Download CONTRASTES DE HIPÓTESIS Tema 14.2 * 2º BCS

TEST DE HIPÓTESIS
U.D. 15 * 2º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 2º Bachillerato CS
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CONTRASTE PARA LA
PROPORCIÓN
U.D. 15.6 * 2º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 2º Bachillerato CS
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CONTRASTES PARA LA PROPORCIÓN
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Veremos ahora la forma de tomar una decisión en base a datos
estadísticos, controlando el margen de error que podemos cometer.
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Supongamos que una empresa privada, decide otorgar un premio a
aquellos centros, en los que más de 7 de cada 10 alumnos superen una
determinada prueba.
Como no puede (por razones económicas, de tiempo, disponibilidad, etc)
realizar la prueba en todos los alumnos en cada centro, decide elegir una
muestra aleatoria de 49 alumnos de cada centro, y que sean ellos los que
realicen la prueba.
Imagina que en nuestro centro, se han obtenido los siguientes
resultados: pr = 0,75
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Ahora bien, la empresa se plantea la siguiente duda, ¿puede afirmar con
seguridad que la proporción del centro es superior a 0,70, o por el contrario
el resultado obtenido se debe al azar en la elección de la muestra ( es
decir, en la muestra entraron por casualidad muchos empollones)?.
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Nuestro centro, dado su convencimiento de merecer el premio, propone el
siguiente proceso:
Para probar que " la proporción p es superior a 0,70 " (1),
supondremos en principio lo contrario, es decir que " la proporción es
menor o igual que 0,70 " (2), y veremos en términos probabilisticos la
posibilidad de que esto último ocurra.
Llegan al acuerdo de que si la probabilidad de que " la proporción sea
menor o igual a 0,70 " es menor del 5%, se aceptará la hipótesis del centro
y se concederá el premio.
El centro argumenta lo siguiente:
Si la hipótesis (2) fuera cierta, es decir, la proporción menor o igual a 0,70,
en el caso extremo la proporción sería 0,70, y la distribución muestral de
proporciones sería N(0,70, √0,7.0,3/49) = N(0,70 ; 0,06546)
Si esto es así, en como mínimo el 95% de los casos, la proporción muestral
habría de ser menor que el valor t=0,70 +1,65x0,06546 = 0,808 para el que
se verifica que:
p(X > t) = 0,05
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Este valor t se obtiene buscando en primer lugar la proporción típica k para
la que p(Z<k)=0,95 , que resulta ser k=1,65. Los valores que se
encuentran a más de 1,96 desviaciones de la proporción p, superiores a
t=0,70+1,65x0,06546=0,808 son los que forman la región crítica, es decir
las proporciones que tienen una probabilidad de producirse menor del 5%.
N(0,70; 0,06546)
0,70
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0,808
Podría ocurrir que la hipótesis (2) fuera cierta y la media proporción pr =
0,75 perteneciera a esa distribución y fuera un valor correspondiente a la
región crítica (y la probabilidad de que ello ocurra es del 5%), o bien que lo
que ocurra realmente, es que (2) sea falsa, y la proporción obtenida
pertenezca a una distribución muestral con proporción, pr, superior (por
ejemplo 0,76 ), con lo cual tal valor no sería tan raro.
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En estadística, "se apuesta" a lo que tiene mayor probabilidad de ocurrir,
por lo que se considera que la segunda elección es la correcta.
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Puesto que suponiendo que la proporción muestral, pr, es como máximo
0,70 en, al menos, 95 de cada 100 muestras la proporción debería de ser
menor que 0,808, y dado que la proporción muestral obtenida fue 0,75 (que
se encuentra en la región crítica), el centro concluye que:
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"Con un nivel de significación del 5%, existe evidencia suficiente de que la
proporción de aprobados es superior a 0,70 ".
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Si el nivel de significación fuera menor , la región crítica disminuiría, y
tendremos más confianza en una decisión de rechazo de la hipótesis nula.
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