Download Funciones Trigonométricas de Ángulos

Medición Angular.
1
CONTENIDO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Ángulos
Ángulos en posición normal o estándar.
Medida de ángulos en grados.
Ángulos coterminales.
Medida de ángulos en radianes.
Relación entre grados y radianes.
Longitud de arco y de área.
Triángulos rectángulos
Razones trigonométricas
Relaciones Cofuncionales
Ley de Senos
Ley de Cosenos.
2
Ángulos
Un ángulo se forma por la rotación de un rayo o semirrecta sobre
su punto inicial o extremo. La posición inicial del rayo se llama
lado inicial del ángulo y la posición final lado final. El punto de
origen del rayo se llama vértice.
Cuando la rotación se hace en sentido contrario a las manecillas del
reloj se dice que el ángulo es positivo y si se hace en el sentido de
las manecillas del reloj se dice que es negativo.
Lado final
+
Lado inicial
vértice
α
α
Lado final
vértice
-
Lado inicial
3
Ángulo en posición normal o
estándar
y
Un ángulo se encuentra
en posición normal o
estándar dentro de un
sistema de coordenadas
sólo si su vértice
coincide con el origen y
su lado inicial se
encuentra sobre la parte
positiva del eje x
+
x
-
4
Medida de ángulos en grados
•Una unidad de medida para el ángulo es el grado.
•Una rotación completa en
sentido positivo
•½ de una rotación completa en
sentido positivo
180°
360°
Ángulo llano
•Un grado (1°)

1
de una rotación
360
5
Medida de ángulos en grados
¼ de una rotación completa
en sentido positivo
¾ de una rotación completa ⅔ de una rotación completa
en sentido positivo
en sentido positivo
90°
Ángulo recto
2 rotaciones completas en
sentido positivo
270°
240°
1/6 de una rotación completa 2/5 de una rotación completa
en sentido negativo
en sentido negativo
720°
-60°
-144°
6
Ángulos coterminales
Dos ángulos en posición normal o estándar son
coterminales si coinciden sus lados, por ejemplo:
60°
420°
-660°
El ángulo entre 0 y 360° que
es coterminal con -150 ° es:
-150 ° + 360°=210 °
-150°= 210°
7
Medida de Ángulos en Radianes
A la razón entre el arco subtendido por un ángulo central α
en un círculo y el radio se le llama medida en radianes del
ángulo α
s

r
s: longitud del arco del círculo interceptado por el
ángulo α
r: radio.
r
s
α
8
Medida de Ángulos en Radianes
Ejemplo 1:
Hallar la medida en radianes de un ángulo de 90°
longitud de la circunferencia c  2 r
r
90°
s
1
 2 r 
4
1
 r
s   2 r  
4
2
longitud del arco
subtendido por el
ángulo de 90°
 r
La medida en radianes del ángulo es:   s  2  
r
90 

2
radianes
Si multiplicamos por 2
r
2
180   radianes
9
Medida de Ángulos en Radianes
Importante!!
•Recuerde que π es un número irracional (aproximadamente
igual a 3.1416).
•Para medir ángulos hay dos tipos de unidades: Los radianes y
los grados
• 180°= π radianes significa que un ángulo de 180° es equivalente
a un ángulo de π radianes
• La medida en radianes de un ángulo es un número real
que no va acompañado de unidades de longitud, luego s y r
deben ser medidos en las mismas unidades de longitud.
El número 2 no tiene unidades.
4 cm
Un ángulo de 2 (radianes) significa un

2
ángulo que subtiende un arco que es10
2 cm
dos veces la longitud del radio.
Medida de Ángulos en Radianes
Un radián es la medida del ángulo central de una
circunferencia subtendido por un arco igual en longitud al
radio de la circunferencia.
sr
r
α
α= 1 radián
s r
   1
r r
luego
β
s=r
s=2r
μ
r
β= 2 radianes
s= 2πr
s= π r
μ= π radianes
≈ 3.1416
radianes
Ω
Ω=2π radianes ≈
6.2832 radianes
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Relación y conversión entre grados y
radianes
Grados
Radianes
180°
π radianes

1°
180

radianes≈0.0175
radianes
180
1 radián
 57.2958
Conversión
Grados a radianes
Radianes a grados
Factor de conversión

180
180

12
Ejemplo 2:
Expresar 30° en radianes
Ejemplo 3:
Expresar 
radianes en grados
4
Solución. La relación entre
grados y radianes es:
Solución. La relación entre
grados y radianes es:

  
30  30
rad  rad
6
 180 

Observación:

 
rad

rad

3
6

5
150°=5(30°)=5 rad 
rad
6
6
60°=2(30°)=2
En general, es posible expresar la
medida en radianes de un ángulo a
partir de valores conocidos.
   180 
rad   
  45
4
 4   
Observación:
5
 
rad  5 rad  5(45)  225
4
4
7
 180 
rad  7
  7(45)  315
4
 4 
En general, es posible expresar la
medida en grados de un ángulo a
partir de valores conocidos.
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Longitud de arco y área
r
α
s
La parte sombreada se llama sector
s

r
Despejamos s →
r  s
Longitud de arco de un sector circular
s = r α donde α es la medida del ángulo en radianes

fracción que se tiene
2
del círculo
El área del sector es esta fracción
multiplicada por el área del círculo:
1 2
A r 
2
 r 2 : área del círculo
1 2
 
2
A

r

r

2

2




Área de un sector circular
donde α es la medida del ángulo en radianes14
Longitud de arco y área
Ejemplo 4: Determinar la longitud de arco s y el área A del sector dado

3
s
s  r
Longitud de arco
12 cm
Área:
 
s  (12 cm)   4 cm  12.56 cm
3
1 2
A r 
2
A
1
12 cm 2   24 cm 2  75.4 cm 2
2
3
Ejemplo 5: El sector de un círculo con radio 24 cm tiene una superficie de
288 cm². Encontrar el ángulo central del sector
Área= 288 cm²
r= 24 cm
A
1 2
r
2
Despejando α
2A
 2
r
2(288 cm 2 )

1 rad  57
2
24 cm
15
Triángulos Rectángulos
16
Recuerde …
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
c : hipotenusa
a y b : catetos
c
c2  a2  b2
a
c  a 2  b2
b
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Razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo
Fórmula
sen α= co
csc α=
h
co
sec α=
h
ca
cot α=
ca
co
h
ca
cos α=
h
h
co
Razón
tan α=
co
ca
α
ca
co: cateto opuesto
ca: cateto adyacente
h: hipotenusa
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Ejemplo 6:
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 12 cm y uno de los catetos
mide 8 cm. Halle los valores de las razones trigonométricas para el ángulo α.
Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos
el cateto desconocido c 2  a 2  b 2
a=8
4 5
α
b  80  4 5
C=12
Razones trigonométricas:
co 4 5
5
sen 


h
12
3
cos  
b 2  (12) 2  (8) 2  b  144  64
ca 8 2


h 12 3
co 4 5
5
tan  


ca
8
2
Para el ángulo α: co  4 5 , ca  8, h  12
csc  
h
12
3 3 5



co 4 5
5
5
h 12 3
sec  


ca 8 2
cot  
ca
8
2
2 5



co 4 5
5
5
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Ejemplo7 :
Si α es un ángulo agudo y tan α=5/6 hallar sen α
Tomamos un triángulo rectángulo con un ángulo agudo α , tal que los
catetos correspondientes teniendo en cuenta α son: co=5 y ca=6.
61
5
sen  5  5 61
61 61
α
6
Ejemplo 8:
x2  4
Por teorema de Pitágoras la hipotenusa
es: 61
Expresar el valor de cos α en términos de
α
x
2
x
Hallamos el valor del cateto
desconocido
x2  4
2
cos  x x  4
20
Relaciones cofuncionales
90°-α
c
a
sen α= cos(π/2 -α)
sen α= cos(90°-α)
sec α= csc(π/2 -α)
sec α= csc(90°-α)
tan α= cot(π/2 -α)
tan α= cot(90°-α)
α
b
Ejemplo 9:
40°
c
a
50°
b
sen 50°= cos(90° – 50°)
=cos40°
=a/c
sec 50°= csc(90° – 50°)
=csc40°
=c/b
tan 40°= cot(90° – 40°)
=cot50°
=b/a
21
Ejemplo 10:
π/3
c
a
cos π/6 = sen(π/2 –π/6)
= senπ/3
= b/c
π/6
b
cot π/6 = tan(π/2 – π/6)
= tanπ/3
= b/a
csc π/6 = sec(π/2 – π/6)
= sec22π/3
= c/a
Ejemplo 11:
Expresar el valor trigonométrico dado como una función
trigonométrica de un ángulo dado menor que 45°.
sen63  cos(90 63)  cos27
tan 2  cot(  2)  cot 
5
2 5
10
22
Ley del Seno y ley del
Coseno
Sobre triángulos no rectángulos
23
•Existen relaciones trigonométricas entre los lados de
un triángulo no rectángulo. Estas relaciones son la ley
de los senos y la ley de los cosenos.
•Notación: Vamos a nombrar los ángulos del
triángulo con A, B y C y los lados opuestos a estos
ángulos como a, b y c, de la siguiente manera:
C
b
A
C
h
c
a
h
a
b
B
A
c
B
24
Ley del seno
En el ABC con lados a,b y c, tenemos:
senA  senB  senC
a
c
b
Demostración
senA  h
b
y
senB  ha
b  senA  h
y
a  senB  h
b  senA  a  senB
25
senA  senB
a
b
Al trazar la altura sobre CB se obtiene:
senB  hc
y
senC  h
b
c  senB  h
y
b  senC  h
senB  senC
c
b
Y al combinar los resultados anteriores:
senA  senB  senC
a
c
b
Aplicable a los casos ALA y LAA y en algunos casos LLA
26
Ejemplo 12:
Utilice la información dada para determinar las partes
faltantes del ∆ABC.
LAA  Ley del seno
A  60 B  45
b8
sen60 sen45

a
8
C
a
8sen60
a
sen45
b
8
B
c
A

3 2
2 2
a
sen75 sen45

c
8
8sen75
c
sen45
c  10.9
4 6  a  9.8
75  C
27
La ley de los cosenos
En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquier
lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, menos el doble de su producto, por
el coseno del ángulo entre ellos.
c2  a2  b2  2abcos C
b2  a2  c2  2accos B
a2  b2  c2  2bccos A
Aplicable a los casos LAL y LLL
28
Ejemplo 13:
Utilice la información dada para determinar las partes
faltantes del ∆ABC.
LAL  Ley del coseno
C  60 a  10
b8
C
c2  a2  b2  2abcos C
2  2


2
c  10    8   210   8  cos60

a
B


A



1
 c  2 21
2
Aplicamos ahora la ley del seno:
3
8
sen60 senB
2 7
2

senB 

8
2 21
7
2 21
c2 164 160
b
c











2 7 
B  sen 
B  49.1
 7 


1
A  69.29
9