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Área del triángulo inscrito en
una circunferencia
Dado un triángulo cualquiera ABC, de lados a, b, c,
la superficie del mismo es el producto de sus lados
dividido por cuatro veces el radio de la
circunferencia que lo circunscribe.
a b c
ST 
4 R
Trazamos desde C un diámetro que acaba en A´.
Dado un triángulo cualquiera ABC, de lados a, b, c, la
superficie del mismo es el producto de sus lados dividido
por cuatro veces el radio de la circunferencia que lo
circunscribe.
Los ángulos A y A´son iguales
B
A´
c
h
Aplicamos el Teorema de los senos
al triángulo A´BC
sen A´ sen B

a
2R
a
¿?
Pero “el nuevo” B es recto
Por tanto, tenemos
R
C
A
¿?
b
b h b  c  sen A b  c  a
ST 


2
2
22R
sen A  sen A´
a
2R
Por otra parte, el área del triángulo ABC es
Esto es
a b c
ST 
4 R
Como queríamos demostrar
Teorema: Cualquier punto de la circunferencia determina
con el diámetro un triángulo rectángulo
Tracemos el radio OB
B
OAB es isósceles
a
b
a
A
¿?
OBC también
b
O
C
Y, como los ángulos de un
triángulo suman 180º,
a  a  b  b  180º
a  b  90º
Y, así, el triángulo es recto en B
Teorema: En una circunferencia, ángulos correspondientes a arcos
iguales son iguales
Basta demostrarlo suponiendo uno de los triángulos con lado igual al diámetro
¿?
Trazamos un radio
A
Aparece el ángulo 2a
b
b-x
T
Trazamos otro radio
180-b-x
180-b-x
¿?
Aparecen b y b
x
b
b-x
Aparecen b-x y b-x
Observar los ángulos
180-b-x y 180- b-x
2a
O
En el triángulo OAT
(180º-b - x)  (b - x)  2a  180º
De donde
a
Y, así
- 2x  2a  0
ax