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INFORMÁTICA TEÓRICA
•Andrés Moreira
[email protected]
Informática teórica
Bibliografía:
•John Hopcroft et al., Introduction to Automata
Theory, Languages and Computation [2ª ed, 2001]
y 1ª ed español
•Michael Sipser, Introduction to the Theory of
Computation [2ª ed, 2006]
 pdfs disponibles
Informática Teórica
AKA: “TALF”
 Teoría de Autómatas
y Lenguajes Formales
“No hay nada más práctico
que una buena teoría”
(K. Lewin)
 Teoría de Autómatas
y Lenguajes Formales
Máquinas
(formales)
Información
(digital)
Temario
0. Repaso lógica, conjuntos, relaciones
1. Strings, lenguajes, operaciones entre lenguajes
2. Lenguajes regulares, autómatas finitos
3. Expresiones regulares (“REGEXP”), aplicaciones,
autómatas deterministas y no-deterministas
4. Minimización de AF
5. Gramáticas formales, jerarquía de Chomsky
6. Lenguajes de libre contexto, autómatas de pila
7. Aplicaciones
Repaso
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Inducción
4. Relaciones
5. Clases de equivalencia
6. Refinamientos y cerradura transitiva
7. Cardinales
Repaso (recordatorio) de algunas cosas
Lógica.
•Expresiones verdaderas o falsas (V,F)
•Sus valores de verdad se combinan de acuerdo a
ciertas operaciones.
•El resultado de las operaciones podemos
representarlo mediante tablas de verdad.
•También las tablas pueden servir para demostrar
identidades simples.
NOTA: En inf. se suele usar 1 y 0 en lugar de V y F
Lógica
Operaciones elementales:
x
y
xy
x
y
xy
x
x
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Disjunción, “o”
Conjunción, “y”
Negación
Lógica
Algunas propiedades básicas:
•Asociatividad:
(xy)z = x(yz)
,
(xy)z = x(yz)
•Distributividad:
x(yz) = (xy)(xz)
,
x(yz) = (xy)(xz)
•Leyes de Morgan:
(xy) = (x  y)
,
(xy)= x  y
Lógica
Una expresión importante: PQ. La idea es que no se dé
el caso en que P es cierto, pero Q es falso.
Es decir, se quiere la negación de PQ.
Por ley de Morgan, se quiere PQ.
La equivalencia (PQ) se define mediante (PQ 
QP). Uno esperaría que PQ signifique que P y Q valen
lo mismo. En efecto,
PQ QP PQ
P
Q
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
Lógica
A partir de una expresión de implicancia PQ
aparecen otras expresiones relacionadas:
•La recíproca: QP
•La contraria: P Q
•La contrarrecíproca: Q P
La recíproca y la contraria son equivalentes entre sí,
mientras que la contrarrecíproca es equivalente a la
expresión original.
Por eso a veces se demuestra Q P, cuando lo
que uno quiere demostrar es PQ.
Lógica
Otra estrategia frecuente es la reducción al
absurdo : uno supone que la conclusión es falsa, y
llega a una contradicción.
Es decir, suponemos que P es cierto y que Q es
falso (es decir, que Q es cierto) y llegamos a
algo falso: PQ = 0, que por ley de Morgan
significa que PQ = 1, o sea, PQ.
Notemos también que si PQ y QR, entonces
PR (ejercicio).
Una consecuencia es que cuando uno quiere
demostrar, por ejemplo, PQRS, basta con
demostrar PQRSP.
Repaso
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Inducción
4. Relaciones
5. Clases de equivalencia
6. Refinamientos y cerradura transitiva
7. Cardinales
Conjuntos
Conjuntos: informalmente, una colección bien definida
de objetos.
“Bien definida”  definición sin ambigüedad
¿“Colección”? ¿”Objetos”?
En principio uno tendería a decir que toda propiedad P
define un conjunto: “sean todos los x tales que P(x) es
cierto”, o bien “sean todos los x tales que P(x) es
falso”.
Conjuntos
Por ejemplo, P(x)=“x es un número primo”.
Entonces el conjunto R(P) será el conjunto de todos los
números naturales primos.
¿Pero cuál sería el conjunto de los x que no cumplen P?
•¿Los naturales, salvo los primos?
•¿Los reales, salvo los primos?
•Para tener un punto de referencia, se suele trabajar
dentro de un conjunto, el “universo” o “conjunto
universal” U. También evita paradojas.
Conjuntos
•Se define el complemento con respecto a ese U:
AC = {xU: xA}
•Todo conjunto admite el subconjunto vacío, . El
conjunto vacío es único.
•El conjunto potencia de un conjunto A, es el conjunto
P(A) formado por todos sus subconjuntos.
•Si |A|=n, entonces |P(A)|=2n
•Si A  B, entonces P(A)  P(B).
Conjuntos
Inclusión de la intersección:
ABAyABB
Inclusión en la unión:
AAByBAB
Transitividad de la inclusión:
(A  B  B  C)  A  C
Conjuntos vs Lógica:
xXYxXyY
xXYxXyY
x  X\Y  x  X  y  Y
x  Xc  x  X
Conjuntos
Conmutatividad:
AB=AB
y
AB=BA
Asociatividad:
(A  B)  C = A  (B  C) y
(A  B)  C = A  (B  C)
Distributividad:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) y
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Conjuntos
Intersección y unión con conjunto universal:
AU=A y AU=U
Doble complemento:
(Ac)c = A
Idempotencia:
AA=A y AA=A
De Morgan:
(A  B)c = Ac  Bc y (A  B)c = Ac  Bc
Absorción:
A  (A  B) = A y A  (A  B) = A
Conjuntos
Sean A, B subconjuntos de U. Entonces las
afirmaciones siguientes son equivalentes:
a)
b)
c)
d)
AB
AB=B
AB=A
BCAC
U
Demostración: ejercicio. Aplicar eso de
demostrar a  b  c  d  a.
Diferencia simétrica: A  B=A\B  B\A
Ejercicio: demostrar que es asociativa.
B
A
Conjuntos disjuntos
Un par de conjuntos se dicen disjuntos si su
intersección es vacía (no tienen elementos en común).
•Nótese que A\B y B son siempre disjuntos.
Una colección {A1,…Ak} se dice mutuamente disjunta si
cualquier par de conjuntos de la colección es disjunto.
Conjuntos
Una colección de conjuntos no vacíos {A1,…Ak} es una
partición del conjunto A si se cumple
(1) {A1,…Ak} es mutuamente disjunta
(2) A es igual a la unión de todos los Ai
Si sólo se cumple lo
segundo, decimos que es un
recubrimiento de A.
Repaso
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Inducción
4. Relaciones
5. Clases de equivalencia
6. Refinamientos y cerradura transitiva
7. Cardinales
Inducción
Recordar el principio de inducción:
Se usa para demostrar que una proposición P que
depende de un número natural “n”, es decir, P(n), es
cierta para todo “n” por sobre algún umbral n0.
Lo que se hace es demostrar:
•Caso base: P(n0) es cierta
•Paso inductivo: Si P(n) es cierta para n ≥ n0,
entonces P(n+1) también es cierta
Inducción
Nota:
En una variante, que a veces se llama inducción
“fuerte”, el paso inductivo demuestra que si P(k) es
cierta para todo n0 ≤ k ≤ n, entonces lo es para n+1.
Es decir, no se usa sólo el caso anterior, sino todos los
anteriores.
Inducción
Un ejemplo clásico:
n(n  1)
i

2
i 1
n
Caso base:
n  1
1(1  1)
i 1

2
i 1
1
Paso inductivo:
n(n  1)
i  (n  1)   i  (n  1) 

2
i 1
i 1
n 1
n
2(n  1)  n(n  1) (n  2)( n  1)


2
2
Inducción
Otros:
•n3-n es divisible por 3, para todo n ≥ 1
•2x ≥ x2, para todo x ≥ 4
•… etc (pueden mirar su cuaderno de aquellos tiempos;
lo importante es que refresquen estas cosas).
Un poco menos trillado: inducción “estructural”:
•Generaliza la misma idea.
•La usamos para demostrar propiedades de objetos
definidos recursivamente.
Inducción estructural
En una construcción recursiva, se tienen:
•Objetos básicos (“primitivos”, “iniciales”, etc..)
•Reglas para definir nuevos objetos a partir de un
conjunto de objetos ya definidos.
Entonces se demuestra que la propiedad en cuestión (el
“predicado”):
•Es cierta para los objetos básicos
•Si es cierta para un conjunto de objetos, entonces
es cierta para el nuevo objeto construido, mediante
las reglas, a partir de dicho conjunto.
Inducción estructural
Ejemplo clásico: consideremos la siguiente definición
recursiva de un árbol [conexo].
•Un nodo sólo, es un árbol.
•Si T1, T2, …, Tk son árboles disjuntos, entonces
n
A
T1
A
T2
también es un árbol.
...
A
Tk
Inducción estructural
Propiedad a demostrar: la cantidad de nodos siempre
es igual a la cantidad de aristas + 1.
•Caso base: ok.
•Sean ni y ai las cantidades de nodos y aristas en los
árboles Ti, para i de 1 hasta k. Sean n y a esas
cantidades para el nuevo árbol.
ni  ai  1 i
Hipótesis inductiva:
Paso inductivo:
k
k
n  1   ni  1   (ai  1)
i 1
n
k
i 1
 1  k   ai  1  a
i 1
A
T1
...
A
T2 ...
A
Tk
Inducción estructural
Otro ejemplo típico: expresiones aritméticas.
Símbolos elementales: letras, +, *, (, )
(1) Las letras son E.A.
(2) Si E y F son E.A., entonces E+F, E*F y (E) son
E.A.
Ejemplos: x+y, x*y+x*(z+b), ((a)), etc…
Ejercicio: demostrar que en una expresión aritmética,
el número de “(“ es igual al número de “)”.
Inducción estructural
Números de Fibonacci:
•
•
F(1)=F(2)=1,
F(n)=F(n-1)+F(n-2) para n > 2
Demostrar que F(n) < 2n para todo n ≥ 1
Nótese que en este caso lo podemos ver como inducción
“clásica”, o bien como inducción estructural.
Repaso
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Inducción
4. Relaciones
5. Clases de equivalencia
6. Refinamientos y cerradura transitiva
7. Cardinales
Tuplas y producto cartesiano
•Una n-tupla ordenada es una secuencia de n
elementos, escrita en la forma (x1,…,xn).
•Nótese que a diferencia de los conjuntos, donde
{1,2}={2,1}, en una n-tupla el orden sí importa.
•Por lo tanto, la única forma de que (x1,…,xn)=
(y1,…,yn) es que x1=y1,…,xn=yn.
•El producto cartesiano de n conjuntos A1,...,An es el
conjunto formado por las n-tuplas de la forma
(x1,…,xn), donde xiAi, 1 ≤ i ≤ n :
A1  A2    An  {( x1,, xn ) : xi  Ai1  i  n}
Relaciones
Un caso de particular interés es el producto
cartesiano de sólo dos conjuntos: AB.
Una “relación” es un subconjunto RAB.
Nótese que:
•no necesariamente A=B
•cualquier subconjunto RAB es válido
Con A={1,2,3},B={,}, las siguientes
son todas relaciones válidas:
R2 

R1={(1,),(1,),(3,)}
R2=AB \ {(1,)}
R3={(2,)}
1
2
3
1
2
3
R3 
R1 


1
2
3
Relaciones: funciones
Un caso aún más particular son las funciones: son
relaciones en que para cada xA, existe un único yB
tal que (x,y)R; así, se define una función de A en B.
Las tres relaciones en la
transparencia anterior son
contraejemplos : no son funciones.
En cambio, R4 (a la derecha) sí lo es.
R5 

1
2
3
R4 

1
2
3
¿Qué hay de R5, a la izquierda? No es una
función, porque estamos viéndolas como
subconjuntos de AB. Pero en este caso si la
“trasponemos”, y la vemos como subconjunto de
BA, entonces sí es una función... de B en A.
Relaciones: notación
•Cuando una relación RAB es una función, y se
tiene (x,y)R, solemos escribir R(x)=y. Por ejemplo,
R4(1)=.
•En el caso general (en que R es una relación
cualquiera), cuando (x,y)R se suele escribir xRy.
NOTA: En lo que sigue, consideraremos relaciones
dentro de un mismo conjunto: A=B, y le llamaremos
“S” (o sea, A=B=S). Anotamos S2=SS.
Relaciones: propiedades
Decimos que una relación RS2 es:
•Refleja: si para todo aS, (a,a)R [o sea, aRa].
•Transitiva: si cada vez que aRb y bRc, se tiene
además aRc.
•Simétrica: si aRb  bRa
•Antisimétrica: si cada vez que aRb y bRa,
necesariamente a=b.
•Total: para cualesquiera a,bS, se tiene que
aRb o bien bRa (o ambas).
Relaciones: orden
Una relación de orden parcial cumple con ser
refleja, transitiva y antisimétrica.
•Ejemplo: Sea A un conjunto finito, S=P(A) [el
conjunto potencia de A], y R definida por
R = { (B,C): B,CA y BC }
(es decir: es la relación de inclusión entre
subconjuntos de A).
NOTA: esto es lo que se llama un orden “no estricto”.
En los órdenes estrictos, como “<“ y “”, se prohibe la
igualdad, exigiendo que la relación sea antirrefleja:
(a,a)R para ningún a.
Relaciones: orden
Si además es total, entonces es una relación de
orden total.
•El ejemplo anterior es un caso de orden parcial que
no es total. Para ver por qué, consideremos A={1,2},
B={1}, C={2}. Claramente, ni B está incluído en C, ni C
está incluído en B.
•Consideremos S=Z (los números enteros), y la
relación  habitual. Ese sí es un caso de relación de
orden total.
Repaso
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Inducción
4. Relaciones
5. Clases de equivalencia
6. Refinamientos y cerradura transitiva
7. Cardinales
Relaciones: equivalencia
Una relación de equivalencia cumple con ser refleja,
transitiva y simétrica.
•Ejemplo: Sean Z los números enteros, y sea mN,
m0. Definiremos la relación Rm (pues ojo, depende
del m) como
a Rm b  a mod m = b mod m
[donde a mod m es el resto de dividir a por m]
Ejercicio:
1) ver que es relación de equivalencia
2) ver que a Rm b  (a-b) es divisible por m.
Relaciones: equivalencia
Sea R una relación de equivalencia en S.
• Para cada elemento aS, definimos su clase de
equivalencia [a]={ bS: aRb }.
• El conjunto de las clases de equivalencia forma
una partición de S. En efecto:
•Todo elemento pertenece a alguna clase de equivalencia
(la suya!).
•La intersección entre dos clases de equivalencia distintas
es vacía: si c[a][b]  c[a] y c[b]  cRa y cRb 
aRc y cRb (por simetría)  aRb (por transitividad) 
[a]=[b].
Relaciones: equivalencia
•Ejemplo: consideremos (Z,R3), con la relación de
“igualdad módulo 3” definida antes. Entonces
[0] = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, 9,... }
[1] = { ..., -5, -2, 1, 4, 7, ... }
[2] = { ..., -4, -1, 2, 5, 8, 10, ... }
Al conjunto de clases de equivalencia (conjunto
“cuociente”) lo anotamos S/R. En este caso,
Z/R3 = { [0], [1], [2] }
Naturalmente, en un mismo conjunto puede
definirse más de una relación de equivalencia, y
cada una dará una partición distinta.
Relaciones: equivalencia
•Ejemplo: Sea S una baraja de naipe [inglés],
S={ 1, 2, ..., K, 1, 2, ..., K,
1, 2,..., K, 1, 2, ..., K}
y consideremos las relaciones
Rp : si dos naipes son de la misma pinta
Rn : si dos naipes son del mismo número
Rc : si dos naipes son del mismo color
R2 : si el número de dos naipes tiene la misma paridad.
¿Cuántas clases de equivalencia distintas hay en cada
caso?
Relaciones: equivalencia
Nota:
La relación entre relaciones de equivalencia y
particiones es recíproca: dada una partición de un
conjunto, siempre podemos definir una relación de
equivalencia (según si los elementos quedan juntos
o no) cuyas clases de equivalencias correspondan a
esa partición.
Repaso
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Inducción
4. Relaciones
5. Clases de equivalencia
6. Refinamientos y cerradura transitiva
7. Cardinales
Relaciones: refinamientos
Sean R,QS2 dos relaciones de equivalencia en S.
Decimos que R es más fina que Q, y escribiremos
RQ, si se tiene
aRb  aQb, a,bS
Es decir, R distingue entre elementos de S al menos
tan bien como Q.
Ejercicio: demostrar que si RQ, entonces las
clases de equivalencia de Q son uniones de clases
de equivalencia de R.
Relaciones
•En el ejemplo de los naipes, RpRc , y RnR2.
•Si consideramos la relación de igualdad módulo m,
¿qué deben cumplir m1 y m2 para que Rm1  Rm2 ?
•Otro ejemplo: Sea otra vez A un conjunto finito
cualquiera, y S=P(A) su conjunto potencia.
Consideremos las relaciones R y Q dadas por:
•aRb  a=b
•aQb  |a| = |b|
 Entonces RQ.
[Recuérdese que en este caso a y b son subconjuntos de
A. |a| es el cardinal de a.]
Relaciones
Nota: en realidad siempre se tiene que la relación de
identidad (“=“) es más fina que cualquier otra relación de
equivalencia.
Consideremos el conjunto (S) de todas las
relaciones de equivalencia posibles sobre el
conjunto S.
 Entonces “” es una relación en (S) !!
¿Qué tipo de relación es?
Ejercicio: conteste y demuéstrelo.
Relaciones: cerradura transitiva
Sea R una relación en S, no necesariamente transitiva.
Definimos su cerradura transitiva como la menor
relación R’ tal que RR’ y R’ es transitiva (en el peor de
los casos, puede ser R’=S2).
En el caso de S finito, lo podemos ver como que
“parchamos” R, agregándole los elementos que estén
fallándole a la transitividad, hasta que ya no falla nada.
Ejemplo:
•S=ciudades del mundo
•aRbexiste un vuelo directo de a hasta b
•aR’bse puede llegar de a hasta b en avión
Relaciones: cerradura transitiva
¿Cómo encontrar la cerradura transitiva (S finito)?
Algoritmo de Warshall (visto en EDA)
•Pensamos en la relación como una
matriz binaria, que dice“puedo ir
de a hasta c usando un solo arco”
o “no puedo”.
R’
a
b
c
a b c
0 1 1
0 1 1
0 1 1
b
a
c
R
a
b
c
a b c
0 1 0
0 0 1
0 1 0
•Queremos ahora una matriz
que exprese “puedo ir de i a j”
(usando 1 o más arcos).
Relaciones: cerradura transitiva
•Definamos A0=R
•Aplico |S| veces lo siguiente.
•En el paso k-ésimo, Ak[i,j] me dice acaso hay un camino
entre i y j que pase por nodos de índice k ó menor.
Ak [i, j ]  Ak 1[i, j ]   Ak 1[i, k ]  Ak 1[k , j ]
 “ya había camino, o ahora existe un camino porque
existen caminos de i a k, y de k a j”
Relaciones: cerradura transitiva
Algoritmo de Warshall:
Inicialización:
•A = matriz binaria representando R
Iteración:
•Para k=1,...,N
Para todo i,j
A[i,j] = A[i,j]  (A[i,k]  A[k,j])
R’ = relación representada por A
[Se habla del algoritmo de Floyd-Warshall, porque esto es
una variante del de Floyd para caminos más cortos en grafos.}
Repaso
1. Lógica
2. Conjuntos
3. Inducción
4. Relaciones
5. Clases de equivalencia
6. Refinamientos y cerradura transitiva
7. Cardinales
Cardinal
Volvamos a las funciones. Si fAB es una función,
escribiremos que f:AB.
Decimos que una función f:AB es inyectiva cuando
preserva las diferencias: si ab, entonces f(a)f(b).
Intuitivamente se ve que, para que esto sea posible,
tiene que haber al menos tantos elementos en B
como en A.
Cardinal
Esa intuición se convierte en definición :
decimos que el conjunto A tiene cardinalidad
menor o igual que B si existe una función
inyectiva f:AB. Escribimos |A||B|
Si se tiene |A||B| y además |B||A| (es decir, existen
funciones inyectivas en ambas direcciones), escribimos
|A|=|B|, y decimos que tienen la misma cardinalidad (o
el “mismo cardinal”).
Nota: una función biyectiva es
inyectiva hacia los dos lados, y se
puede usar para probar igualdad de
cardinal. Pero a veces es más cómodo
usar dos funciones distintas.
Cardinal
Para conjuntos finitos la cardinalidad es simple:
identificamos |A| con la cantidad de elementos
que contiene, y |A||B|  A tiene menos
elementos que B.
Para el vacío, ={ }, se tiene ||=0.
Un “singleton” es un conjunto de cardinal 1. Por
ejemplo: {2}, { {2,3} }, {{ }}.
Cardinal
La gracia es que la definición funciona también para
conjuntos infinitos.
Ejercicio: sea A finito y B infinito. Demostrar
que |A|<|B|, es decir, que |A||B|, pero |B||A|.
Ejercicio: Sea AB. Demostrar que |A||B|.
•El conjunto infinito “más chico” es N, los números
naturales.
Cardinal
•Los enteros (Z), los racionales (Q), los números pares
(2Z), tienen todos el mismo cardinal que N.
•Se anota 0 (“aleph 0”). Se dice que son “contables”.
•Los reales (R) no tienen el mismo cardinal
que N. Su cardinal, 1, es llamado “el
cardinal del continuo”, y es el mismo
cardinal de [0,1], R2, R3, etc.
Fin del repaso