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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
TEMA:
PROBABILIDAD CON
TÉCNICAS DE CONTEO
TECNICAS DE CONTEO. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO O
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
CONCEPTOS:
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar
eventos difíciles de cuantificar.
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y
diagrama de árbol
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
“Si una operación puede realizarse en n1 formas y si por cada una de éstas,
una segunda operación puede llevarse a cabo en n2 formas, entonces las
dos operaciones pueden realizarse juntas en n1n2 formas.”
EJEMPLOS DEL USO DEL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
• Para hacer un código se van a usar 3 letras distintas y 4 dígitos distintos a
cero. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden hacer?
SOLUCIÓN:
Consideramos elaborar uno de estos códigos como si hubiera siete huecos,
los primeros tres a llenar con letras, los otros cuatro con números. El primer
hueco puede ser llenado con cualquiera de las 27 letras con que contamos,
pensemos que ya ha sido llenado. No importa con cuál letra haya sido llenado,
para el siguiente hueco tenemos de nuevo 27 letras que podemos usar; es decir
que hay 272 formas diferentes de llenar los primeros dos huecos. Esto que
razonamos aquí es el contenido del principio fundamental. Habiéndolo razonado,
podemos ahora aplicarlo de manera automática, pero teniendo cuidado con su
hipótesis
... y si por cada una ...
Aplicándolo al resto de los huecos llegamos a que hay: 27394 códigos distintos
posibles.
TÉCNICAS DE CONTEO
PERMUTACIONES
CONCEPTOS
Definimos una permutación como un reacomodo de objetos.
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
El orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa
FÓRMULA
Para obtener las fórmulas de permutaciones y combinaciones tenemos que
definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que
se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n
Ejemplo.
10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800
La fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
n Pr 
n!
( n  r )!
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden
es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta,
además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del
arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
cuando r es igual a n (es decir, cuando se trata de permutar todos los n
objetos) la fórmula se reduce a:
nPn= n!
Ya que 0! = 1
EJERCICIO DE APLICACIÓN DE LA FÓRMULA
¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que
consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?,
sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato
de una pequeña empresa.
SOLUCIÓN:
POR PRINCIPIO MULTIPLICATIVO:
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese
sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.
POR FÓRMULA:
n = 25,
r=5
25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ...
x 1)=
= 6,375,600 maneras de formar la representación
COMBINACIONES
CONCEPTOS:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición
que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que
nos interesa es el contenido de los mismos.
FÓRMULA
La fórmula que da el número de combinaciones de r objetos tomados de
una colección de n es:
nCr = n! / [r!(n-r)!]
Note que siempre este número va a ser menor que nPr ya que, como no
interesa el orden, va a haber menos combinaciones, ya que muchas nos van
a resultar iguales.
El paradigma ahora es un comité en que todos tienen voz y voto. Aquí no
importa el orden en que fueron seleccionados los integrantes.
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA FÓRMULA
Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. El
maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como
mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea
necesario.
SOLUCIÓN:
Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para
limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado
a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de
tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).
¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el
grupo de tres personas?
Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no
tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de
cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto,
este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones
nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único
que nos interesa es el contenido de los mismos.
REFERENCIAS
Cetina López Wendy. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. México. 2005.
pp. 10.
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/
http://www.mor.itesm.mx/~cmendoza/ma835/ma83507.html
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_p
rivate/01Concepto.htm