Download LOS POLIEDROS

LOS
POLIEDROS
REGULARES
IRREGULARES
CUERPOS REDONDOS
JUSTIFICACIÓN DEL
TEMA

Hemos elegido el tema de los poliedros porque nos
parece interesante y un buen tema a tratar, ya que
vivimos en una sociedad donde muchos de los objetos
que nos rodean poseen formas poliédricas y hemos
considerado que es por ello un tema importante y que
puede resultar atractivo para los alumnos ya que
conviven diariamente con ello.

Este trabajo, está enfocado especialmente, para el Tercer
Ciclo de Educación Primaria, concretamente para el 6
ºcurso. Nos hemos basado, para su elaboración, en la
Ley Orgánica de Educación (L. O. E.;2006) ,que es la ley
que está vigente actualmente.

El nivel socioeconómico de los alumnos a los que va
dirigida es un nivel medio-alto.
CONCEPTOS PREVIOS
DE LOS ALUMNOS
Estos objetivos centrándonos en el área de
geometría del segundo ciclo de primaria son:









La situación en el espacio, distancias, ángulos y giros.
Localización precisa de elementos en el espacio.
Representación elemental de espacios conocidos:
planos y maquetas.
Descripción de posiciones y movimientos en un
contexto topográfico.
Localización de puntos, dado un sistema de
referencia ortonormal,utilizando coordenadas
cartesianas.
Interpretación de croquis y planos sencillos.
Líneas rectas y curvas. Rectas paralelas,
perpendiculares y oblicuas.
Relación entre el concepto de ángulo y el de giro.
Formas planas y espaciales.













Figuras geométricas. Elementos básicos: lado, vértice, base,
diagonal, ángulo, ejes de simetría.
Clasificación de polígonos. Lados y vértices. Composición y
descomposición de polígonos. Iniciación al concepto de
área. Estimación y cálculo del área de cuadrados,
rectángulos y triángulos rectángulos.
La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro,
radio, diámetro, cuerda y arco.
Cuerpos geométricos: reconocimiento de prismas, pirámides
y cuerpos redondos. Elementos básicos de poliedros: caras,
vértices y aristas.
Clasificación de figuras y cuerpos geométricos utilizando
diversos criterios.
Identificación de figuras planas y espaciales en la vida
cotidiana.
Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario
geométrico básico.
Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos
y de cuerpos geométricos a partir de un desarrollo.
Exploración de formas geométricas elementales.
Comparación y clasificación de ángulos: rectos, agudos,
obtusos, llanos, mayores de 180º y completos.
Regularidades y simetrías.
Transformaciones métricas: traslaciones, giros y simetrías.
Identificación de traslaciones, giros y simetrías en el entorno
familiar y en la naturaleza.
CONCEPTOS PREVIOS
DEL PROFESOR
Los conceptos en este ciclo en los cuales el profesor debe
mantener muy presentes son los siguientes:

1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir
informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y
reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.

2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o
tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas
mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los
algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar
oralmente y por escrito los procesos seguidos.

3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y
reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la
conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones, y el
esfuerzo e interés por su aprendizaje.

4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas
para afrontar situaciones diversas que permitan disfrutar de los aspectos
creativos, estéticos o utilitarios, y confiar en sus posibilidades de uso.

5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y
medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de
resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y
valorando la coherencia de los resultados.

6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en
la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas, así como
para la ampliación de los contenidos matemáticos y su relación con otros de las
distintas áreas del currículo.

7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el
conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y
desarrollar nuevas posibilidades de acción.

8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información
sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y
numérica y formarse un juicio sobre la misma.

9. Plantear y resolver problemas matemáticos utilizando los procedimientos
adecuados de cálculo, medida, estimación y comprobación de resultados.

10. Inventar y formular problemas matemáticos utilizando de forma lógica y
creativa la comunicación oral y la expresión escrita en un castellano correcto.

11. Utilizar el lenguaje propio del campo científico con precisión y, en particular,
emplear adecuadamente el lenguaje matemático para identificar relaciones y
conceptos aprendidos y para comprender y nombrar otros nuevos.

12. Comprender la necesidad de la argumentación mediante razonamientos
lógicos en el estudio y utilización de las Matemáticas.

13. Desarrollar estrategias de comprensión lectora en los mensajes transmitidos
por los textos escritos utilizados en el área.
1. DEFINICIÓN DE
POLIEDROS

Se llaman poliedros a los
cuerpos geométricos cuyas
caras son polígonos.

Una caja de zapatos, un dado y
muchos otros objetos con
superficies planas que podéis
ver a vuestro alrededor, tienen
forma poliédrica.
2. LOS POLIEDROS
EXPLICAN EL MUNDO

Antiguamente se creía que todos los
cuerpos de la Tierra eran mezcla de 4
elementos básicos: tierra, fuego, aire y
agua.

Su clasificación la realizo de la
siguiente manera: El cubo pertenecería
a la tierra. El tetraedro lo relacionó con
el fuego. El Octaedro se lo atribuyó al
aire y el icosaedro fue relacionado con
agua.

Se dice también en esta relación de
poliedros con cuerpos de la tierra y
del conjunto de todo, como el
universo, que el dodecaedro se
asoció al universo porque tiene 12
caras, como los 12 signos del
Zodíaco.

Kepler aún creía en la relación entre
el universo y los poliedros regulares.
Construyó un modelo del Sistema
Solar con esferas y estos poliedros.
Cada una de las esferas
representaba la órbita de los
planetas.
3. LA FÓRMULA DE EULER

La fórmula de Euler indica que si C
representa el número de caras del
poliedro, A representa el número de
aristas y V representa el número de
vértices del poliedro entonces se
cumple que C + V – A = 2.

Para llevar a cabo esta clase es
necesario que los estudiantes conozcan
los cinco poliedros regulares: tetraedro,
hexaedro, octaedro, dodecaedro e
icosaedro. Es necesario que conozcan
los conceptos de vértice, arista y cara
de un poliedro.
Si tomamos un cubo
cualquiera este tendrá 6
caras, 8 vértices y 12
aristas. C = 6, V = 8,
A = 12 de donde
fácilmente vemos que
C + V + A = 6 + 8 – 12 = 2


Si hacemos un corte en
una esquina obtenemos
poliedro irregular. C = 7,
V = 10, A = 15, vemos
que al aplicar la fórmula
se produce el mismo
resultado, 2.
4. POLIEDROS
IRREGULARES
4.1 Prisma
4.1 El prisma:

Definición: Un prisma, en geometría,
es un poliedro que consta de dos
caras iguales y paralelas llamadas
bases, y de caras laterales que son
paralelogramos.

Un prisma se llama recto cuando las
caras laterales son rectangulares,
sus aristas laterales son
perpendiculares a las bases.

El prisma rectangular, y el prisma
octagonal se encuentran entre los
tipos de prisma recto, con una base
rectangular y octagonal,
respectivamente.

Los elementos de
un prisma son:

Las bases: son la cara en la
que se apoya el prisma y su
opuesta.

Las caras laterales: son las
caras que comparten dos de
sus lados con las bases. La
suma de sus áreas es la
superficie lateral del prisma.

Las aristas: son los lados de
las bases y de las caras
laterales.

Los vértices: son los puntos
en donde se encuentran
cada par de aristas.

Volumen: El volumen de un prisma recto
es el producto del área de una de las bases
por la distancia entre ellas: V = volumen,
Ab = área de la base es decir del polígono
de la base, h = altura
V = Ab x h
Si la base es un cuadrado:
Si la base es un pentágono:
A = (perímetro x apotema) / 2
 Área lateral: el área lateral es igual al
perímetro del polígono de la base
multiplicado por la altura (h) del prisma.
AL = P x h
Perímetro: Para conocerlo debemos medir y
sumar las longitudes de sus lados.
 Área total: es igual al área lateral más el
área de los polígonos de las dos bases.
AT = AL + 2 x Ab
4.2 La pirámide
4.2 La pirámide:

Definición: Las pirámides son
poliedros que tienen una sola
base, que es un polígono
cualquiera y sus otras caras son
triángulos que se unen en un
vértice común que se llama
cúspide o vértice de la pirámide.

Los elementos de la
pirámide:

La base: es la cara en la que se
apoya la pirámide.
Las caras laterales: son las caras
que comparten uno de sus lados
con la base. La suma de sus
áreas es la superficie lateral de la
pirámide.
Las aristas: son los lados de las
bases y de las caras laterales.



Los vértices: son los puntos en donde se
encuentran cada par de aristas.
 Los apotemas: son las alturas de las
caras laterales de la pirámide.

Volumen: Para calcular el área total

Área: El volumen de la pirámide es un
habrá que sumar al área lateral el área de la
base:
A T = perímetro de la base · h 2 + perímetro de
la base · a 2
AT=AL+AB=n·l·h2+PB·a2
tercio del volumen del prisma.
V pirámide = Volumen prisma 3 = A B · h 3

Tipos de pirámides según sea el
polígono de su base:
5. POLIEDROS
REGULARES:
5.1 Tetraedro
5.1 Tetraedro:

Definición: Es un poliedro de
cuatro caras, todas iguales, siendo
cada una un triángulo equilátero.

Sus partes principales son:

Cara: cada uno de los cuatro
triángulos equiláteros que definen
al tetraedro regular. Puede
dibujarse a partir de una arista.

Vértice: punto al que concurren
tres aristas. En total hay cuatro.

Arista: segmento que une dos
vértices. En total hay seis.





Aristas opuestas: son dos aristas que
no se cortan.
Eje: recta que pasa por un vértice y
es perpendicular a la cara opuesta a
él.
Centro de cara: punto de intersección
entre un eje y la cara perpendicular a
él. Es también el centro de gravedad
de la cara.
Punto medio de arista: es el punto
medio entre los dos vértices que
limitan a una arista.
Altura de cara: segmento definido por
un vértice y un punto medio de una
arista no concurrente a él.

Área:
Como un tetraedro está formado por 4
triángulos equiláteros, podemos hallar el
área de un triángulo equilátero y
multiplicar por 4 para obtener el área del
tetraedro.
3.2 Cubo
3.2 Cubo:

Definición: El cubo es un

poliedro regular ya que en estos
sus caras son polígonos
regulares iguales.
Un cubo, o hexaedro regular es
un poliedro de seis caras
cuadrados congruentes, siendo
uno de los llamados sólidos
platónicos.

Características:

Tiene 6 caras.
Tiene 12 aristas.
Tiene 8 vértices.
Tiene 3 caras concurrentes en
cada vértice.






Volumen: El volumen de un cubo es igual
al valor de su arista elevada a tres;
podemos calcular su volumen V mediante la
siguiente fórmula: V = a3.
El volumen a x a x a = a3 de un cubo se
puede también definir como el producto del
área de la cara basal a x a por la altura a,
es decir:
V = a x a x a= (a x a ) x a = a2 x a = a3
Área: el área total de sus caras A (que es 6
veces el área de una de ellas, Ac),
mediante:
Área de una cara:
5.3 El octaedro
5.3 El octaedro:

Definición: Un octaedro es un
poliedro de ocho caras. Con este
número de caras puede ser un poliedro
convexo o un poliedro cóncavo.

Características del octaedro:

Número de caras: 8.
Número de vértices: 6.
Número de aristas: 12.



Área: Y el área total de sus caras A
(que es 8 veces el área de una de ellas,
Ac), mediante:

Volumen: Dado un Octaedro regular
de arista a, podemos calcular su
volumen V mediante la siguiente
fórmula:
5.4 Dodecaedro
5.4 Dodecaedro:


Definición:Un dodecaedro
es un poliedro de doce
caras, convexo o cóncavo.
Sus caras han de ser
polígonos de once lados o
menos.
Si las doce caras del
dodecaedro son pentágonos
regulares, forzosamente
iguales entre sí, el
dodecaedro es convexo y se
denomina regular, siendo
entonces uno de los
llamados sólidos platónicos.

Características:

Tiene 12 caras.

Los polígonos que
forman las caras
son pentágonos
regulares.

Tiene 30 aristas.

Tiene 20 vértices

Volumen: un dodecaedro de arista A, le
podemos calcular su volumen V mediante
la siguiente fórmula:

Área: el área total de sus caras A (que es
12 veces el área de una de ellas, Ac),
mediante:
5.5. Icosaedro
5.5 Icosaedro:

Definición: Un icosaedro es un
poliedro de veinte caras, convexo o
cóncavo. Sus caras han de ser
polígonos de diecinueve lados o menos.

Si las veinte caras del icosaedro son
triángulos equiláteros, forzosamente
iguales entre sí, el icosaedro es convexo
y se denomina regular, siendo entonces
uno de los llamados sólidos platónicos.

Características:

Tiene 30 aristas,
Tiene12 vértices,
Tiene 5 caras concurrentes,
Tiene 3 vértices contenidos en cada
cara.




Volumen: Dado un Icosaedro
regular de arista a, se puede calcular
su volumen V mediante la siguiente
fórmula:

Área: el área total de sus caras A
(que es 20 veces el área de una de
ellas, Ac), mediante:
6. LOS CUERPOS
REDONDOS
6.1 El cilindro:
6.1 El cilindro:


Definición: Un cilindro es una figura
geométrica limitada por una superficie
cilíndrica cerrada lateral y dos planos
que la cortan en sus bases. Como cuerpo
de revolución, se obtiene mediante el
giro de una superficie rectangular
alrededor de uno de sus lados.
El eje del cilindro es la recta que pasa por
los centros geométricos de las bases; es
paralelo a la generatriz.

Los cilindros pueden ser:

Cilindro recto: si el eje del cilindro
es perpendicular a las bases.

Cilindro oblicuo: si el eje no es
perpendicular a las bases.

Cilindro de revolución: si está
limitado por una superficie
cilíndrica de revolución.

Cilindro de revolución recto: si el
eje es perpendicular a las bases.

Cilindro de revolución oblicuo: si
el eje no es perpendicular a las
bases

Área de la superficie cilíndrica: El área
de la superficie de un cilindro es: la suma de
la superficie lateral más la superficie de las
dos base. En un cilindro recto de base
circular, es:

Área lateral: es el área de la superficie
lateral de un cuerpo de revolución.
AL = 2 · p · r · g

Volumen: El volumen es la capacidad que
tiene ese cuerpo geométrico. El volumen de
un cilindro es el producto del área de la base
por la altura del cilindro. El volumen de un
cilindro de base circular, es:

Un rectángulo al girar origina un cilindro:
6.2 El cono
6.2 El cono:

Definición: El cono es un
cuerpo geométrico generado por
el giro de un triangulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos
.Al circulo conformado por el otro
cateto se denomina base y al
punto donde confluyen las
generatrices se llama vértice.

Tipos de conos:

Se denomina cono recto si el
vértice equidista de la base
circular.

Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su
base.

Cono elíptico si la base es una elipse.

Área lateral: El área lateral es igual a p
(pi) multiplicado por el radio (r) de la base y
multiplicado por la generatriz (g) del cono):
AL = p · r · g
Por el teorema de Pitágoras la generatriz del
cono será igual a:

Área total: Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base
Área de la base: A = Π·R2

Volumen: Volumen = A. Base · Altura
Área de la base: A = Π·R2
6.3 La esfera
6.3 La esfera:

Definición: Una esfera, es un cuerpo

sólido limitado por una superficie curva
cuyos puntos equidistan de otro interior
llamado centro de la esfera. Es decir, la
distancia al centro desde cualquier punto
de la esfera es siempre la misma.
También se denomina esfera, o
superficie esférica, a la conformada por
los puntos del espacio tales que la
distancia (llamada radio) a un punto
denominado centro, es siempre la
misma.

Características:

La esfera tiene un
radio.

Una superficie
curva.

Un centro.

Un diámetro.

Una circunferencia
máxima.

Un eje de giro.

Volumen: El
volumen de una
esfera de radio, r, es
V = 4·π·r3/3

Superficie: La
superficie de una
esfera de radio, r, es
S = 4·π·r2

Área: El área de
una superficie
esférica de radio r,
es:
 Leila
González Pinto
 Sara Iglesias
 Antonio Jiménez Arco
 Juan Carlos Martínez
González
 Itziar Millán Rodríguez
 Sandra Fernández Melcón