Download OBJETIVO GENERAL Aprender a utilizar el desarrollo teórico en

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
GRADO: 11
Y NATURALES
TALLER Nº: 7
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE 1
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
RESEÑA HISTÓRICA
Leonhard Euler (1707-1783). Nació en Basilea,
Suiza y Murió en San Petersburgo, Rusia. Vivió en
Rusia la mayor parte de su vida. Fue uno de los más
grandes matemáticos de la historia, comparable a
Gauss, Newton o Arquímedes. Fue discípulo de Jean
Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento
matemático de su maestro.
Su carrera profesional se circunscribió a las
Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo,
y la mayor parte de su trabajo se publicó en los
anales de ciencias de estas instituciones.
Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas
con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica y la
Metafísica.
Entre sus muchos aportes a la matemáticas se cuenta con el haber introducido la forma
de la notación de una función matemática f(x) para hacer referencia a la función f
aplicada sobre el argumento x como
, también introdujo la notación moderna
de las funciones trigonométricas, el número e es conocido también como el número de
Euler, la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia
a la unidad imaginaria, la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud
de la circunferencia y la longitud del diámetro.
En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un número primo de
Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el
año 1867.
 OBJETIVO GENERAL
Aprender a utilizar el desarrollo teórico en situaciones concretas.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Desarrollar técnicas de conteo para solucionar problemas que despiertan curiosidad.
2. Aprender a utilizar el concepto de permutaciones y combinaciones en la solución de
problemas prácticos.
 PALABRAS CLAVES
Conteo, regla multiplicativa, permutación, combinación.
 DESARROLLO TEÓRICO
Es esencial al momento de abordar el tema el que se establezca la diferencia entre
permutaciones y combinaciones, por tal motivo se hará la introducción con una breve
definición de ambas para luego profundizar en el tema.
PERMUTACIONES
El número de permutaciones de n objetos o elementos, es el número de formas en los que
pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.
COMBINACIONES
En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de
objetos que pueden incurrir sin importar su orden.
MUESTRAS
De n elemento en r cuando se permiten repeticiones de los elementos y además el orden es
importante.
SELECCIONES
De n elemento en r cuando se permiten repeticiones de los elementos y además el orden NO
es importante.
Para efectos de cálculo será necesario hacer uso del operador factorial, razón por la cual se
definirá.
FACTORIAL
n!:
El factorial de un número natural n, se escribe n! y se define
n!= n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . . .4 x 3 x 2 x 1
Ejemplo: 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040
Por definición: 0! = 1
PERMUTACIONES Pn = n!
Una permutación de n objetos distintos es una ordenación de los n objetos. Teniendo esto
en cuenta se consideran los dígitos 1, 2, 3 encontrar los números de 3 cifras, distintas, que
se pueden formar; si los dígitos no se repiten.
Estos números serian 123, 132, 213, 231, 312, 321 se observa, entonces la permutación de
tres objetos en la cual el orden importa.
Se demuestra que la permutación de n objetos distintos es igual a n!, es decir Pn = n!
En ocasiones no hay que ordenar todos los n elementos, sino una parte de ellos,
supongamos r de los n, entonces se tiene una permutación de orden r y se escribe Pn,r que
se lee: “ordenación o permutación de r de los n objetos”.
2
Por ejemplo:
Encontrar el número de los números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos
1, 2, 3, si los dígitos no se pueden repetir.
A saber: 12, 21, 13, 31, 23, 32.
Otro ejemplo:
De las letras Z, X, C, V, B, N, M (fila inferior del teclado de computador)se toman 4 letras, y
escribirse de diferente manara.
BCMN – NBMC – CBNM – ZVXN – BVCZ, … es posible obtener
permutaciones
Permutaciones con objetos iguales:
Si tenemos n objetos de los cuales r1 son iguales entre si, r2 son iguales entre si, etc.
Entonces se comprueba que:
n!
Pn r1 ,r2 ,r3 .......rk 
r1 ! r2 ! rk
Permutación circular:
El número de permutaciones de n objetos, dispuestos en circunferencia es: (n – 1)!
COMBINACIONES:
Si se tienen n objetos distintos y se quieren formar grupos de r objetos, en los que no
interesa el orden, cada grupo se llama combinación de r de los n objetos.
La combinación es encontrar grupos en los cuales no interesa el orden.
n!
Cn,r 
r !(n  r )!
Ejemplo
De las letras Z, X, C, V, B, N, M (fila inferior del teclado de computador) se toman 4 letras, y
escribirse de diferente manara.
MNBC – MNBZ – XBNZ – CBNZ – NVZX …, se obtienen
combinaciones
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación,
se planteara la siguiente situación:
Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos.
a. El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener
el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.
3
b. El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y
Tesorero).
SOLUCIÓN:
a. Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y Rafael para limpiar el aula
o entregar material (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique,
o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades
mencionadas anteriormente). ¿Es importante el orden como se selecciona a los
elementos que forma el grupo de tres personas?
Reflexionando al respecto se llega a la conclusión de que el orden en este caso no tiene
importancia, ya que lo único que interesa es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma,
quiénes están en el grupo. Por tanto, este ejemplo es una combinación. Esto quiere decir
que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo
único que interesa es el contenido de los mismos.
b. Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como
Presidente, Arturo como secretario y Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se
le ocurre hacer algunos cambios, como los que se muestran a continuación:
PRESIDENTE
SECRETARIO
TESORERO
Daniel
Arturo
Rafael
Rafael
Daniel
Arturo
Rafael
Daniel
Daniel
Rafael
Rafael
Arturo
Rafael
Arturo
Arturo
Daniel
Arturo
Daniel
Ahora tenemos seis arreglos, ¿se tratará de la misma representación?
La respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la
representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de
manera diferente. ¿Importa el orden de los elementos en los arreglos? La respuesta
definitivamente sería sí, luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el
orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto este caso es una
permutación.
En general es posible que ayude un cuadro resumen o esquema dado al final del marco
teórico, en el se resumen las cuatro situaciones a diferenciar, en el cual se podrá observar
las características propias de la permutación, la combinación la muestra y la selección.
ACTIVIDAD.
¿Es correcto afirmar que una muestra es una permutación que permite repetición de los
elementos?
¿Es correcto afirmar que una selección es una combinación que permite la repetición de
elementos?
¿Es correcto afirmar que una muestra es un combinación ordenada que permite repetición de
los elementos?
4
r de m elementos
Sin repetición
Si orden
PERMU
TACIÓN
p(m, r ) 

m!
(m  r )!
Con repetición
No orden
COMBI
NACIÓN
C (m, r ) 
m!
r!(m  r )!
Si orden
MUESTRA
No orden
SELECCIÓN
Mmr= mr
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los cuatro ejercicios siguientes determine si se trata de una permutación, combinación,
muestra o selección.
1. Hacer una “palabra” de cinco letras utilizando letras cualquiera del alfabeto español.
2. Hacer una “palabra” de cuatro letras utilizando letras diferentes del alfabeto español.
3. Alejandro y Luisa escogen cada uno por su lado uno de cinco helados disponibles.
4. Las matriculas de carro que se pueden hacer si cada una tiene tres letras y tres digitos.los
enteros que se pueden formar entre 1000 y 9000 con los dígitos 2, 4, 5, , 6, 8.
PERMUTACIONES
1. ¿Cuántas señales distintas puedes
hacer con siete banderas izando tres a
cada vez?
A. 21
B. 210
C. 64
D. 343
2. Con 10 jugadores de microfútbol. ¿De
cuántos modos puedes disponer un equipo
de 5 jugadores si el centrodelantero y el
portero han de ser siempre los mismos?
A. 340
B. 150
C. 184
D. 336
3. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas
puedes formar con los números 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9?
A. 6561
B. 3024
C. 3600
D. 1256
4. ¿De cuántos modos puedes colocar en
un estante 5 libros?
A. 120
B. 5040
C. 140
D. 24
5
5. Un comité de 5 personas ha de repartir
los 5 puestos directivos de presidente,
vicepresidente, secretario, tesorero y vocal.
¿De cuántas maneras posibles puedes
hacerlo?
A. 130
B. 105
C. 120
D. 240
6. ¿Cuántos números de 3 cifras puedes
formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9?
A. 120
B. 210
C. 343
D. 720
7. ¿Cuántas palabras puedes formar
con todas las letras de la palabra
MISSISSIPPI?
A. 56720
B. 14120
C. 34650
D. 98570
8. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2
bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas
de igual color no se distinguen entre sí,
¿De cuántas formas posibles puedes
ordenarlos?
A. 10!
B. 10! / 3!
C. 7! / 5!.2!
D. 10! / 5!.2!.3!
Responder las preguntas 10 y 11 de
acuerdo con la siguiente información.
9. Cuatro libros distintos de matemáticas,
seis diferentes de física y dos diferentes de
química se colocan en un estante.
¿De cuántas formas distintas es posible
ordenarlos?, si…
10. Los libros de cada asignatura deben
estar todos juntos.
A. 120.540
B. 207.360
C. 264.320
11. Solamente los libros de matemáticas
deben estar juntos.
a) 4!.6!.2!.3!.
b) 9!
c) 9!.4!
d) 6!.3!
12. ¿Cuántos números mayores que 2.000
y menores que 3.000 puedes formar con
los números 2,3,5 y 6?
A. 6
B. 120
C. 720
D. 64
13. ¿De cuántos modos pueden
componerse 11 muchachos para formar
una rueda?
A. 11!
B. 11!.10!
C. 10!
D. 11! / 9!.2!
Responda las preguntas 15 a 17 de
acuerdo a la siguiente información.
Cuatro parejas de casados compran
ocho asientos en una fila para un
concierto. ¿De cuántas maneras diferentes
se pueden sentar?
14. Sin restricciones
A. 3.620
B. 384
C. 40.320
D. 578
15. Si cada pareja se sienta junta.
A. 240
B. 384
C. 720
D. 3.620
16. Si todos los hombres se sientan juntos
a la derecha de todas las mujeres.
A. 720
B. 576
C. 270
D. 362.146
6
D. 3.620
D. 21
Responder las preguntas 17 a 19 de
acuerdo con la siguiente información.
3. De entre 8 candidatos, ¿Cuántas ternas
puedes escoger?
A. 336
B. 56
C. 120
D. 320
¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden
formar con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6, 7 y 8?
17. Si cada dígito se puede utilizar una sola
vez.
A. 105
B. 240
C. 180
D. 320
18. ¿Cuántos de esos números serán
impares?
A. 24
B. 75
C. 720
D. 126
19. ¿Cuántos serán mayores que 330?
A. 180
B. 120
C. 245
D. 105
20. ¿Cuántos números de 5 cifras se
pueden formar con los dígitos 4,5,6,7,8 y 9
si no se pueden repetir?
A. 720
B. 620
C. 180
D. 120
COMBINACIONES
1. De 12 libros. Cuántas selecciones de
5 libros puedes hacer?
A. 792
B. 60
C. 720
D. 24
2. ¿Cuántas selecciones de cuatro letras
puedes hacer con las letras de la palabra
ALFREDO?
A. 42
B. 35
C. 70
4. Encontrar el número de comités, de 2
químicos y 1 físico, que puedes formar con
4 químicos y 3 físicos.
A. 144
B. 4
C. 18
D. 36
5. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada, ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar una
temporada con 7 victorias?
A. 792
B. 124
C. 5040
D. 64
6. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada, ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar la
temporada con 2 empates?
A. 124
B. 66
C. 720
D. 5040
7. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada, ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar la
temporada con 3 derrotas?
A. 220
B. 64
C. 720
D. 3604
8. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada, ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar la
temporada con 7 victorias, 3 derrotas, y 2
empates?
7
A.
B.
C.
D.
7920
720
792
330
9. Siete viejos amigos se reúnen para
celebrar el cumpleaños de uno de ellos. Al
encontrarse los siete, cada uno le da la
mano a otro, ¿cuántos apretones de mano
se dan en total?
A. 42
B. 21
C. 7
D. 14
10. Una bolsa contiene 6 balotas blancas y
4 negras. ¿De cuántas formas diferentes
puedes extraer 3 balotas y que éstas sean
de un mismo color?
A. 10
B. 120
C. 210
D. 24
11. ¿Cuántas formas hay de seleccionar a
5 candidatos de un total de 10 recién
graduados y con las mismas capacidades
para ocupar vacantes en una firma
contable?
A. 120
B. 240
C. 252
D. 184
12. En un examen se ponen 8 temas para
que el alumno escoja 5. ¿Cuántas
selecciones puede hacer el alumno?
A. 56
B. 81
C. 124
D. 520
13. ¿De cuántas formas puedes sacar 2
balotas de una bolsa que contiene 4
amarillas y 3 rojas?
A. 36
B. 12
C. 21
D. 7
14. ¿De cuántas formas puedes sacar 3
balotas amarillas de una bolsa que
contiene 8 amarillas y 5 rojas?
A. 36
B. 56
C. 72
D. 12
15. Al reunirse cierto número de personas
se dan la mano para saludarse. Si en total
se dieron 105 apretones de mano,
¿cuántas personas se saludaron?
A. 52
B. 35
C. 51
D. 15
Responder las preguntas 16 a 18 de
acuerdo con la siguiente información:
En una urna hay 5 tarjetas rojas y 3
verdes. Se extraen, de una vez, tres
tarjetas:
16. El número de extracciones posibles es:
A. 336
B. 6720
C. 126
D. 56
17. El número posible de extracciones, de
modo que las tres tarjetas sean rojas, es:
A. 10
B. 20
C. 60
D. 336
18. El número de extracciones, de modo
que las tres tarjetas sean de igual color, es:
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
8