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Estudio y representación de
funciones 4º ESO
Desarrollo
Definición, dominio y recorrido

Definición de función:
Una función f es una relación entre dos conjuntos A y B, de manera que a cada
valor del primero, A le hace corresponder un único valor del segundo, B.
f: A→B
x→f(x)

Dominio de la función:
Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x.

Recorrido:
Es el conjunto de valores que toma la función.
Desarrollo
Definición, dominio y recorrido
EJERCICIOS PARA CLASE
C1. ¿Cuál de estas gráficas son funciones?
Desarrollo
Características del comportamiento de las
funciones

Raíces. Puntos de corte con los ejes.



El eje de abscisas es la recta de ecuación y=0.
Para hallar los puntos de corte de una función y=f(x) con el eje de abscisas,
basta resolver la ecuación f(x)=0. Estos puntos se denominan también raíces.
El eje de ordenadas es la recta de ecuación x=0.
El punto de corte de una función con el eje de ordenadas, si existe, es (0,f(0)),
ya que cada x puede tener, a lo sumo, una imagen f(x), el corte con el eje OY
es, a lo sumo, uno.
Monotonía.




f(x) es creciente en un punto x=a ↔ f(a-h)≤f(a)≤f(a+h)
f(x) es creciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x entre X1 y X2.
f(x) es decreciente en un punto x=a ↔ f(a-h)≥f(a) ≥f(a+h)
f(x) es decreciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x de él.
Desarrollo
Características del comportamiento de las
funciones

Máximos y mínimos.



f(x) tiene un máximo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≤f(a) ≥ f(a+h)
f(x) tiene un mínimo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≥ f(a)≤f(a+h)
Continuidad. Discontinuidad.
Una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir dibujando se produce una
discontinuidad.
En todos los puntos en los que f no está definida se produce una discontinuidad, un
salto de su gráfica.
Desarrollo
Características del comportamiento de las
funciones

Funciones escalonadas.
Son funciones definidas a trozos, constantes en cada trozo y discontinuas en los
puntos de división de los intervalos.

Simetrías: pares e impares.


Una función es par si f(x)=f(-x) para todo x de su dominio.
Las funciones pares son simétricas respecto del eje OY.
Una función es impar si f(x)=-f(-x) para todo x de su dominio.
Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Desarrollo
Características del comportamiento de las
funciones

Periodicidad.
Una función es periódica si hay algún número k tal que f(x+k)=f(x) para todo x.
Esto significa que su gráfica se repite cada k unidades. El menor de los valores de
k que cumpla esa condición es el periodo de la función.

Asíntotas.
Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función;
esto es, la curva correspondiente a la función se acerca cada vez más a una
recta. Pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.
Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden tener asíntotas verticales en aquellos
puntos que anulen el denominador (Q(x)=0).
Desarrollo
Funciones polinómicas

Funciones polinómicas:





Constantes: f(x)=a
Se representa mediante una recta horizontal.
Lineales: f(x)=mx+n
Se representan mediante una recta de pendiente m que pasa por el punto
(0,n).
A la función lineal también se le llama función afín.
Cuadráticas: f(x)=ax²+bx+c, a≠0
Se representan mediante parábolas.
Sus ejes son paralelos al eje Y.
Su vértice es X0=-b/2a.
Su forma depende del valor de a:
Si a>0, las ramas van hacia arriba.
Si a<0, las ramas van hacia abajo.
De proporcionalidad directa: f(x)=kx
k indica la razón de proporcionalidad.
Su gráfica es la de una recta que pasa por el origen.
Otras: f(x)=
El dominio de existencia de las funciones polinómicas es .
Si el polinomio es de grado n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de abscisas.
Se representan mediante una línea “continua”.
Desarrollo
Funciones polinómicas
Representa gráficamente la función y=-x²+3, estudia su dominio y
comportamiento.
Dominio:  (por ser un polinomio)
Vértice: b =0
2a
y=0+3
(0,3)
Corte con los ejes:
Si x=0 y=3 (0,3)
Si y=0 (√6,0),(-√6,0)
Monotonía:
- Creciente (-∞,0)
- Decreciente (0,+ ∞)
Extremos relativos:
-Máximo (0,3)
-No tiene mínimo.
Es una función continua.
Tiene simetría par f(x)=f(-x)
Desarrollo
Funciones racionales

Funciones racionales:
Son de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. La gráfica es una
línea “continua” en los intervalos determinados por los puntos que anulan el
denominador.
Su dominio de existencia es  excepto en los puntos que anulan al
denominador Q(x).
Si el polinomio del numerador P(x) es de grado n, tiene a lo sumo n raíces, que
son los cortes con el eje de abscisas.
La gráfica es una línea “continua” en los intervalos determinados por los puntos
que anulan al denominador.
Si los polinomios P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, al dar valores muy grandes
a x la función f(x) se “acerca” la recta y=a/b, donde a es el coeficiente principal
de P(x) y b el de Q(x).
Desarrollo
Funciones racionales
Representa gráficamente la función y=3x²/(x²-1), estudia su dominio y
comportamiento.
Dominio: -{1,-1}, ya que
x²-1=0; x²=1; x=√1;
x=1 y x=-1
Cortes con los ejes:
x=0, y=0 (0,0)
y=0, x=0
Monotonía: Creciente (-∞,0)
Decreciente (0,+ ∞)
Extremos relativos:
Máximo: (0,0)
No tiene mínimo.
Es una función discontinua.
Tiene una asíntota vertical en los puntos donde
se anula el denominador, es decir, en x=1 y en
x=-1, ya que la función tiende hacia infinito en
esos puntos.
Desarrollo
Funciones radicales

Funciones radicales:
Son de la forma y=n√f(x) (raíz n-ésima)
Su dominio depende del índice de la raíz. Si el índice es impar, el dominio será todo
, y si el índice es par, el dominio será aquellos valores de x para los cuales, el
radicando sea positivo.
Si el índice de la raíz es n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de
abscisas.
Se representan mediante un línea “continua”.
Desarrollo
Funciones radicales
Representa gráficamente la función y=3+√(x-4), estudia su dominio y
comportamiento.
Dominio: [4,+∞), ya que x - 4>0; x>4
Puntos de corte con los ejes: x=0, no existe
solución real.
y=0, x=13 (13,0)
Monotonía: Creciente [4,+∞)
No tiene extremos relativos.
Es una función continua.
Desarrollo
Funciones a trozos

Definidas a trozos:
Aquellas definidas por expresiones distintas en intervalos distintos.
Se representan, tramo a tramo, prestando atención a su comportamiento en los
puntos de empalme.
Desarrollo
Funciones a trozos
Representa gráficamente la función
y= 1 si x≥2
x si x<2
estudia su dominio y comportamiento.
Dominio: 
Puntos de corte con los ejes: x=0 y=0
y=0 x=0
Monotonía: Creciente (-∞,2]
No tiene extremos relativos
Discontinua en x=2.
Desarrollo
Funciones a trozos

EJERCICIOS PARA CLASE
C6. Representa gráficamente la siguiente función y estudia su comportamiento:
a)
f(x)= 4-x si x<1
x+4 si x>5
b)
f(x)= x+1
si xЄ[-3,0)
x²-2x+1 si xЄ[0,3]
4
si xЄ(3,7)
C7.Una agencia de viajes organiza un crucero por el Mediterráneo. El precio del viajes
es de 1000 € si reúne entre 30 y 60 pasajeros; para un menor número de
pasajeros el crucero se suspende. Pero si supera los 60, hace una rebaja de 10 €
a cada participante por cada nuevo pasajero.
a) Halla la función que da el precio del crucero dependiendo del número de
viajeros. Represéntala gráficamente.
b) Calcula la función que da el ingreso total que obtiene la agencia
organizadora en función del número de viajeros. Represéntala
gráficamente.
Desarrollo
Algunas transformaciones de funciones

Simetrías: -f(x) y f(-x)

La función –f(x) cambia de signo todos los resultados de f(x).
Las gráficas de f(x) y –f(x) son simétricas respecto del eje OX.

La función f(-x) se obtiene sustituyendo x por –x en la fórmula de f(x).
Esta función es la simétrica respecto del eje OY, de la función f(x).
f(x) = x²-3x+1
- f(x) = -x²+3x-1
f(-x) = x²-3x+1
Desarrollo
Algunas transformaciones de funciones

Valor absoluto: |f(x)|
La función |f(x)| cambia de signo los resultados negativos de f(x) y deja
iguales los resultados positivos.
Su gráfica no puede aparecer por debajo del eje OX.
Si la definimos a trozos, sería:

f(x)=x²-3x+2
|f(x)|= x²-3x+2 si x<1 ó x>2
-x²+3x-2 si 1≤x≤2
Desarrollo
Algunas transformaciones de funciones

Traslaciones: k+f(x) y f(x+k)


La función k+f(x) suma el número k a los resultados de f(x).
Si k es positivo, la gráfica se desplaza k unidades hacia arriba;
si k es negativo, se desplazará k unidades hacia abajo.
La función f(x+k) es la misma que f(x), pero trasladada k unidades a la
izquierda si k es positivo y a la derecha si k es negativo.
f(x)=x²-3x+1
2+f(x)=x²-3x+3
f(2+x)=(2+x)²-3(2+x)+1
Desarrollo
Algunas transformaciones de funciones

Dilataciones y contracciones: f(kx) y kf(x)


La función f(kx) contrae o dilata la función f(x).
Si k>1, se contrae; si 0<k<1, se dilata.
La función kf(x) multiplica por k todos los resultados de f(x).
f(x)=x²-3x+1
g(x)=2f(x)=2x²-6x+2
h(x)=f(2x)=4x²-6x+1
f(x)= x²-3x+1
g(x)=(1/2)x²-(3/2)x+1/2
h(x)=x²/4-(3/2)x+1
Desarrollo
Funciones exponenciales

Funciones exponenciales:
Para comprenderlas mejor, resolvamos la siguiente actividad:
Un laboratorio quiere saber en cualquier instante el número de bacterias
presentes en su estudio en función de las horas transcurridas. Para ello, en el
laboratorio saben que en el instante inicial solo tienen una bacteria y que ésta se
duplica por mitosis en una hora. Determina:
a) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de una hora?
b) ¿Y al cabo de 3 horas? ¿Y al cabo de 5 horas?
c) ¿Podrías dar la función que expresa el número de bacterias que habrán
en el laboratorio al cabo de x horas?
Desarrollo
Funciones exponenciales
La función que expresa el número de bacterias presentes en el laboratorio en
función de las horas transcurridas es f(x)= 2x y su representación es la siguiente:
Las funciones exponenciales son
de la forma y= ax, siendo a>0 y a≠1.
El dominio de las funciones
exponenciales es .
Son funciones continuas, y todas
pasan por el punto (0,1) y el (1,a).
Si a>1, son funciones crecientes.
Si 0<a<1, son decrecientes.
El eje OX, la recta y=0,
es asíntota horizontal ,
hacia - ∞ si a>1 o
hacia + ∞ si 0<a<1.
Desarrollo
Funciones logarítmicas

Funciones logarítmicas:
Son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Si tenemos la función
exponencial y=a x su función inversa es y=log a x, siendo a>0 y a≠1.
Su representación es la siguiente:
El dominio de las funciones
logarítmicas es aquel en el que
su argumento es >0.
Son continuas en su dominio y
pasan por (1,0) y (a,1).
Si a>1 son crecientes.
Si 0<a<1 son decrecientes.
El eje OY, la recta x=0, es
asíntota vertical de su curva.
Desarrollo
Funciones trigonométricas

Función seno

La función seno es la función que asigna a cada número el valor de su seno,
donde la variable independiente x es un número real. ƒ(x)=sen x
La representación gráfica de la función seno es:
Las características fundamentales de esta función son:

Está definida para todo número real, Dom= .

Su recorrido es el intervalo [-1, 1].

Es periódica para p=2π, es decir, sen (x)=sen (x+2π).

Máximos relativos: π/2 + 2kπ.

Mínimos relativos: 3π/2 + 2kπ.

Puntos de corte con el eje OX (y=0): π + kπ.
Desarrollo
Funciones trigonométricas

Función coseno

La función coseno es la función que asigna a cada número el valor de su
coseno, donde la variable independiente x es un número real.
Dado que para cualquier número x sabemos que cos x= sen (x + π/2).
La función ƒ(x)=cosx será idéntica a la del seno pero desplazada
horizontalmente π/2 a la izquierda, así la representación gráfica es:
Las características fundamentales de esta función se deducen de la del seno:

Está definida para todo número real, Dom= .

Su recorrido es el intervalo [-1, 1].

Es periódica para p=2π, es decir, cos (x)=cos (x+2π).

Máximos relativos: 2kπ.

Mínimos relativos: π+ 2kπ.

Puntos de corte con el eje OX (y=0): π/2 + kπ.
Desarrollo
Funciones trigonométricas

Función tangente:

Como ya sabemos

Como conocemos las funciones de seno y coseno podemos sacar la función
de la tangente a través de su tabla de valores.
Una vez representada gráficamente, veamos sus características fundamentales:

Está definida para todo número real, excepto para los que el cos x = 0
(denominador de la fracción), Dom=  - π/2 + kπ.




Su recorrido es el intervalo (-∞, ∞ ).
Es periódica para p=π, es decir, tg (x)=tg(x+π).
Tiene asíntotas verticales para las rectas x=π/2 + kπ.
Puntos de corte con el eje OX (y=0): π + kπ y en x=0.
Ejercicios de GeoGebra
A continuación realizaremos una serie de ejercicios con Geogebra, además de
aquellos que se han ido realizando en cada etapa de esta unidad.
G1. Dibuja las gráficas de f(x)=2X y g(x)=3X. Contesta razonadamente a las siguientes
cuestiones:
a) Estas gráficas se cortan en un punto, ¿cuál es?
b) La gráfica de f está por debajo de la de g en un intervalo, ¿cuál es?
c) La gráfica de f está por encima de la de g en un intervalo, ¿cuál es?
G2. Dibuja las gráficas de f(x)=log 2 x y g(x)=log 3 x. Contesta razonadamente a las
siguientes cuestiones:
a) Estas gráficas se cortan en un punto, ¿cuál es?
b) La gráfica de f está por debajo de la de g en un intervalo, ¿cuál es?
c) La gráfica de f está por encima de la de g en un intervalo, ¿cuál es?
Ejercicios propuestos
P1. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a) √(x²-9)
c) -1/(x³-x²)
b) 1/√(4-x)
d) 2x/(x4 -1)
P2. Asocia a cada una de estas parábolas una de estas ecuaciones:
a) y=x²-2
b) y=-0,25x²
c) y=(x+3)²
d) y=-2x²
Gráficas