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E l e c t r i c i d a d PROBLEMAS PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA y M a g n e t i s m o Antonio J Barbero Departamento de Física Aplicada UCLM 1 INTRODUCCIÓN HISTÉRESIS MAGNÉTICA En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para almacenamiento magnético de datos) El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula Saturación en sentido opuesto Imanación del material Material imanado hasta saturación por alineación de dominios M El material ferromagnético sigue una curva no lineal cuando se imana desde campo cero Campo magnético aplicado H El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (“recuerda su historia”). 2 E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o INTRODUCCIÓN (2) MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. LÍNEAS DE CAMPO Líneas de campo H Líneas de campo B En el espacio libre B H 0 Dentro del material ferromagnético M H M B 0 B H M 0 3 E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o INTRODUCCIÓN (3) E l e c t r i c i d a d ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA Imanación M M 0uz M 0 R3 He 2 u cos u r sin 3r 3 M 0 R3 Be 0 2 u cos u r sin 3 3 r r Z Fuera de la esfera uniformemente imanada El mismo campo que produciría un dipolo magnético m 4 R3M centrado en la esfera 4 m R3M 3 3 R Dentro de la esfera uniformemente imanada M0 ur cos u sin M Hi 3 3 M 2 Bi 0 M H i 0 M 0 M 3 3 Campos uniformes. El campo H tiene sentido opuesto a la imanación (campo desimanador) 4 y M a g n e t i s m o INTRODUCCIÓN (4) E l e c t r i c i d a d ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA (Cont) Imanación M M 0uz Z Z y Líneas de campo B Líneas de campo H M a g n e t i s m o 5 PROBLEMA 1 Dos conductores indefinidos coaxiales de radios a y b transportan corrientes iguales +I y –I (igual magnitud y sentidos contrarios). En un sector del volumen comprendido entre ambos existe un material lineal de permeabilidad , subtendidendo un ángulo (véase corte transversal en la figura). Se pide: b a a) Los campos H y B entre ambos conductores si no existiese entre ellos ningún material magnético. b) Los campos H, B y M en la situación planteada en el enunciado. Si no existiese ningún material magnético Ampère: b H b r H Suponemos saliente la corriente del conductor interno dl I H u 2r a dl Hdl I Existiendo material magnético a dl r H0 I B 0 u 2r Bnu Bn 0u Hdl I H0 2 r H r I E l e c t r i c i d a d y M Las componentes del campo a B normales a las superficies g n de separación de ambos medios han de ser continuas. e t Bn0 Bn i s Bn0 0 H0 Bn H m o 0 H 0 H 6 PROBLEMA 1 (Continuación) H0 2 r H r I 0 H 0 H H0 B0 0 H 0 0 H rI 0 H 0 2 r I u 2 0 r 0 I u 2 0 r H H0 E l e c t r i c i d a d I 2 0 r 0 I u 2 0 r B H 0 I u 2 0 r y M a g n e t i s m o El campo B es el mismo en ambos casos Imanación en el material magnético B H M 0 B M H 0 M 0 I u 2 0 r 7 E l Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo e cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho c de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine: t r a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. i b) Las corrientes de imanación en el tubo. c 1. r1 < a i Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento 2. a r2 b d a Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia 3. r3 > b d centrada en el hilo de radio r1 PROBLEMA 2 a b H1dl I H1 2 r1 I I H1 r2 r1 u Región 2. a r2 b B H2 2 M 2 0 H 2 dl I M1 0 Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario u I 2 r1 u I B1 0 H1 0 u 2 r1 Dentro del material magnético H 2 2 r2 I I B2 r 0 H 2 r 0 u 2 r2 H2 I 2 r2 u 1I u M2 r 2 r2 8 y M a g n e t i s m o PROBLEMA 2 (Continuación) Corrientes de imanación Región 3. r3 > b H3 2 r3 I H 3dl I H3 I B3 0 H 3 0 u 2 r3 I 2 r3 u M3 0 J m M (A/m2) Km M un (A/m) 1 M z M M r M z 1 rM M r M ur u u z z r r r z r 1I M 2 f (r2 ) r 2 r2 Véase que en la región 2 la forma de M es M 2r 0 M2z 0 Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z. El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M2 respecto a z es cero. a El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero. b Véase que J m M 0 I r1 r2 No hay corrientes volumétricas de imanación r3 u 9 E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o PROBLEMA 2 (Continuación) Densidades de corrientes superficiales de imanación Km M un En r2 = a un ur Km r2 a 1I u 1I M 2 (r2 a) un r u ur r z 2 a 2 a En r2 = b Km a r2 b b I un ur ur 1I r 1I M 2 (r2 b) un r u ur uz 2 b 2 b u uz u ur uz y Corrientes de imanación Superficie interna E l e c t r i c i d a d I m (a) 2 a r 1I 2 a r 1I r 1I r 1I Superficie externa I m (a) 2 b 2 a Sobre la cara externa r2 = b Sobre la cara interna r2 = a Pregunta adicional: ¿podrían obtenerse los valores de los campos B2 y B3 usando el resultado recién obtenido? 10 M a g n e t i s m o PROBLEMA 3 E l Un toroide de material magnético lineal de permeabilidad r = 100 tiene un radio medio e R = 20 cm. El toroide tiene un entrehierro d = 1 cm y un bobinado de 500 espiras, por el c que se hace circular una corriente de 1075 mA. Determine los campos B y H en el t entrehierro. r i Los campos H y B están confinados en el interior del material y en el N = 500 c entrehierro, por la simetría del problema sus direcciones son tangentes B i H a la circunferencia en todos los puntos de la misma. I = 1.075 A d H R a H m 2R d H d d NI Ecuación campo H H dl NI d B material d B H Ecuación campo B B dS 0 H m 2R d H d d NI Bd Bm En las paredes laterales del tubo el flujo de B es nulo, sólo hay flujo en las bases. Por tanto la condición de flujo nulo a través de la superficie cerrada da: Bd Bm 0 H d H m H m r 0 H m 0 H d Hd entrehierro y Bd Bm M a g n e t i s m o H m 2R d r H md NI Hm NI 2R r 1d r NI H m r H m 23925 A/m 0 2R r 1d Bd 0 H d NI 0.030 T 2R r 1d 11 PROBLEMA 4 Un circuito magnético consiste en un toroide de radio medio R y sección recta S formado por dos sectores: 1. Un material ferromagnético imanado que cubre un ángulo , y cuya curva de desimanación se presenta en la figura adjunta, y 2. El resto del toroide formado por material magnéticamente lineal cuya permeabilidad relativa es r. Usando los valores numéricos dados en el apartado de datos, determine la imanación de los dos materiales. S MATERIAL LINEAL R E l e c t r i c i d a d 1,2 1,0 0,8 B (T) y MATERIAL FERROMAGNÉTICO M a g n e t i s m o Datos: = 30º; r = 100; R = 20 cm 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 0 H (T) 12 PROBLEMA 4 (Continuación) Ecuaciones del circuito magnético (para H y para B) (La trayectoria de integración para H es la línea H dl 0 B dS 0 H0 punteada de radio igual al radio medio R) H 0 2 R H f R 0 B f B0 H f 2 Relación entre Bf y Hf en el material ferromagnético MATERIAL LINEAL Subíndice 0 para el material lineal; subíndice f para el ferromagnético S El campo B no tiene discontinuidades al pasar de un material a otro H0 Relación entre H0 y B0 en el material lineal B0 r 0 H 0 r 0 B f B0 r 0 H f 2 B0 H f Bf 2 r 0 H f 2 Bf H0 R Hf B0 MATERIAL FERROMAGNÉTICO Datos: = 60º; r = 100; R = 20 cm Esta es una relación lineal donde Bf se expresa en función de 0Hf, y el punto de corte de la misma con la curva de desimanación nos permitirá calcular la imanación del material ferromagnético (véase transparencia siguiente). Valor numérico (véase que es independiente de R) Bf 0 H f 100 / 3 20 2 / 3 13 E l e c t r i c i d a d y M a g n e t i s m o PROBLEMA 4 (Continuación) B f 200 H f (0, 0) 0 H f 0.044 T (-0.05, 1) 0.044 3.50 104 A/m 7 4 10 Bf Bf Hf Mf Mf Hf Hf 1,2 1,0 0.89 T 0 B (T) 0,8 0 0,6 Mf 0,4 0,2 B0 B f r 0 H 0 -0.044 T 0,0 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 H (T) B0 H0 M0 0 0.89 4 4 3 . 50 10 7 . 43 10 A/m 7 4 10 M0 0,00 H0 B0 0 H0 H0 E l e c t r i c i d a d y B0 r 0 M a g n e t i s m o 0.89 3 7 . 08 10 A/m 7 100 4 10 0.89 3 5 7 . 08 10 7 . 01 10 A/m 7 4 10 14 PROBLEMA 5 Una placa cuadrada de lado L y espesor e (L >>e) está uniformemente imanada en la dirección del eje Z (M0 A/m) y tiene en su centro un hueco de radio R. Determinar aproximadamente el campo magnético en el centro del hueco. Z L M M 0 uz L R Y e X El material imanado puede describirse en términos de corrientes volumétricas y superficiales equivalentes J m M M 0 u z 0 Corriente de imanación volumétrica Puesto que la imanación es uniforme y no depende de las coordenadas, su rotacional es nulo y no hay densidad de corriente volumétrica. Corrientes superficiales de imanación Km M un (unitario normal a cada superficie) En las superficies laterales externas de la placa cuadrada y en la superficie lateral interna del hueco aparecen corrientes que hay que calcular 15 PROBLEMA 5 (Continuación) Z L M M 0 uz Corrientes superficiales Km M un Borde anterior x L / 2 K m x L / 2 M 0 u z u x M 0 u y L R Y y L/2 e X x L/2 e K m x L / 2 ux uy Borde lateral derecho y L / 2 e K m y L / 2 M 0 uz uy M 0 ux Km y L / 2 Lados no representados en la figura Borde posterior x L / 2 K m x L / 2 M 0 u z u x M 0 u y Puesto que el espesor de la placa es mucho más Borde lateral izquierdo y L / 2 pequeño que la longitud del lado, vamos a K y L / 2 M u u M u m 0 z y 0 x aproximar el campo magnético en el centro por el de una espira cuadrada de lado L que conduce en sentido antihorario una corriente I L M 0 e Véase cálculo de este campo magnético aquí Campo de la espira cuadrada: 2 2M 0 e BL 0 uz L 16 PROBLEMA 5 (Continuación) La superficie lateral del hueco central equivale a una espira circular de radio R que lleva una corriente en sentido horario, ya que en este caso un ur K m M un M 0 u z ur M 0 u Corriente M0 e en sentido antihorario M M 0 uz Z K m R ur Campo magnético en el centro de la espira circular (radio R) M0 e u z BR 0 2R Campo magnético total en el centro de la espira: 2 2M 0 e BL 0 uz L M0 e u z BR 0 2R 2 2 1 uz B 0 M 0 e L 2R Esta aproximación solamente es válida en la medida que e sea lo bastante pequeño para considerar que la corriente es filamental. 17 PROB. 5. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario. 90 El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura) 0 Idl ur Idl Cálculo del campo 0 dB cos u por Biot y Savart: 4 r 2 4 r 2 Módulo dB Idl ur Idl sen u Idl cos u Vector unitario perpendicular al plano de la figura, entrante a la izquierda y saliente a la derecha de la misma dB cos sin h r cos I dl r l 0 Idl 0 I h / cos2 dB cos cos d 4 r 2 4 h 2 / cos2 ur dB h l h tg h dl d cos2 0 Idl 0 I cos cos d 4 r 2 4 h 2 B VOLVER 1 0 I I I cos d 0 sen 2 sen 1 0 sen1 sen 2 4 h 4 h 4 h h L/2 CASO PARTICULAR: En nuestro problema hay cuatro conductores formando un cuadrado de lado L por donde circula la corriente I = M0e, y se pide el campo en el centro, por lo que los ángulos 1 y 2 son ambos 45º. El valor de h es h L / 2 El campo total es BL 4 0 M 0 e 2 2 0 2 2M 0 e 4 L / 2 2 2 L (Sentido saliente) ur r dB I dl 1 2 h 18