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3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad. *Lanzamiento de un dado equilibrado: “Probabilidad de que salga un cinco=1/6=0.1666666......” n= número de lanzamientos (independientes) N(n)= veces que sale el 5 p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n n 10 100 1000 10000 100000 N(n) 3 15 167 1665 16661 p(n) 0.30 0.15 0.167 0.1665 0.16661 Para n tendiendo a infinito, p(n) se aproxima a 1/6. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 1 NOTA:Este es el significado de la PROBABILIDAD pero como definición no es consistente por ser experimental y depender de una infinidad de intentos, lo cual no es realizable). Un experimento aleatorio es aquel que por su complejidad y variabilidad no aspiraremos a predecir “caso por caso”, sino solamente en frecuencias. Dado un experimento aleatorio, = conjunto de todos los resultados posibles. Ejemplo: en el lanzamiento del dado, ={1,2,3,4,5,6} Para cada resultado posible , su probabilidad, p() representa la frecuencia con que ocurre el resultado en un gran número de intentos independientes. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 2 Un suceso o evento A es un subconjunto de . Ejemplo: en el lanzamiento del dado, A= “sale un resultado par”= {2,4,6}. Representación conjuntista: Si A y B son sucesos “Ocurren A y B” = A B “Ocurre A o (incluyente) B” = A B “No ocurre A” = Ac “Ocurre algo”(suceso cierto) = “No ocurre nada” (suceso imposible) = Ø P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 3 Si es finito y A un suceso, la probabilidad de A es P(A)= A p() Algunas propiedades de la Probabilidad: 1) P( )=1 2) P(AB)=P(A)+P(B) si A y B incompatibles (AB = Ø) 3) P(Ac)=1-P(A) 4) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 4 ¿Qué es la inferencia estadística, qué tiene que ver con las probabilidades? Ejemplo (de alto contenido dramático): En un depósito sucio, bastión de la Ciudad Vieja.......... n= número de lanzamientos (independientes) N(n)= veces que sale el 5 p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n n 10 100 1000 10000 100000 P y E 2014 Clase 2 N(n) 1 23 258 2497 25006 Gonzalo Perera p(n) 0.10 0.23 0.258 0.2497 0.25006 5 Mmmmmm……. No parece sensato suponer la hipótesis H0: p(5)=1/6 (del modelo equiprobable) Conclusión: Rajemos!!! ESTE FUE UN PRIMER EJEMPLO DE INFERENCIA ESTADISTICA P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 6 Inferencia Estadística: cómo funca????? Modelo Estadística Cálculo de Probabilidades Datos empíricos Predicciones (Frecuencias) KOLMOGOROV: ¿COMO HACER TEORIA, CALCULO Y COMPARACIONES TOTALMENTE RIGUROSOS? P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 7 Axiomática de Kolmogorov y Continuidad de la Probabilidad Hoja de ruta. 1. Algebras de Boole y Sigma-álgebras. 2. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas 3. Axiomática de Kolmogorov (AK). Propiedades básicas y comparación con AF. 4. Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK) 5. Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF 6. Explicación del término “Continuidad” en el TCP P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 8 1. Algebras de Boole y Sigma-álgebras. En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice un ALGEBRA DE BOOLE en si cumple que: a) A b) Si B A, entonces Bc A c) Si B A y C A , entonces BC A P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 9 Ejemplos: Hay dos ejemplos triviales, que son el álgebra más grande P( )={ todos los subconjuntos de } ( llamado “conjunto de partes de ”, o “conjunto potencia de ”) y el algebra más chica T( )={ , Ø} Un ejemplo no trivial: = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} (Para comprobarlo, recordar De Morgan (B C) c = Bc Cc ) Otro ejemplo no trivial: = Números reales A ={ B: B es numerable o Bc es numerable} P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 10 En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice una ALGEBRA (SIGMA ALGEBRA ) en si cumple que: a) A b) Si B A, entonces Bc A c) Si para todo n natural Bn A, entonces {n N} Bn A De a) y b) resulta que Ø A De la observación anterior aplicada a c)resulta que: TODA SIGMA ALGEBRA ES UN ALGEBRA DE BOOLE P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 11 Un ejemplo de un ALGEBRA DE BOOLE que NO ES una SIGMA ALGEBRA. = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} Ya vimos que es álgebra de Boole. Si Bn={2n} para todo natural n, la unión de todos los Bn nos da el conjunto de los pares, que no es finito, y cuyo complemento, los impares, tampoco lo es, por lo cual no pertenece a la clase A. Por ende la clase A NO ES UNA SIGMA ALGEBRA P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 12 2. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas Una PROBABILIDAD FINITA ( o PROBABILIDAD SEGUN LA AXIOMATICA FINITA) en es una función con dominio en A álgebra de Boole en que cumple los siguientes axiomas AF1) P(B) ≥ 0 para todo B A AF2) P( )=1 AF3) P(AB)=P(A)+P(B) si A , B A y son incompatibles (AB = Ø) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 13 Ejemplos. 1) Si es el conjunto de los naturales y pn es una sucesión de números no-negativos cuya serie converge a 1, A es el conjunto de partes de para todo B contenido en se define P(B)=∑ {n B} pn, entonces P cumple AF. 2) Si = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} y se define P(B)=0 si B es finito y P(B)=1 si Bc es finito entonces AF1) y AF2) son obvias. Para AF3) observar que si B y C pertenecen a A y son incompatibles, entonces no puede ser cierto a la vez que Bc es finito y que Cc es finito , pues la incompatibilidad y De Morgan implican que Bc Cc = . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que B es finito. AF3) se verifica discutiendo si C es finito o de complemento finito. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 14 Propiedades básicas. 1) P(Bc )= 1- P(B) (aplicar AF3) 2) P(Ø )=0 (AF2 y punto anterior) 3) Si B,C son elementos de A y B C y definimos C-B= C Bc entonces P(C-B)=P(C)-P(B) y por ende P(B)≤ P(C) (Poner C=B [C Bc ] , aplicar AF1 y AF3) 4) ) Fórmula de Inclusión-Exclusión. Si B,C son elementos de A entonces: P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC) (Poner: C=[CB] [C Bc ], BC=B [C Bc ] y usar AF3) 5) Si n natural y B1,….,Bn son elementos de A que son incompatibles (la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía) entonces P( {1≤i≤n} Bi )= ∑ {1≤i≤n} P(Bi ) (AF3 e inducción completa en n) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 15 3. Axiomática de Kolmogorov (AK). Propiedades básicas Una PROBABILIDAD ( o PROBABILIDAD SEGUN LA AXIOMATICA DE KOLMOGOROV) en es una función con dominio en A SIGMA-ALGEBRA en que cumple los siguientes axiomas: AK1) P(B) ≥ 0 para todo B A AK2) P( )=1 AK3) Si para todo n natural Bn A y la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía) entonces P( {n N} Bn )= ∑ {n N} P(Bn ) (esto implica la convergencia de la serie a la derecha) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 16 Propiedades básicas. 1) P(Ø )=0 (poner Bn=Ø para todo n en AK3, son incompatibles y la serie divergería si no fuera P(Ø )=0 ) 2) AK Implica AF: una sigma-álgebra es álgebra de Boole, AK1 y AK2 coinciden con AF1 y AF2 y para probar AF3, usar AK3 con B1=B, B2=C y Bn=Ø para todo n ≥ 3 y aplicar el punto anterior. Se aplican entonces las propiedades básicas vistas en el slide 8 a las Probabilidades según Kolmogorov, y cada vez que digamos “Probabilidad” nos referiremos a la axiomática de Kolmogorov. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 17 Como no toda álgebra de Boole es sigma-álgebra, una probabilidad según AF no tiene por qué serlo según AK, pero es razonable ahondar en la diferencias entre ambos axiomáticas y preguntarse: ¿ Qué tan diferentes son AF y AK? ¿ No será que, por ejemplo, AF3) y AK3) son en realidad la misma propiedad? La lectura apresurada de 5) del slide 8 a veces nos hace responder “SI” a la segunda pregunta, por ejemplo, PERO LA RESPUESTA CORRECTA ES “NO”. DAREMOS DOS EJEMPLOS MOSTRANDO CUAN DIFERENTES SON AF Y AK. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 18 Primero:Ejemplo de P que no cumple AF en una álgebra A, aunque cumple AF en un álgebra de Boole A* más pequeña que A (“Cuanto más grande el dominio, más cuesta conservar una determinada propiedad”) Observaremos además que P no cumple AK ni siquiera en A*. Ergo, AK3) y AF3) NO son lo mismo: AK3)es más exigente que AF3) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 19 Sean = N, A* ={ B: B es finito o Bc es finito}. Como ya vimos en el slide 5 , A* es álgebra de Boole y no -álgebra. Dejamos como ejercicio verificar que la menor álgebra A que contiene a A* (lo que se llama “álgebra generada por A* ”) es el conjunto partes de N, A=P( N). Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 20 Como vimos en el slide 7, sobre A* , P cumple AF. Pero no en A: consideremos B el conjunto de los pares y C el de los impares, que son incompatibles. Como Bc es C, que es infinito, y viceversa, P(B)=P(C)=0. Si P cumpliera AF en A entonces: 1=P(N)=P(BC)=P(B)+P(C)=0+0=0, lo cual es ABSURDO. Para todo n natural tomemos Bn={n}, que son elementos de A* , incompatibles entre sí. Observando que N= elemento de A* , y que 1=P(N)=P( {n N} Bn, que es un {n N} Bn), mientras que ∑ {n N} P(Bn ) =0, ya que P(Bn ) =0 para todo n, se concluye que P no cumple AK3) ni siquiera en A* . P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 21 Segundo: Ejemplo de P que verifica AF en una -álgebra pero que no verifica AK. Consideremos =[0,1 ], A=P( ). El gran matemático polaco S. Banach construyó una P definida en la -álgebra A que es muy “natural” como modelo de sorteo al azar pues a un intervalo le asigna como probabilidad su longitud. Banach mostró que dicha P CUMPLE AF pero NO CUMPLE AK. ¡Asi que la “longitud” es el ejemplo en que AK no vale y AF si! Naturalmente, la definición rigurosa de la “longitud” para un conjunto arbitrario asi como la verificacion de que vale AF y no AK, la referimos a libro como el de R.M. Dudley o P. Halmos (ver texto) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 22 Break: ARIEL ROCHE LOWCZY P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 23 4.Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK) Si P una Probabilidad (por última vez remarcamos que en el sentido AK) en definida sobre la -álgebra A y Bn es un elemento de A para todo n natural, entonces: a) Si Bn Bn+1 para todo n natural, entonces P( {n N} Bn)= lim n P(Bn). b) Si Bn+1 Bn para todo n natural, entonces P( {n N} Bn)= lim n P(Bn). P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 24 Esquema de la prueba: a)Tomar C1= B1 y Cn= Bn – Bn-1 para todo n natural de 2 en adelante (anillos). Estos conjuntos son incompatibles, su unión es igual a la de los B´s y usando la propiedad 3) del slide 8 resulta que la serie de sus probabilidades es telescópica. b) Se reduce al caso anterior tomando complemento. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 25 5.Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF • Sean = N, A*={ B: B es finito o Bc es finito}. Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso. Ya vimos que P cumple AF. Si Bn={0,1,…,n}, tenemos una sucesión creciente de sucesos, con P(Bn)=0, por lo que su límite es 0, mientras que {n N} Bn=N y P(N)=1. • El ejemplo de Banach de “longitud” aporta un caso de AF en una -álgebra, y donde no vale TCP. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 26 De hecho puede probarse el siguiente teorema: Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si cumple el teorema de continuidad. O incluso el siguiente teorema, aún más elocuente: Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si es “continua en el vacío” ( esto es, para toda sucesión decreciente de sucesos cuya intersección es Ø, el límite de las P de los sucesos es 0). P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 27 6. Explicación del término “Continuidad” en el TCP Inspirados en la definición de lim sup y lim inf para sucesiones reales y de lim cuando lim inf = lim sup ( siempre se tiene que lim inf ≤ lim sup) se definen el lim inf y el lim sup de sucesiones de conjuntos y el lim inf siempre está contenido en el lim sup. Cuando el lim inf y el lim sup coinciden se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite. Si Bn es una sucesión cualquiera de conjuntos, el TCP permite probar que: P( lim inf Bn ) ≤lim inf P(Bn ) (llamado a menudo “Lema de Fatou”) P( lim sup Bn ) ≥lim sup P(Bn ) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 28 Si existe lim Bn se concluye que existe lim P(Bn ) y que P(lim Bn )= lim P(Bn ) Como la propiedad que caracteriza la continuidad de una función en términos de sucesiones es “la intercambiabilidad” de la aplicación de la función y el pasaje al límite, el resultado anterior indica que la Probabilidad, como función definida sobre los conjuntos, es una función continua (gracias a Kolmogorov). P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 29