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Departamento de Matemáticas Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. Razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales Representación en la circunferencia unidad Signo de las razones trigonométricas Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, … Resolución de triángulos rectángulos Teorema del Seno Teorema del Coseno Resolución de triángulos cualesquiera Mariano Benito RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b sen a a b c c cos a tan b sen c cos Y sus inversas: a 1 cos ec b sen Mariano Benito a 1 sec c cos c 1 cot g b tg RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS a b c b2 c2 a 2 b c senα cosα 2 2 1 a a a a 2 2 2 2 1 senα cosα senα 2 2 1 tanα 1 sec 2 2 cosα cosα cosα 2 1 cotg 2 Mariano Benito 2 2 1 cosα senα cosα 2 1 cos ec 2 2 senα senα senα 2 2 2 VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES α 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º sen 0 cos 1 tg 0 cosec sec 1 cotg Mariano Benito 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 1 0 -1 0 0 -1 0 1 0 0 1 -1 2 2 2 3 3 2 3 3 2 2 -1 1 1 3 3 0 0 3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 α en el primer cuadrante 0º α 90º 90º cotgα cosecα secα senα α 180º 270º Mariano Benito cosα tgα 0º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 β en el segundo cuadrante cotg 90º β 180º 90º cosec senβ β 180º 0º cosβ sec tanβ 270º Mariano Benito RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º cotg cosec sec γ 180º 0º cosγ senγ γ en el tercer cuadrante 180º γ 270º Mariano Benito tanγ 270º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º cotgδ cosecδ δ 180º 0º cosδ senδ tanδ secδ 270º Mariano Benito δ en el cuarto cuadrante 270º δ 360º SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Seno y Cosecante + + _ _ Coseno y Secante _ + _ + Tangente y Cotangente _ + Mariano Benito + _ RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a cosec (-a) = -cosec a sec (-a) = sec a a -a cotg (-a) = -cotg a EJEMPLO: sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º 3 2 3 tg (-30º) = -tg 30º 3 cos 330º = cos (-30º) = cos 30º tg 330º = Mariano Benito 1 2 Calcula las demás razones trigonométricas RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a sen(90º a) cosa cos(90º a) sena tg (90º-a) = cotga cosec(90º-a) = sec a sec(90º-a) = cosec a cotg(90º-a) = tg a 90º-a a Mariano Benito EJEMPLO: sen 60º = cos 30º 3 2 1 2 cos 60º = sen 30º tg 60º = tg30º 3 Calcula las demás razones trigonométricas RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = cos (180º-a) = tg (180º-a) = sen a -cos a -tg a cosec (180º-a) = cosec a sec (180º-a) = -sec a 180º-a a cotg (180º-a) = -cotg a EJEMPLO: sen 150º = sen 30º 1 2 3 2 3 tg 150º = -tg 30º 3 cos 150º = -cos 30º Mariano Benito Calcula las demás razones trigonométricas RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a tg (180º+a) = tg a cosec (180º+a) = -cosec a sec (180º+a) = -sec a 180º+a a cotg (180º+a) = cotg a EJEMPLO: sen 210º = -sen 30º 3 2 3 3 cos 210º = -cos 30º tg 210º = tg 30º Mariano Benito Calcula las demás razones trigonométricas 1 2 Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo dos de ellos. Casos que pueden presentarse: I. Conocer un cateto y la hipotenusa II. Conocer un cateto y un ángulo agudo III. Conocer los dos catetos IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo Mariano Benito C a b 90º A c B I. Conocer un cateto y la hipotenusa C Datos: a = 25 cm., b = 16 cm. Teorema de Pitágoras: c a b 25 16 369 2 2 2 2 2 a b c 369 19.21 cm. Definición de seno: b 16 0.64 a 25 B arcsen(0.64) 39º 47' 31' ' senB C 90º B 50º 12' 29' ' Mariano Benito 90º A c B II. Conocer un cateto y un ángulo agudo C Datos: C = 35º, b = 16 cm. Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 35º = 55º Definición de seno y coseno de C: cosC b b 16 a 19.53 cm. a cosC cos35º senC c c a senC 19.53 sen35º 11.20 cm a Mariano Benito a b 90º A c B III. Conocer los dos catetos C Datos: b = 16 m. c = 12 m. Teorema de Pitágoras: a b c 16 12 400 2 2 2 2 2 a b a 400 20 m. Definición de tangente: b 16 1.33 c 12 B arctg(1.33) 53º 7' 48' ' tgB C 90º B 36º 52' 12' ' Mariano Benito 90º A c B IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo C Datos: a = 30 m. C = 25º Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 25º = 65º Definición de seno y coseno de C: cosC b b a cos C 30 cos 25º 27.19 m. a senC c c a senC 30 sen25º 12.68 m. a Mariano Benito a b 90º A c B Teorema del Seno C h a h senA b senB b h m A a n c h a senB h b senA Igualando la h en ambas ecuaciones B a senB b senA a b senA senB Y en general se tiene: a b c senA senB senC TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante …… Mariano Benito Teorema del Seno …… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos C y abarcar el mismo arco de circunferencia. 90º b a 2R c A D B En el triángulo ABC: a b c senA senB senC En el triángulo ADC: b b 2R senB senD sen90º Por lo tanto: Mariano Benito a b c 2R 2R senA senB senC sen90º Teorema del Coseno C b h m A a H c cos A n B m m b cos A b n c m n 2 (c m)2 c 2 m 2 2cm c 2 b 2 cos 2 A 2c b cosA a 2 h 2 n 2 b 2 m 2 n 2 b 2 b 2 cos 2 A c 2 b 2 cos 2 A 2c b cosA Para cualquier lado queda: Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de Pitágoras. Mariano Benito a 2 b 2 c 2 2 b c cos A b 2 a 2 c 2 2 a c cos B c 2 a 2 b 2 2 a b cos C Resolución de triángulos cualesquiera Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos. C a b Casos que pueden presentarse: I. Conocer los tres lados II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes Mariano Benito B c A I. Conocer los tres lados Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. C a b B Con el teorema del Coseno: c A b c a 22 17 15 0.7326 A arccos(0.7326) 42º 53' 43' ' 2bc 2 22 17 a 2 c 2 b 2 15 2 17 2 22 2 cosB 0.0588 B arccos(0.0588) 86º 37' 45' ' 2ac 2 15 17 a 2 b 2 c 2 15 2 22 2 17 2 cosC 0.6364 C arccos(0.6364) 50º 28' 34' ' 2ab 2 15 22 cosA Mariano Benito 2 2 2 2 2 2 Volver a resolución de triángulos cualesquiera II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido A Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º. b C Con el teorema del Coseno calculamos c: c a B c 2 a 2 b 2 2 a b cos C 10 2 7 2 2 10 7 cos 30º c 5.27 dm Con el teorema del Seno hallamos B: 41º 36' 20' ' b c b 7 senB senC sen30º 0.664 B arcsen(0.664) senB senC c 5.27 138º 23' 40' ' Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’: y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’ Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Conocemos los lados a y b y el ángulo A. En este caso hemos de contemplar tres posibilidades. Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir: III.3 a > h III.1 a < h b b III.2 a = h h b a A h a h III.3.1 a > h y a < b A A b III.3.2 a > h y a > b b a a a h a b h h A A Mariano Benito A Volver a resolución de triángulos cualesquiera Ejemplo III.1 a<h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO a=7 20=b 10=h 30º=A c Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera Volver al caso III Ejemplo III.2 a=h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO. C cosA = c/b = c/20 20=b A=30º Mariano Benito B = 90º, C = 90º-A = 60º 10=h a=10 c c = 20.cosA = 17.32 m. B Volver a resolución de triángulos cualesquiera Volver al caso III Ejemplo III.3.1 a > h y a < b Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES. 41º 48' 37' ' a b b senA 20 (1/ 2) senB 0.66 B senA senB a 15 138 º 11' 23' ' 20=b 20=b h=10 A=30º c a=15 B B agudo C = 180-A-B = 108º11’23’’ c=(a.senC)/senA= 28.50 m. Mariano Benito 15=a A=30º h=10 c B B obtuso C = 180-A-B = 11º48’37’’ c=(a.senC)/senA= 6.14 m. Volver a resolución de triángulos cualesquiera Volver al caso III Ejemplo III.3.2 a > h y a > b C Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. a b b senA 20 (1/ 2) senB 0.4 B 23º 34' 42' ' senA senB a 25 a senC c 40.23 m. senA a h c A C 180 A B 126 º25'19' ' Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º B Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. a b b senA 20 (1/ 2) senB 0.4 B 23 º 34' 42' ' senA senB a 25 a senC c 5.59 m. senA Mariano Benito b a c b B C h A C 180 A B 6º25'18' ' Volver a resolución de triángulos cualesquiera Volver al caso III IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º. Calculamos A = 180º – B – C = 105º B c A a b Con el teorema del Seno: 10 sen45 º b sen105 º 7.32 dm. a b c 10 b c 10 sen30 º senA senB senC sen105 º sen45 º sen30 º c 5.18 dm. sen105 º Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera C