Download Distribucion de probabilidad

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Sociología
Departamento de Estadística
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Prof. Simón Cabrera
Prof. Edmundo Pardo
Variable Aleatoria
Es aquella que asume un valor numérico único para cada uno
de los resultados que aparecen en el espacio muestral de un
experimento aleatorio. Formalmente, es una función numérica
definida en el espacio muestral.
Se usa letras mayúsculas (X, Y, Z,…) para designar a las
variables aleatorias y la correspondiente minúscula (x, y, z,…)
para designar un valor posible.
Denominamos Rango de la Variable Aleatoria al conjunto de
todos los posibles valores que dicha variable puede tomar.
Ejemplos
Consideremos cada uno de los siguientes experimentos
aleatorios, una característica (variable aleatoria) asociada a cada
experimento y los valores posibles que pueden tomar dicha
variable:
EXPERIMENTO
ALEATORIO
a)
3 solicitudes de
crédito, y clasificarlas
según resulten aprobadas
o no; A: aprobada,
R: rechazada
VARIABLE
ALEATORIA
VALORES POSIBLES
X: Número de
solicitudes
aprobadas
x= 0, 1, 2, 3
•Analizar
RRR
0
ARR
RAR
1
RRA
RAA
ARA
2
AAR
AAA
3
b)
EXPERIMENTO
ALEATORIO
VARIABLE
ALEATORIA
VALORES POSIBLES
•De
un lote que
contiene 25 facturas,
X: Número de
5 de las cuales son
facturas defectuosas
defectuosas, se
elegidas
eligen 2 al azar sin
reemplazo.
BB
0
B: Buena
D: Defectuosa
DB
BD
1
x= 0, 1, 2
DD
2
c)
EXPERIMENTO
ALEATORIO
VARIABLES
ALEATORIA
VALORES POSIBLES
•Observar
durante 1 h
X: Número de
una taquilla de cierta personas que realizan
agencia bancaria.
por lo menos una
operación.
0
1
2
x= 0, 1, 2,3, 4, 5, …
3
…
0
1
2
3
EXPERIMENTO
ALEATORIO
d)
VARIABLE
ALEATORIA
Se
fabrica
un
X: Tiempo (en horas)
bombillo. Luego se
transcurrido hasta
prueba su duración
que se quema el
conectándolo en un
bombillo.
portalámparas.
VALORES
POSIBLES
x= {t: t>0}
Tiempo t
o

Clasificación de la Variable Aleatoria
Discreta
Su rango es un conjunto
numerable. Sólo puede tomar
una cantidad númerable de
valores.
Continua
Su rango es un conjunto no
numerable.
Puede
tomar
cualquier valor dentro de un
intervalo.
Variable
Aleatoria
VARIABLE
ALEATORIA
•Número
de solicitudes
aprobadas
•Número
de solicitudes
revisadas
•Número
de solicitudes
rechazadas
•Número
de facturas
defectuosas elegidas
de personas
que realizan por lo
menos una operación
VALORES POSIBLES
TIPO DE VARIABLE
{0, 1, 2,3,4,5}
Discreta
{ 1, 2,3, 4,5}
Discreta
{0, 1, 2, 3,4,5}
Discreta
{0, 1, 2}
Discreta
{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Discreta
{t: t>0}
Continua
•Número
•Tiempo
(en horas)
transcurrido hasta que
se quema el bombillo.
Distribución de Probabilidad
Es aquella asociada a cada uno de los valores de una variable
aleatoria. En otras palabras, es la tabla que contempla todos
los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria
X con sus respectivas probabilidades asociadas de
ocurrencia.
Se plantea a continuación la distribución de probabilidad de
la variable aleatoria discreta X: Número de solicitudes
aprobadas.
Espacio Muestral
xi
P( xi )
RRR
0
1/8
ARR, RAR, RRA
1
3/8
AAR, ARA, RAA
2
3/8
AAA
3
1/8
Nota: se considera la probabilidad de aprobar una solicitud
igual a la de rechazarla.
Función de Probabilidad
La función a partir de la cual pueden obtenerse las
probabilidades asociadas con los distintos valores de una
variable aleatoria se llama Función de Probabilidad.
Cuando la variable aleatoria es discreta la función de
probabilidad toma el nombre de Función de Masa de
Probabilidad o simplemente Función de Masa, y se denota
por P( xi ).
Cuando la variable aleatoria es continua la función de
probabilidad se denomina Función de Densidad de
Probabilidad y se denota por f ( xi ).
Distribución de Probabilidad para Variables
Aleatorias Discretas
Es una representación de las probabilidades de todos los
valores posibles de la variable aleatoria.
La función de probabilidad o función de masa, P ( xi ), de una
variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de
que X tome el valor x. Es decir,
P ( xi )  P( X  x i )
donde la función se evalúa en todos los posibles valores de X.
Propiedad de la Función de Masa
Sea X una variable aleatoria discreta con función de
masa P ( xi ) . Entonces:
a) P( x )  0 , para todos los valores de X.
b) Las probabilidades individuales suman 1. Es decir,
i
n
 P (x )  1
i 1
i
Distribución de Probabilidad Acumulada
La función de probabilidad acumulada o función de
distribución, F ( x ), de una variable aleatoria X representa la
probabilidad de que X no tome un valor superior a xi. Es
decir,
i
F ( xi )  P( X  xi )
donde la función se evalúa en todos los posibles valores
menores o iguales a xi .
Se plantea a continuación la distribución de probabilidad
acumulada de la variable aleatoria discreta X: Número de
solicitudes aprobadas
P( X  xi )
P( X  xi )
Resultados Básicos
xi
RRR
0
1/8
1/8
ARR, RAR, RRA
1
3/8
4/8
AAR, ARA, RAA
2
3/8
7/8
AAA
3
1/8
8/8
Valor Esperado de una Variable Aleatoria
Discreta
El valor esperado, E(X), de una variable aleatoria X se
define como
n
E ( X )   xi P( xi )
i 1
El valor esperado de una variable aleatoria X es equivalente
a la media aritmética en términos de probabilidad
Varianza de una Variable Aleatoria Discreta
El valor esperado de la diferencia de cada xi con la media al
2

cuadrado, se denomina varianza y se representa X

2
X
 var( X )  Exi  E  X   E ( xi2 )  [ E ( X )]2
2
o de manera alternativa:

2
X
n
 var( X )   xi2 p( xi )  [ E ( X )]2
i 1
La desviación típica, será la raíz cuadrada positiva de la varianza.
 X  var( X )
EJERCICIOS PRÁCTICOS