Download Geometría - Haroldo Cornejo Olivari

EJÉRCITO DE CHILE
COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA
Academia Politécnica Militar
Geometría Plana
Bases de la geometría
Haroldo Cornejo Olivarí
Ángulo: Concepto y definición



Es la porción de un plano contenido entre
dos semirrectas que tienen su origen en
común.
Es la abertura formada por dos semirrectas
con un mismo origen llamado vértice.
El ángulo se designa con una letra griega o
tres letras con el vértice en medio (α; β;
AOM; ABC; etc)
Ángulo: Concepto y definición

Sus componentes son:



LADOS: Son las semirrectas.
VÉRTICE: Es el punto común de los lados.
VALOR O DIMENSIÓN: Es la abertura de los lados.
Clasificación de los ángulos

Ángulos
Agudos:
son
aquellos que miden menos de
90 grados.

Ángulo Recto: es aquel que
mide 90 grados.

Ángulo obtuso: son aquellos
que miden más de 90 y
menos de 180 grados.
Clasificación de los ángulos

Ángulo Llano o Extendido:
es aquel que mide 180
grados.

Ángulo Convexo: son aquellos que miden
más de 180 y menos de 360 grados.

Ángulo Completo: es aquel que mide 360
grados.
Ángulos complementarios


Dos ángulos son complementarios si su
suma es un ángulo recto.
Complemento de un ángulo agudo es su
diferencia con él ángulo recto.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si su
suma es un ángulo extendido.
 Suplemento de un ángulo cóncavo es
su diferencial al ángulo extendido.

Ángulos adyacentes


Dos ángulos son adyacentes si tienen un
lado en común y los otros dos en línea recta.
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice


Son aquellos ángulos que tienen un vértice
en común y los lados de uno son la
prolongación de los lados del otro.
Necesariamente son iguales.
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
L // M
1
3
5
7
2
4
L
6
8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Correspondientes
<1 y <5
1
<2 y <6
3
2
4
L
<3 y <7
<4 y <8
L // M
5
7
6
8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Internos
1
<3 y <6
3
<4 y <5
2
4
L
L // M
5
7
6
8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Externos
1
<1 y <8
3
<2 y <7
2
4
L
L // M
5
7
6
8
M
Bisectriz

Es la semirrecta, que partiendo del vértice
divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Triángulos

El triángulo es una figura geométrica formada por tres
lados, unidos en tres puntos llamados vértices. La
costumbre es utilizar letras mayúsculas para nombrar
los vértices; la letra minúscula representa el lado
opuesto al vértice correspondiente, o su longitud. Un
lado, o su longitud, se puede también nombrar utilizando
el nombre de los dos vértices en sus extremos.
Triángulos

La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180º
Clasificación de los triángulos
(tiene hipervínculos)
 Según



Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
Triángulo obtusángulo
 Según



sus ángulos
sus lados
Triángulo escaleno
Triángulo isosceles
Triángulo equilátero
Elementos de un triangulo

Altura


Es la perpendicular desde un vértice de un
triángulo hasta al lado opuesto. Existe una por
cada vértice.
El punto de intersección de las alturas se conoce
como ortocentro (O en las figuras).
Área de un triangulo
b = base del triangulo
h = Altura del triangulo
Perímetro de un triangulo
2s = a + b + c
s = semiperímetro
Elementos de un triangulo

Mediana o Transversal de Gravedad


Es un segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto, como ta en la figura.
Las tres medianas se cortan en un punto llamado
baricentro o centro de gravedad (T en la
figura).
Elementos de un triangulo

Bisectriz interior



Es la recta que pasa por un vértice
y divide al ángulo interior en dicho
vértice en dos partes iguales, como
AR en la figura.
Las tres bisectrices internas se
cortan en tres puntos llamados
incentros.
Bisectriz exterior


Divide en dos partes iguales al
ángulo exterior a dicho vértice,
como AV en la figura.
Las tres bisectrices externas se
cortan en tres puntos llamados
excentros (I en la figura).
Elementos de un triangulo

Mediatriz o simetral


Es una recta perpendicular a un lado en su punto
medio, como HK en la figura.
Las tres mediatrices se cortan en un punto
llamado circuncentro (como H en la figura) que
es el centro de la circunferencia circunscrita
que pasa por los tres vértices del triángulo.
Teorema de Pitágoras

Relaciona los catetos y la hipotenusa de
un triángulo rectángulo
c2 = a2 + b2
a2 =
b2 =
2
c
h + q2
2
c
h + p2
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Geometría Plana
Circunferencia y Círculo
Haroldo Cornejo Olivarí
Circunferencia y circulo

Circunferencia


Es el lugar geométrico de todos los puntos
ubicados en un mismo plano, tal que equidistan
de otro punto fijo llamado Centro. La distancia
entre el centro y cada uno de los puntos se llama
Radio.
La circunferencia es una línea curva convexa y su
longitud es igual a 2пR.
Circunferencia y círculo

Círculo


Es la porción del plano encerrada por la
circunferencia .
2
El área de la superficie es igual a  r
Circunferencia y círculo

Una recta puede estar fuera de la
circunferencia sin cortar un solo punto
de ella. Se dice entonces que la recta
es exterior a la curva.

Si la recta tiene un punto en contacto,
entonces esta recta se llama
tangente. Y el punto de contacto es
conocido como punto de tangencia
(Punto T).

La perpendicular a la tangente por el
punto de tangencia se llama Normal a
la curva en dicho punto, y se
confunde con el radio.
Circunferencia y círculo

Si se sigue acercando la
recta tangente hacia el
centro, cortará a la curva
en dos puntos, y esta
recta se llama Secante.

La porción de la secante,
comprendida entre los dos
puntos de corte se llama
Cuerda.
Circunferencia y círculo

Segmento circular:
Es la superficie encerrada entre
una cuerda y el arco subtendido
por esta cuerda. El área del
segmento circular dependerá de la
distancia de la cuerda al centro.

Sector Circular:
Es la porción del círculo encerrado
entre dos radios de la curva y el
arco comprendido entre dichos
radios. El área del sector circular
dependerá de la abertura existente
entre los dos radios.
Circunferencia y círculo

Posiciones relativas entre dos
circunferencias:


Circunferencia Exterior a otra: Aquellas
circunferencias que no tienen ningún punto en
común.
Circunferencia Interior a otra: Cuando una de las
circunferencias tiene su centro dentro del círculo,
pero no existe punto de contacto entre las dos.
La circunferencia de centro
O2 es interior a la
circunferencia O1, mientras
que la de centro O3 es
exterior.
Circunferencia y círculo

Posiciones relativas entre dos
circunferencias:

Circunferencias Concéntricas: Son
aquellas que tienen el mismo centro.
Las circunferencias no se tocan en
ningún punto.

La parte del circulo mayor comprendida
entre las dos circunferencias se llama
Corona o anillo circular y su área es
 ( R2  r 2 )
Circunferencia y círculo

Posiciones relativas entre dos
circunferencias:

Circunferencias Tangentes: Tienen un solo
punto en común.

Circunferencias Secantes: Son Circunferencias
que se cortan.
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Geometría Plana
Teorema de Thales
Haroldo Cornejo Olivarí
"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos
transversales, los segmentos de las transversales determinados
por las paralelas, son proporcionales
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3
, T y S transversales,
los segmentos a, b, c y d son proporcionales
T
Es decir:
S
L1
a
a= c
b d
¿DE
ACUERDO?
c
L2
b
d
L3
Un ejemplo:
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del
trazo x
L1
Ordenamos los datos en
la proporción, de acuerdo
al teorema de Thales
L2
T
x
15
S
Es decir:
8
X
24 = 15
8
Y resolvemos la proporción
24
24 • x = 8 • 15
X =8 • 15
24
X=5
Fácil
L3
Otro ejemplo:
en la figura L1 // L2 // L3
,
T y S son transversales, calcula x y el trazo CD
L3
Formamos la proporción
L2
3
2
=
x+4
x+1
T
x+1
L1
D
Resolvemos la proporción
x+4
3(x + 1) = 2(x + 4)
C
3x + 3 = 2x + 8
3x - 2x= 8 - 3
X=5
S
Luego, como CD = x + 4
CD= 5 + 4 = 9
3
2
Si pensamos en una pirámide..
TRIÁNGULOS DE THALES
Dos triángulos se dicen de Thales o que
están en posición de Thales, cuando:
Tienen un ángulo común y los lados
opuestos a dicho ángulo son
paralelos.
Podemos ver esto si trasladamos el triángulo
formado por el bastón, su sombra y los rayos
solares hacia el formado por la pirámide
H(altura de la pirámide)
h (altura de bastón)
s (sombra)
S
(sombra)
Triángulos de Thales
En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la
A
misma razón de semejanza
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED,
entonces, con los lados de los triángulos AED y
ABC ocurre:
AE ED
=
AB BC
E
D
O también
AE = AB
ED
BC
B
A esta forma de
tomar los trazos, se
le llama “la doble L”
C
Aplicaciones de esta idea
Calcula la altura del siguiente edificio
Escribimos la proporción
Por que 3+12=15
3
15
= x
5
x
Y resolvemos la proporción
3 • x = 5 • 15
x = 75
3
X = 25
5
3
12
Otro ejercicio
En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE
Formamos la proporción
Por que
x+3+x = 2x+3
8
12
=
X+3
2x+3
C
D
Resolvemos la proporción
8
8(2x + 3) = 12( x + 3)
16x + 24 = 12x + 36
16x – 12x = 36 – 24
12
A
x+3
E
4x = 12
X = 12 = 3
4
Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 =
6
x
B
Teorema de Euclides

Relaciona los lados de un triángulo
rectángulo con sus proyecciones
a2 = c · q
b2 = c · p
hc2 = p · q
ab
hc 
c
Teorema de la bisectriz
AQ = bisectriz del ángulo CAB
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Geometría Plana
Polígonos
Haroldo Cornejo Olivarí
Polígonos


Porción de plano limitado por líneas
rectas, llamada línea poligonal.
En geometría se conoce como poligonal a
la línea formada por segmentos cerrada
(polígono) o abierta.
Polígono inscrito y circunscrito

Un polígono está inscrito en una
circunferencia se todos sus vértices son
puntos da la circunferencia. Esa
circunferencia se dice circunscrita al
polígono.
Clasificación de los polígonos

Según su forma





CONVEXOS - Todos sus ángulos son convexos
CONCAVOS - Al menos un ángulo cóncavo
REGULARES - Todos sus ángulos y lados iguales
IRREGULARES - Al menos un lado distinto
Según número de lados
Área de un polígono
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FIN
Haroldo Cornejo Olivarí
Clasificación de los triángulos

Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus
tres ángulos agudos.
Clasificación de los triángulos


Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un
ángulo recto
El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo
rectángulo, como HK en la figura , se denomina
hipotenusa, y los otros dos lados se llaman
catetos.
Clasificación de los triángulos

Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene
un ángulo obtuso
Clasificación de los triángulos

Según sus lados

Triángulo escaleno: es aquel que tiene los tres
lados de diferente longitud, y sus tres ángulos
también diferentes
Clasificación de los triángulos

Según sus lados


Triángulo isósceles: es aquel que tiene los tres
lados iguales entre sí, y además los ángulos
interiores que se oponen a estos lados, tienen
igual medida y se llaman ángulos básales.
El ángulo formado por los dos lados iguales de un
triángulo isósceles, es el ángulo del vértice. El
tercer lado se conoce como base.
Clasificación de los triángulos

Según sus lados

Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus tres
lados iguales, y sus ángulos interiores también
iguales y miden 60 grados cada uno.