Download Funciones Trigonométricas de Ángulos
Document related concepts
Transcript
Medición Angular. 1 CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Ángulos Ángulos en posición normal o estándar. Medida de ángulos en grados. Ángulos coterminales. Medida de ángulos en radianes. Relación entre grados y radianes. Longitud de arco y de área. Triángulos rectángulos Razones trigonométricas Relaciones Cofuncionales Ley de Senos Ley de Cosenos. 2 Ángulos Un ángulo se forma por la rotación de un rayo o semirrecta sobre su punto inicial o extremo. La posición inicial del rayo se llama lado inicial del ángulo y la posición final lado final. El punto de origen del rayo se llama vértice. Cuando la rotación se hace en sentido contrario a las manecillas del reloj se dice que el ángulo es positivo y si se hace en el sentido de las manecillas del reloj se dice que es negativo. Lado final + Lado inicial vértice α α Lado final vértice - Lado inicial 3 Ángulo en posición normal o estándar y Un ángulo se encuentra en posición normal o estándar dentro de un sistema de coordenadas sólo si su vértice coincide con el origen y su lado inicial se encuentra sobre la parte positiva del eje x + x - 4 Medida de ángulos en grados •Una unidad de medida para el ángulo es el grado. •Una rotación completa en sentido positivo •½ de una rotación completa en sentido positivo 180° 360° Ángulo llano •Un grado (1°) 1 de una rotación 360 5 Medida de ángulos en grados ¼ de una rotación completa en sentido positivo ¾ de una rotación completa ⅔ de una rotación completa en sentido positivo en sentido positivo 90° Ángulo recto 2 rotaciones completas en sentido positivo 270° 240° 1/6 de una rotación completa 2/5 de una rotación completa en sentido negativo en sentido negativo 720° -60° -144° 6 Ángulos coterminales Dos ángulos en posición normal o estándar son coterminales si coinciden sus lados, por ejemplo: 60° 420° -660° El ángulo entre 0 y 360° que es coterminal con -150 ° es: -150 ° + 360°=210 ° -150°= 210° 7 Medida de Ángulos en Radianes A la razón entre el arco subtendido por un ángulo central α en un círculo y el radio se le llama medida en radianes del ángulo α s r s: longitud del arco del círculo interceptado por el ángulo α r: radio. r s α 8 Medida de Ángulos en Radianes Ejemplo 1: Hallar la medida en radianes de un ángulo de 90° longitud de la circunferencia c 2 r r 90° s 1 2 r 4 1 r s 2 r 4 2 longitud del arco subtendido por el ángulo de 90° r La medida en radianes del ángulo es: s 2 r 90 2 radianes Si multiplicamos por 2 r 2 180 radianes 9 Medida de Ángulos en Radianes Importante!! •Recuerde que π es un número irracional (aproximadamente igual a 3.1416). •Para medir ángulos hay dos tipos de unidades: Los radianes y los grados • 180°= π radianes significa que un ángulo de 180° es equivalente a un ángulo de π radianes • La medida en radianes de un ángulo es un número real que no va acompañado de unidades de longitud, luego s y r deben ser medidos en las mismas unidades de longitud. El número 2 no tiene unidades. 4 cm Un ángulo de 2 (radianes) significa un 2 ángulo que subtiende un arco que es10 2 cm dos veces la longitud del radio. Medida de Ángulos en Radianes Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia subtendido por un arco igual en longitud al radio de la circunferencia. sr r α α= 1 radián s r 1 r r luego β s=r s=2r μ r β= 2 radianes s= 2πr s= π r μ= π radianes ≈ 3.1416 radianes Ω Ω=2π radianes ≈ 6.2832 radianes 11 Relación y conversión entre grados y radianes Grados Radianes 180° π radianes 1° 180 radianes≈0.0175 radianes 180 1 radián 57.2958 Conversión Grados a radianes Radianes a grados Factor de conversión 180 180 12 Ejemplo 2: Expresar 30° en radianes Ejemplo 3: Expresar radianes en grados 4 Solución. La relación entre grados y radianes es: Solución. La relación entre grados y radianes es: 30 30 rad rad 6 180 Observación: rad rad 3 6 5 150°=5(30°)=5 rad rad 6 6 60°=2(30°)=2 En general, es posible expresar la medida en radianes de un ángulo a partir de valores conocidos. 180 rad 45 4 4 Observación: 5 rad 5 rad 5(45) 225 4 4 7 180 rad 7 7(45) 315 4 4 En general, es posible expresar la medida en grados de un ángulo a partir de valores conocidos. 13 Longitud de arco y área r α s La parte sombreada se llama sector s r Despejamos s → r s Longitud de arco de un sector circular s = r α donde α es la medida del ángulo en radianes fracción que se tiene 2 del círculo El área del sector es esta fracción multiplicada por el área del círculo: 1 2 A r 2 r 2 : área del círculo 1 2 2 A r r 2 2 Área de un sector circular donde α es la medida del ángulo en radianes14 Longitud de arco y área Ejemplo 4: Determinar la longitud de arco s y el área A del sector dado 3 s s r Longitud de arco 12 cm Área: s (12 cm) 4 cm 12.56 cm 3 1 2 A r 2 A 1 12 cm 2 24 cm 2 75.4 cm 2 2 3 Ejemplo 5: El sector de un círculo con radio 24 cm tiene una superficie de 288 cm². Encontrar el ángulo central del sector Área= 288 cm² r= 24 cm A 1 2 r 2 Despejando α 2A 2 r 2(288 cm 2 ) 1 rad 57 2 24 cm 15 Triángulos Rectángulos 16 Recuerde … Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c : hipotenusa a y b : catetos c c2 a2 b2 a c a 2 b2 b 17 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo Fórmula sen α= co csc α= h co sec α= h ca cot α= ca co h ca cos α= h h co Razón tan α= co ca α ca co: cateto opuesto ca: cateto adyacente h: hipotenusa 18 Ejemplo 6: En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 12 cm y uno de los catetos mide 8 cm. Halle los valores de las razones trigonométricas para el ángulo α. Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos el cateto desconocido c 2 a 2 b 2 a=8 4 5 α b 80 4 5 C=12 Razones trigonométricas: co 4 5 5 sen h 12 3 cos b 2 (12) 2 (8) 2 b 144 64 ca 8 2 h 12 3 co 4 5 5 tan ca 8 2 Para el ángulo α: co 4 5 , ca 8, h 12 csc h 12 3 3 5 co 4 5 5 5 h 12 3 sec ca 8 2 cot ca 8 2 2 5 co 4 5 5 5 19 Ejemplo7 : Si α es un ángulo agudo y tan α=5/6 hallar sen α Tomamos un triángulo rectángulo con un ángulo agudo α , tal que los catetos correspondientes teniendo en cuenta α son: co=5 y ca=6. 61 5 sen 5 5 61 61 61 α 6 Ejemplo 8: x2 4 Por teorema de Pitágoras la hipotenusa es: 61 Expresar el valor de cos α en términos de α x 2 x Hallamos el valor del cateto desconocido x2 4 2 cos x x 4 20 Relaciones cofuncionales 90°-α c a sen α= cos(π/2 -α) sen α= cos(90°-α) sec α= csc(π/2 -α) sec α= csc(90°-α) tan α= cot(π/2 -α) tan α= cot(90°-α) α b Ejemplo 9: 40° c a 50° b sen 50°= cos(90° – 50°) =cos40° =a/c sec 50°= csc(90° – 50°) =csc40° =c/b tan 40°= cot(90° – 40°) =cot50° =b/a 21 Ejemplo 10: π/3 c a cos π/6 = sen(π/2 –π/6) = senπ/3 = b/c π/6 b cot π/6 = tan(π/2 – π/6) = tanπ/3 = b/a csc π/6 = sec(π/2 – π/6) = sec22π/3 = c/a Ejemplo 11: Expresar el valor trigonométrico dado como una función trigonométrica de un ángulo dado menor que 45°. sen63 cos(90 63) cos27 tan 2 cot( 2) cot 5 2 5 10 22 Ley del Seno y ley del Coseno Sobre triángulos no rectángulos 23 •Existen relaciones trigonométricas entre los lados de un triángulo no rectángulo. Estas relaciones son la ley de los senos y la ley de los cosenos. •Notación: Vamos a nombrar los ángulos del triángulo con A, B y C y los lados opuestos a estos ángulos como a, b y c, de la siguiente manera: C b A C h c a h a b B A c B 24 Ley del seno En el ABC con lados a,b y c, tenemos: senA senB senC a c b Demostración senA h b y senB ha b senA h y a senB h b senA a senB 25 senA senB a b Al trazar la altura sobre CB se obtiene: senB hc y senC h b c senB h y b senC h senB senC c b Y al combinar los resultados anteriores: senA senB senC a c b Aplicable a los casos ALA y LAA y en algunos casos LLA 26 Ejemplo 12: Utilice la información dada para determinar las partes faltantes del ∆ABC. LAA Ley del seno A 60 B 45 b8 sen60 sen45 a 8 C a 8sen60 a sen45 b 8 B c A 3 2 2 2 a sen75 sen45 c 8 8sen75 c sen45 c 10.9 4 6 a 9.8 75 C 27 La ley de los cosenos En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquier lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble de su producto, por el coseno del ángulo entre ellos. c2 a2 b2 2abcos C b2 a2 c2 2accos B a2 b2 c2 2bccos A Aplicable a los casos LAL y LLL 28 Ejemplo 13: Utilice la información dada para determinar las partes faltantes del ∆ABC. LAL Ley del coseno C 60 a 10 b8 C c2 a2 b2 2abcos C 2 2 2 c 10 8 210 8 cos60 a B A 1 c 2 21 2 Aplicamos ahora la ley del seno: 3 8 sen60 senB 2 7 2 senB 8 2 21 7 2 21 c2 164 160 b c 2 7 B sen B 49.1 7 1 A 69.29 9