Download Miércoles, 6 de febrero, 2008

Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Termodinámica
• Hasta ahora no mencionamos el campo de la
termodinámica. Sin embargo es fundamental para
el entendimiento de la física.
• Se mencionó que energía no puede ni generarse ni
destruirse ... sin embargo, introdujimos elementos
como las fuentes y los resistores que no deberían
existir por consecuencia de esa observación.
• En esa presentación se analizaran estos fenómenos
en más detalles.
Febrero 6, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
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Fuentes y sumideros de energía
La termodinámica irreversible
La conducción de calor
El flujo de calor
Resistores y capacidades térmicos
La radiación
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Fuentes y Sumideros de Energía
.
Lindero del
sistema físico (la
pared)
k·U0
T S1
Modelo térmico
(modelo externo)
T
Se
.
i0 /k
El otro lado de la pared
(modelo externo)
S2
Toma de
corriente,
pila
Modelo eléctrico
(modelo interno)
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Lindero del sistema
matemático (campos
diferentes)
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Fuente Resistiva
• El resistor convierte energía libre de forma irreversible en
entropía.
• Este concepto se representa en el gráfico de ligaduras por
una fuente resistiva, el elemento RS.
• La causalidad del lado térmico es fija. El resistor siempre
opera como una fuente de entropía y nunca como una
fuente de temperatura.
• Fuentes de temperatura no representan un concepto físico.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Conducción de Calor I
• La conducción de calor en una barra bien aislada puede
describirse por la ecuación de la conducción de calor en una
dimensión:
• La discretización en el espacio nos da:
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Conducción de Calor II
• Por consecuencia se puede considerar el circuito eléctrico
equivalente:
dvi /dt = iC /C
iC = iR1 – iR2
vi-1 – vi = R· iR1
vi – vi+1 = R· iR2
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
dvi /dt = (iR1 – iR2 ) /C
= (vi+1 – 2·vi + vi-1 ) /(R · C)

(R · C)·
dvi
dt = vi+1 – 2·vi + vi-1
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La Conducción de Calor III
• Por consecuencia puede describirse la conducción de calor
por una serie de circuitos T:
• En la representación por gráficos de ligaduras:
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Conducción de Calor IV
• Este gráfico de ligaduras es muy bonito ...
Tiene una sola desventaja ...
Es seguramente incorrecto!
.
No hay sumideros de energía!
Puede ser razonable usar resistores en circuitos eléctricos si el
campo térmico no es de interés. Sin embargo no tiene sentido
usar resistores si el modelo mismo ya opera en el campo
térmico.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Conducción de Calor V
• El problema puede corregirse fácilmente remplazando cada
resistor por una fuente resistiva.
• El gradiente de la temperatura produce entropía adicional
que se inserta en la unión 0 más próxima.
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La Conducción de Calor VI
• Ese modelo ofrece una buena aproximación de la realidad
física. Desafortunadamente el gráfico de ligaduras que
resulta es asimétrico, aunque la ecuación de la conducción
de calor es simétrica.
• Una corrección adicional remueve la asimetría.
.
S
i-1
 RS
1
.
S
.
S
iy
0
Ti
Ti
.
S
i-1
i-1
Ti
C
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RS
Ti
Si-1
.
Ti Si-1 2
2
Ti
0 .
1
RS
.S Ti+1
RS 
ix
Ti+1
.
S
i-1
0
.
1
Si Ti+1
C
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Flujos de Calor
• La potencia térmica es el flujo de calor dQ/dt. En los
gráficos de ligaduras se calcula de dos variables térmicas
adjuntas:
·
P = Q = T·S·
• También es posible tratar el flujo de calor como la variable
principal física y deducir de ella una ecuación para calcular
el valor de la entropía:
·
S = Q· / T
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Las Variables R y C I
• Una barra bien aislada conduce calor en proporción al
gradiente de la temperatura.
· = ( · T) · S· = R · S·
T =  · Q· =  · (T · S)

• donde:
 = l1 · Al

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R=·T
 = resistencia térmica
l = conductancia térmica específica
l = longitud de la barra
A = sección transversal de la barra
x · T
R=·T=
l·A
x = longitud de un segmento
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Las Variables R y C II
• Una barra bien aislada almacena calor conforme a la ley:
explicado más tarde
dT
· = T·S·
Q· = g · dt = (T·S)

• donde:
g=c·m
m=r·V
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C=g /T

dT
g dT
S·= T · dt = C· dt
g = capacidad de almacenar calor
c = capacidad específica de calor
m = masa de la barra
r = densidad del material
V = volumen de un segmento
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Las Variables R y C III

C = g / T = c · r · V / T = c · r · A · x / T

R·C=·g=
c·r
l
1
·  x2 = s ·  x2
• La constante de tiempo de la difusión R·C es independiente
de la temperatura.
• La resistencia térmica es proporcional a la temperatura.
• La capacidad térmica es proporcional al inverso de la
temperatura.
• Los elementos R y C térmicos son, en contraposición a los
elementos R y C de los campos eléctricos y mecánicos, no
constantes.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
¿Es la “Capacidad” Térmica
Verdaderamente una Capacidad?
• Tenemos que verificar que la ley deducida no es en
violación de la regla general de las leyes capacitivas.
g dT
·
S = T · dt

g
de
f = e · dt

q = g · ln(e)
q es en efecto una función no lineal de e. Por
consecuencia, la regla general de las leyes
capacitivas satisface la ley deducida.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Calculo de R para el Gráfico de Ligaduras
Modificado
• El valor de la resistencia térmica se calculó para la
configuración original del circuito. Tenemos que analizar,
cuales son los efectos de la simetrización del gráfico de
ligaduras sobre el valor de la resistencia térmica.
• Es cierto que se puede remplazar el resistor original por dos
resistores de tamaño doble conectados en paralelo:
2R
2R
R
C
C

C
2R
1
C

0
1
C
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2R
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0
C
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Modificación del Gráfico de Ligaduras
• El gráfico de ligaduras puede modificarse usando la regla
del diamante:
2R
1
0
C
1
2R
0
C

2R
0
2R
0
1
0
C
C
• Aquella es exactamente la estructura usada en el gráfico de
ligaduras simétrico.
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La Radiación I
• Un segundo fenómeno fundamental de la termodinámica es
la radiación. Se describe por la ley de Stephan-Boltzmann.
=s·T4
• El calor emitido es proporcional a la radiación y a la
superficie emitiendo.
.
Q=s ·A·T4
• Por consecuencia es la entropía emitida proporcional a la
tercera potencia de la temperatura absoluta.
.
S=s ·A·T3
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La Radiación II
• La radiación describe un fenómeno de disipación
(lo
.
sabemos a causa de la relación estática entre T y S).
• Por consecuencia puede evaluarse la resistencia de la
manera siguiente:
.
R = T / S = 1 / (s · A · T 2 )
• La resistencia de la radiación es proporcional al inverso del
cuadrado de la temperatura absoluta.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Radiación III
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Referencias
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 8.
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