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3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad.
*Lanzamiento de un dado equilibrado:
“Probabilidad de que salga un cinco=1/6=0.1666666......”
n= número de lanzamientos (independientes)
N(n)= veces que sale el 5
p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n
n
10
100
1000
10000
100000
N(n)
3
15
167
1665
16661
p(n)
0.30
0.15
0.167
0.1665
0.16661
Para n tendiendo a infinito, p(n) se aproxima a 1/6.
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NOTA:Este es el significado de la PROBABILIDAD pero como definición no es consistente por
ser experimental y depender de una infinidad de intentos, lo cual no es realizable).
Un experimento aleatorio es aquel que por su complejidad y
variabilidad no aspiraremos a predecir “caso por caso”, sino solamente en
frecuencias.
Dado un experimento aleatorio,
= conjunto de todos los resultados posibles.
Ejemplo: en el lanzamiento del dado,
 ={1,2,3,4,5,6}
Para cada resultado posible  , su probabilidad, p() representa la
frecuencia con que ocurre el resultado  en un gran número de intentos
independientes.
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Un suceso o evento A es un subconjunto de .
Ejemplo: en el lanzamiento del dado,
A= “sale un resultado par”= {2,4,6}.
Representación conjuntista:
Si A y B son sucesos
“Ocurren A y B” = A  B
“Ocurre A o (incluyente) B” = A B
“No ocurre A” = Ac
“Ocurre algo”(suceso cierto) = 
“No ocurre nada” (suceso imposible) = Ø
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Si  es finito y A un suceso, la probabilidad de A es
P(A)= A p()
Algunas propiedades de la Probabilidad:
1) P( )=1
2) P(AB)=P(A)+P(B) si A y B incompatibles (AB = Ø)
3)
P(Ac)=1-P(A)
4)
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
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¿Qué es la inferencia estadística, qué tiene que ver
con las probabilidades?
Ejemplo (de alto contenido dramático):
En un depósito sucio, bastión de la Ciudad Vieja..........
n= número de lanzamientos (independientes)
N(n)= veces que sale el 5
p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n
n
10
100
1000
10000
100000
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N(n)
1
23
258
2497
25006
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p(n)
0.10
0.23
0.258
0.2497
0.25006
5
Mmmmmm…….
No parece sensato suponer la hipótesis
H0: p(5)=1/6 (del modelo equiprobable)
Conclusión: Rajemos!!!
ESTE FUE UN PRIMER EJEMPLO DE INFERENCIA ESTADISTICA
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Inferencia Estadística: cómo funca?????
Modelo
Estadística
Cálculo de
Probabilidades
Datos empíricos
Predicciones
(Frecuencias)
KOLMOGOROV: ¿COMO HACER TEORIA, CALCULO Y
COMPARACIONES TOTALMENTE RIGUROSOS?
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Axiomática de Kolmogorov y Continuidad de la Probabilidad
Hoja de ruta.
1. Algebras de Boole y Sigma-álgebras.
2. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas
3. Axiomática de Kolmogorov (AK). Propiedades básicas y
comparación con AF.
4. Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK)
5. Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF
6. Explicación del término “Continuidad” en el TCP
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1. Algebras de Boole y Sigma-álgebras.
En un conjunto  cualquiera, una
familia A de subconjuntos de  se dice
un ALGEBRA DE BOOLE en  si
cumple que:
a)   A
b) Si B  A, entonces Bc  A
c) Si B  A y C  A , entonces BC  A
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Ejemplos:
 Hay dos ejemplos triviales, que son el álgebra más grande
P( )={ todos los subconjuntos de }
( llamado “conjunto de partes de ”, o “conjunto potencia de ”)
y el algebra más chica
T( )={ , Ø}
 Un ejemplo no trivial:
= Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito}
(Para comprobarlo, recordar De Morgan (B  C) c = Bc  Cc )
 Otro ejemplo no trivial:
= Números reales A ={ B: B es numerable o Bc es numerable}
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En un conjunto  cualquiera, una familia A de subconjuntos
de  se dice una ALGEBRA (SIGMA ALGEBRA ) en  si
cumple que:
a)   A
b) Si B  A, entonces Bc  A
c) Si para todo n natural Bn  A, entonces

{n 
N} Bn
A
 De a) y b) resulta que Ø  A
 De la observación anterior aplicada a c)resulta que:
TODA SIGMA ALGEBRA ES UN ALGEBRA DE
BOOLE
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Un ejemplo de un ALGEBRA DE BOOLE
que NO ES una SIGMA ALGEBRA.
= Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es
finito}
Ya vimos que es álgebra de Boole.
Si Bn={2n} para todo natural n, la unión de todos los
Bn nos da el conjunto de los pares, que no es finito, y cuyo
complemento, los impares, tampoco lo es, por lo cual no
pertenece a la clase A.
Por ende la clase A NO ES UNA SIGMA ALGEBRA
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2. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas
Una PROBABILIDAD FINITA ( o PROBABILIDAD
SEGUN LA AXIOMATICA FINITA) en  es una
función con dominio en A álgebra de Boole en  que
cumple los siguientes axiomas
AF1) P(B) ≥ 0 para todo B  A
AF2) P( )=1
AF3) P(AB)=P(A)+P(B) si A , B  A y son
incompatibles (AB = Ø)
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Ejemplos.
1) Si  es el conjunto de los naturales y pn es una sucesión
de números no-negativos cuya serie converge a 1, A es el conjunto de
partes de  para todo B contenido en  se define
P(B)=∑ {n  B} pn, entonces P cumple AF.
2) Si = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} y se
define P(B)=0 si B es finito y P(B)=1 si Bc es finito entonces AF1)
y AF2) son obvias. Para AF3) observar que si B y C pertenecen a
A y son incompatibles, entonces no puede ser cierto a la vez que
Bc es finito y que Cc es finito , pues la incompatibilidad y De
Morgan implican que Bc  Cc = . Podemos suponer sin pérdida
de generalidad que B es finito. AF3) se verifica discutiendo si C
es finito o de complemento finito.
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Propiedades básicas.
1) P(Bc )= 1- P(B) (aplicar AF3)
2) P(Ø )=0 (AF2 y punto anterior)
3) Si B,C son elementos de A y B  C y definimos C-B= C Bc
entonces P(C-B)=P(C)-P(B) y por ende P(B)≤ P(C)
(Poner C=B [C Bc ] , aplicar AF1 y AF3)
4) ) Fórmula de Inclusión-Exclusión. Si B,C son elementos de A
entonces:
P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC)
(Poner: C=[CB] [C Bc ], BC=B [C Bc ] y usar AF3)
5) Si n natural y B1,….,Bn son elementos de A que son incompatibles
(la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía) entonces
P(

{1≤i≤n} Bi )= ∑ {1≤i≤n} P(Bi ) (AF3 e inducción completa en n)
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3. Axiomática de Kolmogorov (AK).
Propiedades básicas
Una PROBABILIDAD ( o PROBABILIDAD SEGUN LA
AXIOMATICA DE KOLMOGOROV) en  es una
función con dominio en A SIGMA-ALGEBRA en  que
cumple los siguientes axiomas:
AK1) P(B) ≥ 0 para todo B  A
AK2) P( )=1
AK3) Si para todo n natural Bn  A y la intersección de dos
cualquiera de ellos es vacía) entonces
P(

{n  N} Bn )= ∑ {n  N} P(Bn ) (esto implica la convergencia
de la serie a la derecha)
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Propiedades básicas.
1) P(Ø )=0 (poner Bn=Ø para todo n en AK3, son incompatibles y la
serie divergería si no fuera P(Ø )=0 )
2) AK Implica AF: una sigma-álgebra es álgebra de Boole, AK1 y
AK2 coinciden con AF1 y AF2 y para probar AF3, usar AK3 con
B1=B, B2=C y Bn=Ø para todo n ≥ 3 y aplicar el punto anterior.
Se aplican entonces las propiedades básicas vistas en el slide 8 a las
Probabilidades según Kolmogorov, y cada vez que digamos
“Probabilidad” nos referiremos a la axiomática de Kolmogorov.
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Como no toda álgebra de Boole es sigma-álgebra, una probabilidad
según AF no tiene por qué serlo según AK, pero es razonable
ahondar en la diferencias entre ambos axiomáticas y preguntarse:
¿ Qué tan diferentes son AF y AK? ¿ No será que,
por ejemplo, AF3) y AK3) son en realidad la
misma propiedad?
La lectura apresurada de 5) del slide 8 a veces nos hace
responder “SI” a la segunda pregunta, por ejemplo,
PERO LA RESPUESTA CORRECTA ES “NO”.
DAREMOS DOS EJEMPLOS MOSTRANDO
CUAN DIFERENTES SON AF Y AK.
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Primero:Ejemplo de P que no cumple AF en una álgebra A, aunque cumple AF en un álgebra de Boole
A* más pequeña que A (“Cuanto más grande el
dominio, más cuesta conservar una determinada
propiedad”)
Observaremos además que P no cumple AK ni
siquiera en A*.
Ergo, AK3) y AF3) NO son lo mismo: AK3)es
más exigente que AF3)
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Sean = N, A* ={ B: B es finito o Bc es finito}.
Como ya vimos en el slide 5 , A* es álgebra de Boole
y no -álgebra.
Dejamos como ejercicio verificar que la menor álgebra A que contiene a A* (lo que se llama “álgebra generada por A* ”) es el conjunto partes de
N, A=P( N).
Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro
caso.
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Como vimos en el slide 7, sobre A* , P cumple AF.
Pero no en A: consideremos B el conjunto de los pares y C el de los
impares, que son incompatibles. Como Bc es C, que es infinito, y
viceversa, P(B)=P(C)=0. Si P cumpliera AF en A entonces:
1=P(N)=P(BC)=P(B)+P(C)=0+0=0, lo cual es ABSURDO.
Para todo n natural tomemos Bn={n}, que son elementos de A* ,

incompatibles entre sí. Observando que N=
elemento de A* , y que 1=P(N)=P(

{n  N} Bn, que es un
{n  N} Bn), mientras que
∑ {n  N} P(Bn ) =0, ya que P(Bn ) =0 para todo n, se concluye que P
no cumple AK3) ni siquiera en A* .
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Segundo: Ejemplo de P que verifica AF en una -álgebra
pero que no verifica AK.
Consideremos =[0,1 ], A=P( ).
El gran matemático polaco S. Banach construyó una P definida en la
-álgebra A que es muy “natural” como modelo de sorteo al azar
pues a un intervalo le asigna como probabilidad su longitud.
Banach mostró que dicha P CUMPLE AF pero NO CUMPLE AK.
¡Asi que la “longitud” es el ejemplo en que AK no vale y AF si!
Naturalmente, la definición rigurosa de la “longitud” para un
conjunto arbitrario asi como la verificacion de que vale AF y no AK,
la referimos a libro como el de R.M. Dudley o P. Halmos (ver texto)
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Break: ARIEL ROCHE LOWCZY
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4.Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK)
Si P una Probabilidad (por última vez remarcamos que en el sentido
AK) en  definida sobre la -álgebra A y Bn es un elemento de A
para todo n natural, entonces:
a) Si Bn Bn+1 para todo n natural, entonces
P(

{n  N} Bn)= lim n P(Bn).
b) Si Bn+1  Bn para todo n natural, entonces
P(

{n  N} Bn)= lim n P(Bn).
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Esquema de la prueba:
a)Tomar C1= B1 y Cn= Bn – Bn-1 para todo n natural de 2
en adelante (anillos). Estos conjuntos son incompatibles,
su unión es igual a la de los B´s y usando la propiedad 3) del slide 8
resulta que la serie de sus probabilidades es telescópica.
b) Se reduce al caso anterior tomando complemento.
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5.Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF
• Sean = N, A*={ B: B es finito o Bc es finito}.
Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso.
Ya vimos que P cumple AF.
Si Bn={0,1,…,n}, tenemos una sucesión creciente de sucesos,
con P(Bn)=0, por lo que su límite es 0, mientras que

{n  N}
Bn=N y P(N)=1.
• El ejemplo de Banach de “longitud” aporta un caso de AF en
una -álgebra, y donde no vale TCP.
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De hecho puede probarse el siguiente teorema:
Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces
cumple AK si y sólo si cumple el teorema de
continuidad.
O incluso el siguiente teorema, aún más elocuente:
Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces
cumple AK si y sólo si es “continua en el vacío”
( esto es, para toda sucesión decreciente de
sucesos cuya intersección es Ø, el límite de las P
de los sucesos es 0).
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6. Explicación del término “Continuidad” en el TCP
Inspirados en la definición de lim sup y lim inf para sucesiones reales
y de lim cuando lim inf = lim sup ( siempre se tiene que lim inf ≤ lim
sup) se definen el lim inf y el lim sup de sucesiones de conjuntos y el
lim inf siempre está contenido en el lim sup. Cuando el lim inf y el
lim sup coinciden se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite.
Si Bn es una sucesión cualquiera de conjuntos, el TCP permite
probar que:
P( lim inf Bn ) ≤lim inf P(Bn ) (llamado a menudo “Lema de Fatou”)
P( lim sup Bn ) ≥lim sup P(Bn )
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Si existe lim Bn se concluye que existe lim P(Bn ) y que
P(lim Bn )= lim P(Bn )
Como la propiedad que caracteriza la continuidad de una
función en términos de sucesiones es “la intercambiabilidad”
de la aplicación de la función y el pasaje al límite, el resultado
anterior indica que la
Probabilidad, como función
definida sobre los conjuntos, es una función
continua (gracias a Kolmogorov).
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