Download LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

PROYECTO NÓVELES MAESTROS
Área Magisterial de la
Dirección de Formación y
Perfeccionamiento Docente
GEOMETRÍA: PROBLEMAS
Prof. Ana Cabrera
I.F.D. Florida
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
EL RADIO DEL CÍRCULO
Teniendo en cuenta la figura, hallar el
radio del círculo
SOLUCIÓN
Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la
misma longitud que el radio del círculo, la
respuesta es 8 cm.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
EL LADO DEL ROMBO
En una plaza circular de R=9 m. se
quiere construir un estanque de
forma rómbica, según la figura.
¿Cuánto mide el lado del rombo?
SOLUCIÓN
Basta con darse cuenta de que el
lado AC es el radio de la
circunferencia y AE y BD son
diagonales de un rectángulo.
Por lo tanto, son iguales en
longitud. Lado del rombo = 9 m.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES
¿Cuántos grados mide el ángulo que
forman las dos diagonales de las
caras del cubo?
SOLUCIÓN
60°. Basta observar de que se trata de
un triángulo equilátero ABC trazando
la diagonal BC de la otra cara.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIAS SECANTES
Dos circunferencias secantes tienen
por centros P y Q. El segmento PQ
mide 3 cm. Por uno de los puntos (O)
donde se cortas las circunferencias
trazamos una recta paralela al
segmento PQ. Sean M y N los puntos
donde corta dicha recta a las
circunferencias. ¿Cuánto mide MN?
SOLUCIÓN
MN = 6 centímetros. Trazando desde
P y Q perpendiculares al segmento
MN, obtenemos los puntos R y S.
Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ,
surge la respuesta.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
EL ÁNGULO OBTUSO
. ¿Cuánto mide el ángulo obtuso
ABC? A, B y C son los puntos medios
de los lados.
SOLUCIÓN
120°. Sólo hace falta terminar de
dibujar el hexágono regular ABCDEF.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
EL ÁNGULO EXTERIOR
En el triángulo isósceles ABC el
ángulo A mide 50
¿Cuál es la medida del ángulo x?
.
SOLUCIÓN
Puesto que es isósceles: B = C =
(180°-A)/2 = 130°/2 = 65°.
Por lo tanto: x= 180°-C = 180°- 65° =
115°.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
 SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS
A una circunferencia pueden
inscribirse y circunscribirse
cuadrados como muestra la figura
adjunta.
Sabiendo que el área del cuadrado
inscrito es de cuatro unidades de
superficie, ¿qué área tiene el
cuadrado mayor?
.
SOLUCIÓN
Hagámoslo girar 45 hasta la posición
que muestra la figura siguiente.
Se observa que el área del cuadrado
mayor es el doble que la del inscrito;
es decir, 8 unidades.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
NUEVE ÁNGULOS
Calcula el valor de todos los ángulos
de la figura sabiendo que el ángulo 1
vale 70.
.
SOLUCIÓN
El ángulo 2 mide 20°.
Por tratarse de un triángulo isósceles
(dos lados son radios) los ángulos 4
y 5 son iguales.
La suma de los ángulos 2, 3 y 4 es
90°, pues el ángulo total abarca el
diámetro.
De estas dos condiciones se obtiene
que la suma de los ángulos 2 y 4 es
igual al ángulo 7. Y el ángulo 7 es
igual a dos veces el ángulo 4. De
donde el ángulo 2 es la mitad del
ángulo 7.
Por tanto el ángulo 7 mide 40°, los
ángulos 4 y 5 miden 20° cada uno, el
ángulo 6 mide 140°, el ángulo 7 mide
50° y los ángulos 8 y 9 son rectos
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
 DE UN SOLO TRAZO, ¿POSIBLE O IMPOSIBLE?
Un vértice es impar si de el parten un número impar de caminos. Un vértice
es par si de el parten un número par de caminos.
El problema es imposible si en la red hay más de dos vértices impares.
Es posible: a) Cuando todos los vértices son pares, y entonces el punto de
partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más de dos vértices
impares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el
otro.
.
SOLUCIÓN
Se pueden dibujar de un solo trazo
los de la fila superior. Es imposible
para los de la fila inferior.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
LOS TRES CUADRADOS.
Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura.
Usando solamente geometría elemental (no trigonometría) demostrar que
el ángulo C es igual a la suma de los ángulos A y B.
.
SOLUCIÓN
La siguiente construcción muestra la
solución del problema
SOLUCIÓN
Esta otra construcción también muestra la solución del problema.
Los triángulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ángulos A y O
son iguales. Y como C=B+O, C=B+A.
SOLUCIÓN
Usando trigonometría: tgA=1/3, tgB=1/2, tgC=1.
tg(A+B) = ... = 1 = tgC. Luego A+B=C.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
POSAVASOS Y SERVILLETA.
Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centro
del posavasos con la ayuda únicamente de la servilleta y un lápiz.
.
SOLUCIÓN
Colocamos uno de los vértices de la servilleta sobre cualquiera de
los puntos de la circunferencia del posavasos.
El ángulo definido por ABC es un ángulo recto, luego el
segmento AC es un diámetro de la circunferencia. Trazamos
con un lapicero la línea AC y repetimos la misma operación
eligiendo como B cualquier otro punto del perímetro del
posavasos. Una vez trazado el segundo diámetro ya está
hallado el centro de la circunferencia.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
En la figura adjunta, ¿cuánto mide B?.
SOLUCIÓN
 B puede tener cualquier valor.
Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor.
x/6 = B/10 x = 6B/10
y/6 = B/15 y = 6B/15
Como B = x+y. Sustituyendo:
B = 6B/10 + 6B/15; o bien:
B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valor
de B.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS y CUADRILÁTEROS
En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en centro del
cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?
SOLUCIÓN
Observe que los triángulos sombreados de la figura
son iguales por ser el triángulo rectángulo. El área
de la sombra es la cuarta parte del área del
cuadrado.
Es decir, 36/4 = 9.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
La Mediana
Probar que cada mediana de un triángulo es menor que el promedio de los
lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.
SOLUCIÓN
Sólo hay que repetir un triángulo igual al primitivo, opuesto por la
base, como se muestra en la figura adjunta.
Es evidente que la diagonal de un cuadrilátero no puede ser
mayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo por
dos la diagonal queda la mediana del triángulo, que por tanto
no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismos
lados.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
Área
Las áreas rayadas de la luna y el triángulo, ¿son iguales?
SOLUCIÓN
 Sí, son iguales. Veamos:
(AB)2 = R2 + R2 = 2R2
Área del cuadrante = PiR2/4
Área del triángulo = R2/2
Área del segmento de arco AB = PiR2/4 - R2/2
Área de la luna = Pi(AB)2/8 - (PiR2/4 - R2/2) = PiR2/4 - PiR2/4 + R2/2 =
R2/2.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
SUPERFICIE
La zona sombreada representa un lago. ¿Cuál es la superficie del lago?
Los terrenos que lo limitan son cuadrados.
SOLUCIÓN
 El lago es un triángulo rectángulo. Para
hallar su área, basta saber la longitud de los
catetos: Área = 5x12/2 = 30 m².