los que, antes de que se produzcan, se puede
predecir el resultado. Mientras que hay otros que dependen del azar y se les
llama sucesos aleatorios. En éstos últimos por mucho que se repita el
experimento y en las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado.
El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E.
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Ejemplos:
Lanzamiento de una moneda al aire.
Lanzamiento de un dado al aire.
Extraer una carta de una baraja.
Extraer una bola en un sorteo de lotería.
Etc.
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3
LEY DEL AZAR
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LEY DEL AZAR
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Aunque no se puede predecir el resultado de un suceso donde interviene el
azar, por ejemplo al lanzar un dado al aire, si se repite la experiencia muchas
veces, se observa que cada uno de los distintos resultados aparece
aproximadamente el mismo número de veces. Las frecuencias absolutas y
relativas tienden a igualarse.
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Veamos un ejemplo:
Si lanzamos un dado (no trucado) al aire 6 veces, lo más seguro es que no
obtengamos los seis resultados posibles.
Si lo lanzamos 60 veces, es muy posible, casi seguro, obtener los seis
resultados, aunque con distintas frecuencias relativas.
Si lo lanzamos 6 millones de veces, es muy posible que cada resultado del 1 al
6 haya salido aproximadamente un millón de veces.
Si seguimos lanzando el dado millones de veces más, la frecuencia de todas las
modalidades se igualará, y tendrá un valor de:
fr = 1/6 = 0,166667
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LEY DE LAPLACE
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LEY DE LAPLACE
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La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de
casos favorables y el número de casos posibles.
casos favorables
P(A) = -----------------------------------casos posibles o totales
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Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno
de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la
misma probabilidad de que sucedan.
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Ejemplo
Lanzamiento de un dado al aire.
Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6
Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3
P(A) = P(de que nos resulte par) = 3 / 6 = 0,5
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EJERCICIOS DE LAPLACE
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ENUNCIADO COMÚN
En una urna tenemos 9 bolas de igual forma y tamaño. Dos son
Negras, tres son Rojas y las cuatro restantes Blancas. Sabemos que
están numeradas del 1 al 9.
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EJERCICIO_1
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¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar y sin
reinserción, nos salgan dos rojas y una negra, en ese orden?.
3
2
3
2
1
P(R∩R∩N) = P(R).P(R).P(N) = ----- . ----- . ----- = ----- = ---- = 0,0357
9
8
7
56 28
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Al ser sin reinserción, el total serán 9, 8 y 7 bolas respectivamente.
Al tener que cumplirse todas habrá que realzar el producto.
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6
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EJERCICIO_2
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¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos bolas al azar las dos
tengan números impares?
5
4
20
5
P(I∩I) = P(I).P(I) = ----- . ----- = ------ = ------ = 0,2777
9
8
72
18
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Al ser sin reinserción, el total serán 9 y 8 bolas respectivamente.
Al tener que cumplirse todas habrá que realzar el producto.
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EJERCICIO_3
•
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar no sea
ninguna bola negra?
_ _ _
_
_
_
8
7
6
6
2
P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = ----- . ----- . ----- = ----- = ---- = 0,6667
9
8
7
9
3
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•
Al ser sin reinserción, el total serán 9, 8 y 7 bolas respectivamente.
Al tener que cumplirse todas habrá que realzar el producto.
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7
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EJERCICIO_4
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¿Cuál es la probabilidad de que al extraer seis bolas al azar y sin
reinserción, nos salgan tres Blancas, dos Rojas y una Negra, en
cualquier orden ?.
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Al no importar el orden emplearemos las combinaciones.
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C4,3 . C3,2 . C 2,1
4.3.2
2
P(3B∩2R∩N) = ---------------------------- = ------------- = ---- = 0,2857
C9,6
9.8.7 / 6
7
•
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco bolas al azar y sin
reinserción, una sea Blanca y ninguna de las otras cuatro sea Negra?
•
•
•
•
_
C2,0 . C 4,1. C6,4
1. 4. 15
20
P(B∩N) = ----------------------------- = ------------------ = ------ = 0,4762
C9,5
9.8.7.6 / 24
42
Una blanca, ninguna negra y cuatro de colores rojo o blanco.
EJERCICIO_5
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8
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EJERCICIO_6
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¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar y con
reinserción, el número obtenido sea el mismo en las tres?.
En la primera bola extraída no importa el resultado. En las otras dos
extracciones el resultado debe ser el de la primera bola.
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•
9 1 1
9
1
P(X∩X∩X) = --- . --- . --- = ----- = ---- = 0,0123
9 9 9
93 81
•
•
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Extraer tres bolas al azar y con reinserción son variaciones con
repetición de 9 elementos tomados de tres en tres.
Casos totales: 93
Casos favorables: 9 {111,222,333,444,555,666,777,888,999]
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P(Tres números iguales)= 9 / 93 = 0,0123
Otra forma de resolverlo:
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9
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EJERCICIO_7
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¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar , la suma
de los tres números obtenidos sea mayor de 22?
¿Y de que un número sea la suma de los otros dos?
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Espacio muestral favorable =
= {987, 978, 789, 798, 879, 897, 986, 968, 689, 698, 869, 896}
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P(S>22) = 12 / 93 = 0,016461
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•
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Espacio muestral favorable =
= Permutaciones de las siguientes ternas: {954, 743, 532}
Cada terna son 3! = 6 elementos.
En total 18 elementos o sucesos favorables.
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P(X=Y+Z) = 18 / 93 = 2 / 81 = 0,0246
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