Download Variable aleatoria discreta. Función de probabilidad

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
U.D. 14 * 1º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
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VARIABLE DISCRETA
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
U.D. 14.1 * 1º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
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Definiciones
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En un experimento aleatorio se llama variable aleatoria toda función
que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.
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Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar valores
aislados (valores finitos en un intervalo finito).
Por ejemplo, edad de una persona, nº de hermanos, etc.
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Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar todos los
valores posibles de un intervalo (infinitos valores en un intervalo finito).
Por ejemplo, peso de una persona, altura de una persona, etc.
La función o distribución de probabilidad de una variable aleatoria
discreta, X, es la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable
su probabilidad pi.
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PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
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1.La probabilidad pi de un valor xi, pi = P(X = xi) es un número no negativo
entre 0 y 1
0 ≤ pi ≤ 1
2.La suma de las probabilidades de los valores del recorrido de la variable
es 1.
Σ pi = 1
3.La probabilidad de que una variable aleatoria tome algún valor dentro de
un conjunto de valores concretos es la suma de probabilidades asociadas a
cada uno de ellos.
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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1
Se lanzan un dado al aire con 1 uno, 2 doses y 3 treses.
Valores de la variable aleatoria discreta
xi
1
2
3
Probabilidades correspondientes
pi
1/6
2/6
3/6
Se observa que los valores de pi son positivos, entre 0 y 1.
La suma de probabilidades es 1/ 6 + 2/ 6 + 3/6 = 6/6 = 1
P(1 ≤ X ≤ 2) = P(X=1)+P(X=2) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = ½ = 0,50
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EJEMPLO DE APLICACIÓN 2
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Un grupo de diez amigos acostumbran a salir juntos frecuentemente.
Pero cada vez que salen, el número de ellos es aleatoriamente
distinto.
Sea x el nº de personas que salen juntas. Sabemos que 3 ≤ x ≤ 10.
X es una variable DISCRETA, o sea toma valores finitos ( enteros en
este caso ) en [ 3 , 10 ]
Imaginemos que anotamos el número de ello cada vez que salen
juntos, o sea repetimos la misma observación hasta un número muy
grande de veces.
Según la ley del azar, en todo experimento aleatorio, las frecuencias
relativas tienden a su probabilidad cuando el número de datos es
suficientemente grande.
Vemos que las frecuencias relativas se han convertido en las
probabilidades. La variable estadística x toma el nombre de variable
aleatoria en la distribución de probabilidades.
La distribución de probabilidad es una idealización de la distribución
de frecuencias.
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Tabulación de resultados observados
X
3
4
5
6
7
8
9
10
f
1
0
1
3
0
0
3
2
10
f
5
10
18
27
19
11
7
3
100
f
18
19
36
32
26
30
26
15
200
f
100
130
240
200
140
80
60
50
1000
hi
0,10
0,13
0,24
0,20
0,14
0,08
0,06 0,05
1
P(X)
0,10
0,13
0,24
0,20
0,14
0,08
0,06 0,05
1
La frecuencia relativa (hi) es hi = f / Σ f , que es la probabilidad P(x)
cuando Σ f es muy grande.
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… EJEMPLO 2
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Se observa que las
distintas probabilidades
presentan un valor positivo
entre 0 y 1.
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P(X=xi)
0,24
La suma de las
probabilidades de todos los
valores posibles de la
variable es la unidad.
Es una función de
probabilidad discreta.
Calculemos la probabilidad
de que se junten 5, 6 ó 7
amigos:
P(5 ≤ X ≤ 7) = P(X=5) +
+ P(X=6) + P(X=7) =
= 0,24 + 0,20 + 0,14 =
= 0,58
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0,20
0,14
0,10
0,05
3
4
5
6
7
8
9
10
X
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