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Grado 10°
Trigonometría
José David Ojeda
Trigonometría
Viene del griego TRIGÓNO que significa
triangulo y METRON que significa medida.
Rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y ángulos de un
triangulo.
Veamos algunos conceptos iniciales:
Ángulos
Ángulos
Es la unión de dos semirrectas con el
mismo origen
Notación de un ángulo: Un angulo se nota
con letras mayusculas, para el lado inicial,
el vertice y el lado final.
Ángulos
A
ABC
B
C
En trigonometría es importante tener en
cuenta el lado del ángulo que se nombra
primero. No es lo mismo ABC que CBA
Angulos
A
CBA
B
C
Ángulos
También podemos usar letras griegas para
notar ángulos  ,  ,  ,  .

Ángulos en el plano
cartesiano
Ángulos en el plano cartesiano
Un
ángulo
se
encuentra en posición
canónica o normal
cuando en el plano
cartesiano, el vértice
coincide con el origen
y el lado inicial
coincide
con
el
semieje
horizontal
positivo x.
y
Lado final
x
O
Lado inicial
Ángulos en posición normal
Primer cuadrante
Tercer cuadrante
Segundo cuadrante
Cuarto cuadrante
Ángulos en el plano cartesiano
Un Angulo es positivo cuando se genera a
partir de una rotación en sentido
contrario a las manecillas del reloj
Angulo positivo
Ángulos en el plano cartesiano
Un ángulo es negativo cuando se genera a
partir de una rotación que tiene el mismo
sentido que las manecillas del reloj.
Angulo negativo
Medición de Ángulos
Medición de Ángulos
Los ángulos se miden en grados y en
radianes.
El grado es la unidad de medida de los
ángulos en el sistema sexagesimal y el
radián es la unidad de medida en el
sistema cíclico.
Medición de Ángulos
MEDIDA DE ANGULOS EN ES
SISTEMA SEXAGESIMAL
• El ángulo generado por la rotación del
ángulo en una vuelta, mide 360 grados y
se denota 360°.
• El grado sexagesimal (1°) se define como
1
de una vuelta.
360
Medición de Ángulos
• Un grado sexagesimal equivale a 60
minutos (1° = 60’)
• Un minuto equivale a 60 segundos
(1’ = 60”)
Medición de Ángulos
Ejercicio: Expresar el ángulo de 42,225°
en grados, minutos y segundos.
Solución:
Primero determinamos los minutos a los
que equivale la parte decimal:
0,225  60  13.5'
Se multiplica
por 60
Medición de Ángulos
Luego se determinan los segundos a los
que equivale la parte decimal
0,5  60  30"
Por lo anterior:
Se multiplica
por 60
42,225° = 42° 13’ 30”
Medición de Ángulos
MEDIDA DE ANGULOS EN EL
SISTEMA CICLICO
Sobre una circunferencia, un ángulo
central β determina un arco de .
Se dice que la medida del ángulo β es un
radian (1 rad) si la longitud del arco que le
corresponde es igual al radio de la
circunferencia.
Medición de Ángulos
B
r
β
A
r=
Medición de Ángulos
Un radian es la medida de un ángulo
central de una circunferencia cuyo
arco mide igual que un radio
El número pi (π)
El número π
El numero π
Por lo anterior, la longitud de una
circunferencia es πd, donde d es el
diámetro de la circunferencia, pero
sabemos que el diámetro es dos veces el
radio de la circunferencia. Por tanto…
Longitud de la circunferencia =
2πr
Donde r es el radio de la circunferencia
Equivalencia
entre el sistema
sexagesimal y el
cíclico
Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico
Dado que la longitud de una circunferencia
de radio r es 2πr, entonces la cantidad de
arcos con longitud igual al radio en
cualquier circunferencia es 2π.
Por lo anterior, la cantidad de radianes en
una circunferencia es de 2π. Entonces…
360° = 2π rad
Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico
Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico
90°
45°
135°
0
180°
0°
360°
315°
225°
270°
Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico
Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico
TRIÁNGULOS
Triángulos
Si A, B y C son puntos no coloniales,
entonces el triangulo ABC es la unión de
los segmentos
,
y
.
Los puntos A, B y C son los vértices del
triangulo;
,
y
son los lados;
BAC ,
ABC y
BCA son los
ángulos interiores.
B
A
C
Triángulos
De acuerdo con la longitud de sus lados los
triángulos se clasifican en :
• Triangulo equilátero si sus lados son
congruentes
• Triangulo isósceles si dos de sus lados
son congruentes
• Triangulo escaleno si las medidas de sus
lados son diferentes
Triángulos
Triangulo equilátero
Triangulo isósceles
Triangulo escaleno
Triángulos
De acuerdo a la medida de sus ángulos, los
triángulos se clasifican en:
•Triangulo acutángulo si todos sus ángulos
internos miden menos de 90°
•Triangulo obtusángulo si uno de sus
ángulos mide mas de 90° (Angulo obtuso)
•Triangulo rectángulo si uno de sus ángulos
mide exactamente 90° (Angulo recto)
Triángulos
Triangulo acutángulo
Triangulo obtusángulo
Triangulo rectángulo
Triángulos
Nota: En un triangulo rectángulo, las
rectas que forman el Angulo recto se
llaman catetos y el lado opuesto a
dicho
ángulo
es
denominado
hipotenusa
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Propiedades de los triángulos
Propiedades de los triángulos
De acuerdo con la medida de sus ángulos,
los triángulos cumplen las siguientes
propiedades:
• Todo triangulo equilátero es equiángulo,
es decir, las medidas de los ángulos son
iguales.
• Si dos lados de un triangulo son
congruentes, entonces los ángulos
opuestos a estos lados son congruentes
Propiedades de los triangulos
• Si dos ángulos de un triangulo son
congruentes,
entonces
los
lados
opuestos
a
estos
ángulos
son
congruentes.
• La medida de los ángulos
internos
de
cualquier
triangulo, suman 180°.
Propiedades de los triángulos
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
• En un triangulo rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
• h: Hipotenusa, a: y b: Catetos
Teorema de Pitágoras
• Ejemplo: Camilo viaja 4 kilómetros al
norte y 3 kilómetros al oeste desde su
casa para llegar a su trabajo, ¿Cuál será
la distancia mínima entre su casa y su
lugar de trabajo?
2
2
2
x

4

3
3
3
N
x
x 2  16  9
4
O
E
x
4
x  25
2
x  25
S
x 5
Teorema de Pitágoras
Ejercicios: Una escalera de 10 m de
longitud está apoyada sobre la pared. El pie
de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué
altura alcanza la escalera sobre la pared?
Andrés desea comprar un televisor de 42
pulgadas, al llegar a la tienda de
electrodomésticos, nota que las TV’s no
indican sus tamaños, pero un vendedor sabe
que la altura y ancho son de 26 y 33
pulgadas respectivamente, ¿según esto se
trata de una TV de 42 pulgadas o no?