Download 3. Distribución de probabilidad

3. Distribución de probabilidad
Una distribuciòn de probabilidad presenta los resultados
posibles de un experimento y la probabilidad de cada uno de estos
resultados.
Ejemplo. Suponga que estamos interesados en el número de
águilas que caen al lanzar tres veces una moneda. Este es el experimento.
Los resultados posibles con: 0, 1, 2, ó 3 águilas. ¿cuál es la distribución
de probabilidad para el número de águilas posible?
Existen 8 resultados posibles
1
sello
sello
sello
0
2
sello
sello
águila
1
3
sello
águila
sello
1
4
sello
águila
águila
2
5
águila
sello
sello
1
6
águila
sello
águila
2
7
águila
águila
sello
2
8
águila
águila
águila
3
3. Distribución de probabilidad
Las probabilidades son:
P(0) = ⅛ = 0.125
P(1) = ⅜ = 0.375
P(2) = ⅜ = 0.375
P(3) = ⅛ = 0.125
Total = 1.000
⅜
Al graficar obtenemos:
⅛
La probabilidad de un resultado en
particular está entre 0 y 1. y la suma
total tiene que ser 1 si los eventos
son mutuamente excluyentes.
0
1
2
3
3. Distribución de probabilidad
Ejercicio. Suponga ahora que lanza cuatro veces la moneda.
¿cuál es la distribución de probabilidad para el número de águilas?
3. Distribución de probabilidad
Variables aleatorias
Una variable aleatoria es el resultado que se obtiene al azar en un
experimento y que puede asumir valores diferentes. En el ejemplo que
acabamos de ver, la variable aleatoria es el número de águilas.
Normalmente, las variables aleatorias se denominan con una letra
mayúscula y los eventos en particular con una letra minúscula, esto es:
X = número de águilas
x1 = 0
x2 = 1
etc.
Las variables aleatorias pueden ser: discretas o continuas
3. Distribución de probabilidad
Variables aleatorias
Una variable aleatoria discreta es la que puede tomar un número
limitado de valores, tal como ocurre en el ejemplo, donde la variable solo
puede presentar como resultados 0, 1, 2 ó 3, cuando la moneda se lanza
tres veces. En el otro extremo, una variable aleatoria continua puede
tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, por ejemplo, si
queremos conocer el peso de un grupo de personas los resultados
probables son infinitos entre 0 y 500 kg.
Por lógica, una variable aleatoria discreta origina una distribución de
probabilidad discreta, y una variable aleatoria continua origina una
distribución de probabilidad continua.
3. Distribución de probabilidad
La media, la varianza y la desviación estándar de una
distribución de probabilidad discreta
Como se sabe, la media reporta la ubicación central de la información y la
varianza, al igual que la desviación estándar, describe la dispersión de la
información.
Una distribución de probabilidad se resume a través de su media y de su
varianza. La media, en este caso, se representa con la letra griega μ (mu)
y la desviación estándar con la letra griega σ (sigma).
La media de una distribución de probabilidad discreta se calcula a través
de la siguiente fórmula:
  x  P(x)
Donde: x representa a cada valor que puede tomar la variable y P(x) es la
probabilidad de ese valor en particular. Σ es la sumatoria de todas las
operaciones.
3. Distribución de probabilidad
La media, la varianza y la desviación estándar de una
distribución de probabilidad discreta
La fórmula para la varianza es:

 2   x   2  P( x)

y la desviación estándar se obtiene al extraer la raíz cuadrada positiva de
la varianza, esto es:
2  
Ejemplo: Un agente de ventas de una distribuidora de
automóviles ha observado que los sábados es cuando se vende el mayor
número de unidades. De hecho, obtuvo la distribución de probabilidad
siguiente para las ventas de ese día en particular:
3. Distribución de probabilidad
La media, la varianza y la desviación estándar de una
distribución de probabilidad discreta
X = autos
vendidos
P(x)
0
0.1
1
0.2
2
0.3
3
0.3
4
0.1
a) ¿què tipo de distribución es ésta? Distribución de probabilidad
discreta.
3. Distribución de probabilidad
La media, la varianza y la desviación estándar de una
distribución de probabilidad discreta
b) En un sábado típico, ¿cuántos automóviles espera vender?
x
P(x)
x • P(x)
0
0.10
0.00
1
0.20
0.20
2
0.30
0.60
3
0.30
0.90
4
0.10
0.40
Σ = 1.00
μ = 2.10
Como no puede vender exactamente 2.1 automóviles, este valor
esperado sirve para pronosticar las ventas totales de los sábados en
un periodo prolongado, por ejemplo de 50 semanas, cuyas ventas
serían 105 automóviles.
3. Distribución de probabilidad
La media, la varianza y la desviación estándar de una
distribución de probabilidad discreta
c) ¿cuál es la varianza y la desviación estándar de la distribución?
x
P(x)
(x – μ)
(x – μ)2
(x – μ)2•P(x)
0
0.10
-2.1
4.41
0.441
1
0.20
-1.1
1.21
0.242
2
0.30
0.1
0.01
0.003
3
0.30
0.9
0.81
0.243
4
0.10
1.9
3.61
0.361
σ2 = 1.290
3. Distribución de probabilidad
La media, la varianza y la desviación estándar de una
distribución de probabilidad discreta
Ejercicio 1. Calcular la media y la varianza de la siguiente
distribución de probabilidad discreta:
x
P(x)
0
0.2
1
0.4
2
0.3
3
0.1
0
0.4
0.6
0.3
1.3
-1.3
-0.3
0.7
1.7
0.338
0.036
0.147
0.289
0.81
0.9
3. Distribución de probabilidad
Ejercicio 2. Las tres tablas siguientes muestran las “variables
aleatorias” y sus “probabilidades”. Sin embargo, solo una de éstas es en
realidad una distribución de probabilidad.
a)
b)
c)
d)
e)
x
P(x)
x
P(x)
x
P(x)
5
0.3
5
0.1
5
0.5
10
0.3
10
0.3
10
0.3
15
0.2
15
0.2
15
-0.2
20
0.4
20
0.4
20
0.4
Determine que tabla es en realidad una distribución de probabilidad?2
Encuentre la probabilidad de que sea exactamente 15.0.2
No mayor que 10.0.4
Mayor que 5 0.9
Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de la
distribución. 14.5; 27.25; 5.22
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad binomial
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de
probabilidad discreta que se presenta muy a menudo. Una de las
características de ésta distribución es que existen solo dos resultados
posibles en una prueba en particular. Por ejemplo:
a) Un producto se clasifica como aceptable o inaceptable.
b) Una persona se clasifica como empleado o desempleado.
c) Una llamada de ventas provoca que un cliente compre o no compre
un producto.
Con frecuencia, clasificamos los dos resultados posibles como “éxito” o
“fracaso”, lo cual no implica que un resultado sea bueno o malo.
En la distribución binomial, la variable aleatoria es el resultado del
conteo de éxitos en el número total de pruebas.
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad binomial
Por ejemplo, si nos interesa el número de águilas que se obtienen al
lanzar una moneda cinco veces, nuestra variable contará el número
de veces que se obtuvo una cara en los cinco lanzamientos, los
resultados posibles serán 0, 1 , 2, 3, 4 ó 5.
Una tercera característica de una distribución binomial es que la
probabilidad de éxito es la misma en una prueba que en otra.
Retomando el ejemplo anterior, la probabilidad de obtener un águila
en el primer lanzamiento de la moneda es de 0.5 y esa probabilidad
permanece igual en el segundo, tercero, y el resto de los
lanzamientos de la moneda.
La característica final es que cada prueba es independiente de las demás.
Esto es, el resultado de una prueba en particular no afecta el
resultado de las demás.
3. Distribución de probabilidad
Construcción de una distribución de probabilidad binomial
Para crear una distribución de probabilidad binomial específica
utilizamos:
a) el número de ensayos
b) La probabilidad de éxitos en cada ensayo.
Con estos datos, la probabilidad para cada resultado posible se obtiene
mediante la siguiente fórmula:
P(x) = nC xπx(1 – π)n – x
Donde: C = combinación
n = número de pruebas
x = número de éxitos
π = probabilidad de un éxito en cada prueba o ensayo.
3. Distribución de probabilidad
Construcción de una distribución de probabilidad binomial
Ejemplo. Existen cinco vuelos diarios de Aeroméxico entre México y
Hermosillo. Suponga que la probabilidad de que un vuelo llegue
tarde es de 0.20.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún vuelo llegue tarde el día de
hoy?
P(0) = 5C 0(0.2)0(1 – 0.2)5 – 0 = 0.3277
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que exactamente un vuelo llegue tarde
el día de hoy?
P(1) = 5C 1(0.2)1(1 – 0.2)5 – 1 = 0.4096
c) Determinar toda la distribución de probabilidad.
3. Distribución de probabilidad
Construcción de una distribución de probabilidad binomial
X = número de
vuelos demorados
P(x)
0
0.3277
1
0.4096
2
0.2048
3
0.0512
4
0.0064
5
0.0003
0.5
Total = 1.0000
0.4
0.3
c) Representar gráficamente
la distribución de probabilidad.
0.2
0.1
0
0
2
4
6
3. Distribución de probabilidad
Construcción de una distribución de probabilidad binomial
La media y la varianza de una distribución binomial se pueden calcular de
una manera “abreviada” a través de:
μ = nπ = 5 (0.20) = 1.0
σ2 = nπ (1 – π) = 5 (0.20) (1 – 0.20) = 0.80
Corroborar éstos datos con las fórmulas utilizadas anteriormente.
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad binomial acumulada
Si quisiéramos conocer la probabilidad de adivinar correctamente las
respuestas de 6 o más preguntas de falso/verdadero en una sección de
un examen de 10 reactivos, debemos utilizar este tipo de
distribuciones.
Ejemplo. Un estudio reciente reveló que el 60% de los conductores
hermosillenses utilizan sus cinturones de seguridad. Se seleccionó
una muestra de 10 conductores que pasaban por un retén municipal.
a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 7 conductores utilicen
cinturón de seguridad?
P(7) = 10C 7(0.6)7(1 – 0.6)10 – 7 = 0.215
b) ¿cuál es la probabilidad de que 7 conductores o menos utilicen
cinturón de seguridad?
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad binomial acumulada
Para el último inciso, es necesario determinar las probabilidades para 0 a
7 conductores con cinturón de seguridad y la suma de las
probabilidades será la respuesta.
P (x = 0) = 0.0001
P (x = 1) = 0.0016
P (x = 2) = 0.0106
P (x = 3) = 0.0425
P (x = 4) = 0.1115
P (x = 5) = 0.2007
P (x = 6) = 0.2508
P (x = 7) = 0.2150
Total = 0.8328
Como es una probabilidad acumulada, es fácil determinar si 8 o más
conductores usaban el cinturón de seguridad al restar a 1 el valor de
0.8328, con lo cual, obtenemos 0.1672.
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad binomial acumulada
Ejercicio. En una distribución binomial n= 8 y π = 0.30. Encuentre las
probabilidades de los siguientes eventos:
a) x = 2
b) x ≤ 2
c) x ≥ 3
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces
que ocurre un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede
ser tiempo, distancia, área o volumen.
La distribución se basa en dos suposiciones:
1.
2.
La probabilidad es proporcional a la duración del intervalo.
Los intervalos son independientes.
La distribución también es una forma limitante de la distribución
binomial cuando la probabilidad de un éxito es muy pequeña y n es
grande. Por lo general se le llama “ley de eventos improbables”, lo
cual signific que la probabilidad de que ocurra un evento en
particular es muy pequeña.
La distribución Poisson es una distribución de probabilidad discreta.
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad de Poisson
Se utiliza como un modelo para describir la distribución de errores en la
entrada de la información, el número de rayones y otras imperfecciones
de las cabinas de los automóviles recién pintados, el número de partes
defectuosas en los envíos, el número de clientes que esperan ser atendidos
en un restaurante, etc. Esta distribución se describe matemáticamente con
la siguiente fórmula:
Donde:
μ es el número de éxitos
е es la constante 2.71828
P(x) es la probabilidad para un valor en específico de x.
La media y la varianza de esta distribución es la misma: μ =σ2 = nπ
3. Distribución de probabilidad
Distribución de probabilidad de Poisson
Ejercicios:
1. Se sabe que en pocas ocasiones una aerolínea pierde el equipaje.
Suponga que una muestra aleatoria de 1000 vuelos presenta un total de
300 maletas perdidas.
a) ¿Cual es la media aritmética de maletas perdidas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de no perder ninguna maleta?
c) ¿Cuál es la probabilidad de perder exactamente una maleta?
2. En una distribución de Poisson μ = 0.4
a) ¿Cuál es la probabilidad de que x = 0?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que x ˃ 0?
Para una distribución de Poisson, la variable aleatoria puede asumir
un número infinito de valores. Sin embargo, las probabilidades se
vuelven muy pequeñas después de los primeros éxitos.