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RELATIVIDAD GENERAL Y
ESPECIAL
Julián David Lozano Cardozo
G7N14 Cod.:200721
Teoria de la Relatividad General
• Es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas
de referencia generales, publicada por Albert
Einstein en 1915 y 1916.
• El nombre de la teoría se debe a que generaliza la
llamada teoría especial de la relatividad. Los principios
fundamentales introducidos en esta generalización son
el Principio de equivalencia, que describe
la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de
la misma realidad, la noción de la curvatura del
espacio-tiempo y el principio de
covariancia generalizado.
• La intuición básica de Einstein fue postular que en un
punto concreto no se puede distinguir
experimentalmente entre un cuerpo acelerado
uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La
teoría general de la relatividad permitió fundar también
el campo de la cosmología.
Principios Generales
• Las características esenciales de la teoría general de la
relatividad son las siguientes:
• El principio general de covariancia: las leyes de la física
deben tomar la misma forma en todos los sistemas de
coordenadas.
• El movimiento libre inercial de una partícula en un
campo gravitatorio se realiza a través de
trayectorias geodésicas.
• El principio de equivalencia o de invariancia local de
Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio
plano de Minkowsky) se aplican localmente para todos
los observadores inerciales.
Principio de Covarianza
• El principio de covariancia es la generalización de la teoría
de la relatividad especial, donde se busca que las leyes para
la naturaleza tengan la misma forma en todos los sistemas
de referencia, lo cual equivale a que todos los sistemas de
referencia sean indistinguibles. En otras palabras, que
cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las
ecuaciones tendrán la misma forma y contendrán los
mismos términos. Ésta fue la principal motivación
de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad
general.
• El principio de covariancia sugería que las leyes debían
escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de
transformación covariantes y contravariantes podían
proporcionar la "invariancia" de forma buscada,
satisfaciéndose el principio de covariancia.
Principio de Equivalencia.
• Un hito fundamental en el
desarrollo de la teoría de la
Relatividad General lo constituyó la
enunciación por Albert Einstein en
el año 1912 del principio de
equivalencia. Dicho principio
supone que un sistema que se
encuentra en caída libre y otro que
se mueve en una región del espaciotiempo sin gravedad se encuentran
en un estado físico sustancialmente
similar: en ambos casos se trata
de sistemas inerciales.
Los dos astronautas de la imagen se
encuentran en una nave en caída libre.
Por ello no experimentan
gravedad alguna (su estado se
describe coloquialmente como "de
gravedad cero"). Se dice por ello
que son observadores inerciales
.
• La mecánica clásica distinguía entre cuerpos de movimiento inercial
(en reposo o moviéndose a velocidad constante) o cuerpos de
movimiento no inercial (aquellos sometidos a un movimiento
acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton, toda aceleración
estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación
entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:
• Donde a la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser
de origen mecánico, electromagnético, y cómo no, gravitatorio.
• Sin embargo, la Teoría de la Relatividad considera que
los efectos gravitatorios no son creados por fuerza
alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del
espacio-tiempo generado por la presencia de masas. Por
ello, un cuerpo en caída libre es un sistema inercial, ya
que no está sometido a fuerza alguna (porque la
gravedad no lo es). Un observador situado en un sistema
inercial (como una nave en órbita) no experimenta
aceleración alguna y es incapaz de discernir si está
atravesando o no un campo gravitatorio. Como
consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan
como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De
ahí que el principio de equivalencia también reciba el
nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas
inerciales rigen los principios y axiomas de la
Relatividad Especial.
Ejemplos de sistemas inerciales
según el Principio de Equivalencia
Sistema
¿Es inercial?
(Principio de
Equivalencia)
¿Es inercial?
(Mecánica
Newtoniana)
Cuerpo en Caída Libre
Cuerpo en Reposo sobre la superficie
terrestre
Planeta orbitando alrededor del sol
Nave precipitándose hacia la tierra
Cohete Despegando desde una base de
lanzamiento
Si
No
No
Si
Si
Si
No
No
No
No
La curvatura Espacio-Tiempo
• La aceptación del principio de equivalencia por
Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior:
La contracción o curvatura del tiempo como
consecuencia de la presencia de un campo
gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de
1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la
propagación de la luz".1
• Supongamos que un fotón emitido por una estrella
cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de
conservación del tetramomentum la energía
conservada del fotón permanece invariante. Por otro
lado, el principio de equivalencia implica que un
observador situado en el fotón (que es un sistema
inercial, es decir, se halla en caída libre) no
experimenta ninguno de los efectos originados por el
campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la
energía conservada del fotón no se altera como
consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco
lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la
conocida fórmula de la física cuántica, la energía de
un fotón es igual a su frecuencia (v) multiplicada por
la constante de Planck (h): E = hν.
• Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado
en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo
gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: El astronomo
podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la
Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial
gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se
corre hacia el azul. Los fenómenos de absorción de energía por los
fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan
matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones:
• νrec = νeme − Φ
• Donde EOBS es la energía medida por un observador en reposo respecto al
campo gravitatorio (en este caso un astrónomo), Φ el potencial gravitatorio
de la región donde se encuentra éste, ECON la energía conservada del
fotón, νem la frecuencia de emisión, νrec es la frecuencia percibida por el
observador (y corrida hacia el azul) y h la constante de Planck.
Teoría de la Relatividad Especial
• La Teoría de la Relatividad
Especial, también llamada Teoría
de la Relatividad Restringida, es
una
teoría
física
publicada
en 1905 por Albert Einstein. Surge
de la observación de que la
velocidad de la luz en el vacío es
igual en todos los sistemas de
referencia inerciales y de sacar
todas
las
consecuencias
del principio de relatividad, según
el cual cualquier experiencia hecha
en un sistema de referencia inercial
se desarrollará de manera idéntica
en cualquier otro sistema inercial.
Postulados
• Primer postulado - Principio especial de
relatividad - Las leyes de la física son las mismas
en todos los sistemas de referencia inerciales. En
otras palabras, no existe un sistema inercial de
referencia privilegiado, que se pueda considerar
como absoluto.
• Segundo postulado - Invariancia de c La velocidad de la luz en el vacío es una constante
universal, c, que es independiente del movimiento
de la fuente de luz.
Principio de la Relatividad
• Henri Poincaré a finales del siglo XIX sugirió que el principio de
relatividad se mantenga para todas las leyes de la naturaleza. Joseph
Larmor y Hendrik Lorentz descubrieron que las ecuaciones de Maxwell,
la piedra angular del electromagnetismo, era invariante solo por una
variación en el tiempo y una cierta unidad longitudinal. Lo que produjo
mucha confusión en los físicos, ellos estaban tratando de argumentar las
bases del éter lumínico, pero este éter era incompatible con el principio
de relatividad.
• En su publicación de 1905 en electrodinámica, Henri Poincaré y Albert
Einstein explicaron que, con las transformaciones hechas por Lorentz,
éste principio se mantenía perfectamente invariable. La contribución de
Einstein fue el elevar a este axioma a principio y proponer a
las transformadas de Lorentz como primer principio. Además descartó la
noción de tiempo absoluto y requirió que la velocidad de la luz en
el vacío sea la misma para todos los observadores, sin importar si éstos se
movían o no. Esto era fundamental para las ecuaciones de Maxwell, ya
que éstas necesitan de una invarianza general de la velocidad de la luz en
el vacío.
Transformaciones de Lorentz
• Los físicos de la época
habían encontrado una
inconsistencia entre la
completa descripción
del electromagnetismo
realizado por Maxwell y
la mecánica clásica. Para
ellos, la luz era una onda
electromagnética transv
ersal que se movía por
un sistema de referencia
privilegiado, al cual lo
denominaban éter.
Diferentes sistemas de
referencia para un mismo
fenómeno.
• Hendrik Lorentz trabajó en resolver este problema y fue desarrollando unas
transformaciones para las cuales las ecuaciones de Maxwell quedaban
invariantes y sin necesidad de utilizar ese hipotético éter.
• La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como la Teoría electrónica de
Lorentz, no excluía -sin embargo- al éter. En la misma, Lorentz proponía
que la interacción eléctrica entre dos cuerpos cargados se realizaba por
medio de unos corpúsculos a los que llamaba electrones y que se
encontraban adheridos a la masa en cada uno de los cuerpos.
• Estos electrones interactuaban entre sí mediante el éter, el cual era
contraído por los electrones acorde a transformaciones específicas,
mientras estos se encontraban en movimiento relativo al mismo.
• Éstas transformaciones se las conoce ahora como transformaciones de
Lorentz. La formulación actual fue trabajo de Poincaré, el cual las presentó
de una manera más consistente en 1905.
• Donde
la
es el llamado factor de Lorentz y es la velocidad de
luz en el vacio
Simultaneidad
• Se refiere al hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos
acontecimientos en diferente lugar puedan haberse realizado al
mismo tiempo. Si dos observadores, en el mismo lugar (espacio),
presencian un fenómeno, podrían decir simultáneamente que se realizó en
el mismo tiempo. Los dos indicarían el mismo tiempo del acontecimiento.
Pero si los dos presencian ese acontecimiento en lugares diferentes,
espacios diferentes, al mismo tiempo, ninguno de ellos podría afirmar que
se realizó simultáneamente.
• Matemáticamente, esto puede comprobarse en la primera ecuación de
la transformación de Lorentz:
• un evento que se realiza en el sistema de referencia S, que satisface ,no no
no necesariamente debe ser simultáneo en otro sistema de referencia
inercial S', para satisfacer .
Dilatación del Tiempo
• El tiempo en esta teoría deja de
ser absoluto como se proponía
en la mecánica clásica. O sea, el
tiempo para todos los
observadores del fenómeno deja
de ser el mismo. Si tenemos
un observador inmóvil haciendo
una medición del tiempo de un
acontecimiento y otro que se
mueva a velocidades relativistas,
los dos relojes no tendrán la
misma medición de tiempo.
• Mediante la transformación de Lorentz nuevamente
llegamos a comprobar esto. Se coloca un reloj ligado al
sistema S y otro al S', lo que nos indica que x = 0. Se
tiene las transformaciones y sus inversas en términos de
la diferencia de coordenadas:
Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos:
De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en el
sistema en movimiento S' serán más largos que los del S.
La relación entre ambos es esa γ. Éste fenómeno se lo
conoce como dilatación del tiempo.
Contracción de la Longitud.
• Si se dice que el tiempo varía
a velocidades relativistas,
la longitud también lo hace. Un ejemplo
sería si tenemos a dos observadores
inicialmente inmóviles, éstos miden un
vehículo en el cual solo uno de ellos "viajará"
a grandes velocidades, ambos obtendrán el
mismo resultado. Uno de ellos entra al
vehículo y cuando adquiera la suficiente
velocidad mide el vehículo obteniendo el
resultado esperado, pero si el que esta
inmóvil lo vuelve a medir, obtendrá un valor
menor. Esto se debe a que la longitud
también se contrae.
Gráfico que explica la
Contracción de Lorentz
• Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x y
condicionando a
se obtiene:
• de lo cual podemos ver que existirá una disminución debido al
cociente. Estos efectos solo pueden verse a grandes
velocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana las
conclusiones obtenidas a partir de éstos cálculos no tienen
mucho sentido.
• Un buen ejemplo de estas contracciones y dilataciones fue
propuesto por Einstein en su paradoja de los gemelos.
• Anterior a la Relatividad Especial, la velocidad de un cuerpo
en dos sistemas venía dado por
donde es la
velocidad del cuerpo con respecto al sistema S', U es la
velocidad del sistema y V es la velocidad desde el sistema en
reposo S. Ahora, debido a la alteración en la dirección de la
noción de simultaneidad esto deja de ser del todo cierto. Con
los cálculos debidos en las transformadas de Lorentz se logra
obtener la siguiente ecuación:
• Al observar con cuidado esta fórmula se nota que si un cuerpo
se mueve a la velocidad de la luz en el sistema S, también lo
hará en el sistema S'. Además se obtiene que si las velocidades
son muy pequeñas en comparación con la luz, esta fórmula se
aproxima a la anterior dada por Galileo.
Masa, Momento y energia
• El concepto de masa en la teoría de la relatividad especial tiene dos
bifurcaciones: la masa invariante y la masa relativista. La masa
relativista es la masa que va a depender del observador y puede
incrementar dependiendo de su velocidad, mientras que la
invariante es independiente de quien la mire y como su nombre lo
dice no varía.
• Matemáticamente se obtiene que M=γm donde M es la masa
relativista, m es la invariante y
γ es el factor de Lorentz
Energía
• La relatividad especial postula una ecuación para la energía, la
cual inexplicablemente llego a ser la ecuación más famosa del
planeta, E=mc2. A esta ecuación también se la conoce como la
equivalencia entre masa y energía.
• En la relatividad, la energía y el momento están relacionados
mediante la ecuación
Esta relación de energía-momento formulada en la relatividad
nos permite observar la independencia del observador tanto
de la energía como de la cantidad de momento. Para
velocidades no relativistas, la energía puede ser aproximada
mediante una expansión de una serie de Taylor así
Fuerza
• Empleando la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza
es:
• contrariamente a lo que se decía en la mayoría de los casos en
la mecánica newtoniana, aquí la masa deja de ser una
constante para ser una invariante. De este modo, la tan usada
ecuación de F=m.a ya no puede ser utilizada aquí. Por lo que
más estrictamente hablando la ecuación tendría que ser:
• donde M es la masa inercial. Además la fuerza podría no
tener necesariamente la dirección de la aceleración por lo que
relativísticamente se suele usar esta fórmula:
Bibliografía
• http://refugioantiaereo.com/2006/08/emc2-la-teoria-deeinstein-explicada
• www.es.wikipedia.org
• http://astroverada.com/_/Main/T_spacetime.html
• Stephen W. HawkingLa Teoría del Todo. Ed. Debate
• R. Eisberg y R. Resnick, Física cuántica: átomos, moléculas,
sólidos, núcleos y partículas, Limusa.
• P. A. Tipler, Física para la ciencia y la ingeniería, volumen 2,
Reverté.
• R. Serway, Física, tomo 2, McGraw Hill, tercera edición.
• P. Fishbane, S. Gasiorowicz y S. T. Thornton, Física para
ciencias e ingeniería, volumen 2, Prentice-Hall.