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Momento lineal y choques
Física I
Contenido
• Momento lineal y su conservación
• Conservación de la cantidad de movimiento para
dos partículas
• Impulso y momento
• Colisiones
• Clasificación de las colisiones
• Colisiones perfectamente inelásticas
• Choques elásticos
• Colisiones en dos dimensiones
• Centro de masa
• Centro de masa de un objeto extendido
• Movimiento de un sistema de partículas
Momento líneal y su
conservación
La cantidad de movimiento de una partícula se define como
el producto de la velocidad v por la masa de la partícula:
p = mv
La segunda ley de Newton establece que la fuerza sobre un
objeto es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de
movimiento del objeto.
En términos de la cantidad de movimiento, la segunda ley de
Newton se escribe como:
dp
F
dt
Conservación de la cantidad de
movimiento para dos partículas
Para dos partículas que
interactúan se cumple que:
F12 
dp1
dt
F21 
De la tercera ley de
Newton, tenemos
que:
F12  F21
dp 2
dt
P1 = m1v1
m1
F12
F21
m2
P2 = m2v2
De aquí se obtiene que:
dp1 dp 2 d

 p1  p 2   0
dt
dt
dt
Esto significa que:
ptotal = p1 + p2 = constante
La ley de la conservación del momento lineal establece que
siempre que dos partículas aisladas interactúan entre sí, su
momento total permanece constante.
Impulso y momento
El impulso se define como el cambio en la cantidad de
movimiento de un cuerpo:
I   Fdt  
t2
t1
 dp 
  dt  p t2  p t1  p
 dt 
F
El impulso de la fuerza F es igual
al cambio de momento de la
partícula.
El impulso es un vector que tiene
una magnitud igual al área bajo la
curva de fuerza-tiempo.
t
ti
tf
La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama
fuerza de impulso.
El impulso se puede escribir como: I = Fm t. Donde Fm es
la fuerza promedio durante el intervalo.
F
Fm
t
ti
Área = Fm t
tf
Ejemplo
Una pelota de golf de 50 g es golpeada por un palo de golf y ésta alcanza
una distancia de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo, suponga
un ángulo de 45° el la velocidad inicial.
A
B
C
El alcance esta dado por:
vB  xC g 
v02sen2 0
R
g
2009.8  44 m
Si el
El
alcance
tiempoesta
de dado
contacto
por:
dura 4.5 x 10–4 s la
fuerza es:
F = I/t = 4900 N
I = p = mvB – mvA = (0.050)(44) = 2.2 kg m/s
Colisiones
Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una
fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces la
conservación de la cantidad de movimiento establece que:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciales y finales de las masas
m1 y m2.
F21
F12
m1
m2
v1f
antes
v1i
v2i
después
v2f
Ejemplo
Un automóvil de 1800 kg está detenido y es golpeado por atrás
por otro automóvil de 900 kg y los dos quedan enganchados. Si
el auto pequeño se movía a 20 m/s ¿cuál es la velocidad final de
los dos?
pi = m1v1i = (900)(20) = 18000 kg m/s
pf = m1vf + m2vf = (m1 + m2) vf = 2700 vf
vf = 18000/2700 = 6.67 m/s
Clasificación de las colisiones
Consideraremos colisiones en una dimensión.
Las colisiones se clasifican en:
Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir:
1
2
m1v12i  12 m2v22i  12 m1v12f  12 m2v22 f
Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en
energía no recuperable (calor, deformación, sonido, etc.).
Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos
después de la colisión.
v1f = v2f
Colisiones perfectamente
inelásticas
Para colisiones perfectamente
inelásticas se cumple lo siguiente:
v  v1 f  v2 f 
Si m2 está inicialmente en reposo,
entonces:
m1v1i
v
m1  m2
Si m1» m2, entonces v  v1i.
v1i
Si m1« m2, entonces v  0.
Si v2i = v1i , entonces:
m1v1i  m2 v2i
m1  m2
v
m1  m2
v1i
m1  m2
Si en este caso m1= m2, entonces: v = 0
v2i
m1
m2
vf
m1+m2
Choques elásticos
Antes de la colisión
v1i
Después de la colisión
v1f
v2i
m1
v2f
m2
En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se
tiene que:
m1v1i  m2 v2i  m1v1 f  m2 v2 f
y
1
2
m1v12i  12 m2v22i  12 m1v12f  12 m2v22 f
Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:
v1i  v1 f  v2i  v2 f
ui  v1i  v2i
Si denotamos por u la velocidad
relativa de los objetos, entonces:
u f  v1 f  v2 f
ui  u f
En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos en colisión
cambia de signo, pero su magnitud permanece inalterada.
Es fácil mostrar que las
velocidades finales de los dos
objetos son:
m1  m2
2m2
v1 f 
v1i 
v2 i
m1  m2
m1  m2
v2 f 
2m1
m  m1
v1i  2
v2 i
m1  m2
m1  m2
Si v2i = 0, entonces:
m1  m2
2m1
v1 f 
v1i y v2 f 
v1i
m1  m2
m1  m2
Si m1 = m2, entonces v1f = 0 y v2f = v1i. Es decir, dos objetos de masas
iguales intercambian sus velocidades.
Si m1 » m2, entonces v1f  v1i y v2f  2v1i. Quiere decir que un objeto
grande que choca con otro pequeño casi no altera su velocidad pero el
objeto pequeño es arrojado con una velocidad del doble de la del pesado.
Si m1 « m2, entonces v1f  v1i y v2f  (2 m1/m2)v1i  0. Cuando un
objeto ligero choca con otro pesado, adquiere una velocidad opuesta a la
que traía.
Colisiones en dos dimensiones
Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para
cada componente como:
m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx
m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy
Antes de la colisión
v1f
v1i
m1
Después de la colisión
v2i
v2f
m2
Consideraremos el caso en que m2 está en reposo inicialmente. Después del
choque m1 se mueve a un ángulo  con la horizontal y m2 se mueve a un
ángulo f con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:
m1v1i = m1v1fcos  + m2v2fcos f
v1f
0 = m1v1f sen   m2v2fsen f
Antes de la colisión
v1i
Después de la colisión
m1
m2
f

v2f
La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin
embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las
cantidades restantes v1f,v2f, f, .
1
2
m1v12i  12 m1v12f  12 m2v22 f
Ejemplo
Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500
kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y
dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque
perfectamente inelástico.

vf
Momento en x:
Antes
Después
(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cos()
Momento en y:
25 m/s
Antes
Después
(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen()
20 m/s
Resolviendo
 = 53.1°
vf = 15.6 m/s
Ejemplo
En un juego de billar un jugador desea meter la bola objetivo
en la buchaca de la esquina.
Conservación de la energía
1
2
y
v1i
m1v12i  12 m1v12f  12 m2v22 f
v12i  v12f  v22 f
v2f
35

Conservación del momento (bidimensional)
x
v1i  v1 f  v 2 f
v1f
Efectuando el producto punto
v12i  v1 f  v 2 f  v1 f  v 2 f   v12f  v22 f  2 v1 f  v 2 f
0  2v1 f v2 f cos35   
 = 55°
Centro de masa
El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el
cual paracería estar concentrada toda la masa del sistema.
En un sistema formado por partículas discretas el centro de
masa se calcula mediante la siguiente fórmula:
y
m1
m2
r1
mi
r2
rCM
ri
rn
z
rCM
m r m r



M
m
i i
i
mn
x
i i
Centro de masa de un objeto
extendido
El centro de masa de un objeto
extendido se calcula mediante
la integral:
rCM
mi
y
1

rdm

M
ri
rCM
El centro de masa de cualquier
objeto simétrico se ubica sobre
el eje de simetría y sobre
cualquier plano de simetría.
x
z
Movimiento de un sistema de
partículas
Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema
de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa:
v CM
v CM
drCM
1


dt
M
mi v i


M
dri
 mi dt
El momento total del sistema es:
MvCM   mi vi   pi  ptot
La aceleración del centro de masa es:
a CM
dv CM
1


dt
M
dv i
1
 mi dt  M
m a
i i
De la segunada ley de Newton:
MaCM   mi ai   Fi
Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:
F
ext
 Ma CM
dp tot

dt
El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria
de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante
sobre el sistema.