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Análisis de nodos y mallas
Circuitos eléctricos 1
Análisis de nodos
En el análisis nodal se aplica la ley de Kirchhoff de corrientes para
determinar los voltajes presentes en los nodos.
•Es conveniente dibujar la red utilizando valores de conductancias y
colapsando los nodos a un solo punto.
•Defina un nodo de referencia
•Etiquete los nodos restantes de 1 en adelante.
•Defina los voltajes de cada nodo (excepto el de referencia)
•Escriba LKC para cada nodo
•Resuelva el sistema de ecuaciones resultante
Circuitos con fuentes independientes
de corriente
Consideremos el circuito de la
figura a.
La figura 1b es el mismo circuito en
donde se hace resaltar la existencia
de tres nodos.
Dado que los voltajes se definen en
pares de nodos, debemos elegir un
nodo como referencia para medir
dichos voltajes.
En la figura c se muestra el mismo
circuito con la referencia tomada
como el nodo inferior.
La figura d muestra la misma red en
la que se han eliminado los signos
de referencia del voltaje por resultar
redundantes.
Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes a cada nodo obtenemos para el nodo 1.
0.5v1 + 0.2(v1 - v2) = 3
o
0.7v1 - 0.2v2 = 3
y para el nodo 2.
v2 + 0.2(v2 - v1) = 2
o
- 0.2 v1 + 1.2v2 = 2
La solución de este sistema de ecuaciones es:
v1 = 5 V
v2 = 2.5 V
La tensión del nodo 1 respecto al dos será: (v1 – v2) = 2.5 V. con estos valores se puede
determinar la potencia disipada por cualquiera de los elementos del circuito.
Para circuitos que solo contienen fuentes independientes de corriente se obtiene una matriz
de sistema simétrica, llamada matriz de conductancia.
Ejemplo
Determinar las tensiones de nodo
Matriz de conductancias
La matriz de conductancias es la matriz de coeficientes de del sistema de
ecuaciones de nodos.
Para redes con solo resistencias y fuentes de corriente independientes la
matriz de conductancias es una matriz simétrica.
Los elementos de la diagonal, gii, son iguales a la suma de las
conductancias del nodo i y los elementos gij , con i <> j, son iguales al
negativo de la suma de las conductancias que unen al nodo i y al nodo j.
El vector de términos independientes esta formado por la suma de las
corrientes que llegan a cada nodo a partir de las fuentes de corriente.
ejercicio
Escriba la matriz de conductancias para el siguiente circuito.
Escriba el vector de términos independientes y resuelva el
sistema para encontrar los voltajes de nodos.
Tarea # 11
Escriba las ecuaciones de nodo utilizando la definición de
la matriz de conductancias y resuelva el sistema resultante
para calcular los voltajes de nodo de la siguiente red.
El supernodo
La fuente de voltaje puede
considerarse como un
“supernodo”.
La LKC se sigue
cumpliendo si se aplica a las
corrientes que entran y salen
de este supernodo.
La fuente de voltaje
suministra una ecuación
para poder resolver el
sistema.
Supernodo
4W
Fuentes controladas
Ecuaciones
Supernodo
v2
–2 v1 + 2.5 v2 – 0.5 v3
= 14
0.1v1 – v2 + 0.5 v3 + 1.4 v4 = 0
v1
0.2 v1
v1
v3
ref.
v4
Supernodo
= –12
+ v3 – 1.2 v4 = –2
Solución:
v1 = –12, v2 = –4, v3 = 0, v4 = –2,
Tarea
Haga análisis nodal para determinar el valor de vA.
Análisis de mallas
El análisis de mallas se aplica a redes planas.
Una red plana es aquella que se puede dibujar sin que se cruce ningún conductor.
Definimos un lazo con cualquier camino cerrado que recorre solo una vez cada
elemento del mismo.
Se define una malla como un lazo que no contiene otros lazos.
Lazos y mallas
Ejemplo
Considere el circuito de la figura.
Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff a
cada malla obtenemos:
-42 + 6i1 + 3(i1 – i2) = 0
o
9 i1 – 3i2 = 42
y para la malla derecha
- 3(i1 – i2) + 4i2 – 10 = 0
o
-3 i1 + 7 i2 = 10
La solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4
A e (i1- i2)= 2 A. Las tensiones y potencias en cada elemento
se pueden calcular fácilmente con estos valores.
Corriente de malla
Definimos corriente de malla como la corriente que circula alrededor del perímetro de
una malla.
En la figura se muestran las corrientes de malla de la red anterior.
La ecuación de malla para la malla 1 es:
6i1 + 3(i1 – i2) = 42
La ecuación de malla para la malla 2 es:
3(i2 – i1) + 4i2 = 10
9i1 – 3i2 = 42
– 3i1 + 7i2 = 10
La solución es la misma que la anterior.
Ejemplo
Encontrar i1 e i2
Ejemplo
Encontrar i1, i2 e i3
Tarea
Encontrar i1 e i2
Supermallas
La fuente de corriente se puede manejar
mediante una supermalla.
Las ecuaciones para la red de la derecha
son:
Para la supermalla:
– 7 + 1(i1 – i2) + 3(i3 – i2) + i3 = 0
i1 – 4i2 + 3i3 = 7
para la malla 2:
1(i2 – i1) + 3(i2 – i3) + 2i2 = 0
– i1 + 6i2 – 3 i3 = 0
Ecuación de la fuente de corriente:
i1 – i3 = 7
Solución: i1 = 9 A, i2 = 2.5 A, i3 = 2 A.
i1
i2
i1
i3
Tarea
Encontrar i1
Solución con Workbench
Ejemplo
Solución con Workbench
Comparación entre nodos y mallas
ix
v1
v2
i4
v3
ix
i1
i2
i3
v1  100 v1 v1  v2
 
0
8
4
2
v2  v1 v2 v2  v3
 
8  0
2
3
10
v3  v2 v3
 8  0
10
5
 100  8i1  4i1  i2   0
4i2  i1   2i2  3i2  i3   0
3i3  i2   10i3  8  5i3  0
Solución:
Solución:
v1 = 25.89
i2 = ix = 2.79
v2 = 20.31
ix = 2.79