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TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS
CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN.
• Triángulo
• Elementos
• Ángulos del triángulo
• Construcción de triángulos
• Puntos y rectas notables del triángulo
– Mediatrices. Circuncentro
– Bisectrices. Incentro.
– Medianas. Baricentro.
– Alturas. Ortocentro.
Triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras
TRIÁNGULO.
Llamamos triángulo a un conjunto de tres puntos no alineados. A estos
puntos se les llama vértices del triángulo.
Si unimos cada uno de los tres vértices mediante segmentos, a estos
segmentos se le llama lados del triángulo.
- Un triángulo se llama equilátero si tiene los tres lados iguales.
- Un triángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales
-Un triángulo se llama escaleno si tiene los tres lados desiguales.
Además en cada vértice del triángulo se forma un ángulo. A estos ángulos
se les llama ángulos del triángulo
- Un triángulo con los tres ángulos agudos se llama acutángulo.
- Un triángulo con un ángulo obtuso se llama obtusángulo.
ELEMENTOS.
El triángulo que aparece en el dibujo es un triángulo acutángulo.
En él puedes observar:
• Los vértices
• Los lados y sus medidas
Vértice C
• Los ángulos y sus medidas
Lado b= AC
10,02 cm
Ángulo Â
68,2 °
Vértice A
Ángulo C Lado a= BC
43,0 ° 6,24 cm
Ángulo B
54,7 °
13,11 cm
Lado c = AB
Vértice B
ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO.
La suma de ángulos de un triángulo es igual a 180º
Luego la suma de ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO.
A continuación veremos cuándo es posible construir un triángulo
dados tres datos de él, es decir:
 Dados tres lados.
 Dados dos lados y un ángulo.
 Dados un lado y dos ángulos.
 DADOS TRES LADOS.
La condición para poder construir un triángulo a partir de tres segmentos,
es: La suma de dos segmentos cualesquiera es mayor que el tercero. Esto
supone tres condiciones, que se pueden resumir: La suma de dos lados es
mayor que el tercero, y este menor que la diferencia: a+c > b > a-c
Ejemplo:
a
b
c
Construcción paso a paso:
1. Coloco uno de los segmentos como base
del triángulo
2. Con centro en cada uno de los extremos
a
c
del segmento dibujo dos arcos:
Uno con radio a
b
Otro con radio c
3. Se unen los extremos del segmento que
he tomado como base, con el punto de
corte de los arcos y ya se tiene construido
el triángulo.
 DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO.
CASO 1 (SIEMPRE ES POSIBLE):
Conocemos dos lados y el ángulo comprendido por ellos
Ejemplo:
Construcción paso a paso:
a
b
Ángulo comprendido = 30º
30º
a
1. Colocamos como base a uno de los
lados
2. Con el transportador de ángulos
situado en uno de los extremos de la
base, medimos el ángulo. En nuestro
caso 30º.
3. Con esa inclinación trazamos una
recta.
4. Sobre la recta medimos el otro lado.
5. Unimos los extremos libres de los
dos lados.
 DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO.
CASO 2 (POSIBLE EN ALGUNOS CASOS):
Conocemos dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos
Ejemplo:
Construcción paso a paso:
1. Colocamos como base al lado a
a
b
2. Con el transportador de ángulos
situado en uno de los extremos de la
base, medimos el ángulo. En nuestro
caso 30º.
Ángulo adyacente a a = 30º
b
b
30º
a
3.
4. Con
En elesa
otro
inclinación
extremo del
trazamos
lado trazo
una un
recta.
arco con radio b.
5. El punto de corte de la recta con el
arco, si es que este existe, da el tercer
vértice del triángulo.
COMO PUEDES OBSERVAR EN ESTE CASO EXISTEN DOS SOLUCIONES
 DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS.
Para poder construir el triángulo, la suma de los dos ángulos dados
debe de ser menor de 180º
Construcción paso a paso:
1. Colocamos como base al lado
2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos
uno de los ángulos y trazamos una recta con esa inclinación.
3. Hacemos lo mismo con el otro ángulo en el otro extremo.
4. El punto de corte de esas rectas es el tercer vértice.
Ejemplo: a
Ángulos adyacentes 40º y 70º
70º
40º
a
 Puntos y rectas notables del triángulo
Estudiaremos
la
construcción
y
las
propiedades de los siguientes puntos y
rectas notables de un triángulo:
Mediatrices. Circuncentro
Bisectrices. Incentro.
Medianas. Baricentro.
Alturas. Ortocentro
 Mediatrices.
Mediatriz de un segmento: Es la recta perpendicular al
segmento que pasa por el punto medio de dicho segmento
Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.
Construcción de la mediatriz: Con radio un poco mayor que la mitad del
segmento trazo dos arcos, cada uno con centro en cado uno del los extremos del
segmento.
 Mediatrices de un triángulo.
Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de
los tres vértices del triángulo.
A
b
c
P
B
a
C
El punto P es el punto de intersección de las tres mediatrices y equidista de
los tres vértices
 Circuncentro de un triángulo.
Al punto donde se cortan la mediatrices le llamaremos circuncentro
del triángulo.
Como P equidista de los vértices del triángulo, P es el centro de la
circunferencia que pasa por tres vértices, y se denomina CIRCUNCENTRO.
A
b
c
P
B
a
C
A la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo se le llama
circunferencia circunscrita.
 Bisectriz de un ángulo.
Bisectriz de un ángulo es la recta que, pasando por el vértice, divide
al ángulo en dos partes iguales
Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.
 Bisectrices de un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.
C
P
A
B
 Incentro.
Al punto donde se cortan la bisectrices le llamaremos incentro del
triángulo. Veamos que la razón es muy sencilla.
C
P
A
B
A la circunferencia que es tangente a los lados del triángulo se le llama
circunferencia inscrita.
 Medianas. Baricentro.
Llamamos mediana a la recta que une el punto medio del lado con el
vértice opuesto.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G denominado
BARICENTRO que dista del vértice el doble que del lado.
A
c
b
G
B
a
C
 Alturas. Ortocentro.
Altura sobre un lado. Es la recta perpendicular al lado que pasa por
el vértice opuesto.
Las alturas del triángulo se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO.
Ejemplo:
Dado el triángulo ABC, observamos
empíricamente que las alturas
coinciden en un punto
Construimos ahora el triángulo
asociado trazando paralelas a
B’
cada lado por el vértice
opuesto.
A
Como se puede observar el punto
obtenido anteriormente es el
C’
circuncentro del triángulo A’B’C’.
hb C
b
c
ha
a
A’
B
hc
 El Teorema de Pitágoras.
En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los
catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a b c
2
c
a
b
2
2
 El recíproco del Teorema de Pitágoras.
Dado un triángulo cuyos lados a, b y c cumplen que
a b c
2
2
2
Entonces, el triángulo es rectángulo en el vértice C.
B
b
a
c
a
c
a b c
2
2
2
C
Cˆ  90º
b
A
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
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