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PROBABILIDAD.
Trata de medir los fenómenos dominados por el azar.
Experimento Aleatorio: son aquellos en los que uno sabe lo que puede ocurrir pero no lo que
va a ocurrir.
𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
Espacio de resultados: E={w1,w2,…..,wn} → 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜.
Suceso elemental: cada wi
Suceso todo conjunto de wi que son de E. Suceso es todo subconjunto de E.
La probabilidad es un número que se asocia a cada Suceso de un Experimento aleatorio.
P: Conjunto sucesos→ 𝑅
S → 𝑃(𝑆) es real.
El número real asociado al Suceso debe cumplir con las propiedades axiomáticas:
I.
II.
𝑃(𝑆) = 0, 𝑠𝑖 𝑆 = 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 = ∅
𝑃(𝑆) = 1, 𝑠𝑖 𝑆 = 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝐸
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), 𝑆𝑖 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ [La probabilidad que suceda A o B es igual
a la suma de las probabilidades de A y B. Si los Sucesos A y B no tienen elementos
comunes.]
0≤ 𝑃(𝑆) ≤ 1 → {
Comentario: que ocurra un suceso, significa que como resultado del experimento se dio un wi del suceso.
Sabemos que la probabilidad es un número real que debe estar comprendido e igual a 0 y 1;
pero .¿cómo asociamos el real?
Hay tres formas principales de asignar el real al suceso y son:
𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 (𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖)
{𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑖𝑠𝑡𝑎(𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑎𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖)
𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎.
Laplace: se define como la razón entre el número de casos favorables y el número de casos
posibles,
|𝑺|
𝑷(𝑺) = |𝑬|
Condiciones: espacio de resultados finito y que todos los sucesos elementales tengan igual
probabilidad.
Frecuentista: asocia la probabilidad con la frecuencia relativa de un suceso (incluye Laplace).
Se basa en la teoría de los grandes números: 𝑃(𝑆) = lim
𝑓𝑟𝑒𝑐(𝑆)
𝑛→∞ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
1
La subjetiva: es la que asocia el experto en el tema
Ejemplo 1: Se arroja un dado fabricado por la industria, por lo tanto suponemos que todos sus
resultados son equiprobables. Calcule la probabilidad del suceso par:
𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑆 = {2, 4, 6}
|𝑆|
𝑃(𝑆) = |𝐸| =
3
6
. Otra forma, la probabilidad del
suceso es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo forman:
𝑃(𝑆) = ∑𝑟𝑖=1 𝑤𝑖 ; en nuestro caso: 𝑃(𝑆) = 𝑃(2) + 𝑃(4) + 𝑃(6) =
1
1
+6
6
1
3
+6=6
Ejemplo 2: Se arroja un dado de madera que fabricamos. ¿Es plausible pensar que todas las
caras tienen igual probabilidad? Si contestamos que no; trataremos de asignar a cada wi su
frecuencia relativa, siempre teniendo en cuenta los axiomas.
Puede ocurrir como resultado:
W1
1
2
3
P(wi)≅
0.15
0.30
0.05
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑟𝑒𝑙
o Calcule la probabilidad del suceso par.
4
0.20
5
0.10
6
0.20
Sucesos compuestos:
o
o
o
o
𝐴 ∪ 𝐵: “que ocurra un wi de A o B o de ambos. [reunión de A y B]
𝐴 ∩ 𝐵:”que ocurra un wi que sea de ambos sucesos. [Intersección de A y B]
𝐴 −B: “que ocurra un wi de A y no de B. [resta de A y B]
𝐴̅ : “que ocurra un wi del espacio de resultados pero no de A. [complemento de A].
Teoremas de Probabilidades:
1. 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
2. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
3. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) si los sucesos son independientes.
4. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵⁄𝐴) o 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴⁄𝐵)
Probabilidad condicionada: es la probabilidad de un suceso sabiendo que otro ocurrió.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Leemos: Probabilidad que ocurra el suceso A sabiendo que ocurrió el suceso B; y se
define como la razón entre las probabilidades de A y B con la de B.
𝑃(𝐴⁄𝐵 ) =
Sucesos independientes: son aquellos pares de sucesos donde la probabilidad de A
sabiendo que ocurrió B es igual a la probabilidad de A.
𝑃(𝐴⁄𝐵 ) = 𝑃(𝐴)
o
𝑃(𝐵⁄𝐴) = 𝑃(𝐵)
2
Ejercicio 3:
Observa la siguiente tabla que representa a los empleados de una empresa:
Hombres (H)
Mujeres (M)
total
Fuman (F)
70
10
80
No fuman (no F)
30
90
120
100
100
200
Si hay que elegir a uno de ellos, la elección puede realizarse bajo distintos criterios:
a) Elección sin condiciones:
P( H ) 
100 1

200 2
P( M ) 
100 1

200 2
b) Elección con condiciones:
P( H / si es fumador)  P( H / F ) 
70 7

80 8
P( M / si es fumadora)  P( M / F ) 
10 1

80 8
Estas probabilidades pueden obtenerse también de la forma siguiente:
70
P( H  F )
7
P( H / F ) 
 200  ;
80
P( F )
8
200
10
P( M  F )
1
P( M / F ) 
 200 
80
P( F )
8
200
Ejercicio 4:
Se extraen dos cartas de una baraja. Calcula la probabilidad de que sean dos reyes.
Solución:
Sea R1=”sacar rey en la 1ª extracción” y R2=”sacar rey en la 2ª extracción.
Se pide la probabilidad del suceso R1  R 2 :
(4
2)
= 40239
40
( )
2
2
4 3
Utilizando Laplace: 𝑃(𝑅1 ∩ 𝑅2) =
4 3
= 40 39 (esta forma nos exige tener
aceptables ideas de conteo).
Utilizando la probabilidad con condiciones: (consideramos que sacar dos cartas
equivale a sacar uno y luego la otra sin reponer la primera).
P( R1  R2 )  P( R1 ).P( R2 / R1 ) 
4 3
1
. 
40 39 130
Teorema de la probabilidad total.
3
Sean A1, A2, ............,An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se
tiene entonces: S  ( A1  S )  ( A2  S )  .............  ( An  S )
P( S )  P( A1  S )  P( A2  S )  ...............  P( An  S ) 
P( A1 ).P( S / A1 )  P( A2 ).P( S / A2 )  .......... P( An ).P( S / An )
En este tipo de probabilidad es recomendable utilizar el diagrama del árbol :
Ejercicio 5:
Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras, la segunda 3 rojas
y 1 negra y la tercera 2 rojas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y después
extraemos una bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea negra.
Solución:
Las probabilidades son las que se muestran en el diagrama.
Teniendo en cuenta que hay tres caminos para llegar a la bola negra, podemos escribir:
1 1 1 1 1 2 1 1 2 6  3  8 17
P( N )  .  .  .    

3 2 3 4 3 3 6 12 9
36
36
Teorema de Bayes.
Sean A1, A2, ............,An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se
tiene entonces que para cada suceso Ai se verifica:
4
p(S  Ai )  p( Ai  S )  p(S ). p( Ai / S )  p( Ai ). p(S / Ai )
P( Ai / S 
P( Ai ).P( S / Ai )
P( S )
Ejercicio 5 continuación:
En el ejercicio anterior, supongamos que realizamos el experimento que se indica y la
bola extraída ha resultado roja. Calcula la probabilidad de que proceda de la 1ª urna.
Para resolver el problema hemos de calcular, en primer lugar, la probabilidad de
obtener bola roja por un procedimiento análogo al utilizado para obtener bola negra,
es decir,
1 1 1 3 1 1 1 1 2 6  9  4 19
P( R)  .  .  .    

3 2 3 4 3 3 6 4 9
36
36
1 .1
1
P( A1 ).P( R / A1 )
36
6
3
2

 6 

Entonces resulta: P( A1 / R) 
19
19
P( R)
19.6 19
36
36
Ejemplo 6:
Un examen consta de 2 pruebas que hay que superar para aprobar. Sabemos que la
probabilidad de pasar la 1ª prueba es 0,6 y la de pasar la 2ª es 0,7.
a.- Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
b.- Calcula la probabilidad de suspender el examen en la segunda prueba.
Ejemplo 7:
La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0,6, la de que apruebe
Lengua es 0,5 y la de apruebe las dos 0,3. Se elige un alumno al azar, calcula las
siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que apruebe al menos una asignatura.
b) Probabilidad de que no apruebe ninguna.
Ejemplo 8:
Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de la que se extraen dos bolas. Halla
la probabilidad de que ambas sean negras.
a) Con devolución a la bolsa de la 1ª bola extraída. Sol: 9/64
b) Sin devolución.
Sol: 1/18
5
Ejemplo 9:
Un ratón huye de un gato. Puede escapar por los callejones A, B y C. La probabilidad
de que el ratón huya por el callejón A es 0,3 que lo haga por el B 0,5 y por el C 0,2.
Si huye por A la probabilidad de ser alcanzado por el gato es 0,4.
Si lo hace por B hay una probabilidad de ser cazado de 0,6
Finalmente, si huye por el callejón C la probabilidad es 0,1.
Calcula la probabilidad de que el gato alcance al ratón.
Supongamos que el ratón ha sido cazado por el gato. Calcula la probabilidad de que
haya huido por el callejón B. Sol: 0.44 ; 0.68
Ejemplo 10:
Un avión tiene 5 bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlo
de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si se
lanzan las cinco bombas? Sol: 0.67262
6
VARIABLE ALEATORIA
Variable aleatoria Discreta:
Concepto de variable aleatoria.
Se llama variable aleatoria a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio
muestral de un experimento, un número real.
Ejemplo:
Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. El espacio muestral
será:
E  ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx
Si a cada elemento de E le hacemos corresponder, por ejemplo, el número de caras,
hemos definido una variable aleatoria.
ccc  3; xcc  2; xxc  1; ccx  2
cxx  1; xxx  0; cxc  2; xcx  1
Se utilizan letras mayúsculas para designar las v.a. y sus respectivas letras minúsculas
para los valores concretos de las mismas.
La variable aleatoria suma de las caras superiores en el lanzamiento de dos dados
puede tomar solamente los valores X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
Función de probabilidad de una v.a. discreta.
Es la aplicación que asocia a cada valor x de la v.a. X su probabilidad 𝑃[𝑋 = 𝑥].
Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen
disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de
probabilidad:
X
x1
x2
P( X  x i )
p1
p2
x3
p3
xn
pn
En toda función de probabilidad se verifica que p1  p 2  p3 
 pn  1
Ejemplo: La v.a. “número de caras en el lanzamiento de tres monedas” tiene la
siguiente función de probabilidad:
7
Nº de caras
0
f(x)= P( X  xi )
𝐹(𝑥) = 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥𝑖 ]
1
2
3
1/8 3/8
3/8
1/8
1/8 4/8
…
…
Las funciones de acumulación las definiremos con dominio todos los reales:
si
0

 18 si

F ( x)   4
si
8

 7 8 si

1
si
x0
0  x 1
1 x  2
2 x3
x3
Función de distribución de una v.a. discreta.
Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor.
Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de
la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, F ( x)  p( X  x)
Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta.
Se llama de una v.a. discreta X, que toma los valores x1 , x 2 , x3 ........x n con
probabilidades p1 , p 2 , p3 ............ p n al valor de la siguiente expresión:
   xi . p i
La varianza viene dada por la siguiente fórmula:
 2   xi2 . pi   2 , bien  2   ( xi   ) 2 . pi
Variable aleatoria continua.
Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real.
Por ejemplo, la duración de las bombillas de una determinada marca y modelo.
En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearse probabilidades
de resultados aislados, por ejemplo, probabilidad de que una bombilla dure 100 horas,
22 minutos y 16 segundos. La probabilidad sería 0.
El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad correspondiente a
un intervalo. Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de
densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad.
8
Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer la
probabilidad de un intervalo cualquiera.
La función de densidad de una v.a. continua cumple las siguientes condiciones:

Sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1:

El área encerrada bajo la curva es igual a la unidad:
0  f ( x)  1



f ( x).dx  1 .
Ejemplo 2:
x
con x  0,6. Comprueba que es una función de densidad y calcula
18
p(2  x  5)
Sea f ( x) 
Solución:
Para que sea función de densidad

6
0
x
dx tiene que valer 1. Veamos:
18
6
x
1  x2 
1  36

0 18 dx  18  2   18  2  0   1
0
6
5
x
1  x2 
1  25
p(2  x  5)  
dx      
2 18
18  2  2 18  2
5
4  21 7


2  36 12
Función de distribución.
Como en el caso de la v.a. discreta, la función de distribución proporciona la
probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable, es decir,
F ( x)  p ( X  x) .
Cumple las siguientes condiciones:


Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda del menor
valor de la variable.
Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha del mayor valor de
la variable.
9
Media y varianza de una v.a. continua.
Existe cierta correspondencia entre la variable aleatoria discreta y la continua:
Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria continua
   xi . p i
   x. f ( x).dx
 2   xi2 pi   2
 2   x 2 f ( x)dx   2
Lo que es

pasa a ser

b
a
b
a
y lo que es p i pasa a ser f (x)
Ejemplo 3:
La función de densidad de una v.a. continua viene definida por :
2 x si 0  x  1
f ( x)  
0 en el resto
a) Halla la función de distribución.
b) Calcula la media y la varianza.
Solución:
a) La función de distribución se obtiene integrando la función de densidad, es decir,
A la izquierda de 0, su valor 0.
A la derecha de 1, su valor es 1
x
Entre 0 y 1: F ( x)  p( X  x)   2 xdx  x 2
0

x
0
 x2
0 si x  0

es decir, F ( x)  x 2 si 0  x  1
1 para x  1

b) Cálculo de la media:
b
1
a
0
   x. f ( x).dx   x.2 x.dx 
2
Cálculo de la varianza:  

b
a
1
2
3
x 2 f ( x)dx   2   x 2 .2 x.dx 
0
4 1

9 18
Ejemplo 4:
10
x2 1
con x  2,5 , una función de densidad.
36
a) Calcula su función de distribución.
b) Calcula p(3  x  4) .
Sea f ( x) 
Solución:
x2 1
1 x 2
1 x3
x 3  3x  2

a) F ( x)  p( X  x)  
dx   ( x  1)dx  (
 x)  
3
2
36
36 2
36
108
2
 Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda de 2
 Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha de 5
x
x
4
b) p(3  x  4)  
4
3

x2 1
1 4 2
1  x3
1 x 3  3x 
17


dx 
(
x

1
)
dx


x


 



3
36
36
36  3
3  3 54
 3 36
4
11