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TRIGONOMETRÍA
(Primera parte)
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se
puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir
del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
2
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
3
• NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
4
NOCIONES PREVIAS
1. a. Proporcionalidad de segmentos y
semejanza
b.TEOREMA DE TALES
2. TEOREMA DE PITÁGORAS
1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
s h

S H
h
S. árbol
pequeño (s)
A
Sombra del árbol grande (S)
H
B
h
A’
B’
s
O
S
OB' BB'

 k (razón de proporcionalidad)
OA ' AA'
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
6
1.b. TEOREMA DE TALES
r
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos
iguales
sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
E’
D’
C’
B’
E’’
D’’
C’’
A’
B’’
O
A
O
A
B
C
D
E
r’
A’
B’
B
OA OA '
AB A ' B'

o tambien

OB OB'
OB OB'
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
7
Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
(En la calculadora MODE DEG)
(En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
de 1 giro
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL
360º
180º
90º
60’
60”
CENTESIMAL
400g
200g
100g
100m
100s
2

/2
RADIANES
8
Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal
60 º
210º
50g
S. centesimal
Radianes
S.sexagesimal
S. centesimal
Radianes
60g
100g
2π/3
5π/6
140º
240º
350g
90g
7π/8
25g
3
9
Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal
60 º
45º
120º
54º
210º
90º
150º
66g 66m
66s
50g
133g 33m
33s
60g
233g 33m
33s
100g
166g 66m
66s

3

4
3
10
7
6

2
5
6
S.sexagesimal
140º
315º
157º 30’
81º
240º
22º 30’
171º
53’14”
S. centesimal
155g
55m 55s
350g
175g
90g
266g 66m
66s
25g
190g 98m
59s
Radianes
14
18
7
4
7
8
9
20
4
3

8
3
S. centesimal
Radianes
2
3
10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO
B
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
a
Se definen seis razones trigonométricas
c
Cateto adyacente o contiguo a C
A
C
b
sen Ĉ 
cateto opuesto c

hipotenusa
a
sec Ĉ 
cos Ĉ 
cateto adyacente b

hipotenusa
a
cos ec Ĉ 
tg Ĉ 
cateto opuesto
c

cateto adyacente b
hipotenusa
a

cateto adyacente b
cot g Ĉ 
sec Ĉ 
1
cos Ĉ
hipotenusa
a

cateto opuesto c
cos ec Ĉ 
cateto adyacente b

cateto opuesto
c
cot g Ĉ 
1
sen Ĉ
1
tg Ĉ
11
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menores que la hipotenusa.
B
a
C
A
0<c<a
Es decir:
0<b<a
En consecuencia:
C
b
0  sen Ĉ 
c
1
a
sec Ĉ 
0  cos Ĉ 
b
1
a
cos ec Ĉ 
c
0  tg Ĉ   
b
a
1
b
a
1
c
0  cot g Ĉ 
b
 
c
12
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1. R.T. DE 30º y 60º
2. R.T. DE 45º
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
C
Sea ABC un triángulo equilátero
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
60º
l
l
Trazamos una altura CH
A
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
60º
y el ángulo C mide
30º
El lado BH mide
B
H
l
l/2
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras
2
l
x 2     l2
 2
x 2  l2 
2
l
4
x2 
x2 
4l  l
4
2
2
3l2
x
4
x
l
60º
2
3l
4
30º
x 
l
3
2
H
B
l/2
14
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
l 3
l 3
3
sen 60º  2 

l
2l
2
C
l 3
2
30º
l
l
l
1
cos 60º  2  
l 2l 2
l 3
l 3
3
cos 30º  2 

l
2l
2
3
sen 60º
2 3
tg 60º 
 2 
 3
1
cos 60º
2
2
1
2
1
3
tg 30º  2 


3
3 2 3
3
2
60º
H
B
l/2
Observa que:
sen 60º = cos 30º
l
l
1
sen 30º  2  
l 2l 2
sec 60º 
1
2
cos 60º
sec 30º 
1
2

cos 30º
3
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
cos ec 60º 
1
2

sen 60º
3
1
1
3
cot g 60º 


tg 60º
3
3
cos ec 30º 
cot g 30º 
1
2
sen 30º
1
3
3 3


 3
tg 30º
3
15
3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
C
D
Sea ABCD un cuadrado
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º
l
Trazamos la diagonal AC
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
45º
y el ángulo C mide
A
B
l
45º
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
Tª de Pitágoras
x
x  l l
2
2
2
x  2l
2
45º
l
45º
x  2l
2
2
x l
2
A
l
B
16
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
C
sen 45º 
l
l 2

1
2

2
2
45º
cos 45º 
l
l 2

l
1
2

2
2
l
tg 45º   1
l
1
2
2 2


 2
cos 45º
2
2
1
2
cos ec 45º 

 2
sen 45º
2
1
1
cot g 45º 
 1
tg 45º 1
l
45º
A
sec 45º 
2
l
B
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º
17
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
 y 90º 
C
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide
90º 
a
b
90º 
α
B
c
sen (90º  ) 
c
 cos 
a
sec 90º   
cos 90º   
b
 sen
a
cos ec 90º   
1
1

 sec 
sen 90º   cos 
c
 cot g
b
cot g 90º   
1
1

 tg
tg 90º   cot g
tg 90º   
A
1
1

 cos ec
cos 90º   sen
18
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA sen2  cos2   1
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
b c a
2
2
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
a
2
b
c
a
 2  2
2
a
a
a
Expresándolo de otra forma:
2
C
2
2
b c
    1
a a
O lo que es lo mismo:
Que normalmente expresaremos
de la forma:
b
α
B
c
A
sen 2  cos  2  1
sen   cos   1
2
2
19
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
C
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
b c a
2
2
2
B
Si dividimos la expresión anterior por
2
2
a
b2
o por
b
α
c
c2
A
b2 c 2 a2
 2  2
2
c
c
c
2
b
c
a


b2 b2 b2
Expresándolo de otra forma:
1  cot g   cos ec  
2
2
1  cot g2  cos ec 2
1  tg   sec  
2
2
1  tg2  sec 2 
20
Circunferencia goniométrica
1.
R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2.
VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULO
3.
VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA
COTANGENTE
4.
R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5.
R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6.
R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7.
R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
Uno de los lados del ángulo
Y
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
a
O
1
X
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.
22
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
Y
sen  
ordenada y' y
  y
radio
r 1
cos  
abscisa x' x
  x
radio
r 1
Q(x’,y’)
P(x,y)
a
O
1
r
X
tg α=
ordenada y' y
= = , si x  0
abscisa x' x
23
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
Y
sec α=
radio r 1
= = , si x  0
abscisa x' x
Q(x’,y’)
P(x,y)
cosec α=
radio
r 1
= = , si y  0
ordenada y' y
a
O
1
r
X
abscisa x' x
cotg α=
= = , si y  0
ordenada y' y
Observamos que los valores de las relaciones trigonométricas, no
dependen del punto elegido sobre el lado terminal del ángulo, por lo
tanto, a partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 24
(Circunferencia goniométrica)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
De acuerdo a las definiciones:
sen α  y  tg α
cos α x

α
tg α = sen
cos α
cos α  x  cotg α
sen α y
sα
 cotg α = sco
en α
1  1  sec α
cos α x
1
 sec α = cos
α
1  1  cosec α  cosec α = 1
sen α y
sen α
25
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
Y1
A
A’
En la circunferencia goniométrica dibujamos
120º (quitamos 60º a 180º)
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
y
120º
60º
60º
-1
-x
sen120º  y  sen 60º 
y
O
cos120º  x   cos 60º 
x
1
X
tg 120º 
-1
sec 120º  2
3
2
cos ec 120º 
2 3
3
1
2
y
y
    tg 60º   3
x
x
cot g120º  
3
3
26
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
210º (añadimos 30º a 180º).
Y1
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
1
2
3
cos 210º  x  cos 30º 
2
A
sen 210º   y  sen 30º 
210º
y
30º
-1
-y
-x 30º
O
A’
x
1
X
tg 210º 
-1
2 3
sec 210º  
3
cos ec 210º  2
y
y
3
  tg 30º 
x
x
3
cot g 210º  3
27
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
 y 180º + 

Y1
y π +
En la circunferencia goniométrica
dibujamos  y 180º + 
180º+ 
-1
-y
-x


O
A’
sen 180º  y sen 
A
y
x
1
cos 180º  x  cos 
X
tg 180º   
-1
sen     sen 
cos      cos 
y
y

x
x
 tg 
tg     tg 
28
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
sen 315º   sen 45º  
315º
cos 315º  cos 45º 
-1
O
1
X
2
2
2
2
tg 315º   tg 45º  1
-1
sec 315º  2
cos ec 315º   2
cot g 315º  1
29
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
 y 360º- 
 y 2π- 
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos  y 360º -
sen 360º  y sen 
A
360º- 
y
cos 360º  x  cos 

-1
O
- x
1
-y
A’
-1
sen 2    sen 

X
tg 360º   
cos 2    cos 
y
y
   tg 
x
x
tg 2    tg 
30
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
 y 180º - 
y
π -
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos  y 180º -
180º- α
y
y
-1
sen 180º  y  sen 
A
A’
-x
α

O
x
1
cos 180º  x   cos 
X
tg 180º   
-1
sen     sen 

cos     cos 
y
y
   tg 
x
x
tg 180º  tg 
31
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
Y1
 y -
En la circunferencia
goniométrica dibujamos  y - 
A
y

-1
O
-α
x
sen    sen 
cos    x
 cos 
1
-y X
A’
-1
sen    y  sen 
cos    cos 
tg    
y
y
   tg 
x
x
tg    tg 
32
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
Y1
  360º k,
  2k,
k
k
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia

+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del
A ángulo 
2π+α
sen 2    sen 
y

-1
O
-1
sen 360º  sen 
x
1
cos 2    cos 
X
cos 360º  cos 
tg 2   
tg 
tg 360º  tg 
33
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Y1
 y 90º - 
 y


2
A’
En la circunferencia goniométrica
dibujamos  y 90º- 
x
α
O
sen 90º  x  cos 
A
90°-α
-1
α
y
α
y
x
1
cos 90º  y  sen 
X
tg 90º   
-1


sen      cos 
2



cos      sen 
2

x
 cot g 
y


tg      cot g 
2

34
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
Y
sen 0º = 0
1
sen 90º = 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
-1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
-1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0
35
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
Y
cos 0º = 1
1
cos 90º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cos180º = -1
-1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cos 270º = 0
-1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cos 360º = 1
36
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Recordemos que
tg  
ordenada y

abscisa
x
siendo P(x,y) un punto sobre el lado terminal del ángulo,
con x≠0.
Entonces
tg 0º= 0
tg180º=0
tg 360º=0 ya que cualquier punto sobre el lado terminal tiene ordenada 0 y
abscisa distinta de 0.
tg 90º y tg 270º no están definidas ya que cualquier punto sobre el lado
terminal tiene abscisa 0.
37
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1.
FUNCIÓN SENO
2.
FUNCIÓN COSENO
3.
FUNCIÓN TANGENTE
4.
FUNCIÓN COTANGENTE
5.
FUNCIÓN SECANTE
6.
FUNCIÓN COSECANTE
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
1
3
2
2
2
1
2
0
 
6 4
1

2



3

2
2 3 5
3 4 6

7 5 4
6 4 3
3
2
5 7 11
3 4 3
2
2
2
3
2
1
a
sen a
0

6

4

3

2
2
3
3
4
5
6

7
6
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0

5
4
4
3
1 2
3


2 2
2
3
2
5
3
 1
7
4
11
3
1
3
2


2
2
2
2
0 39
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
40
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
 
6 4
1

2



3

2
2 3 5
3 4 6

7 5 4
6 4 3
3
2
5 7 11
3 4
3
2
2
2
3
2
1
a
COS
a
0

6

4

3

2
2
3
1
3
2
2
2
1
2
0

3
4
5
6
1
2
3


2
2
2

7
6
5
4
4
3
3
2
5
3
1
3
2
2
2
1
2
0

7
4
11
3
1
2
3


2
2
2
2
1
41
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
42
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
3
1
3
3
0

3
3
 
6 4

3

2
2 3 5
3 4 6

7 5 4
6 4 3
3
2
5 7 11
3 4 3
2
1
 3
43
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
44
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
3
1
3
3
0

3
3
 
6 4

3

2
2 3 5
3 4 6

7 5 4
6 4 3
3
2
5 7 11
3 4 3
2
1
 3
45
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
46
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
1
0
 
6 4

3

2
2 3 5
3 4 6

7 5 4
6 4 3
3
2
5 7 11
3 4 3
2
1
47
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
48
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
1
0
 
6 4

3

2
2 3 5
3 4 6

7 5 4
6 4 3
3
2
5 7 11
3 4 3
2
1
49
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
50
TRIGONOMETRÍA
(Segunda parte)
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
52
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
4. TEOREMA DEL SENO
5. TEOREMA DEL COSENO
6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE
HERON
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
M
B
Dibujamos el ángulo α y a continuación el ángulo β.
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo α+β en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
Y
sen  b 


A
b
b


O
P
N
BP AM  AN


OB
OB
AB  cos   OA  sen

OB
OB  senb  cos   OB  cos b  sen

OB
X
sen   b  sen  cos b  cos   senb54
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
B
M
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
Y
cos  b 
OP ON  NP ON  BM



OB
OB
OB


A
b
b


O
P
N
X
OA  cos   AB  sen

OB
OB  cos b  cos   OB  senb  sen

OB
cos   b  cos   cos b  sen  senb
55
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS
ÁNGULOS
sen  b sen  cos b  cos   senb
tg   b  cos  b  cos   cos b  sen  senb 



Simplificando
sen  cos b cos   senb

cos   cos b cos   cos b
cos   cos b sen  senb

cos   cos b cos   cos b
Si dividimos numerador
y denominador por
cosa.cosb
tg   tg b

1  tg   tg b
sen   b  sen  cos b  cos   senb
cos   b  cos   cos b  sen  senb
tg  tgb
tg  b 

1  tg  tgb
56
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen   b  sen   b  sen  cos b  cos   sen b 
 sen  cos b  cos    senb 
1
 sen  cos b  cos   senb
cos   b  cos   b  cos   cos b  sen  sen b 
 cos   cos b  sen   senb 
 cos   cos b  sen  senb
tg  tg b
tg   tgb


tg  b  tg   b 
1  tg  tg b 1  tg   tgb
tg  tgb


1  tg  tgb
57
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
sen   b sen  cos b  cos   senb
sen   b sen  cos b  cos   senb
cos   b  cos   cos b  sen  senb
cos   b  cos   cos b  sen  senb
tg   tg b
1  tg   tg b
tg   tg b
tg  b 
1  tg   tg b
tg  b 
58
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen 2  sen     sen  cos   cos   sen 2  sen  cos 
cos 2  cos     cos   cos   sen  sen  cos2   sen2
tg 2  tg    
tg  tg

1  tg  tg
2tg
1  tg2
sen 2  2  sen  cos 
2
2
cos 2  cos   sen 
tg 2 
2tg
1  tg2
59
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
2
2
2
2
2
cos 2 cos   sen   1  sen   sen   1  2sen 
2sen2  1  cos 2
1  cos 2
2
sen  
2
1  cos 2
sen   
2
2
2
2
2
2
cos 2 cos   sen   cos   1  cos  2 cos   1
2 cos2   1  cos 2
1  cos 2
cos2  
2

1  cos 

2
2

1  cos 
cos  
2
2
sen

1  cos 
tg  
2
1  cos 
cos   
1  cos 2
2
1  cos 2
tg   
1  cos 2
60
1. Teorema del seno
2. Teorema del coseno
TEOREMA
DEL SENO
Los lados de un triángulo son proporcionales a
a
b
c
los senos de los


ángulos opuestos.
sen  sen B̂ sen Ĉ
El Teorema del seno sirve para relacionar los
lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
C
Consideremos un triángulo ABC.
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos.
Entonces:
hC  b  sen  
  b  sen   a  sen B̂ 
hC  a  sen B̂ 
a
b


sen  sen B̂
A
b
a
hC
hA
c
Del mismo modo, si trazamos la altura
correspondiente al vértice A:
b
c
hA  b  sen Ĉ 


  b  sen Ĉ  c  sen B̂
sen B̂ sen Ĉ
hA  c  sen B̂ 
H
B
62
Medida de los ángulos en una
circunferencia
 Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
b

O
b
180º-2 

B
O
2b
180º-2b
2b
b
g
C
360º-(180º-2 180º-2 b
360º - 360º + 2 2 b 
 2 2 b  2  b
2g
63
Medida de los ángulos en una
circunferencia
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
90º
g
g
180º
 Todos los ángulos
g
2g
g
inscritos que abarcan
un
diámetro,
son
rectos.
64
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
a
b
c


 2R
sen  sen B̂ sen Ĉ
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
A
B
a
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con
B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo
ángulo que abarca un diámetro es recto).
A’
C
a
2R
2R


 2R
1
sen Â' sen 90º
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco son iguales). Luego:
a
a

 2R
sen  sen  '
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
65
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
1
S  c  hc
2
La superficie del triángulo ABC es:
C
En el triángulo AHC :
sen  
hC

b
hC  b  sen Â
b
a
hC
Sustituyendo en la primera expresión:
1
S  c  b  sen Â
2
A
c
H
B
66
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
1
S  c  b  sen Â
2
C
Por el Teorema del seno :
a
 2R 
sen Â
a
sen  
2R
Sustituyendo en la primera expresión:
1
a
S  c b 
2
2R
b
a
R
A
c
B
a b c
S
4R
67
TEOREMA DEL
COSENO
El cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble producto de estos lados por
el coseno del ángulo correspondiente
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
C
a2  h2  c  m 
2
 h2  c 2  2cm  m2 
(en AHC)
b
h
 b  m  c  2cm  m 
2
2
2
a
2
 b2  m2  c 2  2cm  m2 
 b2  c 2  2cm
(Como en AHC
m = b . cos A)
Análogamente (trazando las
otras alturas) obtendríamos:
A
m
c-m
c
H
B
a2  b2  c 2  2 b c  cos Â
b2  a2  c 2  2 a c  cos B̂
c 2  a2  b2  2 a b  cos Ĉ
68
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Clasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que:
a2  b2  c 2  2 b c  cos Â
C
b
Si A < 90º 
a
B
C
A
a2  b2  c 2
A
c
b
cos A >0 
a
Si A = 90º 
cos A = 0 
a2  b2  c 2
( Teorema de Pitágoras )
c
B
a
Si A > 90º 
C
cos A < 0 
b
a2  b2  c 2
B
c
A
69