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Unidad 4
Medidas de Dispersión
Estadística E.S.O.
Objetivos
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Saber analizar el grado de variabilidad (dispersión) existente entre los
valores de una variable estadística (varianza de un conjunto de datos).
Saber interpretar y utilizar los valores obtenidos de las medidas de
dispersión para evaluar la “representatividad” de los diferentes promedios.
Utilizar las medidas adecuadas para comparar la dispersión presente en dos
o más variables (o una variable observada en distintas poblaciones).
Estudios de homogeneidad.
Índice
1.- Introducción
2.- Medidas de Dispersión Absolutas
3.- Medidas de Dispersión Relativas
4.- Tipificación de Variables
1.- Introducción
Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los
datos en un valor representativo, las medidas de dispersión dicen hasta
que punto estas medidas de tendencia central son representativas como
síntesis de la información.
Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la
variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central.
Se distinguen las medidas de dispersión:
absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y
relativas que permiten comparar varias muestras
1.- Introducción
Imaginemos un gran número de valores observados distintos,
a. ¿Alrededor de qué valor se agrupan los datos?
b. Supuesto que se agrupan alrededor de un número, ¿cómo lo hacen?
¿muy concentrados? ¿muy dispersos?
1.- Introducción
Imaginemos un gran número de valores observados distintos,
a. ¿Alrededor de qué valor se agrupan los datos?
 medidas de centralización
b. Supuesto que se agrupan alrededor de un número, ¿cómo lo hacen?
¿muy concentrados? ¿muy dispersos?
 medidas de dispersión
1.- Introducción
“Si el valor de estas medidas de dispersión es pequeño, nos indica que los datos
están estrechamente agrupados alrededor de la Media, entonces la media se
considera representativa de los datos, la Media es un promedio confiable.
Inversamente, una medida de dispersión grande indica que la Media no es
confiable, no es representativa de los datos”
Imaginar que tenemos dos muestras de tamaño tres:
10, 20 y 60 ; 28,29 y 33 media igual a 30 pero…
… en la primera los datos están más dispersos.
1.- Introducción
Visualmente, ¿qué distribución presenta mayor variabilidad?
0.04
0.02
densidad
0.06
0.08
Diagrama de cajas de Tukey: Resumen en 5 números
P25
P50
P75
Máx.
0.00
Mín.
40
45
50
55
60
65
Velocidad (Km/h) de 200 vehículos en ciudad
0.03
0.02
0.01
P25
Mín.
P50
P75
Máx.
0.00
densidad
0.04
Diagrama de cajas de Tukey: Resumen en 5 números
80
90
100
110
120
Velocidad (Km/h) de 200 vehículos en autovía
130
140
1.- Introducción
Clasificación de las Medidas de Dispersión:
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA
No hacen referencia a ningún promedio: Recorridos.
Hacen referencia a algún promedio:
Desviación Absoluta Media respecto a un promedio.
Desviación Cuadrática Media respecto a un promedio: Varianza,
Desviación Típica.
MEDIDAS DE DISPERSION RELATIVA
No hacen referencia a ningún promedio: Coeficiente de Apertura,
Recorrido relativo, Recorrido Semi-intercuartílico
Hacen referencia a algún promedio: Coeficiente de Variación,
2.2.1- Medidas de Dispersión Absolutas. Recorridos
 Recorrido o rango: Re = x(k) - x(1)
(En el ejemplo anterior 60 – 10 = 50
y
33 – 28 = 5 respectivamente, la 1ª más dispersa)
 Recorrido Intercuartílico: RI = C3 - C1
Longitud del intervalo que recoge el 50% de las observaciones centrales
P25
P50
Máx.
P75
0.03
0.02
25%
25% 25%
25%
0.01
Rango intercuartílico
Rango
0.00
 Recorrido Percentil: RP = P99 - P1
Mín.
0.04
0.05
 Recorrido Décil: RD = D9 - D1
150
160
170
180
190
2.2.1- Desviación Absoluta Media respecto de un Promedio
Sea X una variable estadística:
 xi , ni  ; i
 1,..., k
k
N = ni
i=1
La Desviación Absoluta Media respecto a un Promedio P consiste en
promediar la distancia -valor absoluto- de cada dato al promedio P.
1
DP 
N
P = Me, Mo y x
k
 x  P n
i 1
i
i
2.2.2- Desviación Cuadrática Media respecto de un Promedio
Sea X una variable estadística:
 xi , ni  ; i
 1,..., k
k
N = ni
i=1
La Desviación Cuadrática Media respecto a un Promedio P es la media
aritmética de la distancia -en términos cuadráticos- de cada dato respecto del
promedio P
1 k
2
 xi  P 2  ni
DP 

N i 1
P = Me, Mo y x
2.2.2- Desviación Cuadrática Media respecto de un Promedio
Varianza:
S
2
X
1

N
k
 x
i 1
i
 x   ni
Desviación Típica: Raíz cuadrada de la varianza
2
SX 
2
SX
3.- Medidas de Dispersión Relativas
Interés: Van a permitir comparar la variabilidad existente en dos distribuciones de
frecuencias.
Para ello, las diferentes medidas se construyen eliminando la influencia en el
computo de la dispersión de:
(i) el número de observaciones
(ii)el valor de la medida de posición
(iii)las unidades de medida adoptadas
Al comparar este tipo de medidas es posible establecer qué población es más
“similar”.
Diremos que un conjunto de datos es más homogéneo que un segundo, si su dispersión
relativa es menor.
Recorridos Relativos / Índices de Dispersión / Coeficiente de Variación
3.3.1.- Recorridos Relativos
Coeficiente de Apertura
Recorrido Relativo
Recorrido Semi-Intercuartílico
.
Ap 
x( k )
x(1)
Re x( k )  x(1)
Rr 

x( k )
x( k )
Rs 
C  C1
RI
 3
C3  C1 C3  C1
3.3.2.- Índices de Dispersión
Los Índices de Dispersión respecto de un promedio P, se construyen como el cociente
entre la medida de dispersión absoluta respecto del promedio P, y el propio
promedio.
Índice de Dispersión respecto de la Mediana:
k
VMe
D Me


Me
 x  Me  n
i
i 1
i
N  Me
Índice de Dispersión respecto a la Moda:
k
VMo
D
 Mo 
Mo
 x  Mo  n
i 1
i
N  Mo
i
3.3.3.- Coeficiente de Variación
Cuando el promedio P es la media aritmética, el cálculo de la dispersión relativa es
diferente ya que, en este caso, se utiliza la desviación cuadrática.
El Índice de dispersión se denomina el Coeficiente de Variación.
Coeficiente de Variación ( de Pearson):
Es la razón entre la desviación típica y la media.
SX
V
x
Mide la desviación típica en forma de “que tamaño tiene con respecto a la media”
También se le denomina variabilidad relativa.
Es una magnitud adimensional interesante para comparar la variabilidad de
diferentes variables. Es frecuente mostrarlo en porcentaje.
Si la media es 80 y la desviación típica 20 el valor CV = 20/80 = 0,25 = 25%
3.3.3.- Coeficiente de Variación
Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos
presentan más dispersión en peso que en altura.
No debe usarse cuando la variable presente una media próxima a 0.
Calcular y comparar (hombres/mujeres):
 Coeficiente de Apertura, Recorrido Relativo y Recorrido Semi-Intercuartílico
 Coeficiente de Variación
¿Qué salario es más homogéneo, el de hombres o el de mujeres?
Solución
Hombres
A
p

1.875
 8,33
225
Rr 
1.650
 0,88
1.875
Rs 
V
Mujeres

A
p

1.875
 8,33
225
Rr 
1.650
 0,88
1.875
274,49
 0,215
(777  502,51)
Rs 
315,25
 0,293
(696,38  381,13)
244,5
 0,373
655,73
V
240,55
 0,432
556,51
MÁS HOMOGÉNEO
4.- Tipificación de Variables
Para poder comparar -respecto de sus propias distribuciones- valores concretos de dos o
más variables (datos), éstas deben trasladarse a un origen y escala comunes (hay que hacer
un cambio de origen y escala).
Presentamos las definiciones y conceptos básicos para el proceso:
Variable Estándar: Diremos que Z es una variable típica o estándar si su media aritmética
es 0 y su varianza 1.
Tipificación: Proceso de transformación de una variable estadística X, en una variable
tipificada.
Resultado y procedimiento para “Tipificar”:
Si X es una variable estadística con media aritmética x y con varianza S x2
Definimos la variable típica o estándar Z:
X x
Z
SX
¿Qué hemos visto?
Medidas de Dispersión Absolutas
 Recorrido Muestral, Intercuartílico, Decil y Percentil.
 Desviación Absoluta Media respecto de un Promedio.
 Desviación Cuadrática Media respecto de un Promedio: Varianza y Desviación Típica
Medidas de Dispersión Relativas
 Recorridos Relativos
 Índice de Dispersión
 Coeficiente de Variación
Tipificación de Variables