Download MODULO IV GEOMETRIA CICLO GRADO OCTAVO

I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE GEOMETRÍA
CICLO IV
GRADO OCTAVO
1
TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
SIMETRÍA RESPECTO A UN PUNTO Y A UNA RECTA
2.
TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y HOMOTECIAS
2.1.
TRASLACIÓN
2.2.
ROTACIÓN
2.3.
HOMOTECIAS
3.
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
3.1.
PARALELISMO
3.2.
PERPENDICULARIDAD
4.
ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
3
6
6
8
10
11
11
11
12
UNIDAD 2
1.
PROPIEDADES Y ÁNGULOS EN POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS
1.1.
POLÍGONOS
1.1.1. Elementos de un polígono
1.1.2. Clasificación según el número de lados
1.1.3. Los ángulos en los polígonos
1.1.4. Polígonos inscriptos y circunscriptos
1.2.
TRIÁNGULOS
1.2.1. Propiedades de los ángulos del triángulo
1.2.2. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos
1.2.3. Clasificación de triángulos según sus lados
1.2.4. Propiedades del triángulo
2.
CONGRUENCIA DE POLÍGONOS
3.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
4.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
15
15
15
15
16
16
17
17
17
18
18
19
19
19
UNIDAD 3
1.
PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS
1.1.
PARALELOGRAMO
1.2.
RECTÁNGULO
1.3.
CUADRADO
1.4.
ROMBO
1.5.
TRAPECIO ISOSCELES
1.6.
TRAPECIO
2.
POSTULADOS DE ÁREA.
3.
TEOREMA DE PITÁGORAS Y APLICACIONES
4.
ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES, REGIONES CIRCULARES Y SOMBREADAS
21
21
21
21
21
22
22
23
25
27
UNIDAD 4
1.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
1.1.
POLIEDRO REGULAR
1.2.
POLIEDRO IRREGULAR
2.
UNIDADES DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
3.
CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
30
30
31
32
35
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
BIBLIOGRAFÍA
36
38
2
UNIDAD 1
1. SIMETRÍA RESPECTO A UN PUNTO Y A UNA RECTA
En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como propiedad de una
figura.
Tipos de simetría.
Una simetría central de centro O es una transformación que
hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que O es el
punto medio del segmento PP'.
Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro
y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.
Una simetría axial de eje e es una transformación que hace corresponder a
cada punto P otro punto P' tal que la recta e es mediatriz del segmento PP'.
Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una
figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre
la otra cara.
Figuras simétricas Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de
simetría transforma a la figura en ella misma.
Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado
cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).
3
Ejemplos
Encuentra las imágenes de las siguientes figuras en las simetrías centrales que se indican:
Solución:
4
RESUELVE
Se plantean a continuación tres situaciones problemáticas:
1) Una persona debe
caminar desde su casa
hasta un canal que conduce
agua, llenar allí un recipiente
y transportarlo hasta un
galpón.
2) Un operario debe ajustar una fuerte luz que
emite un rayo luminoso que luego de reflejarse
en un espejo debe accionar un sensor.
3) En un potrero rectangular se desea aislar de los animales la zona
sombreada en la figura, para lo cual se tenderá un alambre
electrificado AMB. Los postes A y B son ya existentes. El poste
intermedio M debe colocarse.
5
La persona de la situación (1) se pregunta si el punto del canal donde procede a llenar el recipiente tiene alguna
influencia en la distancia total que debe recorrer para hacer la tarea.
El operario de la situación (2) se pregunta si puede dirigir el rayo de luz a cualquier punto del espejo. (Recuerda
que un rayo de luz para ir de un punto a otro reflejándose en un espejo, elige el camino que le insume menor
tiempo).
La persona que desea realizar la tarea en la situación (3) se pregunta si el costo en pesos del alambre necesario
para el trabajo dependerá de la posición del poste M.
1. ¿qué le contestarías a cada una de las personas y de consultaran?.
2. Intenta plantear un modelo geométrico para cada uno de los casos, dictando qué hipótesis asumes?.
3. Si bien los modelos corresponden a situaciones reales totalmente diferentes, ¿encuentras desde el punto
de vista geométrico algo en común en sus modelos?.
4. Puedes tratar tres problemas con un modelo único?.
5. Cuál es el problema geométrico que debes resolver dar solución a las tres situaciones?.
2. TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y HOMOTECIAS
2.1. TRASLACIÓN
Traslación de vector
tal que
, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð
.
Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales
deslizan según el vector
.
La traslación de un segmento de extremos P (a, b) y Q (c, d) es una transformación que mueve sus puntos
extremos a las posiciones (a ± m, b ± n) y (c ± m, d ± n), donde m y n son números reales.
Ejemplo:
Un río de orillas paralelas separa dos ciudades desigualemte alejadas de aquellas. Se desea construir un puente
perpendicularmente a la orilla de manera que ambas localidades queden a igual distancia de la entrada
correspondiente.
6
Plantea un modelo geométrico del problema indicado. Qué hipótesis asumes y resuelve el problema.
Solución:
Suponemos el problema, plano, orillas rectilíneas y paralelas y representamos las ciudades por puntos.
consideremos la siguiente figura de análisis.
Se desea que seg.AM = seg.NB, MN ⊥ r1, r2.
Si construimos el punto C tal que C = T NM (B ) , la figura MNBC será un paralelogramo. Por tanto NB= MC= AM,
lo que nos indica que el punto M debe pertenecer a la mediatriz del segmento AC, y ello nos permite ubicar M
sobre r1. La construcción que resuelve el problema será entonces:
-
Construimos el punto C tal que C = TQP (B ) .
Construimos lña mediatriz del segmento AC y cortando con la recta r1 determinaods el punto M.
Ubicamos finalmente N en r2 con MN ⊥ r2.
7
RESUELVE
En cada uno de los siguientes casos indica si las semirectas A (a) y B (b) pueden hacerse corresponder en una
traslación. En los casos afirmativos indica el vector de la traslación.
2.2. ROTACIÓN
Rotación de centro O y ángulo á, es una transformación geométrica que
hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que:
y
. Un ejemplo de rotación sería el esquema de un columpio
visto lateralmente, con la trayectoria que sigue cuando un niño se
balancea sentado en él.
Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y
el tamaño de las figuras.
8
CENTRO DE ROTACIÓN DE ORDEN N. Se dice que una figura tiene un centro de giro, O, de
orden n (número natural mayor que 1) cuando se puede hacer coincidir consigo misma
mediante giros de centro O y ángulos á·k/n (k = 1, 2,…n). Para k = n la figura da una vuelta
completa y, por tanto, vuelve a la posición inicial.
Por ejemplo, el centro de un triángulo equilátero es un centro de giro de orden tres porque se
puede hacer coincidir la figura consigo misma haciéndola girar ángulos de 120º, 240º y 360º
alrededor de él.
Ejemplo:
Un reloj de aguja está indicando las “dos de la tarde”. Al observarlo detectas que está “parado”. Decides ponerlo
en hora para lo cual giras las agujas en sentido horario hasta que indique las “tres y veinte” de la tarde.
Suponiendo que las agujas giran con velocidad angular constante:
a) ¿Qué ángulo giró el minutero?.
b) ¿Qué ángulo giró el horario?.
Solución:
Los ángulos 102, 203, 304, ………. Son de 30ª. El minutero pasa de la posición (0 –
12) a la posición (0.4) girando un ángulo de 480ª. La rotación en que se
corresponden la posición inicial y la posición final es R0, - 120ª. El horario tiene
posición inicial (0 – 2), mientras que su posición final será interior al ángulo 3º4.
Tratemos de determinar esa posición. Por cada vuelta completa del minutero, el
horario gira 30ª. Como el minutero giró 360ª + 120ª el horario habrá girado
1
30a + i30a = 40a.
3
Por tanto la rotación que hace corresponder las posiciones inicial y final del horario
será: R0, - 40ª. La hipótesis de velocidad angular constante que se impuso al ejercicio
justifica el razonamiento anterior que supone proporcionalidad entre los ángulos girados por ambas agujas.
RESUELVE
Una escuadra “30º - 60º” se rota en sentido horario con cnetro en el vértice A según figura, pasando de la posición
I a la posición II. Indica el valor del ángulo de rotación en la que II es la imagen de I.
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2.3. HOMOTECIAS
Homotecia:: Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos
con respecto a otro punto fijo.
Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no
pasa por O, a una recta L´, paralela a L.
Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si
a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos
correspondientes son iguales.
La ecuación anterior puede escribirse también como una
transformación afín de la forma:
Ejemplo:
Encuentra la imagen del punto A en las homotecias siguientes:
Solución:
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3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
3.1. PARALELISMO
Las rectas paralelas no se cruzan ni se juntan aunque se alarguen
3.2. PERPENDICULARIDAD
Dos rectas que al juntarse en un punto forman ángulo recto, se llaman perpendiculares.
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4. ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos
nombres según la posición que ocupan:
Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:
Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los
nombres:
Interiores o internos:
En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.
Ángulos exteriores o externos:
Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los
que hallan en la zona exterior de las paralelas.
Ángulos correspondientes:
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de
las paralelas.
Los ángulos del mismo color son correspondientes:
El ángulo a se corresponde con el ángulo a’
El ángulo b se corresponde con el ángulo b’
El ángulo c se corresponde con el ángulo c’
El ángulo d se corresponde con el ángulo d’
12
Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos
correspondientes son iguales entre sí.
Ángulos alternos internos
Son los que se encuentran a distinto lado de la
secante y en la zona interior de las rectas paralelas:
Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b,
y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí.
Ángulos alternos externos:
Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:
Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que
tomándolos alternadamente tendremos, por
un lado los ángulos a y c’, y por otro, los
ángulos b’ y d. Comprobarás que los
ángulos alternos externos son iguales entre
sí.
13
RESUELVE
Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
14
¿Cómo son los ángulos 1 y 2?
¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?
¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?
¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?
¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?
¿Cómo son los ángulos 4 y 6?
¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?
¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?
¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?
¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?
UNIDAD 2
1. PROPIEDADES Y ÁNGULOS EN POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS
1.1. POLÍGONOS
1.1.1. Elementos de un polígono. Son: Lados, vértices, ángulo interior, ángulo exterior y diagonales.
1.1.2. Clasificación según el número de lados. Según el número de lados se clasifican en: Triángulo,
cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, undecágono, dodecágono.
15
1.1.3. Los ángulos en los polígonos. En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
Los ángulos interiores — que son los que se forman
en el vértice entre los lados.
Los ángulos centrales — que son los que se forman
con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son
los radios que unen ese centro a dos vértices
consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene
tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.
Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos
que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la
medida del ángulo central de un polígono regular es igual a
360 dividido por la cantidad de lados.
•
•
•
•
•
•
Ángulo central del triángulo equilátero
equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.
Ángulo central del cuadrado:
cuadrado 360° ÷ 4 = 90°.
Ángulo central del pentágono:
pentágono 360° ÷ 5 = 72°.
Ángulo central del exágono:: 360° ÷ 6 = 60°.
Ángulo central del octógono:
octógono 360° ÷ 8 = 45°.
Ángulo central del decágono:
decágono 360° ÷ 10 = 36°.
1.1.4. Polígonos inscriptos y circunscriptos.
Se dice que un polígono está inscripto en un
círculo, cuando todos los vértices coinciden con
puntos de su circunferencia.
Se dice que un polígono está circunscripto en un
círculo, cuando los puntos medios de todos sus
lados coinciden
inciden con puntos de su circunferencia.
circun
16
1.2. TRIÁNGULOS
En un triángulo existen dos tipos de ángulos:
Los ángulos interiores lo forman dos lados.
Los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación.
1.2.1. Propiedades de los ángulos del triángulo
1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C = 180º
2. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α=B+C
3. Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.
α = 180º - A
1.2.2. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos
17
1.2.3. Clasificación de triángulos según sus lados
1.2.4. Propiedades del triángulo
ACTIVIDAD………..
Realiza en cartulina: un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono.
18
2. CONGRUENCIA DE POLÍGONOS
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos
triángulos para que sean congruentes se denominan
criterios de congruencia, los cuales son:
Son aquellos que tienen congruentes todos los lados
y ángulos correspondientes.
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados
de uno son respectivamente congruentes con los
del otro, entonces los triángulos son
congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo,
y éste, son congruentes con dos lados y el
ángulo comprendido por estos de otro triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos
son respectivamente congruentes con los
mismos de otro triángulo, entonces los triángulos
son congruentes.
3. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y CRITERIO
DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
La congruencia de
triángulos estudia los
casos en que dos o
más triángulos presen
tan ángulos y
lados
de igual medida o
congruentes.
Condiciones
congruencia
EJERCICIO
En la siguiente pareja de
triángulos se conocen las
congruencias que se indican.
Responde las preguntas que
aparecen.
de
Para que se dé la
congruencia de dos o más triángulos, se requiere
que sus lados respectivos sean congruentes, es
decir que tengan la misma medida. Esta condición
implica que los ángulos respectivos también tienen la
misma medida o son congruentes.
AB = DF;BC = FE,∢B = ∢F
-
Las figuras congruentes son aquellas que tienen la
misma forma y el mismo tamaño. Las partes
coincidentes de las figuras congruentes se
llaman homólogas o correspondientes.
¿Qué
ángulo
es
congruente con A?.
¿Qué
ángulo
es
congruente con C?.
4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para corroborar que dos triángulos son congruentes
se debe asegurar la congruencia de todos los lados
de uno con todos los lados correspondientes del otro
y la congruencia de todos los ángulos de uno con
todos los ángulos correspondientes del otro.
Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando
los ángulos el primero son respectivamente iguales a
los ángulos del segundo y cuando los lados del
primero son proporcionales a sus homólogos del
segundo.
Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son semejantes si:
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres
lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede
demostrarse la congruencia de dos triángulos si se
sabe que algunas de sus partes correspondientes
son homólogas.
-
19
Tienen dos ángulos iguales (A-A).
Tienen los lados proporcionales (L-LL).
tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos igual
(L-A-L).
EJERCICIOS…………..
3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y
54 m., respectivamente. Si en un triángulo
semejante a éste, el lado homólogo del primero
mide 24 m., hallar los otros dos lados de este
triángulo.
4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el
triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero
son 18, 21 y 30, determina los lados del
segundo.
1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36
m., respectivamente. Si los lados de otro
triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m.,
respectivamente. Determina si son o no
semejantes, justificando tu respuesta.
2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los
ángulos marcados del mismo modo, establece la
proporcionalidad de sus lados.
20
UNIDAD 3
1. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS
1.1. PARALELOGRAMO
1.3. CUADRADO
- Dos pares de lados paralelos.
- Dos pares de lados congruentes.
- Diagonales bisectan una a otra.
- Ángulos opuestos congruentes.
- Ángulos consecutivos complementarios.
- Dos pares de lados paralelos.
- Todos los lados son congruentes.
- Todos los ángulos son rectángulos.
- Las diagonales son congruentes.
- Las diagonales bisectan una a la otra.
- Las diagonales forman un ángulo rectángulo.
- Ángulos opuestos congruentes.
- Ángulos consecutivos suplementarios.
1.2. RECTÁNGULO
1.4. ROMBO
- Dos pares de lados paralelos.
- Dos pares de lados congruentes.
- Todos los ángulos son rectángulos.
- Las diagonales son congruentes.
- Las diagonales bisectan una a la otra.
- Ángulos opuestos congruentes.
- Ángulos consecutivos suplementarios.
21
- Dos pares de lados paralelos.
- Todos los lados son congruentes.
- Las diagonales NO son iguales.
- Las diagonales bisectan una a la otra.
- Las diagonales forman un ángulo rectángulo.
- Ángulos opuestos congruentes y son bisectados
por las diagonales.
- Ángulos consecutivos suplementarios.
1.5. TRAPECIO ISOSCELES
1.6. TRAPECIO
- Exactamente un par de lados paralelos.
- Un par de lados congruentes.
- Las diagonales son congruentes.
- Las diagonales NO se bisectan una a la otra.
- Los ángulos de las bases son congruentes.
- Ángulos opuestos son suplementarios.
- Línea que conecta el punto medio de ambos lados
congruentes es la Mediana
- Exactamente un par de lados paralelos.
- Línea que conecta el punto medio del lado
congruente es la Mediana.
22
2. POSTULADOS DE ÁREA.
Postulado 24.1.1 (Postulado del área). A toda
región poligonal le corresponde un número real único
no negativo, llamado área de la región.
El área de una región plana es independiente de su
posición y sólo depende de su tamaño y de su forma.
Postulado 24.1.2 (De la adición de áreas). El área
de una región o superficie plana es la suma de las
áreas de las regiones en las cuales ha sido dividida.
Si la superficie o región plana la denotamos por R y
las regiones componentes por R1, entonces:
Por ejemplo, en la figura anterior ABCD es un
cuadrado cuyo lado mide U unidades de longitud y la
medida del área de la región del plano limitada por
2
2
ABCD es U . Si U = 1 cm, entonces ABCD = 1 cm ;
2
si U = 1m, entonces ABCD = 1m .
Área de R≡ a(R)≡ R = a(R1) + a(R2) + … a(Rn) si y
sólo si Ri ⋂ Rj =
o Ri ⋂ Rj = punto o Ri ⋂ Rj =
segmento, siendo
Para medir el área de una región plana se ha
tomado, por razones prácticas, la forma rectangular
como referencia y la región cuadrada como patrón o
unidad básica.
Postulado 24.1.3 (De la congruencia). Si dos
figuras geométricas son congruentes, entonces las
regiones planas correspondientes tienen áreas
iguales.
El
recíproco
del
postulado
necesariamente se cumple, es decir,
planas tienen igual área, no implica
correspondientes sean congruentes
son equivalentes.
Si una región rectangular se puede descomponer en
12 cuadrados, entonces su área medirá 12 unidades
cuadradas. Si la longitud de cada lado del cuadrado
es de 1cm, decimos que el área del rectángulo es de
2
12 cm cuadrados (12 cm ).
anterior
no
si dos regiones
que las figuras
y decimos que
Para medir el área de una región escogemos
arbitrariamente una “unidad de área”. La unidad de
área está relacionada con la unidad de distancia por
conveniencia. Así, si la distancia está en centímetros,
el área se medirá en centímetros cuadrados; si la
distancia está en metros, el área se medirá en
metros cuadrados, y en general para cualquier
unidad (U) de distancia, el área se medirá en la
2
correspondiente unidad cuadrada (U )
La unidad de área es entonces la región del plano
limitado por un cuadrado cuyo lado mide U.
En general, si el lado del cuadrado que se toma
como patrón mide U (unidades de longitud),entonces
2
el área medirá 12 U cuadradas (12U ).
Podemos entonces encontrar fácilmente el área de
una región trazando pequeños cuadrados unitarios
(patrones); será un número entero y por ello se han
23
NOTA: Se llama altura de un paralelogramo al
segmento de la perpendicular trazada desde un
vértice al lado opuesto a su prolongación (CI o
DH).
deducido fórmulas que nos permiten encontrar el
área de una región.
En adelante cuando utilicemos los términos base y/o
altura nos estamos refiriendo a la “longitud o medida
de la base” y a la “longitud de la altura”.
El área de un paralelogramo es el producto entre
cualquiera
de
las
bases
y
la
altura
correspondiente.
Postulado 24.1.4 (Área del rectángulo). El área de
un rectángulo es el producto de la base por la altura
y escribimos:
MODERNOS AVANCES
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl
Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron
sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los
trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que
generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para
espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio
unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a
ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se
sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.
Carl Fiedrich Gauss
Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye
por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es
físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con
más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en
particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
János Bolyai
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en
cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones.
Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de
la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en
espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.
24
En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien
conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro
respectivamente.
En
el espacio de
cuatro
dimensiones, se puede demostrar que la figura más
sencilla está compuesta por cinco puntos como
vértices, diez segmentos como aristas, diez
triángulos como caras y cinco tetraedros. El
tetraedro, analizado de la misma manera, está
compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la
década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.
Arthur Cayley
3. TEOREMA DE PITÁGORAS Y APLICACIONES
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
2
2
2
cuadrados de los catetos. a = b + c
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él.
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
25
26
EJERCICIOS……….
Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta
Calcula AB en la figura adjunta
Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo
sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del
árbol.
4. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES, REGIONES CIRCULARES Y SOMBREADAS
Consideramos primero el área de un polígono regular de n lados.
Teorema 24.2.1. El área de un polígono regular de n lados es el semiperímetro por la apotema.
27
Demostración: Sabemos que todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles
congruentes y de vértices en el centro O. El área del polígono regular será la suma de las áreas de los triángulos
isósceles.
El área del triángulo isósceles y el área del polígono es:
AB iOH
2
1

= n  ℓ n an 
2

Área( polígono ) = n( AOB ) = n
=
n iℓ n ian
2
pero n iℓ n es el perímetro (2 p ) del polígono. Por tan to :
Área ( polígono ) =
2 pian
= pian
2
Teorema 24.2.2. El área de un círculo de radio r es el producto del número irracional π y el cuadrado del radio.
Un círculo no puede descomponerse en triángulos isósceles congruentes como lo hicimos con los polígonos
regulares, pero puede dividirse en sectores circulares congruentes suficientemente pequeños y considerados
aproximadamente iguales a triángulos isósceles. Para lograr lo anterior basta dividir la circunferencia en un
número muy grande de arcos congruentes y trazar los segmentos radiales por sus puntos de división.
Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro arcos congruentes y el
círculo en cuatro sectores circulares congruentes de ángulo central 90°. Si a continuación trazamos la s bisectrices
de estos ángulos rectos, obtenemos en la circunferencia ocho arcos congruentes y en el círculo ocho sectores
circulares congruentes de ángulo central 45°; si co ntinuamos en forma similar, obtenemos la circunferencia
dividida en 16, 32, 64, 128, 256,.... arcos congruentes y el círculo en el mismo número de sectores circulares
congruentes.
Si imaginamos la circunferencia dividida en un número par muy grande de arcos
congruentes y al círculo como la unión de igual número de sectores circulares
congruentes, y disponemos estos sectores como lo muestra la siguiente figura,
obtendríamos una figura muy similar a un paralelogramo, de altura igual al radio
y de base igual a la longitud de la semicircunferencia.
28
Teorema 24.2.3
El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la longitud de su arco. Recordemos que un sector
circular es la región del círculo limitada por un ángulo central.
Consideremos el círculo dividido en 360 sectores circulares congruentes de ángulo central 1º. Entonces el área
que corresponde a cada uno de estos sectores es:
Área del sector de 1º =
πr2
360º
θ.
Si el ángulo central que corresponde a un sector circular es
Área del sector circular de
θ0 =
πr2
360º
θ 0 , entonces su área es:
θ
El área del sector circular puede expresarse como:
( )
0 AB =
RESUELVA
πr
360
θ ir =
º
( ) ir = r θ .
long AB
2
2
2
2
1. Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm , la base x + 3 y la altura x + 1.
2
2. En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm .
3. En un rombo encuentre:
2
a) Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cm
2
b) El lado, si el área es 54 m y las diagonales son entre sí como 4 : 3.
c) El lado, si el área es 100 m2 y una diagonal es el doble de la otra.
2
d) El lado, si el área es 24 m y una diagonal mide 8 m.
2
e) El lado, si el área es 6 m y una diagonal es cuatro veces la otra.
29
UNIDAD 4
1. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
Poliedro. Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se denominan:
• caras: polígonos que limitan al poliedro,
• aristas: lados de las caras del poliedro,
• vértices: puntos donde concurren varias aristas.
Los poliedros se clasifican básicamente en:
• poliedros regulares
• poliedros irregulares
1.1. POLIEDRO REGULAR
Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia,
todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:
• tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales,
• hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales,
• octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales,
• dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales,
• icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.
30
1.2. POLIEDRO IRREGULAR
Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales. Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:
• tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro. Según el número de sus caras.
• pirámide
• prisma
Pirámide. Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice
común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el
vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se
clasifican en:
• pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base,
• pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base,
• pirámide regular: la base es un polígono regular,
o pirámide regular recta: la base es un polígono regular y el eje es perpendicular al polígono base.
o pirámide regular oblicua: la base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono
base.
31
Prisma. Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos ((bases)) y cuyas caras laterales, en consecuencia,
son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los
prismas se clasifican en:
• prisma recto:: el eje es perpendicular a los polígonos base,
• prisma oblicuo:: el eje no es perpendicular a los polígonos base,
• prisma regular:: las bases son polígonos regulares,
o prisma regular recto:
recto las bases son polígonos regulares y el eje es perpendicular a los polígonos
base.
o prisma regular oblicuo
oblicuo: las bases son polígonos regulares y el eje no es perpendicular a los
polígonos base.
• paralelepípedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos.
oblicuos
2. UNIDADES DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen.
Como unidad base, se considera
nsidera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por
definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la
3
figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico
cúbico y se abrevia por 1 cm .
3
Volumen del cubo unidad = 1 cm
32
En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del
unidad
cubo Unidad
de
asociada
Volumen
Abreviatura
3
1 Milímetro
Milímetro cúbico
mm
1 Centímetro
Centímetro cúbico
cm
1 Decímetro
Decímetro cúbico
dm
1 Metro
Metro cúbico
m3
1 Decámetro
Decámetro cúbico
Dm
1 Hectómetro
Hectómetro cúbico
Hm
1 Kilómetro
Kilómetro cúbico
Km
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el
centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes
obtenidos a partir de él estarán en centímetros
cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo
unidad tiene otra unidad de volumen.
3
3
3
3
3
3
El volumen a · a · a = a de un cubo se puede
también definir como el producto del área de la cara
basal a · a por la altura a, es decir:
Medición del volumen de algunos
algun
cuerpos
simples con dos caras paralelas
V = a · a · a= (a · a ) · a = a
Volumen de un cubo. Un cubo ess cuerpo formado
por seis caras cuadradas y en cada vértice
convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.
El hectómetro cúbico (Hm ), es una medida de
volumen, con la que se nombra, la capacidad de los
embalses o de una tubería o de un trasvase de agua.
El volumen de un cubo es igual al valor de su arista
elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si
la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su
volumen se obtiene elevando a tres su arista:
Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 m de
lado.
3
3
3
3
3
3
6
3
1 Hm = 1.000.000 m = 10 m .
3
Vcubo=(3cm) = 3 cm = 27cm
Litro. El litro es una unidad de capacidad,
normalmente utilizada para medir líquidos o sólidos
granulares, y que corresponde al volumen que ocupa
1 Kg de agua a 4 °C y a 1 atm de presión.
Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces
su volumen se calcula a través de la fórmula:
33
Muchas veces cuando preparamos un jugo volcamos
el líquido en una jarra o una botella. Cuando
hacemos una torta volcamos el azúcar o la harina en
un recipiente. Se necesitan tantos gramos para llenar
una jarra o tantos gramos para llenar una cacerola.
Por tanto hay una relación entre las medidas de
volumen, capacidad y peso.
Se abrevia con la letra l o con la letra L, para evitar
problemas en la tipografía, cuando la l puede
confundirse con el número 1.
Equivale a la capacidad de un contenedor de un
decímetro cúbico o a una milésima de metro cúbico.
3
1 l = 1 dm = 0.001 m3 = 10-3 m3
Al igual que la masa, el volumen puede medirse en
muchas unidades: pintas, galones, arrobas, etc. pero
las medidas más usadas son el litro (l) y la unidad del
3
S.I. el metro cúbico (m ), que equivale a 1.000 litros
o, lo que es lo mismo, un litro es igual que un
3
decímetro cúbico (dm ) o sea que es la cantidad de
agua que cabe en un cubo que tiene 1 dm de arista.
Las equivalencias entre los múltiplos y submúltiplos
más habituales del metro cúbico y el litro aparecen
en la siguiente tabla:
3
1 l = 1000 ml = 100 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm =
3
0.001 m
3
2
1
3
10 ml = 10 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm = 10
3
m
-3
Además de masa, los cuerpos tienen una extensión
en el espacio, ocupan un volumen. El volumen de un
cuerpo representa la cantidad de espacio que ocupa
su materia y que no puede ser ocupado por otro
cuerpo.
Nombre
3
Abreviatura Equivalencia en m Equivalencia en l
3
3
Hectómetro cúbico Hm
10.000 m
3
10.000.000 l
3
metro cúbico
m
1m
1.000 l
Hectolitro
hl
0'1 m
decímetro cúbico
dm
3
3
0'001 m
3
100 l
3
1l
3
centímetro cúbico c.c. o cm
0'000001 m
decilitro
dl
0'0001 m
centilitro
cl
0'00001 m
mililitro
ml
0'000001 m
3
0'001 l
0'1 l
3
0'01 l
3
0'001 l
Si observas un recibo del agua podrás ver que el agua que gastas no aparece en litros sino en metros
cúbicos
Para medir el volumen de un líquido se emplean distintos recipientes graduados. Pero la relación entre las
medidas de peso y volumen no es constante. ¿Por qué? Porque solo un litro de agua destilada pesa 1kg.. Así por
3
3
ejemplo 1 dm hierro pesa7,8 kg y un dm de aceite pesa 0,92 kg..Entonces ¿cómo hacemos para averiguar la
relación de volumen y peso de cualquier sustancia que no sea agua destilada?. Par eso necesitamos conocer su
peso específico que es la relación entre el peso y el volumen de cualquier parte de esa sustancia.
34
El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, como
co
un cubo o una esfera, su
volumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se
trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al
introducir
ntroducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta
cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado estamos
midiendo el del sólido que sumergimos en él
él. Este método fue descubierto por Arquímedes,
Arquímedes un sabio griego del
siglo III antes de Cristo.
3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
El volumen nos indica la cantidad de espacio qu
que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de cuerpos regulares
utilizamos las siguientes ecuaciones matemáticas:
Ejercicios de áreas y volúmenes
1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y
2500 mm de alto.
S pinta la piscina a razón de
2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se
18.000 pesos el metro cuadrado.
a. Cuánto costará pintarla.
b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de
dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas
¿
cajas podremos almacenar?
4. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.
2
5. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm y 48 l de capacidad.
6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de
diámetro y 20 cm de altura.
7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.
Calcular:
a) El área total.
b) El volumen
8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos
cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará
el agua cuando se derritan?
9. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica,, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste
cost de 300 €
2
el m , ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
35
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
ROMPECABEZAS
Los poliominós son polígonos construidos a partir de
un conjunto de cuadrados del mismo tamaño. Éstos
se encuentran conectados entre sí por uno de sus
lados (lado adyacente), de tal forma que no queden
espacios huecos en el interior del polígono
resultante.
EL TANGRAM
El tangram es un rompecabezas de origen chino.
Consta de un cuadrado dividido en siete partes que
forman siete figuras geométricas. Estas figuras son:
un cuadrado pequeño, dos triángulos pequeños, uno
mediano, dos grandes y un paralelogramo. Dentro de
sus variaciones se encuentran los cuadrados, que se
dividen en diferentes figuras geométricas, la mayoría
de ellas simétricas o regulares (Figuras 1 y 2).
De acuerdo con el número de cuadrados que se
emplee podemos hablar de dominós (2 cuadrados),
triminós (3 cuadrados), tetrominós (4 cuadrados),
pentominós (5 cuadrados), etc.
Para que dos poliominós formados con la misma
cantidad de cuadrados, sean diferentes, uno de ellos
no puede ser obtenido por reflexiones o rotaciones
del otro (Figura 3).
Sin embargo, existen variaciones en las que se
consideran diferentes los poliominós obtenidos por
reflexión, por rotación o por las dos transformaciones
(Figura 4).
Estos rompecabezas son especialmente interesantes
porque sus piezas forman un cuadrado y con ellas se
puede armar una amplia gama de figuras y formas
sin superponerlas.
Como vemos, la cantidad de poliominós que se
puede formar con cierto número de cuadrados
aumenta cuando se emplea mayor número de ellos.
LOS POLIOMINÓS
36
Considera que el área de cada cuadrado que hace
parte de uno de los poliominós se puede representar
2
por la expresión: 9 (x – 2) .
La relación existente entre los posibles poliominós y
el número de cuadrados empleados es:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
G
1
1
2
5
12
35
108
369
1285
H
1
1
2
7
18
60
196
704
2500
T
1
2
6
19
63
216
760
2725
9910
S
1
1
3
4
6
10
20
34
70
3. El área de cualquier pentominó puede
representarse así:
2
2
a) 45x – 180
c) 14 (x – 2)
2
2
b) 45x – 180x + 180
d) 9 (x – 2) + 5
4. El perímetro del poliominó de la ficha G es:
a) 30 (x – 2)
c) 3x – 6
2
2
b) 90 (x – 2)
d) 90x – 180
5. Al unir las piezas E y G de la figura 2, la
relación de la nueva pieza con la D es:
a) Las dos piezas son congruentes.
b) El área de la nueva pieza es mayor que el de
la D.
c) Las dos piezas son semejantes.
d) El área de la pieza D es mayor que el de la
nueva.
En la tala, n es el número de cuadrados empleados,
G es el número de poliominós que se pueden formar
sin contar rotaciones ni reflexiones. H, por su parte,
es el número de poliominós diferentes formados sin
contar rotaciones, T es el número de poliominós
distintos formados incluso por rotación y reflexión y S
los formados sin tener presente la reflexión de otros
poliominós. De los datos anteriores, se puede ver
que para cada n:
6. Para recubrir un cuadrado de 8 x 8 con el
tetraminó E, es necesario emplear:
a) 12 piezas
b) 16 piezas
c) 24 piezas
d) No se puede recubrir con un número exacto
de piezas.
S=2G–H
Los principales problemas que se trabajan a partir de
los poliominós son los recubrimientos de tableros,
esto es, cubrir con poliominós de determinado
tamaño un tablero cuadrado similar a uno de ajedrez.
7. Un cuadrado de dimensiones 4 x 4 puede ser
recubierto por:
a) 4 piezas E
c) 4 piezas C
b) 4 piezas G
d) 4 piezas H
1. En la figura 1, si cada unidad de la cuadrícula
tiene valor x, entonces el perímetro de la figura C
es:
a) 2 √10 x
b) 4x (2 + √2)
c) 12 x
d) 8x
8. Si para n=10, el número de poliominós que se
puede formar sin contar rotación ni reflexión es
de 4655 y los formados sin reflexión son 121,
entonces el número formado sin contar las
rotaciones es:
a) 16446
b) 9189
c) 4413
d) 4776
2. El área del cuadrado que puede formarse con
las partes del rompecabezas de la figura 1, es:
2
2
2
a) 64 x
b) 52 x
c) 16 x
d) 32 x
9. Si para n = 12, el número de poliominós que se
puede formar sin contar rotación y reflexión es
de 63600 y sin contar rotaciones es 126759,
entonces el número de poliominós que se puede
formar sin reflexión de otras es:
3. En la figura 2, en las piezas G y H:
a)
b)
c)
d)
XZ es un congruente con NP.
El triángulo XYZ es rectángulo.
El triángulo MNP es equilátero.
El ángulo M es congruente con el ángulo Z.
a) 441
37
b) 505861
c) 253959
d)
19035
BIBLIOGRAFÍA
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http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-14.htm
http://www.escueladigital.com.uy/geometria/4_figplanas.htm
http://www.geoka.net/triangulos/angulos_triangulos.html
http://argentina.aula365.com/EditorContenidos/Infografias/Contenido/infoPoligonos.swf
http://rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/c/congruentpolygons.htm
http://tutormatematicas.com/GEO/Propiedades_cuadrilateros.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides
http://ciencias.udea.edu.co/~jrlondono/documentos/geucap07.pdf
http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm
http://www.iesaguilarycano.com/dpto/fyq/mat/volumen.htm
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http://www.salonhogar.com/matemat/geometria/teo_contenido.html
www.tallerdegalileo.es/Instituto/volumen.doc
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