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Geometría
y
Trigonometría
865 Ejercicios de
selección múltiple
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
Ejercicios
1. En un cuadrado siempre se cumple que:
I.
Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores
II.
Las diagonales son perpendiculares entre si.
III.
El área es igual a la base por la altura.
IV.
La diagonal es equivalente a la raíz cuadrada del lado.
V.
La distancia desde el punto de intersección de las diagonales a uno de los vértices es igual
a√
del lado
De las proposiciones anteriores son verdaderas solamente:
a) I , III y IV
b) I , II , III y IV
c) I , II , III , IV y V
d) I , II y III
e) I , II , IV y V
2. Dado un triángulo
cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda formado
otro triángulo
. De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es:
a) La relación entre las áreas de los triángulo
y
es 1 a 4.
b) La relación entre los perímetros de los triángulos
y
es 1 a 2.
c) Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden.
d) Los incentros de ambos triángulos no coinciden.
e) Los baricentros de ambos triángulos no coinciden.
3. El perímetro de un trapecio rectángulo es
. Si la base mayor mide
, el ángulo agudo del trapecio mide aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
4. Se sabe que
a)
√
y
b)
√
c)
[
5. Siendo √
. El valor de
y
a)
Cursillo Pi
, con
b)
e)
es:
d)
e)
]
y
d)
y
1
es:
e)
del segundo cuadrante, el valor de
√
c)
d)
y
ángulo del
√
cuarto cuadrante. El valor de la expresión
a)
b)
c)
6. Dado
, y la altura mide
√
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e)
es:
Geometría y Trigonometría
7. Si
a)
y
, el valor de
b)
c)
es:
d)
e)
8. Una persona está parada a
de un edificio de
de altura que tiene
pisos
idénticos. El valor de la tangente del ángulo formado por la visual del observador entre los
pisos
y
es:
a)
b)
c)
d)
e)
9. El menor ángulo positivo cuyo seno sea igual al doble del seno duplo del mismo ángulo es:
a)
b)
c) No existe
d)
e)
10. En el triángulo
son perpendiculares y
a)
b)
c)
d)
√
√
√
e)
√
recto en ,
√
es punto medio del lado
, el área del triángulo
. Si los segmentos
en
y
es:
11. El doble del complemento de un ángulo más el triple del suplemento del mismo es
semisuma del complemento y el suplemento del ángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
. La
12. Dado el triángulo
, donde
y si las bisectrices del ángulo interior y del
ángulo adyacente al ángulo interior , se interceptan en un punto . La medida en grado
centesimal del ángulo
es:
a)
b)
c)
d)
e)
13. En el siguiente gráfico se sabe que
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
, entonces el valor de
2
es:
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Geometría y Trigonometría
14. A partir de las afirmaciones siguientes:
I) Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide
.
II) Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios.
III) Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es cero.
IV) El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo.
Podemos decir que son verdaderas:
a) Todas
b) Sólo tres
c) Sólo dos
d) Sólo una
e) Ninguna
15. La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las
a)
b)
c)
d)
, es:
e)
16. En un polígono convexo, desde cuatro vértices consecutivos se puede trazar
diagonales. La
cantidad total de diagonales de dicho polígono es:
a)
b)
c)
d)
e)
17. A partir de las siguientes proposiciones:
I)
El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento.
II)
La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa.
III)
La función cosecante es la reciproca de la función secante.
IV)
El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1.
Podemos decir que son verdaderas:
a) Todas
b) Ninguna
c) II y III
d) I y II
18. La expresión
e) III y IV
, es equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
19. Reducir a su forma más simple
a)
b)
20. En la siguiente figura, el valor de
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
(
)
c)
(
)
d)
e)
es:
3
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21. Con un compas cuyos brazos miden
, se traza una circunferencia de
Sabiendo que es el ángulo entre los brazos, entonces el valor de
a)
b)
c)
d)
e)
22. En un triángulo
, es el punto medio de
ortocentro. Si la medida de los ángulos
y
razón entre los segmentos
y
es:
a)
b)
c)
,
es un punto cualquiera de
son respectivamente de
d)
de radio.
es:
y
y
es el
. La
e)
23. Una transversal corta las rectas paralelas y en los puntos y respectivamente. Si las
bisectrices de los ángulos conjugados internos se cortan en un punto , siendo
igual al
doble de
, entonces el menor de los ángulos conjugados internos mide:
a)
b)
c)
d)
e)
24. Se tienen los ángulos consecutivos
, bisectrices de
y
.
a)
b)
c)
25. En la figura ̅̅̅̅
a)
b)
c)
d)
e)
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
y
siendo
. Se trazan
y
, respectivamente. Hallar la medida del ángulo
d)
e)
̅̅̅̅ , entonces se puede decir que:
26. Marca solo la respuesta correcta.
a) La función seno puede tener
de valor.
b) El signo de la cofunción del seno del segundo cuadrante es negativo.
c)
d) La tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo.
e) El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo.
27. En el triángulo
bisectriz del ángulo
a)
b)
. Hallar la medida del ángulo formado por la
y la mediatriz del segmento
.
c)
d)
e)
28. En un triángulo
y
las bisectrices de los ángulo externos y
a)
b)
c)
Cursillo Pi
4
. Por , se traza paralelas a
, cortando a
, en los puntos y respectivamente. Hallar
:
d)
e) N.d.a.
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29. Si
a)
, el valor de
b)
, es:
c)
d)
e)
30. De las siguientes opciones:
I) En el
, el signo de la cofunción del coseno es positivo.
II) Si
III)
,
, el valor de
(
)
(
)
IV) La función tangente es decreciente en el
V)
Podemos decir que son falsas.
a) I , II y V
b) II , III y V
c) II, IV y V
d) I y V
e) II , III, IV y V
31. En un triángulo, uno de sus ángulos mide
. Calcular el valor del ángulo que forman
la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto.
a)
b)
c)
d)
e)
32. Calcular el valor del ángulo
a)
b)
c)
d)
e)
,
cuadrilátero inscriptible.
diámetro de la Cia.
33. Cuales son las proposiciones no falsas
I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si.
II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en
línea recta.
III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos.
IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son
perpendiculares.
V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios.
Cursillo Pi
5
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34. Si el suplemento del ángulo
es
entonces:
a)
e son ángulos suplementarios.
b) es agudo e es obtuso
c)
es a como es a
d) es a como 2 es a
e)
e son ángulos congruentes
, donde
35. Los ángulos y de un cuadrilátero
formado por las bisectrices de los ángulos
a)
b)
c)
valen
es el complemento de dicho ángulo,
y
. Calcular el valor del ángulo
y
d)
e)
36. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados?
a)
b)
c)
d)
e)
37. Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de
ellas el doble de la altura
a)
b)
c)
d)
e)
38. Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura
respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
e)
y
39. Hallar el valor del ángulo
a)
b)
c)
d)
e)
40. En un polígono regular de
lados inscripto en una Cía, uno de los lados subtiende un arco de
. Hallar el radio de la Cía.
a)
b)
c)
d)
e)
41. Un rombo tiene diagonales que miden
es:
a)
b)
c)
Cursillo Pi
y
. La longitud de la cia inscripta a el rombo
d)
6
e)
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42. Dada dos cias tangentes exteriores y de radios
segmento tangente exterior común a las dos cias es:
a)
√
b)
√
y
respectivamente. La longitud del
c) √
d) √
e) √
43. Los lados de un triángulo miden
del triángulo es:
a)
b)
y
. El coseno del mayor de los ángulos interiores
c)
d)
e)
44. De las opciones, marca la alternativa correcta:
a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.
b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.
c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.
d) El cuadrado es un rombo equilátero.
e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa.
45. La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo agudo
de un triángulo recibe el nombre de:
a) Seno
b) Coseno
c) Cosecante
d) Secante
e) Tangente
46. La cuerda de un arco de cia es igual a
a)
b)
y la flecha
c)
. Calcular el radio
d)
e)
47. Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un
hexágono regular de lado .
(
a)
√ )
b)
( ⁄
c)
d)
√
(
√ )
e)
(
√ )
√ )
48. La perpendicular bajada desde un punto de un diámetro mide
y divide a dicho diámetro
en dos segmentos que están en la relación
. Calcular la longitud de la cia.
a)
b)
c)
d)
e)
49. Desde un punto se trazan una tangente y una secante a una cia, de longitudes
y
,
respectivamente. La secante dista
del centro de la cia. Hallar la longitud de esta
curva.
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
7
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50. El cociente entre el área de un triángulo equilátero cuya altura es igual al radio de una cia y el
área de un triángulo equilátero inscripto en esa cia es:
a)
b)
e)
c)
d) √
√
51. Dada tres cias de radio igual a
a)
b) √
c) √
d)
e)
. El perímetro de la parte sombreada es:
52. Un rombo tiene diagonales que miden
es:
a)
b)
c)
53. En la figura el lado del cuadrado
a)
b)
c)
d)
e)
54. Hallar el área en el pentágono (en
a)
b)
c)
d)
e)
y
. La longitud de la cia inscripta a el rombo
d)
es
e)
. Halla el área de la región sombreada.
):
55. En una circunferencia de
de radio, se inscribe un rectángulo de lados
perímetro del rectángulo en
.
a) √
b) √
c) √
d)
√
y
e)
. Hallar el
√
56. En un triángulo
se traza la bisectriz correspondiente al ángulo , que llega hasta el punto
sobre el lado
. Siendo los lados:
y
. Hallar el área
del triángulo
.
a)
b)
c)
d)
e)
57. Un depósito en forma de cono circular recto de altura , está con el vértice hacia abajo esta
cargado hasta la mitad de su capacidad ¿Hasta que altura llega el agua?
b)
d)
a)
c)
e)
√
√
√
Cursillo Pi
8
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58. Se hace un corte a un cubo de arista igual a , mediante un plano que pasa por los vértices ,
y , como muestra la figura. El área total del poliedro que resulta al retirar el sólido
es:
a)
b)
c)
√
d) (
√ )
e) (
√ )
59. La suma de las áreas totales de dos conos circulares rectos semejantes es
√ )
(
Hallar la raíz cuadrada del producto de las áreas, si las alturas están en razón 3 es a 4.
(
a)
√ )
(
b)
√ )
(
c)
√ )
60. El área total de un cubo en función de su diagonal
a)
c)
b) √
(
d)
√ )
d)
e)
61. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular, de
rectángulo cuya diagonal mide
. Calcular el área total del prisma.
a)
b)
c)
d)
(
e)
√ )
√
de altura, es un
e)
62. Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de todas sus aristas iguales a
.
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
√
63. En la figura
es triángulo rectángulo,
y son los lados opuestos, el radio de la
circunferencia inscripta en el triángulo rectángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
64. Calcular volumen de un tronco de cono de revolución (en
) de bases paralelas, sabiendo
que se pueden inscribir en él 2 esferas tangentes de
y
de radio,
respectivamente.
a)
Cursillo Pi
b)
c)
d)
9
e) N.d.a.
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65. El volumen del material contenida en una esfera hueca cuyo radio interno es
espesor es es:
a)
b)
c)
d)
e)
y cuyo
66. Cuales son las proposiciones no falsas
I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si
II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en
línea recta.
III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos.
IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son
perpendiculares.
V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementario
a) I y II
b) Solo I
c) II, III y IV
d) Solo V
e) IV y V
67. De las opciones, marca la alternativa no falsa:
a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.
b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.
c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.
d) El cuadrado es un rombo equiángulo.
68. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide
. Calcular el valor del ángulo
que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto.
a)
b)
c)
d)
e)
69. Cuatro rectas que parten de un punto
y
valor del ángulo
.
a)
b)
c)
y
, forman los ángulos continuos
. Hallar en grados sexagesimales el
d)
e)
70. Marcar la correcta:
a) El número de aristas de un icosaedro es treinta y de un dodecaedro doce.
b) Si el radio y la altura de un cono son iguales respectivamente a la altura y el radio de un
cilindro, el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.
c) El área lateral de una pirámide es igual a la mitad de la suma de su perímetro de base y su
apotema.
d) Si se inscribe una esfera en un hexaedro, el volumen de la esfera es aproximadamente igual a
la tercera parte del volumen del hexaedro.
Cursillo Pi
10
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
71. Siendo
a)
b)
c)
d)
e)
entonces el valor de
es:
72. La suma de dos ángulos es igual a
. Uno de ellos es el doble del complemento del otro. La
razón entre el mayor y el menor es:
a)
b)
c)
d)
e)
73. Dos ángulos opuestos por el vértice miden
a)
b)
c)
y
. Entonces uno de ellos mide:
d)
e)
74. La suma de un ángulo más el doble de su complemento es
a)
b)
c)
d)
. El ángulo mide:
e)
75. La suma de un ángulo más la cuarta parte de su suplemento es
a)
b)
c)
d)
76. En la siguiente figura se sabe que las rectas
a)
b)
c)
d)
e)
y
77. En la figura en que
a)
b)
c)
d)
e)
es:
. El valor del ángulo
78. Dados los ángulos consecutivos
ángulo
ángulos
a)
son
b)
y
es:
. Se sabe que el doble de la medida del
. Además las medidas de los
respectivamente. El ángulo
c)
d)
79. La mitad del complemento de un ángulo es
a)
b)
c)
Cursillo Pi
son paralelas. La medida del ángulo
, es igual al triple de la medida del ángulo
y
. El ángulo mide:
e)
11
mide:
. El ángulo mide:
d)
Ing. Raúl Martínez
e)
e)
Geometría y Trigonometría
80. La suma de dos ángulos es
. Si uno de ellos es el doble del complemento del otro,
entonces el mayor de los ángulo excede al menor en:
a)
b)
c)
d)
e)
81. En la siguiente figura se sabe que
a)
b)
c)
d)
e)
, entonces el valor del ángulo
es:
82. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos forman un ángulo de
si la medida de uno de
ellos es igual a
de la medida del otro, el menor de los ángulos mide:
a)
b)
c)
d)
e)
83. En la siguiente figura se sabe que
a)
b)
c)
d)
e)
84. Si
y
a)
b)
c)
d)
e) Ninguna
. El ángulo
mide:
son paralelas. Calcular el valor de
85. El doble del complemento de un ángulo mas el triple del suplemento del mismo es
semi suma del complemento y el suplemento del ángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
86. Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo:
a) Son complementarios.
b) Son iguales.
c) Miden cada uno
.
d) Son suplementarios.
e) Miden
.
Cursillo Pi
12
Ing. Raúl Martínez
. La
Geometría y Trigonometría
87. A partir de las siguientes afirmaciones:
I) Dos ángulos son adyacentes
II) Dos ángulos agudos pueden ser suplementarios
III) Si dos ángulos son suplementarios, uno de ellos es agudo y el otro es obtuso
Podemos decir que son falsas:
a) Solo I
b) Solo I y II
c) Solo III
d) Todas
e) Ninguna
88. A partir de las siguientes afirmaciones siguientes
I) Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide
II) Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios
III) Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es recto
IV) El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo
Podemos decir que son verdaderas:
a) Todas
b) Solo tres
c) Solo dos
d) Solo una
e) Ninguna
89. Dos ángulos complementarios son entre si como 7 es 53. Calcular el ángulo menor
a)
b)
c)
d)
e)
90. Dos ángulos suplementarios son entre si como 3 es a 7. Calcular el ángulo menor
a)
b)
c)
d)
e)
91. A partir de las siguientes afirmaciones:
I) Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común.
II) Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo llano
III) El complemento de un ángulo es siempre un ángulo agudo
Podemos decir que en el mismo orden en que aparecen son respectivamente:
a) V, V, V
b) F, F, F
c) V, F, V
d) V, V, F
e) F, V, V
92. Dos ángulos adyacentes son entre si como 3 es a 5. El menor de los ángulos mide:
a)
b)
c)
d)
e)
93. Los ángulos
y
obtuso y agudo respectivamente son tales que sus lados son
perpendiculares. Si la razón entre ellos es 5. La medida del ángulo
es:
a)
b)
c)
d)
e)
94. Sabiendo que los ángulos agudos
, tienen sus lados paralelos y dirigidos en igual
sentido y que los lados del ángulo agudo
son perpendiculares a los lados del ángulo
y que la suma de las medidas de los ángulo
y
es
. La medida del ángulo
es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
13
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
95. Marca la alternativa correcta:
a) Dos ángulos adyacentes suman
b) La suma de dos ángulos complementarios iguales es igual a
c) La suma de dos ángulos opuestos por el vértice es siempre igual a
radianes
d) Los ángulos alternos siempre son congruentes
e) La suma de dos ángulos correspondientes mide siempre como un ángulo obtuso
96. Para convertir un ángulo dado en el sistema sexagesimal al sistema centesimal y expresarlo
en minutos se debe:
a) Multiplicarlo por el cociente entre
y
b) Dividirlo por el cociente entre
c) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre
y
d) Dividirlo por el producto entre el cociente de
y
y
e) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre
y
97. Un ángulo de
a)
es equivalente a:
b)
c)
d)
e)
98. El ángulo de
a)
corresponde a:
b)
d)
e)
c)
99. La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las
a)
b)
c)
d)
es:
e)
100. De las afirmaciones siguientes:
I) Dos ángulos consecutivos son adyacentes.
II) Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios
III) Dos ángulos suplementarios son adyacentes
IV) Si el complemento de un ángulo es , entonces su suplemento es
V) Si el complemento de un ángulo es , entonces el suplemento de su triplo es
Son Falsas:
a) Solo cuatro
b) Solo tres
c) Solo dos
d) Solo una todas
101. A partir de las siguientes proposiciones:
I) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes
II) Dos ángulos suplementarios son adyacentes
III) Dos ángulos complementarios siempre son desiguales
IV) Dos ángulos suplementarios pueden ser complementarios
V) Dos ángulos consecutivos suman siempre
Son verdaderas:
a) Todas
b) Ninguna
c) Solo una
d) Solo dos
Cursillo Pi
14
Ing. Raúl Martínez
e) Solo tres
Geometría y Trigonometría
102.
I)
II)
III)
IV)
De las siguientes afirmaciones:
Dos ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes.
Dos ángulos suplementarios son conjugados internos o conjugados externos.
Dos ángulos alternos internos son correspondientes.
Dos ángulos consecutivos formados por una transversal que corta a dos paralelas son
suplementarios.
V) Si dos ángulos alternos externos son congruentes entonces las rectas cortadas por la
transversal son paralelas.
Podemos decir que:
a) Ninguna es verdadera
b) Son verdaderas I, III y V
c) Son verdaderas I, IV y V
d) Son verdaderas II, IV y V
e) Son verdaderas I, II, IV y V
103.
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son entre si como 5 es a 13. Calcular el
ángulo menor.
a)
b)
c)
d)
e)
104.
En un triángulo de lados
donde
se tiene que las longitudes de los
segmentos determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto y
son:
a)
y
b)
y
c) Ambas son iguales
d)
y
e) Ambas son iguales a
105.
En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberían dar las
dimensiones de triángulos. Si con las medidas dadas era posible construir un triángulo, el niño
se ganaba puntos adicionales por su calificación, las respuestas fueron
Juan
Luis
Pedro
Carlos
Entonces la maestra dio puntos adicionales a:
a) Juan y Luis
b) Juan y Pedro
c) Luis y Pedro
d) Pedro y Carlos
Cursillo Pi
15
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
106.
a)
b)
c)
d)
e)
Teniendo en cuenta la figura y sabiendo que ̅̅̅̅
107.
Sea el triángulo
Entonces
a)
̅̅̅̅ . Entonces
la bisectriz del ángulo . Sabiendo que
.
es igual a:
b)
108.
y
̅̅̅̅
c)
d)
e)
El ángulo exterior contiguo a uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles mide
. Calcular el ángulo desigual.
a)
b)
c)
109.
Las bisectrices de los ángulos
Calcular el ángulo .
a)
b)
d)
y
c)
del triángulo
e)
forman un ángulo de
d)
.
e)
110.
Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Sabiendo que esta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son y
respectivamente.
a)
b)
111.
a)
b)
c)
d)
e)
El valor de
c)
d)
e)
en la figura geométrica es:
√
√
√
112.
En un triángulo
se tiene que la recta
es paralela al lado
lados
y
en los puntos y respectivamente, y que
,
. Entonces el segmento
mide:
, cortando a los
a)
e)
Cursillo Pi
b)
c)
d)
16
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
113.
Los triángulos rectángulos
. En el
y
son semejantes. En el
. Calcular el perímetro del
:
y
.
a)
b)
c)
d)
e)
114.
Trazando una recta paralela a la base de un triángulo, determina en uno de los lados
dos segmentos, uno de
y el otro de
. ¿Cuál es la longitud de los segmentos
determinados en el otro lado que mide en total
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
115.
En la siguiente figura, el doble de la suma de los cuadrados de
y es:
a)
b)
c)
d)
e)
116.
a)
b)
c)
d)
e)
Si
e)
y , en función de
, entonces
117.
En un triángulo
el ángulo
altura y bisectriz trazadas del vértice .
a)
b)
c)
y
y
es:
. Cual será el ángulo que forma la
d)
e)
118.
En un triángulo
la bisectriz correspondiente al ángulo forma con la bisectriz del
ángulo externo correspondiente al ángulo ,
y la diferencia entre los ángulos y es de
. Calcular los tres ángulos.
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
17
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
119.
Un poste de teléfono da una sombra de
, al mismo tiempo un operario de
de estatura da una sombra de
, entonces la altura del poste es:
b)
c)
d)
e)
a)
120.
Teniendo en cuenta el siguiente gráfico,
a) √ y √
b) √ y √
y
miden respectivamente:
√
c) √ y
d)
y
e)
y
121.
En un triángulo
es un punto del segmento
, tales que:
a)
y
b)
122.
En un triángulo
la medida del lado
, es:
a)
b)
c)
y
un punto del segmento
, entonces el segmento
d)
e)
y se traza la bisectriz interior
c)
En la figura las rectas
. El segmento
y
mide:
. Si
y
d)
,
e)
123.
En un triángulo
es bisectriz interior. En los triángulos
son también, respectivamente, bisectrices. Si
;
y
medida del segmento
a)
b)
c)
d)
124.
mide:
y
;
y
. Cual es la
e)
son paralelas.
y
a)
b)
c)
d)
e)
125.
En la figura adjunta:
y
. Entonces la razón reciproca de
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
18
Ing. Raúl Martínez
es:
Geometría y Trigonometría
126.
̅̅̅̅
es:
a)
Dadas las siguientes proposiciones de congruencia.
, además
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅. Entonces la proposición correcta sobre triángulos congruentes
b)
c)
d)
127.
La hipotenusa
de un triángulo rectángulo
mediante cuatro segmentos paralelos a
. Si
de esos cuatros segmentos es igual a:
a)
b)
c)
128.
a)
129.
e)
, se divide en cinco partes iguales,
, entonces la suma de las longitudes
d)
e)
La razón reciproca entre, la media proporcional de 2 y 5 ,y la cuarta proporcional de
y , es:
b)
√
̅̅̅̅̅
En el grafico
, entonces ̅̅̅̅̅ mide:
̅̅̅̅
c) √
d)
̅̅̅̅
̅̅̅̅
√
e)
̅̅̅̅
√
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
a)
b)
c)
d)
e)
130.
La longitud del lado de un cuadrado, inscripto en un triángulo rectángulo
, recto
en , donde uno de los vértices del cuadrado es y el vértice opuesto sobre la hipotenusa
del triángulo, cuyos catetos miden
y
, es:
a)
b)
c)
d)
e)
131.
En un triángulo rectángulo de lados
longitud 10 es:
a)
b)
c)
y
, la altura correspondiente al lado de
d)
e)
132.
Una columna de
de altura proyecta a cierta hora del día una sombra de
,
cual será la sombra proyectada a la misma hora por un poste cuya longitud sea la tercera
parte de la longitud de la columna
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
19
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
133.
En la figura
y
, entonces la medida de
es:
a)
b)
√
√
c)
√
√
d)
e)
134.
Marca la proposición correcta:
a) Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son congruentes con dos
lados y un ángulo del otro.
b) El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado
e igual a la mitad de uno de sus lados.
c) Dos triángulos semejantes pueden ser congruentes.
d) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus
ángulos.
e) Dos triángulos rectángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual.
135.
En un triángulo
, el lado
y se considera el punto como baricentro. Se
traza el segmento
que pasa por el punto y paralelo al lado
del triángulo (con los
extremos sobre el lado
y el punto sobre el lado . La medida del segmento , es:
a)
b)
c)
d)
e)
136.
En la figura
longitud del segmento
a)
b)
c)
d)
e)
137.
. Además
, en metros es:
Dada la serie de razones iguales:
valores de
. La
donde
, entonces los
; aumentados en dos unidades, son respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
20
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
138.
Teniendo en cuenta el dibujo, donde
a)
b)
c)
√
√
√
d)
e)
√
√
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
y
, el valor de
es:
139.
En la figura ̅̅̅̅
a)
y
son escalenos.
b)
y
son congruentes.
c)
y
son equiláteros.
d)
y
son congruentes.
e)
y
son semejantes.
140.
a) 36°
Cada ángulo de un pentágono regular mide:
b)
c)
141.
a)
b)
c)
d)
e)
La suma de los ángulos interiores del polígono dibujado en la siguiente figura es:
y
. Entonces:
d)
e)
142.
De las siguientes afirmaciones:
I)
Cualquiera de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son suplementarios
II)
Cualquiera de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios
III)
Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares entre si y se cruzan en su punto
medio, entonces ese paralelogramo es un rombo.
Podemos afirmar que:
a) Todas son verdaderas
b) Solo I y II son verdaderas
c) Solo II y III son verdaderas
d) Solo II es verdadera
e) Solo III es verdadera.
Cursillo Pi
21
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
143.
En la figura se tiene un rectángulo cuyos lados miden
y
respectivamente.
Los puntos
y son puntos medios de los lados. El perímetro del cuadrilátero
es:
a)
b)
c)
d)
e)
144.
El número total de diagonales de un polígono cualquiera es
, entonces:
I)
El polígono tiene
vértices
II)
El polígono tiene
lados.
III)
Cada ángulo interior mide
IV)
La suma de los ángulos interiores es igual a
Podemos decir que son falsas:
a) Todas
b) Solo tres
c) Solo dos
d) Solo una
e) Ninguna
145.
Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los
lados de dos polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice
y
diagonales
respectivamente, entonces el nuevo polígono tendrá en total:
a) 25 diagonales
b) 22 diagonales
c) 275 diagonales
d) 350 diagonales
e) 250 diagonales
146.
Si y representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice
de dos polígonos que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos de
y lados
respectivamente, entonces
es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
147.
Hallar los ángulos del paralelogramo
, sabiendo que los ángulos que la diagonal
forma con los lados
y
miden respectivamente
y
a)
b)
c)
d)
e)
148.
Hallar el perímetro de un hexágono, sabiendo que si se considera una de las diagonales
queda dividido en dos trapecios isósceles congruentes, tales que un lado mide el triple de la
cuarta parte de la base menor y que la diferencia entre ambos es 5.
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
22
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
149.
Sabiendo que la medida de la base media de un trapecio es
doble que la otra, calcular las medidas de ambas.
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
150.
Sean
demostrar que
a)
b)
c)
d)
e)
151.
a)
y que una base mide el
e)
y
un trapecio y
su base media. Sabiendo que ̅̅̅̅̅
en función de
es:
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ,
Hallar el perímetro de un pentágono
. Sabiendo que si se considera la diagonal
, quedan determinados un cuadrado y un triángulo isósceles y que, en este último
b)
c)
d)
e)
152.
a)
Determinar la medida de un ángulo interior de un octógono regular.
b)
c)
d)
153.
La figura adjunta es un cuadrilátero no convexo (cóncavo). Usando alguna propiedad
de triángulos. Demostrar que:
bisectriz de
154.
a)
e)
bisectriz de
La suma de los ángulos interiores de un trapecio es:
b)
c)
d)
155.
Uno de los ángulos de un trapecio isósceles es
mide entonces:
a)
b)
c)
e)
del otro. El mayor de los ángulos
d)
e)
156.
El número de lados de un polígono sabiendo que la suma de los ángulos interiores es
igual a
es:
a) 5 lados
b) 6 lados
c) 7 lados
d) 9 lados
e) 8 lados
157.
a)
El ángulo interno de un polígono regular de
b)
c)
diagonales es igual a:
d)
e)
158.
¿Cuánto es la razón entre la medida de un ángulo interior de un pentágono regular y la
medida de un ángulo interior de un decágono regular?
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
23
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
159.
a)
b)
c)
d)
e)
Teniendo en cuenta la figura del trapecio rectangular
160.
Hallar las razones directas e inversas de los segmentos
a)
b)
c)
d)
e)
calcular su perímetro.
y
. Sabiendo que
y
y . Sabiendo que
y
y
y
y
y
y
161.
a)
b)
c)
d)
e)
Hallar las razones directas e inversas de los segmentos
y
y
y
y
y
162.
Dadas las siguientes proposiciones
I)
Dos triángulos son congruentes si sus lados son proporcionales de razón uno
II)
Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes
III)
Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros lados en segmentos
proporcionales
IV)
Las alturas correspondientes a los lados homólogos en dos triángulos semejantes son
proporcionales
V)
Si se tiene dos cantidades y , además se cumple
, entonces
se denomina
cuarta proporcional.
En ese mismo orden son:
a) V, F, F, F, F
b) V, V, V, V, V
c) F, V, V, V, V
d) V, V, V, V, F
e) V, F, V, V, F
163.
Dada la serie de razones iguales
valores de
donde
, entonces los
aumentados en dos unidades, son respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
24
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
164.
es:
a)
La razón entre la media proporcional de
b)
√
y
c) √
y la cuarta proporcional de
√
d)
e)
y
√
165.
A partir de las afirmaciones siguientes:
I)
Los lados de un triángulo son proporcionales a los segmentos determinados por la
bisectriz
II)
Si una recta determina sobre dos de los lados de un triángulo segmentos proporcionales,
entonces la recta es paralela al tercer lado.
III)
La media proporcional de y es igual a la raíz cuadrada del producto de ambas.
IV)
Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen sus catetos proporcionales.
V)
Si la razón entre
y
es
, entonces
y
Podemos decir que son verdaderas:
a) Todas
b) Solo una
c) Solo dos
d) Solo tres
e) Ninguna
166.
En un triángulo rectángulo de lados
longitud
es:
a)
b)
c)
167.
a)
168.
a)
La expresión que representa
b)
, la altura correspondiente al lado de
d)
e)
es tercera proporcional de
b)
La expresión que representa
y
c)
d)
es tercera proporcional de
c)
y , correspondiente a:
e)
y
corresponde a:
d)
e)
169.
Dadas dos circunferencias concéntricas cuyos radios se diferencian en
. Calcular la
diferencia entre las longitudes de los dos arcos correspondientes al mismo ángulo central de
a)
b)
c)
e)
d)
170.
Por un punto exterior a un circulo de centro
y radio igual a
secante
tal que ̅̅̅̅
y
. Calcular la distancia
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
25
Ing. Raúl Martínez
, se traza la recta
Geometría y Trigonometría
171.
Teniendo en cuenta la figura, donde
de radio , entonces ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
es la distancia de
al centro de la circunferencia
172.
En una circunferencia dada se traza un diámetro y una cuerda paralela a él y
correspondiente al contorno de un polígono regular de 216 lados. Cual es el valor del ángulo
formado por esa cuerda y la que resulta de unir uno de sus extremos con el extremo más
distante del citado diámetro
a)
b)
c)
d)
e)
173.
Un arco de circunferencia mide
próximo a la medida del radio es:
a)
b)
c)
y su longitud es de
. El numero entero más
d)
e)
174.
El arco comprendido entre los lados de un ángulo inscripto en una circunferencia mide
lo mismo que el ángulo exterior respectivo al ángulo no congruente de un triángulo isósceles
cuyos otros ángulos miden cada uno
. La mitad del suplemento del ángulo
central cuyos lados están comprendidos entre ese mismo arco corresponde a:
a)
b)
c)
d)
e)
175.
a)
b)
El perímetro de la parte reyada de la figura es:
c)
d)
e)
176.
Dada la siguiente figura, tenemos que las circunferencias son tangentes, y
son los
centros y
y
, son tangentes en
y , respectivamente. Sabiendo que los radios son
y , el cuádruplo de la suma de
y
es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
26
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
177.
En la figura cada una de las circunferencias con centros en
y
, miden respectivamente en metros:
y
, siendo
a)
b)
c)
d)
e)
178.
Los diámetros de las dos ruedas de una bicicleta miden
y
. La primera dio
vueltas al recorrer cierta distancia. Entonces el número de vueltas que dio la segunda
rueda es:
a)
b)
c)
d)
e)
179.
Entre las afirmaciones siguientes:
I) Si una recta bisecta al arco menor de una cuerda, también bisecta al arco mayor.
II) Una cuerda de un círculo siempre es diámetro.
III) Si un triángulo está inscripto en un círculo, con un lado como diámetro, entonces el triángulo
es rectángulo.
IV) La región de plano comprendido entre dos cias. Concéntricas se llama sector circular.
V) La intersección de una recta y un círculo puede ser vacío.
VI) El segmento rectilíneo que une dos puntos de un círculo siempre es una cuerda.
Las verdaderas son:
a) I y V
b) III y V
c) II y VI
d) I y II
e) III , V y VI
180.
De las afirmaciones siguientes:
I) Si dos tangentes a una cia son paralelas, entonces sus puntos de tangencia determinan un
diámetro.
II) Si un triángulo está inscripto en un circulo y los arcos interceptados tienen medidas de
y
, entonces el triángulo es obtusángulo.
III) Si se duplica el radio de una circunferencia, entonces el diámetro se duplica.
IV) Toda circunferencia contiene al menos dos arcos diferentes.
V) Toda cuerda es subconjunto de una secante.
Podemos afirmar que:
a) Todas son verdaderas
b) Solamente tres son verdaderas
c) Ninguna son verdaderas
d) Solamente dos son verdaderas
e) Solamente una es verdadera.
181.
a)
b)
c)
d)
e)
Determinar la posición relativa de dos circunferencias de longitudes
. Siendo las distancia entre sus centros
.
Tangentes
Tangentes interiores
Secantes
Exteriores
Concéntricas
Cursillo Pi
27
Ing. Raúl Martínez
y
Geometría y Trigonometría
182.
de
a)
Una circunferencia tangente interiormente pasa por el centro de otra cuya longitud es
. La distancia entre los centros en
es:
b)
c)
d)
e)
183.
La distancia entre los centros de dos cias tangentes exteriormente, sabiendo que las
longitudes respectivas miden
y
es:
a)
b)
c)
d)
e)
184.
a)
La distancia que separa a dos cias concéntricas cuyas longitudes respectivas miden
y
es:
b)
c)
d)
e)
185.
Hallar el valor de un ángulo inscripto en la cia siendo de
arcos subtendidos por los lados de aquel
a)
b)
c)
d)
y
los
e)
186.
El valor de un ángulo inscripto en un circulo cuyos lados corresponden a polígonos
regulares de 12 lados y 18 lados
a)
b)
c)
d)
e)
187.
Dos ángulos exteriores consecutivos de un cuadrilátero inscriptible en un circulo vale
y
. Calcular los ángulos del cuadrilátero.
a)
b)
c)
d)
e)
188.
a)
b)
c)
d)
e)
Hallar el valor del ángulo
siendo ̅̅̅̅
̅̅̅̅
189.
El lado del cuadrado
mide “ ” y los puntos medios de los lados
respectivamente son y , entonces el área de la región sombreada es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
28
Ing. Raúl Martínez
y
Geometría y Trigonometría
190.
es:
a)
b)
c)
d)
e)
El área del paralelogramo
, sabiendo que el área de la parte sombreada es
191.
a)
El área de un círculo es
b)
192.
Sabiendo que un hexágono regular inscripto en una circunferencia tiene área
. Entonces el perímetro del cuadrado circunscripto es:
c)
d)
e)
√
entonces la longitud de la circunferencia es:
a)
b)
c)
193.
El área de un triángulo es
dicha base mide:
a)
b)
194.
d)
. Si su base es
c)
√
e)
, entonces la altura correspondiente a
d)
e)
El pentágono de la figura está dividido en un cuadrado de
. Entonces
mide:
y en un triángulo de
a)
b)
c)
d)
e)
195.
El área de la figura en términos de
y
es:
a)
b)
c)
d)
e)
196.
a)
Cursillo Pi
Hallar el lado de un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado de
b)
c)
d)
e)
29
,
Ing. Raúl Martínez
de lado.
Geometría y Trigonometría
197.
Un trapecio isósceles tiene
de altura y
de perímetro. Si la diferencia de
las bases es de
. Cual será el área de dicho trapecio.
a)
b)
c)
d)
e)
198.
Calcular el área de un sector circular de
lado es igual a la longitud del arco de aquel.
a)
b)
c)
de radio equivalente a un cuadrado cuyo
d)
e)
199.
Se tiene un cuadrado de
de lado. ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben
hacerse para obtener rectángulos iguales de
de área?
a) No cortar
b)
c)
d)
e)
200.
Al aumentar en 3 el largo de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el
área queda:
a) Aumentada en 3
b) Disminuida en 3
c) Invariable
d) Aumentada en
e) Disminuida en
201.
a)
b)
c)
d)
e)
El área de la región sombreada es:
√
202.
Las diagonales de un rombo se diferencian en
. Calcular su área sabiendo que
excede en
al triple del área de un cuadrado de diagonal igual a la menor diagonal del
rombo
a)
b)
c)
d)
e)
203.
Los lados de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos y su área es
igual a
. Calcular el perímetro.
a)
b)
c)
d)
e)
204.
Si la suma de las áreas de dos círculos es
circunferencias es de
, sus radios miden
a)
y
b)
y
c)
y
Cursillo Pi
30
y la suma de las longitudes de sus
d)
y
Ing. Raúl Martínez
e)
y
Geometría y Trigonometría
205.
Las bases de un trapecio isósceles miden
Calcular la diagonal.
a)
b)
c)
206.
El área de un rectángulo de
radio es:
a)
b)
c)
y
. El área es igual a
d)
.
e)
de perímetro inscripto en un circulo de
d)
e)
207.
La superficie de un triángulo es de
Calcular la longitud del tercer lado.
a)
b)
c)
y dos de sus lados miden
208.
. ¿Cuál es la región sombreada?
En la figura, cada lado del cuadrado mide
de
d)
y
.
e)
a)
b)
c)
d)
e)
209.
La longitud de una cia en
miden
a)
√
es:
b)
, que está inscripta en un triángulo equilátero cuyos lados
c)
d)
e)
210.
a)
Dada una cia de radio
b)
. El perímetro del cuadrado circunscripto a ella es:
c)
d)
e)
√
211.
a)
El perímetro de un hexágono regular cuya apotema mide √ , es:
b)
c)
d)
√
√
e)
212.
Las longitudes de las cias inscriptas y circunscriptas a un pentágono regular, miden,
respectivamente
y
. El perímetro del pentágono regular es:
a)
b)
c)
d)
e)
213.
a)
214.
a)
Cursillo Pi
Calcular la longitud de la circunferencia circunscripta a un rectángulo de
de altura.
b)
c)
d)
Calcular el área del circulo inscripto en un triángulo equilátero de
b)
c)
d)
31
Ing. Raúl Martínez
de base y
e)
de superficie.
e)
Geometría y Trigonometría
215.
Si el número que representa el volumen de un cubo es el número que indica el área
total del mismo, entonces la diagonal del cubo mide:
̅
̅
a)
c)
d)
b) √
e) √
216.
Si
y
son los volúmenes de dos paralelepípedos rectángulos, y el perímetro es tal
que sus dimensiones son la mitad de las del segundo, entonces la relación entre los
volúmenes es:
a)
b)
c)
d)
e)
217.
Un círculo es equivalente a la superficie total de un cilindro cuya altura es de
cuyo radio de base es
. El diámetro del círculo mide entonces:
a)
b)
c)
d)
e)
218.
de:
a)
La razón entre los radios de dos esferas es de
219.
a)
El volumen de un cubo es de
b)
c)
220.
Un cubo tiene área total igual a
c)
b) √
√
a)
221.
b)
, entonces la razón entre sus áreas es
d)
e)
, entonces la suma de sus aristas es igual a:
d)
e)
. Su diagonal mide:
d) √
e)
Una pirámide regular de base hexagonal es tal que su altura mide
base mide
a)
c)
√
√
y
√
y su arista de
. El volumen de esa pirámide es en
b)
√
√
c)
d)
√
e)
√
222.
Dos cilindros, uno de altura y el otro de altura tienen como perímetro de base y
respectivamente. Si
es el volumen del primero y
es el volumen del segundo,
entonces:
a)
b)
c)
d)
e)
223.
En una esfera, el volumen y el área de la superficie tienen el mismo valor
Determinar el valor de:
a)
b)
c)
d)
e)
224.
Si se duplica el radio de una esfera, su volumen queda:
a) Multiplicado por dos
b) Multiplicado por 4
c) Multiplicado por 8
d) Inalterado
e) Reducido a la mitad
Cursillo Pi
32
Ing. Raúl Martínez
.
Geometría y Trigonometría
225.
a)
La razón entre las áreas de dos esferas es de
b)
c)
. La razón entre sus volúmenes es:
d)
e)
226.
Se desea construir un tanque para almacenar combustible. El tanque debe tener la
forma de un cilindro recto y circular con semiesferas acopladas en cada uno de los extremos.
Para evitar la corrosión, es necesario revestir el interior del con una determinada pintura. Se
necesita 1 litro de pintura para revestir
. Si la longitud del cilindro es
y
de
diámetro, el número mínimo de latas de pintura que deberán comprarse es de:
a)
b)
c)
d)
e)
227.
Un plano intercepta una esfera según un círculo de diámetro
la esfera, el ángulo
mide
que se forma es de:
a)
b)
√
y el radio de la esfera
√
c)
. Si
es el centro de
. El volumen del cono de base
√
d)
e)
228.
En un tubo cilíndrico de
de altura y
de radio de base, se cargan esferas
iguales tangentes al mismo, y de modo que también queden tangentes entre ellas. El volumen
interior del cilindro, pero exterior a las esferas es entonces de:
e)
c)
a)
b)
d)
229.
La suma de todas las aristas de un cubo es de
en el cubo es de:
a)
230.
a)
c)
b)
. El volumen de la esfera inscripta
d)
e)
Si es el volumen de una esfera inscripta en un cubo de volumen , entonces la razón
es igual a:
b)
c)
d)
e)
231.
Una esfera está inscripta en un cubo y otra esfera
cubo. La razón entre los volúmenes de y es de:
a) √
232.
a)
b)
√
c)
√
d)
está circunscripta al mismo
√
Un octaedro regular esta inscripto en una esfera cuyo radio mide
b)
c)
d)
√
√
e)
√
√
e)
√
233.
Un cilindro recto y circular esta circunscripto a una esfera de radio . Entonces la razón
entre las áreas de la superficie esférica y el área total del cilindro es de:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
33
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
234.
Una esfera de
de diámetro está inscripta en un cono circular recto de
altura. Entonces el área de la base del cono mide:
a)
b)
c)
d)
e)
235.
a)
El área de un paralelepípedo rectángulo es
y
. La diagonal del paralelepípedo mide:
b)
c) √
. Las dimensiones de base miden
d) √
e)
d)
e)
d)
e)
236.
a)
Reducir al sistema sexagesimal
b)
c)
237.
a)
Reducir
238.
Calcular en radianes, el ángulo exterior del triángulo equilátero.
c)
b)
d)
a)
239.
al sistema sexagesimal
b)
c)
a)
Calcular en radianes, el ángulo interior del pentágono regular.
b)
c)
d)
240.
Calcular en el sistema sexagesimal el ángulo
a)
241.
a)
242.
a)
b)
c)
del triángulo
e)
e)
, siendo
d)
y
e)
Calcular la longitud de un arco de
de radio
b)
c)
correspondiente a una circunferencia de
Calcular la longitud del arco igual a
de radio.
⁄
b)
c)
radianes perteneciente a la circunferencia de
d)
243.
La suma de dos ángulos es
y la diferencia
sexagesimal y en grados centesimales.
a)
y
y
b)
y
y
c)
y
y
d)
y
y
e)
y
y
Cursillo Pi
de
34
e)
d)
e)
. Calcular dichos grados en grados
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
244.
Calcular la longitud de un arco de circunferencia de
valor es de
a)
b)
c)
d)
de radio sabiendo que su
245.
Calcular la longitud de un arco de circunferencia de
valor es de
a)
b)
c)
d)
de radio sabiendo que su
e)
e)
246.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
247.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
248.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
249.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
250.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
251.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
252.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
253.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
254.
a)
Reducir a su forma más simple:
b)
c)
d)
e)
255.
Reducir a su forma más simple:
a)
Cursillo Pi
b)
(
c)
)
(
)
d)
35
e)
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
256.
a)
b)
c)
d)
e)
Reducir a su forma más simple:
257.
a)
b)
c)
d)
e)
Reducir a su forma más simple:
258.
a)
Siendo
259.
Siendo
a)
261.
Siendo
a)
263.
un arco del
b)
y
Siendo
a)
y el arco
c)
b)
260.
a)
262.
⁄
cuadrante y
c)
y
un arco del
b)
b)
y
cuadrante y
c)
calcular
Calcular
del cuarto cuadrante, calcular
d)
⁄
. Calcular
d)
y
√ . Calcular
d)
e)
y
e)
.
e)
.
c)
d)
e)
c)
d)
e)
d)
e)
siendo
b)
Sabiendo que
√ ⁄ . Calcular el valor de
b) √
c)
264.
a)
Transformar en producto
b)
c)
d)
e)
265.
Transformar en producto
a) √
b) √
c) √
d) √
e)
266.
Transformar en producto
a) √
b) √
c) √
d)
e)
a)
Cursillo Pi
y
√
36
Ing. Raúl Martínez
√
Geometría y Trigonometría
267.
Transformar en producto
a) √
b) √
268.
Siendo
Calcular
y
c) √
arcos del tercer cuadrante,
y
c)
b)
a)
Siendo los arcos
calcular
b)
270.
Calcular
.
del
d)
cuadrante, y
e)
del
cuadrante,
y
.
c)
d)
e)
sin hacer uso de tabla ni máquina.
√
a)
e)
.
a)
269.
d)
√
b)
y
√
c)
d)
son enteros cualesquiera y
√
√
e)
271.
a)
b)
c)
d)
e)
Si
, la opción correcta es:
272.
a)
Cuantos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora
b)
c)
d)
e)
273.
La expresión
es equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
274.
a)
Si la cotangente es negativa,
√
b)
√
, entonces el doble de
c)
√
d)
√
es:
e)
√
275.
Si es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a
,
entonces la diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del
ángulo es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
37
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
276.
A partir de las siguientes proposiciones:
I)
El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento
II)
La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa
III)
La función cosecante es la reciproca de la función secante
IV)
El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1.
Podemos decir que son verdaderas:
a) Todas
b) Ninguna
c) II y III
d) I y II
e) III y IV
277.
Marca solo la respuesta correcta
a) La función seno puede tener
de valor.
b) El signo de la cofunción del seno del 2° cuadrante es negativo.
c)
d) Tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo.
e) El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo.
278.
La función seno es función
a) Inversa de la cosecante
b) Reciproca de la secante
c) Inversa del coseno
d) Reciproca de la cosecante
e) Inversa de la secante
279.
Al cociente ente el radio vector y la abscisa se denomina
a) Seno
b) Coseno
c) Tangente
d) Secante
e) Cosecante
280.
Al hacer girar una semirecta alrededor del origen de coordenadas hasta
sentido antihorario, se puede afirmar que:
a) El ángulo es negativo
b) La tangente del ángulo es
c) El ángulo es positivo y está en el 2° cuadrante
d) La quinta parte del seno del ángulo es 4
e) El radio vector correspondiente tiene signo negativo
281.
a)
Si
es un ángulo positivo menor o igual a
y
, entonces
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
y además:
y
y
, entonces
, entonces
y
y
, entonces
, entonces
38
Ing. Raúl Martínez
en
Geometría y Trigonometría
282.
Cuando se genera un ángulo negativo cuyo extremo libre tiene coordenadas
dicho ángulo está en el:
a) Limite entre el
cuadrante y el cuadrante
b)
cuadrante
c)
cuadrante
d)
cuadrante
e)
cuadrante
,
283.
Si
es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a
, entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de y el cuadrado de su
recíproca es:
a)
√
b)
√
284.
a)
El valor de en la expresión
b)
285.
El valor de la expresión
a) 1
e)
(
√
e)
d)
e)
c)
d)
e)
c)
es:
d)
e)
para todo
con
∈
. Entonces el valor de
⁄
√ )
√
(
√ )
√
√
√
288.
La expresión
es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
√
es:
b)
287.
Sea la función
valor distinto de
a) 0
b) 1
d)
c)
La función trigonométrica equivalente a
a)
c)
d)
es:
b) 1
286.
√
c)
39
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
289.
Si
√
a)
y la
b)
290.
Se sabe que
√
c)
√
d)
e)
√
, entonces el
es:
b)
291.
√
es:
es un ángulo del tercer cuadrante y que
valor de
a)
, entonces el valor de la
c)
d)
(
Dada la expresión
)
e)
, el valor de
, tal que
⁄
es:
a)
b)
292.
c)
(
La expresión
a)
b)
293.
)
d)
e)
d)
e)
es:
c)
Reduciendo a una expresión más simple
. Resulta:
a) Infinito
b) 0
c)
d)
e)
294.
El duplo del producto del seno de un ángulo y del coseno del mismo ángulo
corresponde al:
a) Duplo del seno del ángulo
b) Seno de la mitad del ángulo
c) Seno del triplo del ángulo
d) Triplo del seno del ángulo
e) Seno del duplo del ángulo
295.
a)
Si
,
296.
El valor de
b)
⁄
a)
297.
a)
b)
La expresión
b)
tal que
del primer cuadrante,
c)
⁄
es igual a:
e)
d)
que satisface la relación
equivale a:
c)
d)
equivale a:
d)
c)
298.
¿Cuántas baldosas de forma octogonal (octógono regular) de
necesitan para embaldosar un pasaje peatonal de
de largo por
a) 9723
b) 8923
c) 5723
d) 6823
Cursillo Pi
40
Ing. Raúl Martínez
e)
e)
de apotema se
de ancho?
e) 9523
Geometría y Trigonometría
299.
Hallar el área de un rectángulo cuya base y altura son respectivamente el lado y la
apotema de un pentágono regular inscripto en una cia de radio .
a)
b)
c)
d)
e)
300.
Un avión vuela rumbo al este con una velocidad de
, se encuentra con un
viento del norte con una velocidad de
. Hallar la velocidad resultante y el rumbo
verdadero del avión.
a)
b)
c)
d)
e)
301.
Para alcanzar la cima de un muro de
de altura se utiliza una escalera de
. Si la
escalera se extiende
más allá del muro. Determina su inclinación respecto a la
horizontal:
a)
b)
c)
d)
e)
302.
Si un jet sube un ángulo de
con una velocidad constante de
¿Cuánto tiempo tardará en llegar a una altura de 8 millas?
a)
b)
c)
d)
303.
El copiloto del aeroplano de la figura; que cuela a una altura de
del océano descubre una isla. Calcula la anchura de la isla.
a)
b)
c)
d)
e)
millas por hora.
e)
sobre el nivel
304.
Un observador de aves mira el nido de un águila en el claro de un risco. ¿Qué distancia
hay entre el nido del águila y la cima del risco?
a)
b)
c)
d)
e)
305.
Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situado a
del
suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte suprior, con un ángulo
de elevación de
y la parte inferior con un ángulo de depresión de
. Entonces la altura
del edificio de enfrente es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
41
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
306.
Un incendio es detectado por dos puestos de observación de las estaciones de
bomberos y que están separados millas. Si la estación
reporta el incendio en un
ángulo
igual a
y la estación reporta el incendio en un ángulo
igual a
,
¿A qué distancia está el incendio de la estación ? , ¿De la estación ?
a)
millas ;
millas
b)
millas ;
millas
c)
millas ;
millas
d)
millas ;
millas
e)
millas ;
millas
307.
a)
b)
c)
d)
e)
Encuentra la altura del globo con la información dada
308.
A mediodía dos aviones parten de San Francisco a buscar un avión que cayó al océano.
El avión
viaja al oeste a
y el avión
al noroeste a
. A las
el
avión observa al avión perdido y se comunica con el avión para ayuda para el rescate. ¿A
qué distancia está el avión del avión en ese momento?
a)
b)
c)
d)
e)
309.
Calcula el ángulo que forman dos paredes, sabiendo que dos puntos situados cada uno
de ellos en la intersección en cada una de las paredes con el piso, determina una distancia de
y distan respectivamente
y
de la arista, intersección de las dos
paredes.
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
42
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
310.
Una casa mide
de adelante hacia atrás. El techo mide
desde la parte
delantera de la casa hasta la punto del techo y
desde la punta del techo hasta la parte
trasera de la casa. Encuentra los ángulos de elevación de las partes delantera y trasera del
techo.
a)
b)
c)
d)
e)
311.
y
Una carretera en línea recta e
de longitud tiene por extremo a las ciudades
, otra carretera también en línea de
de longitud continúa el recorrido de la ciudad
a la ciudad . Si las dos carreteras forman entre sí un ángulo de
, la distancia entre
las ciudades
y
es:
a)
b)
c)
d)
e)
312.
Se sabe que los ángulos
,
,
mismo lado de las semirrectas opuestas
, entonces el ángulo
a)
b)
y
y
son consecutivos formados del
. Además se sabe que
y
mide:
c)
d)
e)
313.
En un triángulo de lados
y , donde
se tiene las longitudes de los
segmentos determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto son:
a)
b)
y
y
c) Ambas son iguales
d)
e)
Cursillo Pi
y
y
43
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
314.
En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberán dar las
dimensiones de triángulos. Si con las medidas, era posible construir un triángulo, el niño se
ganaba puntos adicionales para su calificación. Las respuestas fueron: Juan:
y
;
Luis:
y
; Pedro:
y
; Carlos:
y
Entonces la maestra dio puntos adicionales a:
a) Juan y Luis
b) Juan y Pedro
c) Luis y Pedro
d) Pedro y Carlos
e) Juan, Luis y Carlos
315.
Si
y
a)
b)
entonces el valor de
c) 1
es:
d)
e)
316.
Marcar la alternativa falsa:
I) Un ángulo de radianes corresponde a un ángulo
II) Un ángulo de
corresponde al triple de la mitad de
III) Un ángulo de
corresponde a cuatro veces
IV) La mitad de corresponde a un cuarto de giro sobre la circunferencia.
V) Si
y
entonces
De las afirmaciones anteriores son falsas:
a) Sólo IV
b) Sólo III
c) Sólo II
d) Sólo I
317.
a)
Si
es un ángulo positivo menor o igual a
y
y además:
, entonces
b)
c)
y
y
, entonces
, entonces
d)
y
e)
y
, entonces
, entonces
318.
El número total de diagonales de un polígono cualquiera es
I)
El polígono tiene 167 vértices
II)
El polígono tiene 17 lados
III)
Cada ángulo interior mide
IV)
La suma de los ángulos interiores es igual a
Podemos decir que son falsas:
a) Todas
b) Sólo III
c) Sólo II
d) Sólo I
Cursillo Pi
e) Ninguna
44
, entonces:
Ing. Raúl Martínez
e) Ninguna
Geometría y Trigonometría
319.
Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los
lados polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice 10 y 12 diagonales
respectivamente, entonces, el nuevo polígono tendrá en total:
a) 25 diagonales
b) 22 diagonales
c) 275 diagonales
d) 350 diagonales
e) 209 diagonales
320.
Un polígono tiene
lados y otro polígono tiene el doble número de lados que él.
Entonces podemos asegurar que:
I) El segundo polígono tiene el doble del número total de diagonales que el anterior
II) El número de diagonales del primer polígono es
III) El número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice en el segundo polígono es
De las afirmaciones anteriores son en el orden en que fueron enunciadas:
a) V ; V ; V
b) V ; F ; V
c) F ; V ; V
d) V ; F ; F
e) F ; F ; V
321.
Se tiene un cuadrado de
de lado ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben
hacerse para obtener rectángulos iguales de
de área?
a) No cortar
b) 3
c) 4
d) 5
e) 1
322.
Si
es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a
, entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de y el cuadrado de su
reciproca es:
a)
√
b)
√
√
c)
d)
√
e)
√
323.
Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
sabiendo que ésta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son 9 y 16
respectivamente.
a) 12
b) 24
c)
d) 8
e) 3
324.
A partir de las siguientes afirmaciones:
I) Si
está entre
y
, y
entre
y
, entonces
II) Si
es punto medio entre
y , y es punto medio entre
entonces
.
III) Si un ángulo de un par lineal es recto, entonces el otro ángulo también lo es.
IV) Si
,y
, está entre
y , y está entre
y , entonces
De las afirmaciones anteriores:
a) Todas son falsas
b) Todas son verdaderas
c) Sólo una es falsa
d) Sólo una es verdadera
e) Sólo dos son verdaderas
Cursillo Pi
45
Ing. Raúl Martínez
está
y
,
Geometría y Trigonometría
325.
a)
La expresión
b)
326.
a)
El valor de en la expresión
b)
327.
a)
b)
c)
d)
e)
Si
y
c) 0
es equivalente a:
d)
e) 1
es:
c)
d)
son enteros cualesquiera y
e)
, la opción correcta es:
328.
Al aumentar en 3 el lado de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el
área queda:
a) Aumentada en 3
b) Disminuida en 3
c) Invariable
d) Aumentada en
e) Disminuida en
329.
Dos ángulos consecutivos miden la tercera parte del suplemento de la suma de ambos.
Si uno de ellos es la mitad del otro, entonces el complemento del menor mide:
a)
b)
c)
d)
e)
330.
Si
y
representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada
vértice de dos polígonos de y lados respectivamente, entonces
es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
331.
El valor que debemos sumar a
resultado la unidad es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
para obtener como
√
√
√
√
(
√ )
46
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
332.
A partir de las siguientes afirmaciones:
I) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados y el ángulo comprendido proporcionales
II) Dos triángulos son iguales si tienen sus tres ángulos iguales
III) Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido proporcional
IV) Dos triángulos iguales son semejantes de razón 1
V) Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual y el lado opuesto a él
proporcional
Podemos decir que son falsas:
a) Todas
b) Sólo cuatro
c) Sólo tres
d) Sólo dos
e) Ninguna
333.
De las opciones siguientes
I) Si un triángulo tiene sus tres medianas iguales, entonces es equilátero.
II) Si un triángulo tiene la altura y la mediana correspondiente a un mismo vértice iguales,
entonces es isósceles.
III) Existe algún triángulo tal que dos de sus alturas sean perpendiculares.
Podemos decir que en ese mismo orden son:
a) V ; V ; V
b) V ; F ; F
c) V ; V ; F
d) V ; F ; V
e) F ; V ; F
334.
A partir de las siguientes afirmaciones:
I) Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes.
II) La medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los
ángulos interiores no contiguos a él.
III) Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo (o de ángulos congruentes) son
congruentes.
IV) En un triángulo isósceles, el segmento que va desde vértice del ángulo desigual al punto
medio del lado opuesto forma un par de triángulos congruentes.
V) Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con
dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
Podemos decir que son falsas:
a) Todas
b) Sólo cuatro
c) Sólo tres
d) Sólo dos
e) Ninguna
335.
La razón reciproca entre la media proporcionales de 2 y 5, y la cuarta proporcional de 3
, 6 y 5 es:
b)
a) √
c)
d)
e)
√
√
√
336.
De las afirmaciones siguientes:
I) Dos ángulos consecutivos son adyacentes
II) Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios
III) Dos ángulos suplementarios son adyacentes
IV) Si el complemento de un ángulo es , entonces su suplemento es
V) Si el complemento de un ángulo es , entonces el suplemento de su triplo es
Podemos decir que son falsas:
a) Sólo cuatro
b) Sólo tres
c) Sólo dos
d) Sólo una
e) Ninguna
Cursillo Pi
47
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
337.
Se sabe que los ángulos
y
mismo lado de las semirrectas opuestas
, entonces el ángulo
a)
338.
b)
339.
. En radianes, la medida del mismo ángulo es:
d)
c)
b)
d)
c)
e)
d)
b)
c)
e)
d)
e)
¿Cuántos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora?
b)
c)
d)
343.
Un arco de circunferencia mide
próximo a la medida del radio es:
a) 2
b) 10
c) 34
Si
345.
Los cuadrantes donde los ángulos
,
b)
c)
y
y
y
y
y
e)
y su longitud es de
344.
a) Si
b) Si
c) Si
d) Si
e) Si
Cursillo Pi
e)
El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 3 horas y 5 minutos es:
a)
a)
e)
El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 5 horas y 30 minutos es:
a)
342.
d)
c)
b)
a)
341.
y
El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 2 horas y 15 minutos es:
a)
340.
c)
b)
. Además se sabe que
mide:
La medida de un ángulo es
a)
y
son consecutivos formados del
. El número entero más
d) 17
e) 69
, la proposición falsa es:
, entonces
, entonces
, entonces
, entonces
, entonces
48
son tales que:
son respectivamente de los cuadrantes:
d)
e)
Ing. Raúl Martínez
;
Geometría y Trigonometría
346.
(
El valor de
a)
√
347.
de
a)
b)
Sea la función
distinto de
con
(
c)
√
c) √
e) (
d)
√ )⁄
para todo valor
∈ . Entonces el valor de
⁄
es:
√ )
√
(
d)
b)
) es:
√ )
√
√
e)
√
348.
El valor de la expresión
a)
b)
349.
c)
d)
La función trigonométrica equivalente a
a)
b)
350.
es:
c)
La expresión
e)
es:
d)
e)
es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
351.
Si
valor de
y
para
siendo
un entero cualquiera. El
es:
a)
b)
c)
d)
e)
352.
En la circunferencia trigonométrica un ángulo es tal que su seno vale
encuentra en el segundo cuadrante, entonces la tangente de dicho ángulo vale:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
49
Ing. Raúl Martínez
y se
Geometría y Trigonometría
353.
Si
y la
√
a)
354.
b)
Si
, entonces el valor de la
√
e)
√
, entonces el valor de la
es:
a)
b)
Si se sabe que
valor de
c)
d)
e)
es un ángulo del tercer cuadrante y que
, entonces el
es:
a)
b)
356.
√
d)
es un arco del segundo cuadrante y
expresión
355.
√
c)
es:
c)
Si la cotangente del ángulo
d)
e)
es negativa y
entonces el doble de
es:
a) √
b)
c) √
d)
√
e)
√
357.
Si
es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a
,
entonces la diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del
ángulo es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
358.
En el triángulo
A) Isósceles
B) Rectángulo isósceles
C) Equilátero
D) Rectángulo
E) Obtusángulo
, se verifica que
entonces el triángulo es:
𝑄
𝑦
𝑆
Cursillo Pi
50
𝑥
𝑧
𝑇
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
359.
¿Entre qué número está comprendida la medida la medida de un ángulo tal que un
complemento mide menos de 50° 40’ y un suplemento mide más de 98° 15’?
A-)
y
B-)
y
C-)
y
D-)
y
E-)
y
360.
Teniendo en cuenta el dibujo, donde
A-) √
B-) √
C-) √
D-) √
E-) √
y
el valor de
𝑐
es:
𝑏
𝑦
𝑥
𝑎
361.
Dadas las siguientes proporciones:
I. Toda secante forma con dos paralelas ángulos conjugados internos iguales.
II. En un triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que su suma.
III. La intersección de las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo, a los
puntos medios de los lados opuestos se llama ortocentro.
IV. En un triángulo isósceles el incentro y el circuncentro están sobre una misma recta.
V. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son adyacentes.
Podemos afirmar que:
A-) Todas son verdaderas.
B-) Solamente una es verdadera.
C-) Ninguna es verdadera.
D-) Solamente dos son verdaderas.
E-) Todas menos una son verdaderas.
362.
Dada la serie de razones iguales:
valores de
A-)
B-)
C-)
D-)
E-)
donde
entonces los
son respectivamente:
363.
Dadas las siguientes proposiciones de congruencia
,
además, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ Entonces
la proposición correcta sobre
triángulos congruentes es:
A-)
C-)
B-)
D-)
Cursillo Pi
E-)
51
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
364.
a)
Sabiendo que
√
b)
y
√
c)
, con
√
d)
. El valor de
√
e)
es:
√
365.
Sabiendo que es un ángulo generado en sentido anti horario, cuyo extremo libre
está en
y siendo y enteros positivos la opción falsa es:
a)
b)
c)
d)
e)
366.
a)
b)
c)
d)
e)
Teniendo en cuenta la figura, la altura del edificio es:
367.
Sabiendo que
siendo
a)
y además
. Entonces el valor de
es:
b)
c)
d)
e)
368.
Dadas las siguientes proposiciones:
I. En el primer y tercer cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo
II. Si es la mitad de su complemento, entonces
.
III.
IV.
Sea
entonces
Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales, a las cofunciones del ángulo
complementario por defecto.
V. Sea
, girando en sentido anti horario, el ángulo corresponde al cuarto
cuadrante.
Podemos afirmar que:
a) Todas son verdaderas
b) Ninguna es verdadera
c) Solamente dos son verdaderas
d) Solamente una es verdadera
e) Todas menos dos son verdaderas.
Cursillo Pi
52
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
369.
De las opciones siguientes:
I. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus
ángulos.
II. En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la
suma de los otros lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
III. Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta en segmentos de razón uno.
IV. El radio del polígono regular circunscripto a una circunferencia es igual al radio de la
circunferencia.
V. El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo.
Podemos decir que en ese mismo orden son:
a) F ; V ; F ; F ; V
b) F ; F ; V ; F ; V
c) V ; F ; V ; V ; F
d) V ; V ; F ; V ; F
e) F ; F ; F ; F ; V
370.
a)
371.
a)
La expresión
b)
(
)
, es idéntica a:
c)
d)
e)
Se tienen dos círculos con centro en el mismo punto, pero cuyos perímetros difieren en
. ¿Cuál es la diferencia entre sus radios?
c)
d)
e)
b)
372.
De las siguientes afirmaciones, que se refieren a los elementos de una pirámide, la
incorrecta es:
a) La apotema no tiene la misma medida que la altura.
b) La apotema es siempre menor que la arista.
c) La arista lateral es siempre mayor que la apotema.
d) La apotema es siempre mayor que la altura.
e) La altura tiene la misma medida que la arista lateral.
373.
En la figura
longitud de
, en metros, es:
a)
b)
c)
d)
e)
374.
a)
Cursillo Pi
. Además
El número de raíces que tiene la ecuación √
es:
b)
c)
d)
53
. La
, en el intervalo
e)
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
375.
a)
b)
c)
d)
e)
¿Qué proporción guardan las áreas de las dos regiones sombreadas en el rectángulo
, si es un punto cualquiera de la diagonal?
La de arriba es más grande.
La de abajo es más grande.
Son iguales.
Sólo son iguales si es el punto medio.
No hay suficientes datos.
376.
Dadas las siguientes proposiciones:
I. El segmente que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio isósceles
es igual a la semisuma de las bases.
II. Como el coseno toma sólo valores entre
y entonces su recíproca también toma
valores entre
y .
III. Todo polígono regular es un polígono convexo.
IV. Si la distancia de los centros es 4 y los diámetros de las circunferencias son
y 25,
entonces las circunferencias son tangentes interiormente.
V. Dos triángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual.
Podemos afirmar que:
a) Todas son falsas.
b) Solamente una es falsa.
c) Ninguna es falsa.
d) Todas menos dos son falsas.
e) Solamente dos son falsas.
377.
Si es un ángulo del segundo cuadrante y la reciproca de la función secante es igual a
, entonces la diferencia entre la quinta parte del seno de y el cuadrado de su
reciproca es:
a)
√
√
b)
√
c)
d)
√
e)
√
378.
Una figura geométrica es un paralelogramo equiángulo sí y sólo si; es un:
a) Rectángulo.
b) Polígono regular.
c) Rombo.
d) Cuadrado.
e) Trapecio.
379.
El perímetro de una de las caras de un tetraedro es de
tetraedro es:
a)
√
Cursillo Pi
b)
√
√
c)
54
d)
. El área total del
√
Ing. Raúl Martínez
e)
√
Geometría y Trigonometría
380.
En el triángulo
se tiene:
Entonces
es igual a:
a) ⁄√
b)
es la bisectriz del
.
√
c) √
d) √
e) √
381.
a)
Siendo
b)
y el arco
c)
del segundo cuadrante, el valor de
d)
e)
382.
Las diagonales de un rombo miden
diagonal forma con los lados miden:
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
e)
y
y
√
es:
. Entonces, los ángulos que cada
383.
De las siguientes opciones:
I. Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes
II. La intersección de dos rectas carece de dimensión.
III. Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos.
Son falsas:
a) Ninguna
b) I y II
c) Sólo I
d) I y III
e) Todas
384.
Marca la alternativa correcta:
a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.
b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.
c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.
d) El cuadrado es un rombo equiángulo.
e) El rectángulo es un cuadrado.
385.
De las siguientes afirmaciones:
I. La apotema del polígono es menor que su radio
II. Un ortoedro es un polígono regular de 8 lados
III. Son congruentes las bases de un trapecio rectángulo.
Son verdaderas:
a) Sólo I
b) I y II
c) Sólo III
d) Todas
Cursillo Pi
55
Ing. Raúl Martínez
e) Ninguna
Geometría y Trigonometría
386.
Marca la alternativa falsa:
a) El vértice de un ángulo central es un punto de la circunferencia.
b) Los lados de un polígono circunscripto a una circunferencia son tangentes a ella.
c) El radio del polígono inscripto en una circunferencia coincide con el radio de ella.
d) Los triángulos semejantes tienen ángulos congruentes y lados proporcionales.
e) En todo triángulo se cumple que: Un lado es menor que la suma de los otros dos.
387.
En un triángulo isósceles, el ángulo extremo correspondiente al ángulo interno no
congruente, es el suplemento de la mitad de
. Entonces el duplo de la tercera
parte del ángulo congruente equivale a:
a)
b)
c)
d)
e)
388.
Siendo el duplo de la cantidad de lados de un polígono, disminuido en 11, igual a la
cantidad de diagonales que se puede trazar desde uno de los vértices es un:
a) Octógono
b) Encágono
c) Dodecágono
d) Hexágono
e) Heptágono
389.
a) 8
b) 4
c)
d) 2
e) 9
Dado el siguiente grafico el valor de
en metros es:
390.
Dadas las opciones siguientes:
I. Los ángulos externos de un decágono irregular suman cuatro rectos
II. En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos internos y la suma de sus ángulos externos
coinciden
III. Todo triángulo oblicuángulo carece de ángulo recto
Son falsas:
a) Todas
b) Ninguna
c) Solo I
d) I y III
e) I y II
391.
Marcar la alternativa verdadera:
a) Los ángulos alternos internos son congruentes
b) Todo cuadrilátero es trapecio
c) El radio de un polígono es menor que su apotema
d) La cosecante es función inversa del seno
e) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide
Cursillo Pi
56
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
392.
Cuando todos los vértices de un polígono son puntos de una circunferencia, se puede
afirmar que
I. La circunferencia está circunscripta al polígono
II. El polígono está inscripta en el polígono
III. La circunferencia está inscripta en el polígono
IV. El polígono está circunscripto a la circunferencia.
Es/son correcta/s:
a) Solo I
b) Solo II
c) I y II
d) III y IV
e) I y III
393.
La cofunción de la función reciproca de la cosecante es:
a) Seno
b) Cosecante
c) Secante
d) Cotangente
e) Coseno
394.
En el tercer cuadrante son positivas solamente:
a) Tangente
b) Cotangente
c) Seno y coseno
d) Tangente y cotangente
e) Cosecante
395.
El producto de las diagonales de un rombo corresponde a su:
a) Área
b) Semiárea
c) Perímetro
d) Semi perímetro
e) Área duplicada
396.
El cociente entre la abscisa y el radio vector es:
a) Cofunción del seno
b) Función recíproca de cosecante
c) Secante
d) Tangente
e) Cosecante
397.
a)
b)
c)
d)
e)
Si el extremo libre de un ángulo está en
es:
y su vértice en
Seno
Función inversa de seno
Cofunción de secante
Secante
Cotangente
Cursillo Pi
57
Ing. Raúl Martínez
, entonces
Geometría y Trigonometría
398.
La suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo ángulo equivale a:
a)
b) Seno del ángulo
c) Coseno del ángulo
d)
e) La suma del seno y del coseno
399.
Siendo
,
puede afirmar que:
I.
es la hipotenusa
II.
es cateto opuesto a
III.
es cateto opuesto a
IV.
es hipotenusa
a) I y II
b) Sólo I
es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se
c) Sólo III
d) Sólo IV
e) III y IV
400.
Cada lado de un triángulo es proporcional a los:
a) Cosenos de sus ángulos opuestos
b) Senos de sus ángulos adyacentes
c) Cosenos de sus ángulos adyacentes
d) Senos de sus ángulos opuestos
e) Recíprocos de sus lados
401.
Una de las dimensiones de un rectángulo mide 12 metros más que la otra. El producto
entre su perímetro con el reciproco de la menor de sus dimensiones es:
a) 2
b) 8
c) 6
d) 4
e)
402.
a)
Dos ángulos complementarios están en relación 2 a 7, la mitad del mayor es:
b)
c)
d)
e)
403.
a)
b)
c)
d)
e)
En el gráfico ⃡
⃡ ,⃡
es secante o transversal
, el valor de es:
404.
Cada lado de un triángulo equilátero, inscripto en una circunferencia de
de longitud, mide (en metros):
a)
Cursillo Pi
√
b)
√
c)
58
√
d)
√
Ing. Raúl Martínez
metros
e)
√
Geometría y Trigonometría
405.
La afirmación falsa corresponde a:
a) La secante es función reciproca de coseno
b) El semiproducto de una función trigonométrica y su función reciproca es
c) El seno de la suma de dos ángulos es la suma del seno de cada ángulo
d) La función secante puede tomar valor
e) La cotangente de un recto equivale al seno de cuatro rectos
406.
La sombra que de un poste de
mide
, está por:
a)
b)
c)
de alto, cuando el ángulo de elevación del sol
d)
407.
En un momento dado un avión se encuentra a
en la horizontal de un
observador y el ángulo de elevación mide
. La altura a la que vuela en ese momento el
avión es:
a)
b)
c)
d)
408.
a)
409.
a)
410.
(
La expresión
b)
) es idéntica a:
c)
Si
d)
, entonces
b)
es igual a:
c)
(
La expresión
)
(
d)
)
es idéntica a:
a)
b)
c)
d)
411.
a)
La expresión
b)
412.
La expresión
es idéntica a:
c)
*
d)
+
(
)
es idéntica a:
a)
b)
c)
d)
Cursillo Pi
59
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
413.
a)
b)
Si
, entonces
es igual a:
c)
d)
414.
a)
La solución positiva no mayor de
b)
c)
415.
Los valores , con
son:
a)
y
b)
es:
, que satisfacen la ecuación
,
y
c)
y
d)
y
416.
Los valores de , con
son:
a)
b)
de la ecuación
d)
, que satisfacen la ecuación
,
y
y
c)
d)
417.
a)
b)
y
y
En todo
se cumplen las siguientes igualdades, excepto:
c) Área
d)
418.
En la figura, el valor de
dado por la expresión:
a)
b)
c)
d)
Cursillo Pi
(
(
)
(
)
en términos de los ángulos
y , y de los lados
)
(
)
60
Ing. Raúl Martínez
y , está
Geometría y Trigonometría
419.
(
)
(
)
es igual a:
a) 0
b) 1
c)
d)
420.
Cuando el ángulo
a) Decrece de a
b) Crece de
a
c) Decrece de
a
d) Decrece de
a
crece de
a
, la gráfica de la secante:
421.
Marca la proposición verdadera:
a) La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide
la hipotenusa
b) Dos ángulos que están a un mismo lado de una recta son suplementarios
c) En un triángulo la proyección de un lado sobre otro, es una de las alturas del triángulo
d) Todo triángulo isósceles es equiángulo
e) Si se traza la bisectriz de un ángulo obtuso se obtienen dos ángulos adyacentes iguales
422.
a)
b)
c)
d)
e)
Teniendo en cuenta la figura, el reciproco de la tercera proporcional de
y 6 es:
423.
El pueblo Esperanza se encuentra a la misma distancia de cada lugar señalado en el
dibujo, entonces dicho pueblo es un punto ubicado, en el/la:
a) Incentro
b) Baricentro
c) Ortocentro
d) Circunferencia
e) Altura l mediana
424.
La siguiente terna:
, esta compuesta con cantidades enteras, de manera que las
tres medidas correspondan a las longitudes de los lados de un triángulo. Entonces la cantidad
de valores que puede llegar a asumir , es:
a) 1
b) 12
c) 9
d) 15
e) 16
Cursillo Pi
61
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
425.
Teniendo en cuenta la figura, la medida en centímetros de la proyección de la mediana
sobre el lado
es:
a)
b)
c)
d)
e)
426.
Marcar la alternativa verdadera.
a) Dos ángulos complementarios son consecutivos
b) Los ángulos consecutivos son adyacentes
c) Son congruentes los ángulos alternos internos
d) Dos ángulos agudos son suplementarios
e) Dos rectas perpendiculares entre sí, son secantes.
427.
De las siguientes opciones, la falsa es:
a) Un semicírculo es un sector circular
b) El segmento de la recta tiene magnitud
c) Dos circunferencias tangentes exteriormente son exteriores
d) Todo trapecio es convexo
e) Un triángulo rectángulo carece de diagonales
428.
Dadas las siguientes afirmaciones
I. El lado es congruente con el radio en un hexágono
II. Cada ángulo agudo en un triángulo rectángulo mide
III. Dos ángulos agudos son adyacentes
Son verdaderas:
a) Solo II
b) Ninguna
c) Todas
d) Solo II
e) I y II
429.
Si se tienen las siguientes proposiciones
I. Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos
II. El romboide es paralelogramo
III. Dos triángulos semejantes carecen de lados homólogos
Son falsas:
a) Ninguna
b) Todas
c) I y II
d) I y III
e) Sólo III
430.
El doble producto entre la altura de un trapecio y la suma de sus bases corresponde a
su:
a) Área
b) Semiárea
c) Área duplicada
d) Área cuadruplicada
e) Área multiplicada por ocho
Cursillo Pi
62
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
431.
Cuando se triplica la altura de un triángulo isósceles y su base se reduce a sus dos
tercias partes, entonces su área queda:
a) Multiplicada por dos tercios
b) Triplicada
c) Duplicada
d) Invariable
e) Reducida a la mitad
432.
Dado un cuadrado se traza una circunferencia con centro en uno de sus vértices y radio
igual al lado. El cuádruplo del área exterior a la circunferencia e interior al cuadrado es:
a)
b)
c)
d)
e)
433.
Una de las dimensiones de un rectángulo es el triple de la otra, el rectángulo es
equivalente a un cuadrado de
del lado. Las dimensiones del rectángulo (en metros)
es:
d)
e)
a) √
c) √
b) √
√
√
√
434.
a)
b)
c)
d)
e)
Observando el siguiente gráfico ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅; entonces ̅̅̅̅ (en ) mide:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
8
3
9
10
5
435.
El ángulo inscripto de una circunferencia cuyos lados contienen los extremos del
mismo diámetro mide:
a)
b)
c)
d)
e)
436.
Desde un mismo punto exterior a una circunferencia se trazan: una secante de
y una tangente de
. El segmento de la secante interior a la circunferencia (en metros)
mide:
a) 3
b) 9
c) 6
d) 12
e) 2
437.
El duplo de la cantidad de lados de un polígono de lados equivale a la cantidad de
diagonales desde un vértice aumentando en ocho. Dicho polígono es un:
a) Pentágono
b) Undecágono
c) Hexágono
d) Decágono
e) Encágono
Cursillo Pi
63
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
438.
Si
I.
II.
III.
Son validas:
a) I y III
, entonces se afirma que:
b) Sólo II
c) Ninguna
d) Sólo I
e) II y III
439.
a)
b)
c)
d)
e)
El extremo libre del vector que generó un ángulo en sentido antihorario alrededor de
es
entonces
corresponde a:
Tangente
Secante
Cosecante
Cotangente
Secante y cosecante
440.
,
a) √
El producto entre la función reciproca de
, es:
b) √
c) √
441.
Sabiendo que
El cociente entre
a)
√
y la cofunción de
d)
e)
√
.
y
b) √
es:
c)
d)
442.
El cociente entre el seno del suplemento de
I. Cofunción de
II. Función inversa de
III. Cotangente del complemento de
Son falsas:
a) Todas
b) Sólo II
c) I y III
443.
a)
Sabiendo que
b)
444.
a)
Resolviendo la ecuación
b)
445.
a)
b)
c)
d)
e)
Considerando
Cursillo Pi
√
donde
e)
y el seno del complemento de
d) I y II
e) II y III
el valor del coseno del duplo de es:
d)
e)
c)
se obtiene:
d)
c)
entonces:
64
Ing. Raúl Martínez
es:
e)
Geometría y Trigonometría
446.
Cuando la abscisa del extremo libre de un ángulo es negativa y la ordenada es positiva
se verifica que:
I. El extremo libre de un ángulo esta en el
cuadrante
II. La secante del ángulo es menor que la unidad
III. El seno decrece en ese cuadrante
Son falsas
a) I y III
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) Sólo III
447.
La función reciproca de la cofunción de la función reciproca del seno del complemento
de la diferencia entre
y
es:
b)
a)
c)
d)
e)
448.
De las opciones siguientes la verdadera es:
a) Toda recta secante a una circunferencia es una cuerda de la misma.
b) Si una circunferencia está circunscripta a un octágono regular y a la vez está inscripta en un
hexágono regular, entonces el radio del hexágono es igual al apotema del octógono.
c) Si una diagonal de un cuadrilátero forma con los lados dos triángulos congruentes el
cuadrilátero es siempre un paralelogramo.
d) Si la distancia de los centros es 7 y los diámetros de las circunferencias son 6 y 8, entonces las
circunferencias son tangentes exteriormente.
e) La altura en un triángulo isósceles es también mediana.
449.
En la siguiente figura , es un ángulo:
a) Agudo menor o igual a
b) Cuyo suplemento es
c) Cuyo complemento es
d) Que es el doble de
e) Cuyo complemento es el suplemento de
450.
En la siguiente figura
y
son cuadrados. Si la medida de ̅̅̅̅ es igual a ̅̅̅̅
y ̅̅̅̅ mide
, entonces la media proporcional entre la medida de ̅̅̅̅ y 4 es:
a)
b)
c)
d)
√
e)
√
Cursillo Pi
√
65
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
451.
Marca la afirmación falsa:
a) En todo polígono convexo la apotema es el segmento perpendicular desde el centro del
polígono hasta el punto medio de cada lado.
b)
Si la altura de un triángulo disminuye a la mitad y la base se duplica, entonces el área no
varia.
c) En un triángulo cualquiera el circuncentro equidista de los tres vértices.
d) Los ángulos alternos internos entre paralelas pueden ser suplementarios.
e) En un triángulo la altura a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los
catetos.
452.
En el siguiente gráfico se verifica:
a)
b)
c)
d)
e)
453.
En la figura,
representa un pentágono regular ( de
triángulo equilátero. ¿Cuántos grados mide el ángulo
?
a)
b)
c)
d)
e)
de lado) y
es un
454.
En el gráfico la línea trigonométrica ̅̅̅̅ corresponde:
a) Cotangente del primer cuadrante
b) Coseno del tercer cuadrante
c) Tangente del tercer cuadrante
d) Cotangente del tercer cuadrante
e) Coseno del primer cuadrante
455.
Sabiendo que
entre el duplo de
a)
√
b)
456.
Sabiendo que
afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
con
y
√
. La suma
es:
c)
d)
donde
66
e
√
son valores entre
e) √
y
Ing. Raúl Martínez
, podemos
Geometría y Trigonometría
457.
El menor valor de
a)
con
b)
real, es:
c)
458.
La función inversa del coseno es:
I. Secante
II. Seno
III. Cosecante
Son verdaderas:
a) Ninguna
b) Sólo I
c) Sólo II
d)
e)
d) Sólo III
e) I y II
459.
Las soluciones de la ecuación
donde
es un ángulo positivo menor
que
, corresponde a un ángulo cuyo radio vector se ubica.
a) En los cuadrantes pares
b) Sobre el eje positivo
c) Sobre el eje negativo
d) Sobre el eje
e) Ninguna
460.
Dada la ecuación
, donde
cuando el número real satisface la condición:
a)
b)
c)
d)
e)
es variable, admite solución sí, y solo sí,
461.
a)
Si
462.
es:
a)
b)
c)
d)
e)
Dado el triángulo rectángulo
463.
a)
Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide:
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
, la expresión
b)
c)
d)
, donde
67
y
es igual a:
e)
, el valor de
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
464.
En un hexaedro su diagonal mide
a) Al área lateral
b) Al área de las dos bases
c) Al área total.
d) A la mitad del área total
e) Al área de una cara
465.
corresponde:
La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado
. La altura de la pirámide expresada en función de y en
es:
√
a)
. La expresión
b)
√
c)
√
d)
, las aristas miden
√
e)
√
466.
Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide
la altura del
prisma mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en
es:
√
a)
467.
b)
√
c)
√
d)
En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide
expresión
a)
b)
c)
d)
e)
√
e)
, su altura mide
corresponde:
Al cociente entre el volumen y el diámetro de la base.
A la suma de las áreas de las dos bases.
Al área lateral.
Al área total.
Al triple del área lateral.
468.
Si el arco
y
es del primer cuadrante y
es del cuarto cuadrante. Siendo
. El valor de la expresión
es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
68
Ing. Raúl Martínez
√
. La
Geometría y Trigonometría
469.
En la identidad
. Calcular
470.
El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es
igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del
complemento del mismo ángulo. El suplemento del doble de la medida del ángulo es:
a) 120°
b) 45°
c) 135°
d) 600°
e) 75°
471.
a)
En la recta se ubican los puntos consecutivos
. El valor de
es:
b)
c)
472.
En la siguiente figura
a) 60°
b) 125°
c) 160°
d) 90°
e) 55°
y , si
d)
e)
. El ángulo conjugado interno de
mide:
473.
La razón de semejanza del triángulo
con el triángulo
del primero son
y , entonces los lados del segundo son:
a)
b)
c)
d)
e)
474.
En un triángulo
y
triple de la diferencia de las medidas de los segmentos
a)
b)
c)
es de 3:4. Si los lados
; se traza una bisectriz interior
y
es:
d)
e)
. El
475.
La media proporcional entre las dos terceras partes de
y la razón reciproca de la
tercera proporcional de 8 y 6 es aproximadamente:
a) 2,58
b) 6,93
c) 101,82
d) 13,86
e) 2,43
476.
El pentágono de la figura es regular, si
a) 108°
b) 72°
c) 60°
d) 54°
e) 36°
Cursillo Pi
69
, entonces
mide:
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
477.
Dada la siguiente figura, los puntos
y
a)
b)
c)
d)
e)
del cuadrado
. Si
y
del cuadrado
entonces
pertenecen a los lados
mide:
15°
20°
22,5°
25°
30°
478.
En el rectángulo
a) 130°
b) 110°
c) 100°
d) 70°
e) 55°
y
. El ángulo
mide:
479.
Se forman cuatro triángulos congruentes al trazar las diagonales de un:
I. Rombo
II. Rectángulo
III. Romboide
Es/son verdadera/s:
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) Solo I y II
e) I, II y III
480.
a) 30°
b) 50°
c) 45°
d) 40°
e) 55°
En la figura
481.
a)
b)
c)
d)
e)
En la figura:
Cursillo Pi
y
. El valor de
si
, es:
Entonces:
70
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
482.
De los puntos notables de un triángulo, hay dos que podrían no ubicarse en el interior
del triángulo según el tipo de triángulo. Estos son:
a) Baricentro y ortocentro
b) Circuncentro y baricentro
c) Incentro y baricentro
d) Incentro y ortocentro
e) Ortocentro y circuncentro
483.
Dado un triángulo de lados de
menor es:
a)
b)
c)
484.
I.
y
, la altura correspondiente al lado
d)
e)
De las siguientes afirmaciones:
Cada ángulo interno de un polígono convexo de
lados mide:
II.
El número de diagonales que se pueden trazar desde dos vértices consecutivos en un
polígono convexo de lados es:
III. No existe polígono cuyo número de lados coincida con su número de diagonales
IV. El polígono base de un polígono estrellado es un hexágono regular, entonces el ángulo en
cada punta de la estrella mide 30°
Es/son falsa/s:
a) Ninguna
b) Solo una
c) Solo dos
d) Solo tres
e) Todas
485.
Dadas las afirmaciones siguientes:
I. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal pasa por el punto
, entonces el
ángulo se encuentra en el primer cuadrante.
II. La función cosecante en el cuarto cuadrante tiene signo contrario al del seno en el primer
cuadrante.
III. Las funciones tangentes y cotangente son cofunciones y reciprocas a la vez.
IV. La función coseno es positiva en los cuadrantes en que su cofunción es creciente.
Podemos asegurar que en el orden en que aparecen son:
a) FFFF
b) VVFV
c) FFVV
d) FVVV
e) VVVV
486.
a)
b)
c)
d)
e)
Sean
√
(
)y
, entonces el valor de
195°
15°
255°
75°
Todas las anteriores
Cursillo Pi
71
Ing. Raúl Martínez
puede ser:
Geometría y Trigonometría
487.
Sabiendo que
, entonces para que la expresión
sentido, se debe de cumplir que:
tenga
a)
b)
c)
d)
e)
488.
Uno de los ángulos internos de un triángulo mide
√
, la diferencia en radianes entre las medidas
a) 0,09
489.
a)
b) 0,17
c) 0,35
e
(
e) 0,52
es:
)
(
(
(
e , tales que
es aproximadamente:
d) 0,44
El triángulo de la figura tiene perímetro , el valor de
b)
c)
y los otros dos
)
)
(
)
(
)
)
d)
e)
(
)
490.
Las avenidas San Martin y España ambas rectilíneas se cruzan según un ángulo de
.
El puesto de estación de servicio Estrella del Sur, se encuentra sobre la Av. San Martin siendo
la distancia más corta entre la estación de servicio y la Av. España de 2000 metros. La
distancia a que se encuentra la estación de servicio Estrella del Sur del cruce, en
, es igual
a:
a) 4
b) 12
c) 2
d) √
e) √
491.
a)
Se sabe que
es igual a:
b)
es una identidad, entonces
c) 1
492.
La suma de las soluciones de la ecuación
es:
a) 390°
b) 780°
c) 330°
Cursillo Pi
72
d) 2
√
d) 300°
Ing. Raúl Martínez
e) 3
en el intervalo
e) 0°
Geometría y Trigonometría
493.
Sabiendo que
igual a:
a) √
494.
con
b) √
, el valor de
c) √
(
Al simplificar la expresión:
d)
)
(
es
e)
)
(
(
)
)
se obtiene como
resultado:
a)
495.
b)
La expresión
c)
d)
e)
es idénticamente igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
496.
a)
b)
c)
d)
e)
La expresión:
497.
a)
b)
c)
d)
e)
Al transformar en producto la expresión:
498.
En la figura se tiene la circunferencia trigonométrica y algunas trigonométricas. Si
entonces
es idénticamente igual a:
se obtiene:
es igual a:
a)
b)
c)
d)
e) 1
Cursillo Pi
73
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
499.
a)
Si
, entonces:
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
√
500.
Hallar el semiperimetro del triángulo, cuyos vértices son:
a) 21,30
b) 23,10
c) 20,31
d) 10,65
501.
El triángulo de vértices:
a) Rectángulo
b) Equilátero
c) Escaleno
d) Isósceles
e) No se forma
502.
a)
503.
a) √
es:
Hallar las coordenadas del circuncentro del triángulo cuyos vértices son:
b)
c)
d)
e)
Hallar la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo cuyos vértices son:
b) √
c) √
d) √
504.
La figura formada por los puntos:
a) Dos lados perpendiculares
b) Un par de lados paralelos
c) Dos pares de lados paralelos
d) Ningún par de lados paralelos
e) Dos lados paralelos y dos lados perpendiculares
505.
a)
Cursillo Pi
e) 15,60
e) √
tiene:
Las coordenadas del punto que equidista de los puntos
b)
c)
d)
74
Ing. Raúl Martínez
y
e)
es:
Geometría y Trigonometría
506.
Dados los siguientes puntos:
I)
II)
La afirmación correcta es:
a) En I) se forma un triángulo y en II) no.
b) En I) no se forma un triángulo y en II) sí.
c) Los puntos en I) y II) son colineales.
d) En I) y en II) se forman triángulos.
e) Dos son correctas.
507.
a)
b)
c)
d)
e)
Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto
.
y
y
508.
Si
̅̅̅̅̅⁄̅̅̅̅̅.
y
a) (
. Hallar las coordenadas de
)
b) (
)
c) (
)
d)
e)
509.
Las coordenadas del baricentro de un triángulo con vértices:
son:
a) (
)
b) (
)
c) (
)
d) (
)
e) (
)
Cursillo Pi
75
Ing. Raúl Martínez
, tal que
Geometría y Trigonometría
510.
La ecuación de la recta que pasa por el punto
es:
y forma un ángulo de
con
a)
b)
c)
d)
e)
511.
a)
Uno de los ángulos interiores del triángulo con vértices:
b)
c)
d)
512.
Sabiendo que el punto
en la relación
b)
a)
es:
e)
divide al segmento que determinan los puntos
. Hallar las coordenadas de .
c)
d)
e)
y
513.
Hallar el área de un triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de
sus lados son:
y
a)
b)
c)
d)
e)
514.
La pendiente de una recta que pasa por los puntos
recta:
a) Perpendicular al eje
b) Perpendicular al eje
c) Paralela al eje
d) No se puede afirmar nada
e) Don son correctas
y
515.
a)
b)
c)
d)
e)
La ecuación de la mediatriz al segmento cuyos extremos son
516.
La pendiente de una recta que pasa por el punto
corresponde a una
y
es . Hallar dos puntos sobre
esta recta que disten 5 unidades de
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
76
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
517.
por
a) 9
El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos
y
. Es de
, el valor de es:
b) 7
c)
d)
518.
La recta forma un ángulo de
pendiente de .
a) (√
)
b)
(√
)
con
c) √
Hallar el área del triángulo, cuyos vértices son:
b)
c)
con la que pasa
e) 8
, si la pendiente de
es
d) √
519.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
la recta
a)
b)
c)
d)
e)
520.
a) 1
y
. Hallar la
e)
y forma un ángulo de
d)
√
con
e)
521.
Si a mitad del complemento de un ángulo la sumamos el doble de la medida del
ángulo, resulta el suplemento del ángulo. La medida del ángulo es:
a) 36°
b) 54°
c) 45°
d) 22°,5
e) 67°,5
522.
Observando la gráfica:
con
y
forma
con
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
√
523.
y
son paralelas y distantes y
metros,
forma
. La distancia
expresada en y en función de es:
En un trapecio isósceles, la base mayor mide
semisuma de las bases. La expresión
a)
b)
c)
d)
e)
, la menor
y la altura mide la
√ corresponde:
Al perímetro
Al área
A la mitad del perímetro
A la medida de la diagonal
Al cociente entre su área y su perímetro
Cursillo Pi
77
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
524.
Dado un triángulo
cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda
formado otro triángulo
. De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es:
a) La relación entre las áreas de los triángulos
y
es a .
b) La relación entre los perímetros de los triángulos
y
es a .
c) Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden.
d) Los incentros de ambos triángulo no coinciden.
e) Los baricentros de ambos triángulos no coinciden.
525.
Dentro de un cuadrado de lado , se desea construir un rectángulo de dimensiones y
de manera que al menos dos vértices del rectángulo coincidan con los del cuadrado y cuya
diagonal sea la mayor posible. La longitud de dicha diagonal en función del lado del cuadrado
es:
e)
b) √
c) √
a) √
d) √
526.
Dentro de la circunferencia de radio se trazan dos circunferencias de radios iguales a
y otros dos más pequeñas de radio . El área sombreada expresada en función a es:
a)
b)
c)
d)
e)
527.
En el rombo de la figura, la diagonal menor mide igual al lado
sombreada expresada en función al lado del rombo es:
a)
b)
(
(
√ )
√ )
c)
(
d)
(
√ )
e)
(
√ )
Cursillo Pi
del rombo. El área
√ )
78
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
528.
Marcar la expresión incorrecta:
a) Si se inscribe un triángulo rectángulo en una circunferencia, la hipotenusa siempre coincide
con el diámetro.
b) Si se inscribe un rectángulo en una circunferencia, una de las diagonales siempre coincide con
el diámetro.
c) Si dos cuerdas se cortan en un punto interior del círculo los segmentos son recíprocamente
iguales.
d) La suma de los diámetros de las circunferencias circunscrita e inscrita a un triángulo
rectángulo isósceles es igual a la suma de los catetos.
e) Si en una circunferencia se inscribe un hexágono regular y un triángulo equilátero, el lado del
triángulo es el doble que el lado del hexágono.
529.
de
Observando la figura:
y
. El área del triángulo
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
√
y
expresada en
son puntos medios
es:
530.
En el triángulo
la base mide
. La altura mide
. Por el vértice se trazan
dos rectas que cortan al lado
en los puntos y , estos segmentos dividen al triángulo en
tres triángulos de áreas iguales. El ángulo
es mayor que el
. La distancia de a la
base del triángulo expresada en
es:
a) 2
b) 3
c) 4
d)
√
e)
531.
Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide:
a) 156°
b) 39°
c) 78°
d) 45°
e) 18°30’
532.
En un hexaedro su diagonal mide
a) Al área lateral.
b) Al área de las dos bases.
c) Al área total.
d) A la mitad del área total.
e) Al área de una cara.
Cursillo Pi
. La expresión
79
corresponde:
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
533.
La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado
. La altura de la pirámide expresada en función de y en
es:
√
a)
b)
√
c)
√
d)
, las aristas miden
√
e)
√
534.
Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide
, la altura
del prisma mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en
es:
√
a)
b)
535.
√
c)
√
d)
En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide
expresión
a)
b)
c)
d)
e)
√
e)
, su altura mide
√
. La
corresponde:
Al cociente entre el volumen y el diámetro de las base.
A la suma de las áreas de las dos bases.
Al área lateral.
Al área total.
Al triple del área lateral.
536.
y
a)
Si el arco
es del primer cuadrante y
. El valor de la expresión
b)
c)
537.
El valor de la expresión:
a) 1
b) 2
es del cuarto cuadrante. Siendo
es:
d)
e)
es:
c)
d)
e)
538.
Se trazan dos circunferencias de radios iguales de
dentro del paralelogramo
, cada circunferencia es tangente a tres lados del paralelogramo y a la otra
circunferencia trazada. El área del paralelogramo expresada en función de es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
√
√
80
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
539.
Al simplificar
se obtiene:
a)
b)
c)
d)
e)
540.
El producto de cinco funciones trigonométricas de un ángulo agudo es 1. La medida de
dicho ángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
541.
a)
b)
En el círculo trigonométrico de la figura, el valor de
en función de
es:
c)
d)
e)
542.
De las afirmaciones siguientes la falsa es:
Se pueden calcular todos los elementos de un triángulo si se conocen:
a) Un lado y dos ángulos.
b) Dos lados y el ángulo comprendido.
c) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
d) Dos ángulos.
e) Dos lados y dos ángulos cualesquiera.
543.
Si
(
, el valor de
)
(
)
(
)
a)
b)
c)
d)
e)
544.
a)
Cursillo Pi
Dado
, con
b)
y
√
c)
81
del segundo cuadrante, el valor de
d)
√
Ing. Raúl Martínez
e)
es:
Geometría y Trigonometría
545.
Se sabe que
y que
√
√
√
√
son ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles. El valor de
a) √
b) √
c) √ ⁄
d) √ ⁄
546.
Si
. El valor de
y además
es:
e
e) √
es:
a)
b)
c)
d)
e)
547.
Dada la ecuación
satisface la ecuación es:
a) 23°
b) 22°
548.
Si
a)
uno de los valores de
c) 22°30’
d) 45°
, el valor de
b)
en el primer cuadrante que
e) 75°
es:
d) √
c)
e)
√
549.
Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación al punto más alto de un campanario es
. Desde la parte más alta del poste, que tiene
de altura, se divisa el mismo punto bajo
un ángulo de elevación de
. La altura del campanario es:
a)
√
b)
√
√
c)
d)
√
550.
Si es la longitud de la hipotenusa de un triángulo
del triángulo
se puede expresar como:
⁄
a)
b)
c)
d)
e)
551.
y
a) 10°
Cursillo Pi
Se tiene los ángulos consecutivos
. Hallar la
b) 15°
c) 20°
82
y
e)
,
√
; entonces el área
; tal que:
d) 25°
Ing. Raúl Martínez
e) 30°
Geometría y Trigonometría
552.
Se tienen los ángulos consecutivos
,
semirrectas
a) 54°
y
; tal que
y
. Hallar la
sabiendo además que las
y
son las bisectrices de los ángulos
y
respectivamente.
b) 44°
c) 37°
d) 48°
e) 52°
553.
Si el complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo
es igual a la diferencia entre el complemento del ángulo y el suplemento del suplemento del
mismo. Hallar el suplemento de complemento del ángulo.
a) 100°
b) 115°
c) 120°
d) 135°
e) 120°
554.
Las sumas de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es igual
a 230°. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15°. Calcular el
complemento, de la medida del mayor ángulo.
a) 20°
b) 15°
c) 10°
d) 5°
e) 8°
555.
El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es
igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del
complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo.
a) 120°
b) 45°
c) 135°
d) 60°
e) 75°
556.
a) 25°
b) 40°
c) 10°
d) 30°
e) 20°
Según el grafico
557.
Si
a) 150°
b) 130°
c) 120°
d) 160°
e) 135°
. Calcule el valor de
558.
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
. Calcule la relación de
Cursillo Pi
Si
y
. El valor de
es:
y
83
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
559.
En el gráfico:
a) 100°
b) 115°
c) 105°
d) 120°
e) 110°
es equilátero y
560.
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
Si
. Calcule
561.
a) 10°
b) 15°
c) 12°
d) 18°
e) 24°
Calcule el valor de , si
. Calcule el valor de .
.
y
562.
En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles
equilátero
. La relación correcta entre
y es:
.
en el que se inscribe el triángulo
a)
b)
c)
d)
e)
563.
a) 20
b) 21
c) 22
d) 25
e) 26
Cursillo Pi
En la figura
. Calcule el mayor valor entero de .
84
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
564.
a) 82°
b) 83°
c) 84°
d) 85°
e) 86°
Calcule
sabiendo que es un entero y además se cumple que
565.
En un triángulo
se traza la mediatriz de
que intercepta al lado
Calcule el máximo valor entero de
si
y
.
a) 17
b) 19
c) 20
d) 22
e) 24
566.
En un triángulo
donde
del ángulo , luego se une al punto medio
a) 18
b) 15
c) 16
567.
a) 75°
b) 80°
c) 85°
d) 90°
e) 95°
En la figura, calcular , si
568.
En la figura el triángulo
, calcule .
a)
b)
c)
d)
e)
.
en .
se traza
perpendicular a la bisectriz interna
de
con . Calcule
si
.
d) 17
e) 21
es un número entero.
es isósceles
. Si
y
76°
85°
55°
65°
75°
569.
a) 30°
b) 40°
c) 37°
d) 60°
e) 53°
Del gráfico, calcular el valor de .
570.
En un triángulo
la bisectriz del ángulo
recta paralela al lado
a) 8
b) 3
Cursillo Pi
se tiene que
y
. Se traza la mediana
y
, las cuales se intersectan en el punto , por el cual se traza una
que intersectan al lado
en el punto . Hallar
.
c) 3/8
d) 8/3
e) 3/5
85
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
571.
En la figura,
es paralela a
para que el perímetro del triángulo
a) 14,25
b) 16,2
c) 12,5
d) 18,2
e) 19,25
y
. Hallar el valor de
sea igual al perímetro del trapecio
.
572.
Hallar el número de lados de un polígono regular tal que si tuviera 6 lados menos; la
medida de un ángulo externo aumentaría en 80°.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
573.
Un polígono tiene dos lados más que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que
la medida de otro. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
a) 5
b) 7
c) 6
d) 8
e) 3
574.
La suma de las medidas de cinco ángulos internos consecutivos de un heptágono
convexo es igual a 700°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de
los otros dos ángulos internos de dicho polígono.
a) 60°
b) 50°
c) 70°
d) 80°
e) 90°
575.
Al triplicar el número de lados de un polígono regular, la medida del ángulo central es
, siendo el número de lados del polígono. Hallar la medida del ángulo interno de
dicho poligono.
a) 150°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
576.
En un polígono se cumple que el cuádruple del número de diagonales es igual al
cuadrado de la cantidad de vértices. Calcular el número de diagonales que se puede trazar de
dos vértices consecutivos.
a) 9
b) 8
c) 6
d) 4
e) 5
577.
Desde 5 vértices consecutivos de un polígono se trazan 59 diagonales. Hallar el número
de diagonales de dicho polígono.
a) 16
b) 100
c) 104
d) 150
e) 144
578.
a)
b)
c)
d)
e)
En la figura,
y
y
son paralelas entre si, así mismo
, hallar
y lo son. Si
1,4
1,5
1,6
1,8
1,9
Cursillo Pi
86
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
579.
En un rectángulo, el lado
y
que la diagonal
sea bisectriz del ángulo
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
580.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
¿A qué distancia de
debe estar
?
En la figura, calcular
581.
En la siguiente figura
circunferencia es:
a)
b)
c)
d)
e)
es punto de tangencia. Si
, entonces el área de la
582.
En el paralelogramo
por se traza una recta que corta a la diagonal
lado
en , y a la prolongación del lado
en . Si
y
. Hallar
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
583.
a) 8
b) 6
c) 4
d) 5
e) 3
Hallar
584.
En un triángulo
y
b) 5
a) 6
Cursillo Pi
para
, si
y
, al
.
se traza la bisectriz interior
.
c) 8
d) 7
87
en
. Hallar
Ing. Raúl Martínez
, si
e) 9
;
Geometría y Trigonometría
585.
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
En la figura,
es un romboide. Si
586.
En un triángulo isósceles
que:
y
. Calcula
a) 3
b) 4
, las alturas
589.
a) 50°
b) 54°
c) 50°
d) 54°
e) 50°
y
y
y
y
y
En la figura,
80°
80°
84°
84°
76°
. Halle
y
se intersectan en , tal
c) 6
d) 8
e) 9
y luego por , una paralela a
.
es isósceles y además
es:
y
.
.
587.
En un triángulo
, se traza la bisectriz
que intersecta a
en . Hallar
si
y
a)
b)
c)
d)
e)
588.
El triángulo
ángulo en el vértice
a) 15°
b) 20°
c) 25°
d) 28°
e) 30°
y
, las medidas de
, de modo
. La medida del
y
son respectivamente:
590.
En un triángulo obtusángulo
, el ángulo interior en
ortocentro, el ángulo
mide:
a) 60°
b) 80°
c) 70°
d) 75°
mide
. Si
es el
e) 65°
591.
En un triángulo equilátero
, de
de lado, se traza
paralelo al lado
, de
modo que el triángulo se descompone en un trapecio y un nuevo triángulo. El valor de
para el cual el perímetro del trapecio sea igual al del triángulo
es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
88
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
592.
Si
a) 1
b) 2
En la figura, el triángulo
y
, entonces
es isósceles,
vale:
es base y
, altura relativa al lado
.
c) √
d) √
e) 3
593.
a)
b)
c)
d)
e)
El rombo
está inscripto en el triángulo
, el lado del rombo mide, en metros:
. Si
y
5
3
2
4
8
594.
El triángulo
es:
a) 76/11
b) 77/11
c) 78/11
d) 79/11
e) 80/11
de la figura es equilátero.
y
. El valor de
595.
En un trapecio, cuyos lados paralelos miden 4 y 6, las diagonales se intersectan de
modo que los menores segmentos determinados en cada una de ellas miden 2 y 3. La medida
de la menor diagonal es:
a) 3
b) 4
c) 9/2
d) 3
e) 15/2
596.
Sean los triángulos rectángulos
rectos. Entonces, la proposición falsa es:
a) Si
, entonces
b) Si ̅̅̅̅
̅̅̅̅ y
, entonces
c) Si ̅̅̅̅
̅̅̅̅ y
, entonces
d) Si
e) Si ̅̅̅̅
Cursillo Pi
, entonces
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
y
, siendo
y
los vértices de los ángulos
.
.
.
.
̅̅̅̅ , entonces
.
89
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
597.
De los cuatro puntos notables de cualquier triángulo, hay dos que podrían no ubicarse
en el interior del triángulo conforme el tipo del triángulo. Estos puntos son:
a) El baricentro y el ortocentro.
b) El baricentro y el incentro.
c) El circuncentro y el incentro.
d) El circuncentro y el ortocentro.
e) El incentro y el ortocentro.
598.
En un triángulo una base mide
miden, respectivamente,
y
centímetros:
a) √
b) √
, la altura y la mediana en relación a esa base
. Los otros dos lados del triángulo miden, en
y √
y √
c) √
y √
d) 5 y 7
e) 14 y 19
599.
En el rectángulo
de lados
a la diagonal
. El segmento
mide:
a) 3/2
b) 12/5
c) 5/2
d) 9/5
e) 2
600.
En la figura,
vale:
y
es un rectángulo.
, el segmento
y
es perpendicular
. Entonces
a) √
b)
c)
d)
e)
√
601.
La suma de los cuadrados de los tres lados de un triángulo rectángulo es igual a 32. La
hipotenusa del triángulo mide:
a) 6
b) 8
c) 3
d) 4
e) 5
Cursillo Pi
90
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
602.
a)
b)
c)
d)
e)
En la figura,
es un rectángulo. La medida del segmento
es:
603.
Los arcos cuyo coseno es √ pueden estar en los cuadrantes:
a) 1° y 4°
b) 1° y 2°
c) 1° y 3°
d) 2° y 3°
604.
Todos los valores de , de modo que la expresión
b)
a)
c)
exista son:
d)
Si
606.
a) 7
El menor valor que asume la expresión
b) 6
c) 5
607.
Los cuadrantes donde están los ángulos
y tales que:
y
y
; son respectivamente:
b)
c)
d)
b) [
e
; entonces,
e)
605.
a)
a)
y
c)
608.
a)
b)
c)
d)
e)
Si
satisfacen
609.
La función que mejor se adapta al gráfico es:
e) N.d.a
varia en el intervalo:
d)
e)
para variando de a
d) 1
e)
. Se cumple que:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
91
Ing. Raúl Martínez
es:
y
e)
Geometría y Trigonometría
610.
Si
a) 3/4
(
es negativa, entonces el valor de √
b) 3/5
611.
a)
y
Si
)
, entonces,
b)
612.
Las raíces de la ecuación
real. El valor de es:
a) 0
b) 2
613.
c) 5/4
es:
d) 4/3
e) 1/2
es igual a:
c)
(
d)
)
(
son
c) 4
e)
)
y
, siendo
d) 5
La expresión
es idénticamente igual a:
La expresión
es equivalente a:
(
)
un número
e) N.d.a
a)
b)
c)
d)
e)
614.
a)
b)
c)
d)
e) N.d.a
615.
a)
Las raíces de la ecuación
b)
616.
es:
a)
El valor de , para el cual
b)
son:
d) N.d.a
c)
es una identidad,
c)
d) 1
617.
En la figura el radio
de la circunferencia vale . El segmento
La medida en radianes, de es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
92
e) 2
vale 3 y
Ing. Raúl Martínez
.
Geometría y Trigonometría
618.
a) √
b) √
c)
√
d)
√
e) √
619.
a) √
Considere la figura abajo. La longitud del segmento
es:
√
Sabiendo que
b) 1
y
c) √
, entonces,
d)
es igual a:
e) √
620.
El seno de uno de los ángulos agudos de un rombo es igual a
tangente del mayor ángulo interno es:
a)
b) √
c) √
d) √
621.
a)
b)
c)
d)
e)
Dado el ángulo
e) √
, entonces:
622.
a)
, por lo tanto la
es igual a:
b)
623.
a)
Se sabe que
624.
a)
b)
c)
La expresión
b)
c)
√
√
d)
e) N.d.a
√ . El valor de
y
c) √
es:
√
d)
e)
es equivalente a:
d)
e)
625.
Sabiendo que
a) 11/5
b) 1
Cursillo Pi
√
, entonces el valor de
es:
c) 3/5
d) 6/5
93
Ing. Raúl Martínez
e) 1/5
Geometría y Trigonometría
626.
Si
igual a:
a)
b)
es un ángulo del primer cuadrante y
es
√
c)
d)
e) N.d.a
627.
, la expresión
Si
, entonces,
628.
a) 15°
Si
y
b) 60°
629.
Sea
es equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
el ángulo
c) 45°
mide:
d) 30°
e) 22°30’
. De la figura de abajo se puede concluir directamente:
a)
b)
c)
d)
e)
630.
a)
b)
c)
d)
e) N.d.a
631.
a)
632.
a)
Cursillo Pi
√
√ entonces:
Si
√
√
√
Simplificándose la expresión
b)
La expresión
b)
c)
, se obtiene:
d)
para
e)
, es igual a:
c)
d)
94
e)
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
633.
Sabiendo que
y
, podemos afirmar que
(
) es igual
a:
a)
⁄
b)
c) √
d) √ ⁄
e) N.d.a
634.
a)
b)
c)
d)
e)
Transformándose en producto la expresión
635.
La expresión
a) √
(
)
b)
(
)
√
(
c)
se obtiene:
es idéntica a:
)
d) √
(
)
e) √
(
)
636.
es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
637.
a)
b)
c)
d)
e)
, la ecuación √
En el intervalo
√ :
No admite solución
Admite como solución
Admite como solución
Admite como solución
Admite como solución
638.
Calcular el radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo isósceles de base
y el ángulo opuesto a la base es
a)
√
Cursillo Pi
b)
√
√
c)
95
d)
√
Ing. Raúl Martínez
e)
√
Geometría y Trigonometría
639.
En un triángulo rectángulo
recto en
medianas
y
es
. El ángulo mide:
a)
(
b)
(
√
√
(
c)
(
d)
se sabe que el ángulo formado por las
)
)
√
)
)
√
640.
Una recta determina, sobre una circunferencia de radio 10, una cuerda de 16. La
medida del ángulo central correspondiente a la cuerda es:
a)
( )
b)
( )
c)
d)
641.
El mayor ángulo de un triángulo rectángulo de hipotenusa
radio de la circunferencia inscripta es
( )
a)
( )
b)
( )
c)
, sabiendo que el
( )
d)
642.
Para medir la altura de una torre vertical
se toma en el plano horizontal que pasa
por su base , el segmento
y cuyo punto medio es . Se miden los ángulos
y
de la torre es:
√
a)
643.
verificándose que
b)
√
Para obtener la altura
c)
y
√
*
+
b)
*
+
c)
*
d)
Cursillo Pi
*
√
e)
√
de una chimenea, un ingeniero, con un aparato especial,
estableció la horizontal
y midió los ángulos
. La altura de chimenea es:
a)
d)
. La altura, en metros,
y
+
+
96
Ing. Raúl Martínez
una vez medido
Geometría y Trigonometría
644.
a)
b)
c)
d)
e)
Teniendo en cuenta la figura abajo, calcular
645.
Los lados de un triángulo son dados por
mayor de los ángulos del triángulo es:
a) 130°
b) 120°
c) 110°
:
y
d) 100°
. El
e) 90°
646.
Un observador colocado a
de un edificio, ve la parte más alta del edificio sobre
cierto ángulo. Si se aleja del edificio en línea recta
, el ángulo de elevación es la mitad del
anterior. La altura del edificio es:
a)
b)
c)
d)
√
√
√
647.
a)
El ángulo sobre el cual un observador ve una torre se duplica cuando él se aproxima
y se triplica cuando se aproxima
más. La altura de la torre es:
b)
c)
d)
e)
648.
El radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo
de
, el cual tiene
dos lados formando un ángulo agudo y con medidas
y
respectivamente:
a)
b)
c)
d)
649.
Si
valor de
a)
es la menor raíz positiva de la ecuación
es:
b) 0
c)
], la ecuación
650.
En el intervalo [
a) Posee una infinidad de raíces.
b) Posee exactamente dos raíces.
c) No posee raíces.
d) Posee una única raíz.
e) Posee exactamente tres raíces.
, entonces el
d) √
e)
:
651.
Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo no isósceles son raíces de la
ecuación (en )
. Entonces el valor de es:
a)
d)
e)
b) √
c) √
Cursillo Pi
97
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
652.
En la figura,
a) 60
b) 65
c) 70
d) 75
e) N.d.a
vale:
653.
Una persona de
persona está parada a
más:
a)
b)
c)
d)
e)
654.
de altura la parte más alta de un árbol sobre un ángulo . Si la
metros del árbol, la altura aproximada, en metros, del árbol es
En la figura,
Entonces:
a)
b)
c)
d)
e)
655.
a) √
b)
c)
d)
Cursillo Pi
En el triángulo
de la figura,
y
. Entonces el lado
√
√
√
98
Ing. Raúl Martínez
mide:
Geometría y Trigonometría
656.
Sea
un triángulo rectángulo recto en
verdadera es:
y sea su área. Entonces la afirmación
a)
b)
c)
d)
e)
657.
En la figura,
circunferencia y
es una circunferencia de radio
y son rectas tangentes a la
, entonces el ángulo de las rectas y verifica:
a)
b)
√
√
c)
d)
e)
658.
Un navío, navegando en línea recta, pasa sucesivamente por los puntos
cuando el navío está en
el comandante observa un farol , y calcula el ángulo
Después de navegar 4 millas hasta , verifica el ángulo
farol del punto ?
a) 4
c)
b) √
d) √
659.
En la figura
función de y es:
y
e) √
. El valor de
b)
c)
d)
e)
99
.
. ¿Cuántas millas separa el
a)
Cursillo Pi
y ,
Ing. Raúl Martínez
, en
Geometría y Trigonometría
660.
Se desea construir una ferrovía uniendo el punto al punto que está a √
al
sudeste de . Un lago entre y impide la construcción en línea recta. Para evitar el lago, la
ferrovía será construida en dos trechos rectos con vértices en el punto , que está a
al
este y
al sur de .La longitud del trecho
es:
a) √
b) √
661.
En un triángulo escaleno
y . Entonces la expresión
d) √
c) √
, los lados a los ángulos
(
)
(
y
)
miden respectivamente
(
) es igual a:
a)
b)
c) 0
d) 1
e) N.d.a
662.
a) 80°
b) 70°
c) 60°
d) 40°
e) 20°
En la figura tenemos que
663.
En la figura, las medidas de los arcos
y
, respectivamente. Entonces
a)
b)
c)
d)
e)
. Entonces
vale:
y
son expresadas en grados, por ,
mide:
115°
110°
105°
100°
95°
664.
En la siguiente figura, la medida de
a) 96°
b) 63°30’
c) 48°
d) 34°
e) 3°
Cursillo Pi
100
es:
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
665.
a) 50°
b) 40°
c) 70°
d) 60°
e) 80°
En la figura, el segmento
es un diámetro de la circunferencia. Entonces
666.
Si en la figura las medidas de los arcos
respectivamente, la medida de es:
a) 34°
b) 35°30’
c) 38°30’
d) 40°
e) 70°
y
vale:
son
y
667.
Dos circunferencias son tangentes interiormente. La distancia entre los centros es
y el radio de la circunferencia mayor mide el triple del radio de la menor. El radio de la mayor
mide:
a)
b)
c)
d)
e)
668.
Si un triángulo rectángulo
Entonces
a) √
669.
, recto en
se cumple
.
vale:
b) √
En el siguiente gráfico:
c) √
d) √
Calcular
e) √
:
a)
b)
c)
d)
670.
En el triángulo rectángulo
, recto en , se cumple que:
Calcular
a) 1
b) 2
c) 4
d) 1/2
e) 1/4
671.
, el perímetro del
En un triángulo rectángulo
triángulo es:
a) 90
Cursillo Pi
b) 120
si
c) 150
101
y
d) 75
Ing. Raúl Martínez
e) 136
Geometría y Trigonometría
672.
En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los
catetos. Calcule la suma de los tangentes de los ángulos agudos del triángulo.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
673.
a)
b)
c)
d)
e)
En la figura adjunta se cumple que:
Calcular
3/4
5/4
7/4
9/4
11/4
674.
a)
b)
c)
d)
e)
En la figura mostrada, el área del triángulo
en función de
es:
675.
Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12.
Halle la altura de dicho trapecio y el producto de sus diagonales es 80.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
676.
a)
b)
c)
d)
e)
En la figura halle
677.
a) 0,3
Si
678.
Calcular la medida del ángulo , si cumple
a) 15°
679.
a) 1
Cursillo Pi
en términos de
y
. Calcular el valor de
b) 0,9
c)
b) 30°
Simplifica la expresión:
b) 2
c) 37°
(
)
(
c)
102
(
d)
e)
d) 60°
e) 75°
d)
e)
)
)
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
680.
En un triángulo
a)
(
, reducir
)
(
b)
)
c)
d) 1
e) 2
681.
De las siguientes proposiciones:
I.
Si
, entonces
II.
Si
, entonces
III.
Si
, entonces
Es o son verdaderas:
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) I y III
e) Todas
682.
En un triángulo
el triángulo seguro es:
a) Rectángulo
b) Isósceles
c) Equilátero
d) Obtusángulo
e) Acutángulo
se cumple:
683.
√ . Calcular
a) √
684.
Si
b) √
685.
a)
b)
c)
d)
e)
.
c) √
d)
√
c) 0
Si en el gráfico
Calcular
d) √
√
√
√
e) √
, calcular
8
1/8
3/8
8/3
3/4
Cursillo Pi
e)
Siendo un arco en posición normal positivo y menor de una vuelta que pertenece al III
C el cual cumple:
a)
b) 1
Entonces
103
Ing. Raúl Martínez
f)
√
Geometría y Trigonometría
686.
a) 8
b) 1/8
c) 3/8
d) 8/3
e) 3/4
Si en el gráfico
, calcular
687.
Las diagonales de un rombo miden y . Al unir los puntos medios de sus lados
resulta un polígono. La diferencia que existe el área del rombo y el área del polígono
expresada en función a es:
a)
b)
c)
d)
e)
688.
Dentro de un cuadrado de lado se desea construir un triángulo equilátero de manera
que un vértice del triángulo coincida con un vértice del cuadrado y los otros dos vértices se
encuentren sobre los lados del cuadrado no adyacentes al vértice común. La longitud del lado
del triángulo en función al del cuadrado es:
a)
√
(
√ )
b)
√
(
√ )
c)
√
√
d)
e)
(
√
√ )
689.
En un semicírculo de radio igual a se inscribe un cuadrado (un lado del cuadrado
descansa sobre el diámetro). El área del cuadrado en función a es:
a)
b)
d)
e)
c)
√
√
690.
en
a)
Si el área de una superficie esférica es
es igual a:
b)
c)
, se puede afirmar que el radio expresado
691.
El volumen de un octaedro de arista igual a
expresado en función a
a)
√
b)
√
c)
d)
√
e)
d)
√
es:
e)
√
692.
En un cilindro de radio de base y altura , se coloca un cono de radio de base
altura . Si el volumen del cono es
de la del cilindro, la altura del cono mide:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
104
Ing. Raúl Martínez
y
Geometría y Trigonometría
693.
Dentro de una esfera de radio igual a , se colocan 4 esferas de radios iguales de
manera que cada esfera pequeña sea tangente a otras dos esferas pequeñas y a la esfera de
radio . Si además los centros de las cinco esferas se encuentran en un mismo plano, la
relación entre los volúmenes de la esfera de radio con una de las pequeñas es:
a) 4
b) (√
)
c) (√
)
d)
(√
)
e)
(√
)
694.
a)
b)
c)
d)
e)
La base de un prisma recto es un hexágono regular inscripto en una circunferencia de
radio . La altura del prisma es
Tercio del área total.
Volumen dividido el radio
Doble del área lateral
Área lateral
Área total
. La expresión
(
√ ) corresponde al:
695.
De todas las afirmaciones siguientes, la correcta es:
a) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a tantas veces un ángulo
recto como lados menos dos tiene el polígono.
b) Sólo en el triángulo equilátero se cumple que el circuncentro y el incentro coinciden
c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos iguales
d) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales
e) En todo triángulo se cumple que si un ángulo es el doble que otro, el tercer ángulo es recto
696.
Si el complemento del suplemento del triple de un ángulo es igual al suplemento del
complemento de la mitad del mismo ángulo, el ángulo mide:
a) 51°25’
b) 36°
c) 54°
d) 72°
e) 126°
697.
Alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta se trazan dos semirrectas
formando tres ángulos consecutivos
y . Si las bisectrices del segundo y tercer ángulo
son ortogonales la medida de es:
a) 30°
b) 36°
c) 45°
d) 15°
e) 22°30’
698.
Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 5 diagonales, la medida de un
ángulo interno es:
a) 54°
b) 120°
c) 135°
d) 30°
e) 45°
Cursillo Pi
105
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
699.
Observando la figura
respectivamente. Si el área del cuadrado
expresada en
es:
a) 11,31
b) 64
c) 16
d) 22,63
e) 18,47
y
es
son puntos medios de
y
. La medida aproximada de
700.
De las siguientes expresiones marca la correcta
a) En todo triángulo se cumple que la suma de las alturas es menor que la suma de las medianas.
b) El incentro siempre es un punto que equidista de los vértices del triángulo.
c) En todo triángulo siempre existe un punto interior del triángulo que equidista de los vértices
del triángulo.
d) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son siempre perpendiculares.
e) En un triángulo isósceles, cada ángulo de la base es la mitad del suplemento del ángulo del
vértice opuesto a la base.
701.
Por un punto exterior a una circunferencia de radio
cortan a la misma en los puntos
y
. La medida de
. El área del triángulo
expresada en función de es:
a)
b) √
c) √
d) √
e)
se trazan dos secantes que
y
dista del centro
702.
Un regador de agua de jardín, funciona con un mecanismo que le produce un
movimiento de giro de ida y vuelta de
. El chorro de agua alcanza
. El área de la
superficie de pasto regada es de:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
106
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
703.
Se sabe que en la figura de abajo
correcta es:
a) Los triángulos
y
son congruentes
b) Los triángulos
y
son congruentes
c)
d) Los triángulos
y
son semejantes
e) Los triángulos
y
son congruentes
y además
704.
En la figura de abajo,
corona circular expresada en
a)
b)
c)
d)
e)
el punto de tangencia. El área de la
705.
En la figura de abajo
lados del cuadrado.
mide
a)
b)
c)
d)
e)
es tangente, siendo
es:
. La alternativa
es un cuadrado y
y son puntos medios de los
. El área de la región sombreada es de:
706.
Dos circunferencias de centros
y
están separados . La tangente común
en función de es:
tienen como radios: y , los centros
corta a
en el punto . La medida
y
a)
b)
c)
d)
e)
707.
Un avión vuela horizontalmente a
de altura. Un observador situado en el suelo ve
al avión en un instante con un ángulo de elevación de 60° y en un instante ve al avión
con un ángulo de elevación de 30°. La distancia recorrida por el avión, en
, desde el intante
hasta el instante es aproximadamente:
a) 3,46
b) 6
c) 1,73
d) 1,50
e) 2,60
708.
En un triángulo
, el ángulo interno
interno , además
√ y
a) 60°
b) 90°
Cursillo Pi
mide el doble de lo que mide el ángulo
. Entonces la medida del ángulo
c) 120°
d) 30°
107
es:
Ing. Raúl Martínez
e) 45°
Geometría y Trigonometría
709.
Sea el sistema {
valor de
, donde
es un ángulo del primer cuadrante, el
es:
a) √
b)
c)
√
√
d) √
e) √
710.
Un triángulo tiene lados de medidas
a)
b)
711.
Si
afirmaciones
c)
y
. El coseno del menor de los ángulos es:
d)
e)
es un ángulo del segundo cuadrante, entonces de las siguientes
√
I)
II)
y
√
III)
Son verdaderas:
a) Sólo I
712.
a) 45°
713.
El ángulo
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y III
del primer cuadrante que satisface
b) 60°
c) 75°
Al transformar en producto la diferencia
es:
d) 20°
se obtiene:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
108
e) Todas
Ing. Raúl Martínez
e) 30°
Geometría y Trigonometría
714.
La expresión
a) La inversa del coseno de
b) La inversa de las secante de
c) La reciproca de la secante de
d) La reciproca del seno de
e) La reciproca del coseno de
715.
Dado que
a) 0
y
b) 1
716.
es equivalente a:
, el valor de
c)
Si
es:
d)
e)
d) Sólo IV
e) I y IV
, entonces:
I)
II)
III)
IV)
Es o son verdaderas
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
717.
Dos lados de un triángulo oblicuángulo miden
y
comprendido mide
. La medida del menor ángulo del triángulo es:
a) 48°58’
b) 66°56’
c) 17°58’
d) 113°4’
y el ángulo
e) 64°6’
718.
Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a
del
suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior, se observa con un ángulo de
elevación de 30 grados sexagesimales y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45
grados sexagesimales. La altura del edificio, en , es:
a)
b)
√
(
√
)
c)
d)
(√
)
e)
(√
)
719.
a)
Cursillo Pi
Dado que
y
b)
, el valor de
c)
es:
d)
109
e)
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
720.
La expresión más simple de
es:
a)
b)
c)
d)
e)
721.
Si se sabe que
función de y es:
a)
y
, con
. Entonces
en
b)
c)
d)
e)
722.
En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 21°11’52”. Calcular el valor del
ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto.
a) 23°48’8”
b) 51°50’17”
c) 52°
d) 44°
e) 53°
723.
Los triángulos son equiláteros,
a)
(√
√ )
b)
(√
)
c)
(√
√ )
d)
(√
√ )
e)
(√
√ )
mide:
724.
Cuales son las proposiciones no falsas:
I)
Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si.
II)
Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros lados estarán en línea
recta.
III)
Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos.
IV)
Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son
perpendiculares.
V)
Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementaros.
a) I y II
b) Solo I
c) II, III y IV
d) Solo V
e) IV y V
Cursillo Pi
110
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
725.
Si el suplemento del ángulo es
entonces:
a)
e son ángulos suplementarios.
b) es agudo e es obtuso.
c)
esa como
d) es a como
e) e son ángulos congruentes
, donde
726.
Los ángulos y de un cuadrilátero
ángulo formado por las bisectrices de los ángulos
a) 69°
b) 78°
c) 114°
es el complemento de dicho ángulo,
valen 78° y 114°. Calcular el valor del
y
d) 90°
e) 96°
727.
¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados?
a) 145°
b) 160°
c) 135°
d) 155°
e) 165°
728.
Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo
una de ellas el doble de la altura.
a) 115°
b) 130°
c) 120°
d) 128°
e) 118°
729.
Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la
altura respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación 1/3
a) 53° y 55°
b) 15° y 75°
c) 30° y 60°
d) 30°30’ y 59°30’
e) 29°30’ y 60°30’
730.
En el triángulo equilátero
triángulo
es:
a)
b)
c)
d)
e)
√
√
√
√
√
y
. El perímetro del
√
√
731.
Un polígono regular de 12 lados inscripto en una circunferencia de radio 1, tiene como
medida de su lado a:
a)
Cursillo Pi
√
b) √
√
c) √
111
d) (
√ )
Ing. Raúl Martínez
e) (√
)
Geometría y Trigonometría
732.
Un rombo tiene diagonales que miden 12 y
circunferencia inscripta a el rombo es:
a)
b)
c)
. La longitud en centímetros de la
d)
e)
733.
Dada dos circunferencias tangentes exteriores y de radios y respectivamente. La
longitud del segmento tangente exterior común a las dos circunferencias es:
a)
√
b)
√
d) √
√
c)
734.
Los lados de un triángulo miden
interiores del triángulo es:
a) 11/24
b)
c)
y
e) √
. El coseno del mayor de los ángulos
d)
e)
735.
De las afirmaciones
I)
Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes.
II)
La intersección de dos rectas carecen de dimensión.
III)
Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos.
Son falsas
a) Ninguna
b) I y II
c) Sólo I
d) I y III
e) Todas
736.
De las opciones, marca la alternativa correcta:
a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.
b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.
c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.
d) El cuadrado es un rombo equiángulo.
e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa.
737.
La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo
agudo de un triángulo rectángulo recibe el nombre de:
a) Seno
b) Coseno
c) Cosecante
d) Secante
e) Tangente
738.
En todo triángulo rectángulo de hipotenusa , catetos
hipotenusa), se verifica:
y , y
(altura relativa a la
a)
b)
c)
d)
e)
739.
Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un
hexágono de lado
a)
Cursillo Pi
(
√ )
b)
(
√ )
c)
√
112
d)
(
√ )
Ing. Raúl Martínez
e)
(
√ )
Geometría y Trigonometría
740.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 7
e) 5
En el paralelogramo
741.
Si
y
es punto medio de
hallar
, si
son bisectrices interna y externa de , hallar
.
en metros, si
y
.
a)
b)
c)
d)
e)
42
48
44
24
36
742.
El triángulo
áreas del triángulo
a) 5/4
b) 9/5
c) 9/7
d) 9/4
e) 8/5
743.
a) 5/4
b) 4/3
c) 3/4
d) 1
es equilátero
y del trapecio
es un diámetro paralelo a
. La razón entre las
, si el radio de la circunferencia es
es:
es diámetro del círculo, la razón entre las áreas de los triángulos
y
es:
e) √
744.
Se tienen 2 ángulos consecutivos
hallar el ángulo
y
es igual a
a) 85°
b) 95°
c) 75°
d) 65°
e) 55°
Cursillo Pi
y
. Se traza la bisectriz
y la diferencia de los ángulos
113
Ing. Raúl Martínez
del ángulo
y
es
,
.
Geometría y Trigonometría
745.
Si el complemento de es al suplemento de , como el suplemento de
complemento de . Halla la suma de las cifras de la medida del ángulo mayor.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
746.
El valor de
a)
en la expresión
b)
√
c)
747.
Cual de las expresiones no es verdadera:
I)
II)
III)
no existe
IV)
V)
a) Sólo III
b) I y III
c) I, II y III
748.
Que valores deberá tomar
a) 2
b)
749.
Si
a) 240°
b)
y
c)
y
d)
y
e)
y
o
es al
d)
e)
d) Ninguna
e) IV y V
para que exista la función seno en:
c)
o
y
d) No se sabe
entonces
e) Faltan datos
vale:
750.
Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas:
I. En radianes
II.
(
)
III.
(
)
es un punto que pertenece a la circunferencia trigonométrica, entonces el
IV.
V.
Si
VI.
valor de es √
El seno y el coseno son funciones periódicas de periodo
a) I, III y V
Cursillo Pi
b) I, II y IV
c) I, II, III y V
114
d) I, II y IV
Ing. Raúl Martínez
e) Todas
Geometría y Trigonometría
751.
Si
. Hallar el valor de
, si
a)
b)
c)
d)
e)
752.
Una trayectoria recta que sube una colina se eleva
¿Qué ángulo hace con la horizontal?
a)
b)
c)
d)
. Por cada
horizonrales.
e)
753.
Encuéntrese el ángulo de elevación del sol si una persona de
una sombra de
de largo.
a)
b)
c)
d)
de altura proyecta
e)
754.
Un tirante de alambre atado desde un poste hace ángulo de
con el nivel del suelo y
esta fijado al suelo a
de distancia del poste. Encuentre la longitud del alambre, en
metros:
a)
b)
c)
d)
e)
755.
Un avión esta volando alejándose de un observador en tierra a una razón constante y
mantiene una altura de
. En cierto instante el observador mide el ángulo de elevación
como
después como
. ¿Qué tan rápido esta volando el avión en
?
a) 960
b) 609
c) 550
d) 600
e) 690
756.
a)
Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una torre de televisión que esta a
de distancia (horizontal). El ángulo de elevación del extremo superior de la torre es de
y el ángulo de depresión de la base de la torre es de
¿Qué altura tiene la torre?
b)
c)
d)
e)
757.
En un centro comercial la distancia vertical del primer piso al segundo es de
. La
escalera mecánica que tiene un alcance horizontal de
, hace
segundos en llevar
a una persona entre los dos pisos. ¿Qué velocidad lleva la escalera en SI?
a)
b)
c)
d)
e)
758.
Encuéntrese el radio
longitud de arco)
a) 10 y 3
b) 12 y 5
c) 0,3 y 14
d) 14 y 3
e) N.d.a
Cursillo Pi
en centímetros en cada uno de los siguientes círculos es ( :
115
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
759.
Una cuerda con punto inicial
y con una longitud de
se enrolla alrededor
del círculo unitario en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas del
extremo?
a)
b)
d)
)
c) (√ )
e) (√
760.
Si
tiene coordenadas en una circunferencia trigonométrica dada por
I)
Encuéntrese los dos valores posibles de
II)
Encuéntrese los ángulos para cada punto
a)
√
y
b)
√
y
c)
d)
√
e)
√
;
; 210° y 270°
;
y
y
Hallar el menor valor del ángulo
761.
a) 45°
que satisface a:
b) 60°
c) 30°
d) 15°
e) 50°
a) 45°
b) 30°
c) 36°
d) 40°
e) 60°
763.
a)
b) 60°
c) 30°
d) 15°
e) 50°
762.
764.
La ecuación
es equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
765.
Un triángulo tiene lados de medidas ⁄
ángulos es:
a)
b)
c)
Cursillo Pi
116
⁄
y ⁄ . El coseno del menor de los
d)
e)
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
766.
De las proposiciones siguientes la correcta es:
a) La inversa de
es
b) La recíproca de
es
c) La inversa de
d) La inversa de
e) La reciproca de
es
767.
es
es
El valor de
para que se cumpla la identidad
es:
a) 1/2
b) 1
768.
c) 3/2
En la ecuación
ecuación es:
a) 45°
769.
a)
el valor de
b) 135°
En la figura, expresar
d) 5/2
en el tercer cuadrante que satisface la
c) 251°33’54”
y
e) 0
d) 245°
en términos de
e) 252°
y
b)
c)
d)
e)
770.
Si
a)
√
b)
c)
√
(√
d) (
e)
. Hallar
.
)
√ )
√
771.
En un plano coordenado de origen 0 se tienen los puntos
que
y que
. Determinar .
a) 19/6
b) 19/4
c) 21/6
d) 21/4
Cursillo Pi
117
y
Ing. Raúl Martínez
. Sabiendo
e) 5
Geometría y Trigonometría
772.
Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo del I cuadrante cuyo ángulo doble
esta en el II cuadrante, su ángulo triple en el III cuadrante y su cuádruple en el IV cuadrante,
pero inferior a
a)
b)
c)
d)
e) Faltan datos
773.
Se tienen dos cias tangentes exteriormente de radio y . Calcular el cuadrado de la
cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas cias y la recta que une los
centros.
a)
b)
c)
d)
e)
(√
√
)
774.
Sea un triángulo con ángulos
Simplificar
a)
b)
c)
775.
y
y lados opuestos
y , respectivamente.
d)
e)
d) 1/2
e) 1/4
Simplificar:
a)
b)
c)
d)
e)
776.
a) 5/3
Dado
777.
Si
(
√ ⁄ , calcular
b) 5/2
c) 11/2
evaluar
)
(
)
(
)
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
118
Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría
778.
Simplificar
a)
b)
c)
d)
e)
779.
En un círculo trigonométrico se tiene que
I)
|
| |
|
II)
III)
Es o son verdaderas
a) Solo I
780.
a)
b)
c)
d)
e)
781.
a)
b)
c)
d)
e)
b) Solo II
Si
de las proposiciones
c) Solo III
y
d) I y II
e) I, II y III
entonces la diferencia entre
es igual a:
⁄
Si
entonces siempre:
782.
En un triángulo rectángulo los lados miden
menor de los ángulos se tiene que:
y
. Entonces, se
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
y
119
Ing. Raúl Martínez
es el
Geometría y Trigonometría
783.
a)
b)
c)
d)
e)
Si
, la opción falsa es:
784.
Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de
elevación de sus extremos superiores son
y
respectivamente. Entonces:
a) La altura de la primera torre es el triple de la otra
b) La altura de la primera torre es la mitad de la otra
c) La altura de la segunda torre es el triple de la primera
d) Las alturas son iguales
e) Las alturas de la primera y la segunda torre suman 5 unidades
785.
Cuando el ángulo
a) Decrece de a
b) Crece de
a
c) Decrece de
a
d) Decrece de
a
e) Crece de
a
crece de
786.
Los valores que
igualdad
a)
b)
c)
d)
e)
puede asumir para que exista el seno de arco , que satisfaga la
787.
a) 60°
a
, la grafica de la secante:
El ángulo formado por las manecillas del reloj a las 3 horas y 5 minutos es:
b) 63°30’
c) 64°30’
d) 61°30’
e) 62°30’
788.
Cuando el ángulo de elevación del sol es de 28,4°, en París, la torre Eiffel forma una
sombra de 555,34 metros de largo. ¿Qué altura tiene la torre aproximadamente?
a)
b)
c)
d)
e)
789.
Un decágono regular (10 lados iguales) esta inscripto en un círculo de radio . ¿Qué
porcentaje del área del círculo es el área del decágono?
a) 73,55
b) 83,55
c) 63,55
d) 88,55
e) 93,55
Cursillo Pi
120
Ing. Raúl Martínez
790.
Sea el triángulo de lados
su ángulo será.
a)
b)
c)
d)
e) No se puede determinar
791.
a)
Dado
y , y de área
. El producto de las cosecantes de
calcular
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
√
792.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Un triángulo se puede resolver si se
conocen:
a) 1 lado y 2 ángulos
b) 2 lados y el ángulo comprendido
c) 2 lados y el ángulo opuesto a ellos
d) 2 ángulos
e) 2 lados y 2 ángulo
793.
De las siguientes proposiciones:
I) Dos ángulos complementarios son agudos.
II) Dos ángulos opuestos por el vértice pueden ser suplementarios.
III) Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares
complementarios.
IV) Dos ángulos adyacentes no pueden ser complementarios.
V) Un ángulo agudo siempre tiene complemento y suplemento.
Es/son falsa/s:
a) Solo I
b) II y III
c) I y III
d) I, IV y V
e) II, III y IV
Cursillo Pi
121
Ing. Raúl Martínez
son
794.
a)
b)
c)
d)
e)
En una recta se tiene los puntos consecutivos
y
, entonces la medida del segmento
y ; de modo que
es:
3
4
5
6
7
795.
La diferencia entre la suma de los suplementos y la suma de los complementos de
dos ángulos, que se diferencian en 20°, es igual al doble de la suma de dichos ángulos.
La medida del mayor es:
a) 40°
b) 55°
c) 60°
d) 75°
e) 80°
796.
a) 10°
b) 20°
c) 15°
d) 18°
e) 12°
En la figura
, entonces el valor de
797.
En un polígono convexo de
entonces el número de diagonales:
a) Aumenta en
b) Disminuye en
c) Disminuye en 1
d) Aumenta en 1
e) No aumenta ni disminuye
es:
lados, si el número de lados aumenta en uno,
798.
En un polígono regular de lados, la medida de un ángulo interior es cinco veces
la medida del ángulo central, entonces el número de triángulos que se pueden formar al
trazar todas las diagonales desde un solo vértice es:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Cursillo Pi
122
Ing. Raúl Martínez
799.
En un triángulo
es un punto del lado
y
a)
b)
c)
d)
e)
se traza la bisectriz interior
y el segmento , donde
. Si
y
se intersectan en el punto de modo que
, entonces la medida de
es:
45°
30°
36°
50°
42°
800.
De las siguientes proposiciones, la falsa es:
a) Todo triángulo equilátero es también isósceles.
b) Si en un triángulo se cumple que los tres ángulos externos son obtusos entonces el
triángulo debe ser acutángulo.
c) Si un triángulo tiene un ángulo externo agudo entonces debe ser obtusángulo.
d) Todo triángulo escaleno es también acutángulo.
e) En todo triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos lados.
801.
De las siguientes proposiciones, la falsa es:
a) Las proyecciones de los lados congruentes de un trapecio sobre su base mayor son
iguales a la semidiferencia de las bases
b) Un paralelogramo que tiene dos lados consecutivos congruentes es un rombo.
c) Un paralelogramo que tiene un ángulo recto es un rectángulo.
d) Un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales es un paralelogramo.
e) Un trapecio escaleno tiene los cuatro lados desiguales.
802.
Considerando los siguientes enunciados:
I)
Si
entonces es cuarta proporcional de
y .
II)
Si
y son proporcionales a
y , puede darse el caso en que
III)
y
IV)
La recíproca de la razón entre la tercera proporcional de y , y el reciproco de la
cuarta proporcional y ; es
La media proporcional de y es la misma que la de y .
V)
Si
, entonces
y
En el siguiente orden son:
a) VVFVF
b) FVFVF
c) FFVVV
d) FFFVF
e) FFFVV
Cursillo Pi
123
Ing. Raúl Martínez
803.
Siendo el baricentro de un triángulo
. Si
. El mínimo valor entero que
puede tomar es:
(
sobre
)y
a)
b)
c)
d)
e)
804.
En la figura
de
es:
a) 10
b) 9
c) 9,6
d) 10,2
e) 6
. Si
y
. La medida
805.
De los siguientes enunciados:
I)
Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.
II)
Cualquier altura de un triángulo isósceles es también mediana, bisectriz y porción de
mediatriz.
III)
Tres o más rectas paralelas equidistantes determinan sobre cualquier recta, oblicua a
ellas, segmentos congruentes.
IV)
El producto de longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al
producto de la hipotenusa por su altura respectiva.
V)
Toda recta que corta a dos lados de un triángulo dividiendo a estos en segmentos
proporcionales, es par al tercer lado
Es/son verdadera/s:
a) Solo dos
b) Solo cuatro
c) Todas
d) Ninguna
e) Solo tres
806.
807.
En un cuadrado
respectivamente. Si y
En el trapecio
, la diagonal mide
√
y
son puntos medios de
de la figura se cumple que
menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos interiores
y
y
. El
mide:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
124
y
Ing. Raúl Martínez
808.
Si
, entonces el valor de
es:
a)
b)
c)
d)
e)
⁄
809.
Marca la proposición falsa
a) La función tangente siempre es creciente en los diferentes cuadrantes.
b) La variación de la reciproca del seno es el conjunto de los números reales excepto los
pertenecientes al intervalo
c) La función secante esta definida para todos los números reales excepto en aquellos
puntos donde el coseno se hace cero.
d) Si
, entonces la variación de la cofunción de la cosecante es el conjunto de
los números reales mayores a
y menores a .
e) El periodo de la función coseno es
.
810.
Sabiendo que
, siendo un ángulo en posición normal. Marca
la afirmación correcta.
a) Si
donde es un número entero, entonces pertenece al tercer cuadrante.
b) Si
donde es un número entero, entonces pertenece al cuarto cuadrante.
c) Si
donde es un número entero, entonces pertenece al segundo
cuadrante.
d) Si
donde
es un número entero, entonces
pertenece al primer
cuadrante.
e) Si
donde es un número entero, entonces pertenece al tercer cuadrante.
811.
Si
y
son
ángulos
agudos
complementarios,
al
simplificar
, se obtiene:
a) √
b) √
c) √
d)
e)
Cursillo Pi
125
Ing. Raúl Martínez
812.
a)
Marca la expresión incorrecta.
b)
c) Si
, entonces
d)
e)
813.
Si
, el valor de
es:
a)
b)
c)
d)
e)
814.
Las soluciones de la ecuación
ubican en los cuadrantes:
a) Primero y segundo
b) Primero y tercero
c) Segundo y tercero
d) Segundo y cuarto
e) Primero, segundo, tercero y cuarto
son ángulos cuyos lados terminales se
815.
Si
es una solución de la ecuación
positivo que puede asumir , es:
a)
b)
c)
d)
e)
El menor valor
816.
Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden
y
respectivamente y
forman un ángulo de
. El mayor de las diagonales del paralelogramo mide:
a) √
√
b) √
√
c) √
√
d) √
√
e) √
Cursillo Pi
126
Ing. Raúl Martínez
817.
a)
En un triángulo
se sabe que
,
y
. El lado mide:
b) √
c) √
d) √
e) √
818.
En un triángulo escaleno
respectivamente
y
, los lados opuestos a los ángulos
.
Entonces
la
y miden
expresión
es equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
819.
En un triángulo
triángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
se sabe que
y
. El área del
√
√
√
√
√
820.
La anchura de una calle, que separa los edificios y , es de
. Desde la
azotea del edificio se observa la azotea del edificio elevando la vista
. Si la altura
del edificio excede a la altura del edificio en una cantidad igual a la mitad de la
altura de , la altura del edificio es:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
127
Ing. Raúl Martínez
821.
a)
b)
c)
d)
e)
Se sabe que tres ciudades
y , unidas por caminos rectos, forman un
triángulo donde
y
. María estaba en la ciudad y
viajó a la ciudad , pasando primero por . Si María hubiese tomado el camino que une
a las ciudades y , habría recorrido por kilómetros menos. El valor de es:
21
78
111
9
18
822.
El radio de la circunferencia (de centro ) de la figura es igual a
polígono
es igual, es
, a:
a)
b)
√
c)
d)
e)
√
√
√
823.
En el trapecio
,
y
a) 70°
, entonces el
𝐵
. El área del
mide:
𝐶
b) 85°
c) 90°
d) 95°
𝐷
𝐴
e) 105°
824.
De las siguientes afirmaciones:
I)
Existe un polígono convexo cuya suma de ángulos interiores es 1620°.
II)
Existe un polígono convexo donde cada ángulo exterior mide 14°.
III)
Existe un polígono convexo que tiene 209 diagonales.
Es o son falsas:
a) Sólo II y III
b) Sólo I y II
c) Sólo II
d) Sólo I
e) Sólo III
Cursillo Pi
128
Ing. Raúl Martínez
825.
En la figura se tiene un rectángulo
el segmento
, de manera que
con el segmento
, con
, y
está en
es el punto de intersección de la diagonal
. Entonces el segmento
a)
El punto
mide:
𝐸
𝐷
𝐶
b)
𝐹
c)
d) 9
𝐴
e) 1
826.
𝐵
Los vértices de un cuadrado son los puntos medios de los lados de un rombo de
diagonal
y . Entonces el área de dicho cuadrilátero es:
a)
b)
c)
d)
e)
827.
a) √
En la siguiente figura, el segmento
al segmento
, entonces el segmento
mide
y el segmento
mide en centímetros:
excede en
𝐴
b) √
𝐷
c) 5
d) 10
e) 1
𝐵
Cursillo Pi
𝐸
129
𝐶
Ing. Raúl Martínez
828.
En un triángulo
, los ángulos y
miden, respectivamente, 86° y 34°. El
ángulo agudo formado por la mediatriz relativa al lado
y por la bisectriz del ángulo
mide:
a)
rad.
b)
rad.
c)
rad.
d)
e)
829.
y
son dos ángulos tales que
del complemento de
, entonces
a)
rad.
es la quinta parte de
mide:
y éste es el suplemento
b)
c)
d)
e) N.d.a.
830.
a)
El área, en
, de un triángulo cuyos lados miden
,
y
es:
√
b)
c) √
d)
e) √
831.
Aumentando los lados de un rectángulo en 15 % y 20 % respectivamente, el área
del rectángulo queda aumentada en:
a)
b)
c)
d)
e)
35 %
30 %
3,5 %
3,8 %
38 %
Cursillo Pi
130
Ing. Raúl Martínez
832.
es:
F)
En el triángulo
, se verifica que
entonces el triángulo
Isósceles
𝑄
G)
Rectángulo isósceles
𝑦
H)
Equilátero
I)
Rectángulo
J)
Obtusángulo
𝑆
𝑥
𝑧
𝑇
833.
¿Entre qué número está comprendida la medida la medida de un ángulo tal que
un complemento mide menos de 50° 40’ y un suplemento mide más de 98° 15’?
F-)
G-)
H-)
I-)
J-)
834.
F-)
G-)
H-)
I-)
J-)
835.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
y
y
y
y
y
Teniendo en cuenta el dibujo, donde
y
el valor de
es:
√
√
𝑐
√
√
√
𝑏
𝑦
𝑥
𝑎
Dadas las siguientes proporciones:
Toda secante forma con dos paralelas ángulos conjugados internos iguales.
En un triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que
su suma.
La intersección de las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo,
a los puntos medios de los lados opuestos se llama ortocentro.
En un triángulo isósceles el incentro y el circuncentro están sobre una misma
recta.
Si dos ángulos son suplementarios, entonces son adyacentes.
Podemos afirmar que:
F-)
Todas son verdaderas.
G-) Solamente una es verdadera.
H-)
Ninguna es verdadera.
I-)
Solamente dos son verdaderas.
J-)
Todas menos una son verdaderas.
Cursillo Pi
131
Ing. Raúl Martínez
836.
Dada la serie de razones iguales:
los valores de
donde
entonces
son respectivamente:
F-)
G-)
H-)
I-)
J-)
837.
Dadas las siguientes proposiciones de congruencia
,
además, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ Entonces la proposición correcta sobre
triángulos congruentes es:
F-)
G-)
H-)
I-)
J-)
838.
De las afirmaciones siguientes:
I- Por dos puntos distintos pasan dos rectas distintas.
II- Existe un único plano que pasa por dos puntos distintos.
III- Si dos rectas y son paralelas coincidentes, entonces
.
IV- Dos rectas que se cortan en un solo punto son perpendiculares.
V- Si
es un punto que pertenece al plano , entonces infinitas rectas contenidas en
pasan por .
Son falsas:
a)
I , III
b)
II , III y IV
c)
I, IV
d)
II, III y V
e)
I, II y IV
Cursillo Pi
y V
y V
132
Ing. Raúl Martínez
839.
Dadas las siguientes proposiciones.
I- Un ángulo nulo tiene sus lados perpendiculares.
II- Los ángulos opuestos por el vértice pueden ser complementarios.
III- A todo segmento de recta que divide el ángulo en dos ángulos complementarios
congruentes se denomina bisectriz de un ángulo.
IV- Si dos rectas coincidentes y pertenecen a un plano
y son paralelas a un plano
, entonces y
son paralelas.
V- Todo triángulo equilátero es isósceles.
VI- La altura de un triángulo es el segmento determinado por un vértice y el punto medio
del lado opuesto.
Podemos afirmar:
a) Todas son verdaderas.
b) Solamente dos son verdaderas.
c) Todas menos un son verdaderos.
d) Solamente una es verdadera.
e) Solamente tres son verdaderas.
840.
a)
b)
c)
d)
e)
Teniendo en cuenta la figura y sabiendo que ̅̅̅̅
841.
Sea el triángulo
𝐷
𝐴
. Entonces
A) 90°
𝑥
̅̅̅̅ . Entonces:
̅̅̅̅
𝑦
𝐶
𝐵
y ̅̅̅̅ la bisectriz del ángulo
. Sabiendo que
es igual a:
B)
⁄
C)
D)
842.
Si el ortocentro es un punto del contorno del triángulo
triángulo es:
A) Equilátero
B) Acutángulo
C) Rectángulo
D) Obtusángulo
E) Equiángulo
Cursillo Pi
133
E) 45°
entonces dicho
Ing. Raúl Martínez
843.
En la figura el valor de
es:
A)
B)
𝛽
C)
D)
𝛼
E)
844.
En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberían dar las
dimensiones de triángulos. Si con las medidas dadas, era posible construir un triángulo,
el niño se ganaba puntos adicionales para su calificación. Las respuestas fueron:
Juan:
y
Luis:
y
Pedro:
y
Carlos:
y
Entonces; la maestra dio puntos adicionales a:
A) Pedro y Carlos
B) Pedro y Juan
C) Carlos y Juan
D) Juan y Luis
E) Pedro, Carlos y Luis
845.
A)
Al expresar el ángulo
B)
C)
en el sistema sexagesimal se obtiene:
D)
E)
846.
En la siguiente figura se sabe que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y el triángulo
𝐵
entonces el doble de
es:
A)
B)
𝑃 𝛽
𝑄
C)
𝛿
D)
𝛼
E)
𝐴
𝐶
𝑅
847.
En la siguiente figura
y
son perpendiculares; la recta pasa por el punto
de intersección de ellas. Entonces,
mide:
𝐿
A)
B)
C)
D)
E)
Cursillo Pi
es equilátero,
𝑝
𝐿
𝑎
𝑥
134
𝐿
Ing. Raúl Martínez
848.
¿Qué clase de triángulo es aquél cuyos dos ángulos exteriores correspondientes a
un vértice son suplementarios?
A) Isósceles
B) Obtusángulo
C) Rectángulo
D) Equilátero
E) Acutángulo
849.
En la siguiente figura,̅̅̅̅ es la bisectriz del
. Probar que ̅̅̅̅
, ̅̅̅̅ es la bisectriz del
y
̅̅̅̅
𝑄
𝐵
𝑃
𝛽
𝛼
𝐴
𝐷
𝐶
850.
De las opciones siguientes.
I- Si un triángulo tiene sus tres alturas iguales, entonces es equilátero.
II- Si un triángulo tiene la altura y la mediana correspondiente a un mismo vértice iguales,
entonces es isósceles.
III- Si dos alturas de un triángulo son perpendiculares, entonces éste es rectángulo.
Podemos decir que en ese mismo orden son:
A)
B)
C)
D)
E)
851.
Teniendo en cuenta la figura ¿Cuál es el segmento más corto?
𝐶
𝐷
𝑀
𝐵
𝐸
𝐴
Cursillo Pi
135
Ing. Raúl Martínez
852.
̅̅̅̅
a)
En un triángulo
; ̅̅̅̅
b)
se tiene que la recta
es paralela al lado ̅̅̅̅ y que
y ̅̅̅̅
. Entonces el segmento ̅̅̅̅ mide.
c)
d)
e)
853.
Trazando una recta paralela a la base de un triángulo, determina en uno de los
lados dos segmentos, uno de
y el otro de
. ¿Cuál es la longitud de los
segmentos determinados en el otro lado que mide en total
?
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
e)
y
854.
es:
a)
b)
En la figura ̅̅̅̅
√
√
c)
y ̅̅̅̅
𝑄
√
√
d)
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ entonces la medida de
𝑇
𝑃
𝑅
⁄
e)
855.
En la figura de abajo se indica un rectángulo
y los puntos
y , donde
es el punto medio del lado ̅̅̅̅ y
es la intersección de los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅.
̅̅̅̅
Sabiendo que ̅̅̅̅
y ̅̅̅̅
, la medida del segmento
̅̅̅̅ es:
𝐵
a)
b)
c)
d)
e)
𝐶
𝐹
𝐴
856.
Si
̅̅̅̅
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
𝐸
𝐷
𝑀
̅̅̅̅
̅̅̅̅
,
entonces
es:
𝐷
𝐸
𝐴
𝐵
136
𝐶
Ing. Raúl Martínez
857.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
En el gráfico siguiente
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
, entonces 𝑀
a)
b)
c)
d)
e)
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ mide:
𝑃
𝐴
𝐾
858.
En la figura ̅̅̅̅
a)
y
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑇
̅̅̅̅ y
. Entonces
𝐶
son escalenos
𝐸
𝐹
b)
y
son congruentes
c)
y
son equiláteros
d)
y
son congruentes
859.
𝐴
𝐷
𝐵
Un poste de teléfono de una sombra de
, al mismo tiempo un operario de
de alto de una sombra de
, entonces la altura del poste es:
a)
b)
c)
d)
e)
860.
Teniendo en cuenta el siguiente gráfico ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ miden respectivamente:
a) √ y √
b) √ y √
𝐴
√
𝐶
c) √ y
d)
y
e)
y
𝐵
𝐷
861.
de
a)
En la siguiente figura, el doble de la suma de los cuadrados de
y es:
𝑅
b)
𝑏
c)
e)
Cursillo Pi
, en función
𝑎
𝑚
d)
𝐴
y
𝑀
𝑄
𝑐
137
Ing. Raúl Martínez
862.
a)
¿Para cuáles de los siguientes conjuntos de longitudes será ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ?
𝐶
𝐺
b)
c)
𝐴
d)
𝐹
𝐵
863.
En la figura,
es un cuadrado de lado 12; ̅̅̅̅ mide 5 y
Además ̅̅̅̅̅ es perpendicular a ̅̅̅̅. Entonces la longitud de ̅̅̅̅ es:
𝑄
𝑃
a)
̅̅̅̅̅ mide 4.
b)
𝑁
𝑥
c)
𝑀
d)
𝑆
𝑇
𝑅
e)
864.
Dadas las siguientes proposiciones:
I- Dos triángulos son congruentes, si los tres ángulos de un triángulo son congruentes con
los tres ángulos del otro.
II- Si
, entonces
III- Dos triángulos son congruentes, si dos lados y un ángulo de uno son congruentes con
dos lados y un ángulo del otro.
Podemos afirmar en ese mismo orden:
a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi
138
Ing. Raúl Martínez
865.
De las siguientes afirmaciones:
I- Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes
II- La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es cuarta
proporcional entre la hipotenusa y los catetos.
III- En un triángulo las alturas son inversamente proporcionales a los lados adyacentes
IV- Dos triángulos son congruentes si sus lados son proporcionales de razón uno
V- Si se tiene dos cantidades
y
; además se cumple
entonces
se denomina
cuarta proporcional.
Podemos afirmar:
a) Solamente dos son falsas
b) Solamente tres son falsas
c) Todas son falsas
d) Solamente un es falsa
e) Todas menos una son falsas
Cursillo Pi
139
Ing. Raúl Martínez
Cursillo Pi
140
Ing. Raúl Martínez