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Unidad 5
Distribuciones de
probabilidad discreta
Introducción
E
n el mundo de los negocios y las ciencias sociales existen muchos fenómenos que se
encuentran sujetos a factores aleatorios. Por esta razón, resulta necesario conocer diversos
modelos basados en probabilidades a través de los cuales se facilite la toma de decisiones.
En esta unidad se continuará con el análisis de la probabilidad, exponiendo los conceptos
de variable aleatoria, distribución de probabilidad de una variable aleatoria, valor esperado y
varianza deuna variablealeatoriadiscreta. Adicionalmente, se presentarán algunasdistribuciones
de probabilidad discreta, que son modelosútilespara resolver algunosproblemasquese presentan
en ciertos fenómenos o situaciones reales.
Al conjuntar técnicas de la estadística descriptiva, –como las medidas de dispersión y las
medidasde tendencia central–, con la teoría de la probabilidad, –como lasdistintasdistribuciones
de probabilidad que se analizarán en esta unidad–, el estudiante podrá adentrarse al tema de
la estadística inferencial y se encontrará capacitado para tomar decisiones ante los diversos
problemas que se presentan en la administración y en las ciencias sociales.
5.1. Variable aleatoria
En la unidad 1 se señaló que las variables cuantitativas son aquellas características con las que
identificamos los datos bajo estudio cuyos valores son cuantificables. En esta sección se estudiará el
concepto de otro tipo de variable, la variable aleatoria, el cual esuno de losaspectos fundamentales
de la probabilidad y se encuentra estrechamente relacionado con el concepto de experimento.
Un experimento se refiere a un proceso de observación del cual se obtiene un resultado
entre distintos resultados posibles; este resultado no puede predecirse con plena seguridad, pues
está sujeto al azar. En este sentido, existe una estrecha relación entre los distintos valores que se
pueden observar en un experimento y el factor aleatorio.
Cuando en un proceso de observación las características que se desean medir (por ejemplo,
edad, número de clientes, ventas, etc.) adquieren valores cuantitativos y éstos están sujetos al
azar se dice que esas características son variables aleatorias. Es decir, una variable aleatoria debe
considerar dos aspectos: que las características se encuentren expresadas en valores cuantitativos
y que estos valores tengan un carácter aleatorio.
Con estos dos aspectos considerados por una variable aleatoria se puede construir una
regla de correspondencia en la que a cada uno de los posibles valores que se observan se le asigna
257
su respectivo factor aleatorio o probabilidad de que ocurra. Por esa razón también se puede decir que
la variable aleatoria es una función que relaciona los valores y sus probabilidades.
Si los valores que toma una variable están asociados a través de una función con los sucesos aleatorios
elementales en el espacio muestral de un experimento dado, y dichos valores dependen de factores al
azar en cuanto a sus ocurrencias, a la función se le llama entonces variable aleatoria.
Ejemplo 1
Si se selecciona una muestra aleatoria de dos consumidores que realizan sus compras y cada uno
tiene que elegir entre los artículos A y B, según sus preferencias, la muestra puede tener los siguientes
posibles resultados:
S={AA, AB, BA, BB}
Esto quiere decir que en esta muestra se pueden observar las siguientes compras:
a)
b)
c)
d)
Los dos clientes eligen artículos A.
El artículo del primer cliente es A y el del segundo cliente es B.
El artículo del primer cliente es B y el del segundo cliente es A.
Los dos clientes eligen artículos B.
Ahora, si de acuerdo con las experiencias en el pasado 60% de los productos demandados por los
consumidores son del tipo A y 40% de los productos demandados por los consumidores son del tipo B,
se pueden determinar las probabilidades para cada uno de los puntos muestrales:
P(A, A) = (0.6)×(0.6) = 0.36
P(A, B) = (0.6)×(0.4) = 0.24
P(B, A) = (0.6)×(0.4) = 0.24
P(B, B) = (0.4)×(0.4) = 0.16
Probabilidad del 1er. punto muestral.
Probabilidad del 2do. punto muestral.
Probabilidad del 3er. punto muestral.
Probabilidad del 4to. punto muestral.
Donde:
P(S) = 0.36 + 0.24 + 0.24 + 0.16 = 1
Recuerda que la suma de las probabilidades de todos los puntos muestralesdel espacio muestral S
es igual a uno, pues cada uno de los puntos muestrales representa un evento simple, y la suma de todas
sus probabilidades es igual a uno.
Ahora procedemos a definir una característica que se puede observar al escoger un punto
muestral de los cuatro que conforman el espacio muestral, por ejemplo, “el número de productos del
tipo A que se pueden observar en esta muestra”.
En este caso, existen tres posibles resultados: que en la muestra existan cero productos A,
que en la muestra exista un producto A y que en la muestra existan dos productos A. Los valores
0, 1 y 2 son los posibles valores que se puede observar en la característica “número de productos
del tipo A que se puede observar en esta muestra”. Esta característica representa una variable de
tipo cuantitativo.
258
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
Si asignamos a cada uno de estos valores sus probabilidades correspondientes se observa la
siguiente variable aleatoria:
Valor de la Probabilidad
Variable
0 0.16 Probabilidad del 4to. punto muestral.
1 0.48 Probabilidad del 2do. y 3er. punto muestral (0.24 + 0.24).
2 0.36 Probabilidad del 1er. punto muestral.
En este caso, la característica bajo estudio “el número de productos del tipo A que se puede
observar en esta muestra” es una variable aleatoria, pues cumple con los dos aspectos señalados
anteriormente: la característica se encuentra expresada en valores cuantitativos (0, 1 y 2), y estos
valores tienen una probabilidad que representa su carácter aleatorio (0.16, 0.48 y 0.36).
Losvaloresque toma una variable aleatoria en un proceso de observación tienen la característica
principal de obtenerse por la suerte o el azar dentro de un conjunto de datos y ocurren, cada uno, con
una probabilidad definida.
Las probabilidades asociadas a cada valor posible de una variable aleatoria suman uno. Esto es:
a)
La probabilidad para todo valor que asuma la variable aleatoria Xi será mayor o igual a cero.
P(Xi ) 0 (en este ejemplo son 0.16, 0.48 y 0.36).
b)
La suma de todas las probabilidades asociadas a todos los valores que toma la variable
aleatoria discreta X es igual a la unidad, donde el subíndice i muestra el elemento que se
analiza dentro de un intervalo y puede tomar valores distintos.
P(Xi ) = 1
i = 1,2,...,n
P(Xi ) = 0.16 + 0.48 +0.36 = 1
El símbolo significa para toda, de tal forma que lo anterior se interpreta como “la suma de las
probabilidades de todos los i valores es uno”, donde i indica que existen n elementos como máximo
en el conjunto de datos.
Las variables aleatorias se clasifican de dos formas: variables aleatorias discretas y variables
aleatorias continuas.
Una variable aleatoria discreta es aquella característica que únicamente puede tomar valores contables
expresados en números enteros.
Algunos ejemplos de variables aleatorias discretas son:
determinado periodo.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
259
Una variable aleatoria continua es aquella característica que puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo, es decir, no toma valores exactos pudiendo incluir fracciones, asumiendo en un momento dado
Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas son:
Establecer la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas es importante, ya
que para calcular la probabilidad asociada a cada una de ellas se requiere de técnicas y modelos
matemáticos distintos. A continuación se analizará el caso para las distribuciones de variables
aleatorias discretas.
5.2. Distribuciones de probabilidad para variables discretas
Las funciones de distribución de probabilidad de una variable aleatoria tienen una estructura
matemática definida, de tal manera que se pueda resolver cualquier tipo de problema económico o de
negocios donde intervenga el azar. Existen dos tipos de distribuciones de probabilidad: para variables
aleatorias discretas o para variables aleatorias continuas.
Una función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una relación entre los
valores asociados a una variable aleatoria discreta X y las probabilidades que se calculan para cada
uno de los valores de X .
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta se representa por una
tabla y una gráfica que proporcionan las probabilidades asociadas a cada valor posible de la variable
aleatoria discreta.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta puede ser:
260
1.
Una relación teóricaderesultadosy probabilidadesen el sentido deque se pueden obtener
de un modelo matemático que represente algún fenómeno de interés sin necesidad de
efectuar cálculos, es decir, los datos por sí mismos pueden aportar información de
su comportamiento.
2.
Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas, es decir, que
los resultados aplicados a una técnica estadística pueden mostrar de qué manera se pueden
utilizar los datos para una aplicación concreta. Aquí los resultados del experimento se
vinculan con la obtención de medidas de tendencia central o medidas de dispersión que
permitan analizar las características de los datos y su distribución.
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
Ejemplo 2
Del ejemplo 1 la distribución de probabilidad queda expresada mediante la siguiente tabla:
Valor de la variable
Probabilidad
0
1
2
0.16
0.48
0.36
Tabla 5.1. Distribución de probabilidades mediante tablas.
En este caso se observa una tabla que establece una regla de correspondencia entre los distintos
valores que puede adquirir la variable aleatoria con sus respectivas probabilidades. Se dice que es una
distribución de probabilidad discreta pueslosvaloresdela variablealeatoria únicamente seencuentran
expresados en números enteros.
Otra manera de representar la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta es
a través de una gráfica conocida como distribución de probabilidad.
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
Valor
Figura 5.1. Distribución de probabilidades mediante gráficos.
Ejemplo 3
Si en un banco se atendió a tres clientes en un determinado periodo, los cuales pueden ser hombres
o mujeres, y además se sabe que 50% de los clientes que visitan un banco son mujeres y 50% son
hombres. ¿Cuál es la función de distribución de probabilidad del número de mujeres atendidas?
En este caso, la característica que se desea observar es “número de mujeres atendidas” la cual
representa una variable aleatoria discreta. Como se atiende a tres clientes, es posible que de esos tres
se atiendan a cero, una, dos o tres mujeres.
El cero denota que, en ese periodo, no se atendió a ninguna mujer, el uno que sólo se atendió a
una mujer y así sucesivamente; como son cuatro los valores que puede tomar la variable y se consideran
dos eventos (hombre o mujer), ello implica que como mínimo no se atiende a ninguna mujer o como
máximo se atiende a tres mujeres y lo mismo sucede para los hombres. Por tal razón, en total son ocho
los posibles resultados o puntos muestrales, de ahí que la probabilidad para cada uno de éstos sea 1/ 8.
Si X es el número de mujeres atendidas, P(X) la probabilidad de ocurrencia del suceso y el
espacio de resultados está definido S = {3 clientes en un banco}, donde cada cliente puede ser: hombre
(H) o mujer (M) y por lo tanto:
P(M )
1
2
P(H )
1
2
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
2 61
Por medio de un diagrama de árbol se encontraría que el número de resultados posibles es:
HHH
HHM
HMH
HMM
MHH
MHM
MMH
MMM
1/ 8
1/ 8
1/ 8
1/ 8
1/ 8
1/ 8
1/ 8
1/ 8
Con esos posibles resultados se tiene que las probabilidades de ocurrencia de los eventos
(mujeres atendidas) son:
P(0) = 1/ 8 donde la única combinación es {HHH}
P(1) = 1/ 8 + 1/ 8 + 1/ 8 = 3/ 8 donde las combinaciones son {HHM, HMH, MHH}
P(2) = 1/ 8 + 1/ 8 + 1/ 8 = 3/ 8 donde las combinaciones son {HMM, MHM, MMH}
P(3) = 1/ 8 donde la única combinación es {MMM}
Con lo anterior se obtiene la siguiente distribución de probabilidad:
X
P(x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
En la tabla se señala la cantidad de mujeres atendidas y su probabilidad de ocurrencia. Por
esta razón, X es una variable aleatoria discreta, pues los valores que adquiere la variable “número
de mujeres atendidas” están expresados en números enteros y cada uno de estos valores tiene una
probabilidad determinada. Esta tabla puede representar una distribución de probabilidad discreta
para la variable X.
2 62
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
1.
Los dos aspectos que debe considerar una variable aleatoria son:
a)
b)
c)
d)
2.
Que los valores sean cuantitativos y que no tengan un carácter aleatorio.
Que los valores sean cualitativos y que tengan un carácter aleatorio.
Que los valores sean cuantitativos y que tengan un carácter aleatorio.
Que los valores sean cualitativos y que no tengan un carácter aleatorio.
Una variable aleatoria puede definirse como:
a)
Las características que se pueden observar en un experimento cuyos valores son
cuantificables y están sujetos al azar.
b) Aquellos valores que se pueden observar en un experimento que son discretos y
cuantitativos.
c) Las características que se observa en experimentos donde únicamente existe un posible
resultado.
d) Son aquellos valores que se encuentran contenidos en el espacio muestral.
3.
Cada uno de los valores que adquiere una variable aleatoria deben ser:
a)
b)
c)
d)
4.
Cuantitativos.
Cualitativos.
Continuos.
Discretos.
Una variable aleatoria es considerada una función, pues:
a)
b)
Los valores que adquiere la variable están en función del espacio muestral.
Es una regla de correspondencia entre los valores cualitativos discretos y los valores
cuantitativos discretos.
c) Cada uno de los puntos muestrales está relacionado con su probabilidad de ocurrencia y en
función de los valores discretos.
d) Establece una regla de correspondencia en la que a cada uno de los posibles valores se le
asigna su respectiva probabilidad de ocurrencia.
5.
Las variables aleatorias son clasificadas en:
a)
b)
c)
d)
6.
Discretas y continuas.
Discretas y cuantitativas.
Discretas y cualitativas.
Cualitativas y cuantitativas.
Una variable aleatoria es discreta si:
a)
b)
c)
d)
Toma cualquier valor dentro de un conjunto de datos.
Es elegida al azar y no toma valores exactos.
Toma valores específicos dentro de un conjunto de datos.
Toma valores en fracciones de un conjunto de datos.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
263
7.
La probabilidad que asume una variable aleatoria X es:
a)
b)
c)
d)
8.
Una distribución de probabilidad se constituye por:
a)
b)
c)
d)
9.
264
Un gráfico.
Un conjunto de datos.
Una dispersión de datos.
Las probabilidades de cada valor que toma la variable.
Un modelo matemático de un fenómeno aleatorio es:
a)
b)
c)
d)
10.
Igual a cero.
Mayor o igual que cero, pero menor o igual que uno.
Mayor que uno.
Menor que cero.
Una representación a escala de un fenómeno.
Una representación gráfica.
Una distribución de probabilidad.
Una variable aleatoria.
Del ejemplo 1, si se define la variable “número de productos del tipo B que se pueden observar
en una muestra compuesta por dos clientes”, encuentra la distribución de probabilidad de esta
variable aleatoria a través de una tabla.
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
5.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta
El valor esperado de una variable aleatoria X se puede considerar una medida de tendencia central
de una distribución de probabilidad, del mismo modo que X es una medida de tendencia central de
una distribución de frecuencias de una muestra. La diferencia está en que la media implica una suma
de los valores de todos los datos divididos entre el número de datos, mientras que el valor esperado
considera que cada uno de los datos con que se cuenta tiene una probabilidad de ocurrencia y que las
multiplicaciones de los valores de los datos por su probabilidad son sumados.
El término valor esperado, también conocido como esperanza matemática, tiene una
interpretación intuitiva en el sentido de que al considerar la probabilidad de que una variable tome
algún valor dado, la suma arroje un dato que se espera que esté en la parte central de un intervalo
de valores. El valor esperado determina un promedio basado en los valores que toma una variable,
considerando la probabilidad que existe de que la variable tome un valor determinado y dicho valor
se encuentre al centro de la distribución.
El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos
de los posibles valores que toma la variable
multiplicados por su probabilidad de ocurrencia.
Si X representa una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores X1, X2,..., Xn con
probabilidades respectivas p1, p2,..., pn, donde la suma de las probabilidades debe sumar uno,
p1 + p2 +...+ pn = 1, la esperanza matemática de X o simplemente la esperanza de X, simbolizada por
E(X), se define como:
n
X
E(X)
X1p1 X2 p2
...
X n pn
Xi p
i 1
Pi = Probabilidad de ocurrencia del valor que toma la variable X.
Xi = Valores enteros que toma la variable aleatoria X.
= E(X) = Valor esperado de la variable X.
X
n
Significa que la suma va desde i = 1 (primer dato) hasta n (último dato).
i 1
La fórmula muestra que el valor esperado de una variable considera los posibles valores que toma
la variable, donde cada valor tiene una probabilidad asociada. La suma indica que se debe sumar desde
el primer dato (cuando i = 1) hasta el último dato (n) del conjunto de datos, ya que i = 1, 2,..., n.
Ejemplo 4
En el ejemplo 3 se pide hallar la función de distribución de probabilidad del número de mujeres
atendidas en un banco en el cual se atendió a tres clientes en cierto periodo, los cuales pueden ser
hombres o mujeres. Con los datos obtenidos, se desea conocer el promedio de mujeres que se espera
sean atendidas.
Sea X el número de mujeres atendidas y P(X) la probabilidad de ocurrencia del evento (de que
X tome un valor específico). Se cuenta con la siguiente información:
X
P (x)
0
1/8
1
3/8
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
2
3/8
3
1/8
265
Recuerda que se debe cumplir con la propiedad de que la suma de las probabilidades es uno.
Es decir:
3
P(0) P(1) P(2) P(3)
i 0
P(X i ) 1
Laesperanzaimplica multiplicar loseventospor su probabilidad deocurrenciay, posteriormente,
sumarlos para obtener el número promedio de mujeres que fueron atendidas.
X
E(X) (0)
1
8
(1)
3
8
(2)
3
8
(3)
1
8
= (0)(0.125) + (1)(0.375) + (2)(0.375) + (3)(0.125)
= 0.375 + 0.75 + 0.375 = 1.5
=
E(X)
=
1.5
X
El resultado indica que en el periodo considerado se atendió en promedio a 1.5 mujeres. Por
ejemplo, si se considera que se estudiaron 100 bancos y cada uno empleó la misma información,
es de esperarse que los 100 bancos en su conjunto atendieron a 150 mujeres en promedio
(100 bancos x 1.5 mujeres/ banco = 150 mujeres).
Ejemplo 5
Se determinó que el número de camiones de carga que arriban cada hora a una bodega sigue la
distribución de probabilidad que se muestra en la siguiente tabla:
Número de camiones (X) 0
Probabilidad [P(X)]
0.05
1
2
3
4
5
6
0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05
El valor esperado del número de camiones que arriban a la bodega es:
= E(X) = (0)(0.05) + (1)(0.10) + (2)(0.15) + (3)(0.25) + (4)(0.30) + (5)(0.10) + (6)(0.05)
= 0 + 0.10 + 0.30 + 0.75 + 1.2 + 0.5 + 0.30 = 3.15
= E(X) = 3.15
X
X
En estecaso, el resultado muestraqueen promedio arribaron 3.15 camionespor hora. Si setomara
en cuenta que se estudian 100 bodegas con la misma información, en todas las bodegas arribarían en
promedio 315 camiones por hora (100 bodegas x 3.15 camiones/ bodega = 315 camiones).
Debido a que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es en un sentido
teórico el histograma de frecuencias relativas, es natural describir la variabilidad de X con su varianza
o desviación estándar. En tal caso, se requiere conocer la variación de los datos con respecto al valor
medio. Por ejemplo, si se tiene información del número de productos vendidos en una tienda en un
día determinado, se querría conocer el número promedio de productos vendidos por día con el fin de
conocer las variaciones de ventas, se emplea la noción de varianza.
cuadráticas que tienen los datos de una distribución de probabilidad con respecto al valor promedio.
266
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
Si x es una variable aleatoria discreta con valores x1, x2,..., xn y probabilidades p1, p2,..., pn y con
media E(x), la varianza se define matemáticamente como:
2
Var (x) E[(x –
n
)2 ]
(xi – )2 (Pi )
i 1
)2 p1 (x2 – )2 p2
(x1 –
(xn – )2 pn
...
Donde:
= Valor esperado.
x = Variable aleatoria discreta.
pi = Probabilidad de que el valor que toma la variable aleatoria x sea igual a xi .
La fórmula indica que para obtener la varianza es necesario conocer el valor esperado y los
valores que puede tomar la variable, así como las probabilidades asociadas a cada una. Una vez que
se conocen estos datos, es necesario restarle a cada valor de la variable su media y elevar la resta
al cuadrado, este procedimiento se conoce como desviación cuadrada. Al conocer las desviaciones
cuadradas hay que multiplicar por la probabilidad asociada a cada valor de x y, una vez que se tienen
los productos, se suman para de esa manera obtener la varianza.
La desviación estándar o desviación típica se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza:
2
Ejemplo 6
Con la información del ejemplo 4, se desea conocer ahora la varianza y la desviación estándar de los
clientes del banco.
Como ya conocemos que la media o valor esperado del número de clientes atendidos es 1.5,
para conocer la varianza, a cada valor que toma la variable x se le resta la media y esa diferencia se
eleva al cuadrado para posteriormente multiplicarla por la probabilidad de ocurrencia de cada evento.
Las diferencias pueden ser positivas o negativas.
2
(–1.5)2
(2.25)
2
1
8
(0 –1.5)2
1
8
1
8
(1–1.5)2
(–0.5)2
(0.25)
3
8
3
8
3
8
(2 –1.5)2 (3–1.5)2
(0.5)2
(0.25)
3
8
3
8
(2.25)
1
8
6 / 8 0.75
= 0.75
El resultado muestra que la varianza de los datos es 0.75, pero se debe recordar que la varianza
no tiene ningún sentido práctico, ya que en este caso mostraría que la variación es de 0.75 mujeres
cuadradas atendidas. Por ello para dar un sentido lógico y práctico se emplea la desviación estándar.
En términos del problema del banco, la desviación estándar es:
0.75 0.8660
0.8660
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
2 67
La desviación estándar se debe interpretar como la unidad de medida que sirve para conocer
qué tan próximo o lejano (desviado) se encuentra un determinado valor asumido por la variable
aleatoria con relación al valor medio. En este problema indica que la variación con respecto a
la media es de 0.8660 mujeres atendidas, es decir, los valores que se encuentran a una distancia
equivalente a una desviación estándar, por encima o por debajo de la media 1.5, son equivalentes
a 1.5 – 0.8660 = 0.634 (0.8660 por debajo de la media) y de 1.5 + 0.8660 = 2.366 (0.8660 por
encima de la media).
Ejemplo 7
Con los datos del ejemplo 5, calcula la varianza y la desviación estándar de los camiones que arriban
a la bodega.
El valor esperado para el arribo de camiones a una bodega es de 3.15 camiones por hora.
2
= (0 – 3.15)2(0.05) + (1 – 3.15)2(0.10) + (2 – 3.15)2(0.15) + (3 – 3.15)2(0.25) + (4 – 3.15)2 (0.30) +
(5 – 3.15)2(0.10) + (6 – 3.15)2(0.05)
= (–3.15)2(0.05) + (–2.15)2(0.10) + (–1.15)2(0.15) + (–0.15)2(0.25) + (0.85)2(0.30) + (1.85)2(0.10) +
(2.85)2(0.05)
= (9.9225)(0.05) + (4.6225)(0.10) + (1.3225)(0.15) + (0.0225)(0.25) + (0.7225)(0.30) +
(3.4225)(0.10) + (8.1225)(0.05)
= 0.496125 + 0.46225 + 0.198375 + 0.005625 + 0.21675 + 0.34225 + 0.406125
= 2.1275
2
= 2.1275
La varianza muestra que la dispersión que existe en el número de camiones por hora que
arriban a la bodega es de 2.1275 camiones cuadrados.
En términos del problema de los camiones que arriban a una bodega, la desviación estándar es:
2.1275 1.458595
1.45
La desviación estándar muestra que la dispersión en los camiones por hora que arriban a una
bodega es de 1.45 camiones.
El concepto de varianza es útil para comparar las dispersiones de las distribuciones de
probabilidad. Por ejemplo, si se considera como variable aleatoria al rendimiento de una inversión
en un año, dos inversiones pueden tener el mismo rendimiento esperado pero diferir de manera
importante si las varianzas de sus rendimientos son distintas. Una varianza mayor indica que es más
factible tener rendimientos distintos de la media que si la varianza es pequeña. En este contexto, la
varianza del rendimiento se puede asociar al concepto de riesgo de una inversión, es decir, a
mayor varianza, mayor riesgo y por lo tanto, mayor ganancia.
268
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
1.
Si H representa el número de veces que un consumidor acude a un supermercado en una
semana, y tomando en cuenta la siguiente tabla de distribución de probabilidades:
H
P (h)
a)
b)
c)
2.
2
4/8
3
1/8
Una pequeña compañía aérea vuela con aviones que tienen capacidad para ocho pasajeros. La
compañía ha comprobado que la probabilidad de que un pasajero con boleto no se presente
en el avión es 0.2 para cada vuelo; la compañía pone a la venta 10 boletos. La distribución de
probabilidad del número de boletos vendidos en un vuelo aparece en la siguiente tabla.
a)
b)
6
0.25
7
0.35
8
0.25
9
0.10
10
0.05
Calcula el valor esperado del número de pasajeros que se presentan al vuelo con boleto.
Calcula la varianza y la desviación estándar para conocer la dispersión de pasajeros que se
presenta al vuelo con boleto.
Se ha determinado que el número de camiones que arriba a una bodega cada hora sigue la
distribución siguiente:
Número de camiones (x)
Probabilidad [P(x)]
a)
b)
4.
1
2/8
Encuentra el valor esperado E(H).
Encuentra la varianza.
Encuentra la desviación estándar.
Número de boletos
Probabilidad
3.
0
1/8
0
0.05
1
0.10
2
0.15
3
0.25
4
0.30
5
0.10
6
0.05
Calcula el valor esperado del número de camiones que se espera arriben cada hora.
Calcula la varianza y la desviación estándar a fin de determinar la dispersión de camiones
que arriban a la bodega.
Se sabe que durante intervalos de 10 minutos, el arribo de clientes a un banco presenta la
siguiente distribución:
Número de clientes (x)
Probabilidad [P(x)]
a)
b)
0
0.15
1
0.25
2
0.25
3
0.2
4
0.1
5
0.05
Calcula el valor esperado del número de clientes que se espera arriben.
Calcula la varianza y la desviación estándar a fin de determinar la dispersión de clientes
que arriban al banco.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
269
5.4. Distribución binomial
La distribución binomial es una función de distribución de probabilidad discreta que resulta
sumamente útil para describir muchos fenómenos, pues a diferencia de otros tipos de distribución, la
variable aleatoria discreta cuya distribución es binomial está asociada a un experimento que consiste
en considerar dos posibles resultados.
La distribución binomial emplea variables aleatorias discretas y se caracteriza por el hecho de que
únicamente considera que existen éxitos y fracasos, es decir, sólo toma en cuenta que existen dos
alternativas de decisión dentro de un conjunto de datos. Cabe señalar que la distribución binomial sólo
considera que los datos corresponden a una muestra o a una población, pero no a ambas.
Por ejemplo, si seconsideraunaencuestapor muestreo paraconocer lapreferenciadelosconsumidores
por dos marcas de botanas, los posibles resultados del experimento son dos, ya que ése es el número
de marcas de botanas que se consideran sin tomar en cuenta el número de consumidores encuestados.
Suponemos que su probabilidad de ocurrencia sería de ½, pero si se desea conocer la proporción de
consumidoresque están a favor de una u otra marca (por ejemplo, marca A = éxito y marca B = fracaso), la
probabilidad de que una determinada cantidad de consumidores prefiera la marca B, por ejemplo, no será
de ½, por lo cual debe emplearse un método para definir la proporción de consumidores que está a favor
de una marca determinada.
La distribución binomial debe reunir cuatro propiedades:
1.
El experimentoconsistedeun númerofijodeensayos. Por ejemplo, si seestudiael comportamiento
de 30 acciones de una empresa y se tiene como política analizar sólo 10 acciones con el fin
de determinar cuáles son las que reportan mayores rendimientos.
2. Cada ensayo sólo tiene dos posibles resultados a los que suele llamarse “ éxito” o “ fracaso”. Por
ejemplo, al planear la venta de un determinado número de casas, un corredor de bienes
raíces puede considerar que si concreta una venta es un éxito pero si no la concreta es
un fracaso.
3.
La probabilidad de un “éxito” es igual a “p” y es constante para todos los ensayos y la probabilidad
de “ fracaso” es, por tanto, igual a q = (1 – p). Se considera “éxito” la condición que se busca y
“fracaso” lo contrario. Por ejemplo, en un lote de 100 artículos fabricados se puede conocer
en promedio la probabilidad de que sólo haya un número determinado de artículos
defectuosos, por lo que la probabilidad de que cada uno sea defectuoso es la misma, es
decir, si se demuestra que 20% de los artículos es defectuoso, la probabilidad de fracaso
es 0.20 para todos los productos.
4.
Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de probabilidades que se da en un ensayo no
afecta al resultadoqueseda en otro. Por ejemplo, si al analizar una serie de artículosproducidos
en una empresa se tiene que la probabilidad de que 20 artículos sean defectuosos es 0.10,
ello no quiere decir que, al elegir otra muestra de igual tamaño, la probabilidad de que se
obtengan defectos en artículos sea la misma que se obtuvo anteriormente.
Por losmotivosanteriormenteexpuestos, ladistribución binomial hasido utilizadaen numerosas
aplicaciones, por ejemplo:
270
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
determinar la probabilidad de que ninguna sea defectuosa, sabiendo que 8% de las llantas
de la población son defectuosas.
un aumento en su precio al cierre, durante diez sesiones de operaciones; si en realidad los
cambios de precios en el mercado accionario son aleatorios.
Como se incluye un número de éxitos (k) y el número de fracasos (n–k) en n ensayos, para
conocer el número de formas totales (todos los posibles éxitos o fracasos) se obtiene el número de
combinaciones de n elementos, de los cuales k pertenecen a una clase (éxito) y n–k a otra clase distinta
(fracaso), entonces la probabilidad de que ocurra un evento es:
P(X) P(k, n, p)
nCk
pk qn–k
n!
pk qn–k
k!(n k)!
Donde:
P(k, n, p) = Probabilidad de que se den k éxitos en n ensayos donde se conoce la probabilidad de
éxito (p).
P(X) = Probabilidad de que la variable X tome el valor k.
n = Tamaño de la muestra o número de ensayos.
k = Número de éxitos.
n–k = Número de fracasos.
p = Probabilidad de éxito.
q = Probabilidad de fracaso.
! = Factorial de un número.
La fórmula
n!
se refiere a las posibles combinaciones que pueden darse en el conjunto
k!(n k)!
de datos con que se cuenta, mostrando cuántos posibles resultados se pueden obtener si se desean
sólo éxitos dentro de un conjunto de datos.
El hecho de emplear factorialesimplica una multiplicación de númerosconsecutivos, por ejemplo, el
factorial de cinco es 5! = 5 4 3 2 1 = 120 o, si se quiere simplificar, el factorial se expresaría como
5! = 5 4! = 5 4 3! = 5 4 3 2! = 120.
Un claro ejemplo de por qué debemossimplificar se tiene al trabajar con divisionesde factoriales.
Por ejemplo, si se divide el factorial de 5 entre el factorial de 3, el resultado es:
5!
3!
5 4 3!
3!
5 4
20
Como puedes observar, al simplificar se multiplica 5 por 4 y se deja el factorial de 3 para que sea
eliminado con el factorial de 3 del denominador.
La reducción es factible cuando la distancia existente entre el valor del factorial del numerador
y el valor del factorial del denominador no es muy grande (5 unidades). La limitante al emplear
factorialesradica en que factorialessuperioresa 30 toman valoresextremadamente altosquedificultan
el cálculo. Debes tomar en cuenta también que el factorial de cero es uno, ya que aunque es un valor
nulo representa un número y, como se trabaja con potencias, debes recordar que cualquier número
elevado a la potencia cero, da como resultado uno.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
271
Ejemplo 8
Una empresa consultora afirma que un procedimiento para promocionar las ventas de una compañía
es exitoso 80% de las veces. Si el procedimiento se lleva a cabo cinco veces en un año, cuál es la
probabilidad de que:
a)
b)
Las cinco veces que se lleva a cabo el procedimiento sea exitoso.
A lo más dos sean exitosas.
a)
Como se pide obtener la probabilidad de que lascinco vecesque se aplica el procedimiento sean
exitosas, la probabilidad de éxito es p = 0.8 y la probabilidad de fracaso es q = (1 – 0.8) = 0.2
P(k) P(k, n, p)
n!
pkqn–k
k !(n k)!
n=5
k=5
n–k=0
P(5) =
5!
5!
(0.8)5 (0.2)0 =
(0.8)5 (0.2)0
5!(5 5)!
5!(0)!
p = 0.8
q = 0.2
En este caso la divisón es de 5! entre 5! es 1, el
factorial de cero es uno
Elevado a la potencia 0 es 1
P(5) = (1) (0.32768) (1) = 0.32768
P(5) = 0.32768
La probabilidad de que las cinco veces que se lleva a cabo el procedimiento para promocionar
las ventas sea exitoso, es 0.32768.
b)
El término a lo másimplica que la mayor cantidad de éxitos que pueden tenerse es dos, pero
también puede darse el caso de que sea uno o cero, por lo que se tiene:
k 2 ; k puede ser 2, 1, 0
P(k 2) = P(0) + P(1) + P(2)
Entonces, hay que obtener las probabilidades de tener 0, 1, 2 éxitos para después sumarlas y
encontrar la solución.
P(0)
5!
(0.8)0 (0.2)5
0 !(5 0)!
5!
(1) (0.00032)
(0 !)(5)!
1
(0.00032) (1) (0.00032)
1
P(0) = 0.00032
P(1)
5
(0.00128) (5) (0.00128)
1
0.0064
P(1) = 0.0064
272
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
P(2)
5!
(0.8)2 (0.2)3
2!(5 2)!
5
P(2)
4
2
(0.00512)
5!
(0.64) (0.008)
(2 !) (3!)
5
4 3!
(0.00512)
(2) (3 !)
20
(0.00512) (10) (0.00512) 0.0512
2
P(2) = 0.0512
P(k 2) = P(0) + P(1) + P(2)
P(k 2) = 0.00032 + 0.0064 + 0.0512 = 0.05792
P(k 2) = 0.05792
La probabilidad de que al menos dos veces se lleve a cabo el procedimiento para promocionar
las ventas es 0.05792.
Ejemplo 9
De las ventas de automóviles nuevos en un país, 20% corresponde a los automóviles importados.
Suponiendo que se seleccionan al azar cuatro personas que han comprado un automóvil nuevo
durante una semana.
a)
b)
¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro personas hayan comprado un automóvil importado?
¿Cuál es la probabilidad de que sólo una persona haya comprado un automóvil importado?
Solución:
a)
En este caso, el tamaño de la muestra (las personas que compraron automóviles importados) es
n = 4, la probabilidad de éxito p = 0.2, la probabilidad de fracaso es q = 1 – 0.2 = 0.8, el número
de elementos que se consideran éxito es k = 4 y el número de elementos que se consideran
fracasos es n–k = 4 – 4 = 0. Sustituyendo en la fórmula probabilística binomial:
1
4!
4!
P(4)
(0.0016) (1) (0.0016)
(0.2) 4 (0.8) 0
(0.0016) (1)
1
4!(4 4)!
4 !(0!)
P(0) = 0.0016
La probabilidad de que las cuatro personas de la muestra hayan comprado un automóvil
importado es 0.0016.
b)
En este caso, el tamaño de la muestra (las personas que compraron automóviles importados) es
n = 4, la probabilidad de éxito p = 0.2, la probabilidad de fracaso es q = 1 – 0.2 = 0.8, el número
de elementos que se consideran éxito es k = 1 y el número de elementos que se consideran
fracasos es n – k = 4 – 1 = 3.
P(1)
P(1)
4!
(0.2)1(0.8)3
1!(4 1)!
4
(0.1024)
1
4!
(0.2) (0.512)
1 !(3!)
4 3!
(0.2) (0.512)
(1) (3 !)
(4) (0.1024)
P(1) = 0.4096
La probabilidad de que sólo una persona haya comprado un automóvil importado es 0.4096.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
27 3
1.
Si 30% de las lámparas incandescentes fabricadas por una compañía se funde en una semana si
se dejan encendidas todo el tiempo, y se instala una lámpara en cada uno de los 10 pisos de un
edificio, cuál es la probabilidad de que:
a)
b)
2.
Una empresa informa que 30% de sus cuentas por cobrar a otras empresas comerciales está
vencido. Si un contador toma una muestra aleatoria de cinco de esas cuentas para saber qué
cantidad es la que ha vencido, determina la probabilidad de que:
a)
b)
3.
Ninguno de los estudiantes deje el trabajo en las dos primeras semanas.
Cuatro de los estudiantes dejen el trabajo en las dos primeras semanas.
De los empleados de una empresa, 40% está a favor de la representación sindical y se contacta
a una muestra aleatoria de 10 empleados en solicitud de una respuesta anónima. Cuál es la
probabilidad de que:
a)
b)
274
Ninguna de las piezas esté defectuosa.
Dos de las piezas estén defectuosas.
Una asociación de beneficencia contrata estudiantes para que soliciten donacionespor teléfono.
Después de un breve periodo de preparación, los estudiantes telefonean a los donantes
potenciales y reciben en pago una comisión. La experiencia indica que, normalmente, estos
estudiantes logran sólo un éxito moderado, y 70% de ellos deja el trabajo en las dos primeras
semanas. La asociación contrata seis estudiantes, que pueden considerarse como una muestra
aleatoria. Cuál es la probabilidad de que:
a)
b)
5.
Ninguna de las cuentas esté vencida.
Dos de las cuentas esté vencida.
Un director de producción sabe que 5% de las piezas producidas en cierto proceso de
fabricación tiene algún defecto. Se examinan seis de estas piezas cuyas características se asumen
independientes. Cuál es la probabilidad de que:
a)
b)
4.
Se fundan diez lámparas.
No haya lámparas fundidas.
Cinco de los empleados estén a favor de la representación sindical.
Los diez empleados estén a favor de la representación sindical.
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
5.5. Distribución hipergeométrica
Tanto la distribución binomial como la distribución hipergeométrica persiguen un mismo objetivo
(el número de éxitos en una muestra que contiene n observaciones). Lo que establece una diferencia
entre estas dos distribuciones es la forma en que se obtiene la información y la manera como se
trabajan las muestras y poblaciones.
La distribución hipergeométrica es aquella en la que se considera la existencia de éxitos y/o fracasos en
una muestra y en una población, suponiendo que se tiene conocimiento del tamaño de la población y
del número de elementos dentro de ella que se consideran éxitos o fracasos, y que extrae una muestra
donde también existen éxitos o fracasos.
La principal diferencia que existe entre las distribuciones binomial e hipergeométrica es
que en la binomial sólo se trabaja con una muestra o con una población, no con las dos, pero se
considera que la forma como se emplean los datos es con reemplazo de los mismos, mientras que en
la hipergeométrica se utilizan tanto la muestra como la población para hacer referencia al número
de elementos contenidos en la población y así poder conocer el número de éxitos o fracasos en ella,
además de que se considera que, partiendo de esa población, se extrae una muestra e interesa conocer
la probabilidad de que se genere un número dado de éxitos o fracasos tomando en cuenta que el
manejo de los datos es sin reemplazo.
Se considera que el reemplazo implica que, al trabajar con un dato elegido previamente, éste
vuelve a considerarse en el conjunto de datos, por ejemplo, si se tiene una baraja con 52 cartas y se
elige una al azar, y esa carta es un as de diamantes, el reemplazo consiste en volver a incluir esa carta
en el conjunto, teniendo la posibilidad de volverla a elegir, además de que la probabilidad de elegir
una carta no cambiaría porque se seguirían considerando 52 cartas.
Si no existe reemplazo, la carta elegida se eliminaría del conjunto y no se volvería a incluir, por
lo que la probabilidad de elegir una carta está cambiando a medida que se reduce el total de elementos
contenidos en el conjunto. Esto quiere decir que, al disminuir los elementos de una población o
muestra, la probabilidad de que se lleve a cabo un experimento será cada vez mayor.
Al realizar un muestreo sin reemplazo de los elementos tomados de una población, no es
posible emplear la distribución binomial debido a que, al eliminar (no reemplazar) elementos
de una población, cambia la probabilidad de obtener un éxito al disminuir la cantidad de esos
elementos. En una situación en la que se requiere que los resultados de un experimento no se
repitan, y además se considera que se tiene una población y de ella se extrae una muest ra,
se debe emplear el muestreo sin reemplazo, siendo la distribución de probabilidad discreta más adecuada,
la distribución hipergeométrica.
Esta distribución se emplea para calcular la probabilidad de obtener un determinado número
de éxitos en un espacio muestral de n ensayos, partiendo de que existe un número dado de éxitos
dentro de una población y que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado
de cualquier otra observación anterior, en el sentido de que hay elementos que han sido eliminados
y no pueden repetirse.
De esa manera, la distribución hipergeométrica considera no sólo a loselementos de la muestra,
sino también a los elementos de la población, por lo cual se tiene:
P(k)
( k Cx )( N–k Cn–x )
( N Cn )
k!
x !(k x)!
(N k)!
(n x)![(N k) (n x)]!
N!
n!(N n)!
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
27 5
Donde:
N = número de elementos en la población.
k = número de elementos en la población que se consideran éxitos.
N–k = número de elementos en la población que se consideran fracasos.
n = número de elementos en la muestra seleccionados de los N elementos en la población.
x = número de éxitos en la muestra.
En este sentido, la fórmula implica que, al contarse con una población, hay elementos dentro de
ella (N) que son considerados éxitos (k) y, si se desea realizar un experimento, se extrae una muestra
(n) y se analiza para saber qué proporción de los datos de la muestra son éxitos (x). Así, se garantiza
conocer de manera exacta la probabilidad de que un número dado de datos dentro de una muestra
puedan ser éxitos o fracasos.
Ejemplo 10
Un aspirante a un puesto ejecutivo acude al departamento de recursos humanos de una empresa y
se le notifica que en dos días deberá realizar un examen basado en una guía de quince secciones. Al
prepararse para el examen, estudia tan sólo 10 de las 15 secciones que debe cubrir. Si su instructor
selecciona 5 secciones al azar y hace una pregunta de cada una, ¿cuál será la probabilidad que tiene el
aspirante de haber estudiado dos de las secciones?
En primer término se deben identificar los elementos correspondientes para ubicar sus valores
en la fórmula. Como podrás observar, se hace referencia de 15 secciones que abarca el examen, por lo
que el tamaño de la población es N = 15. El aspirante estudia 10 de las secciones, por lo que el número
de elementos en la población que se consideran éxitos es k = 10. Al seleccionar 5 secciones al azar, se
habla del tamaño de muestra:
n= 5
N = 15
k = 10
N–k = 5
n =5
Al considerarse la probabilidad de que el aspirante haya estudiado dos de las secciones, se tiene
que el número de éxitos en la muestra x = 2.
n– x=3
( k Cx )( N –k Cn–x )
P(2)
( N Cn )
P(2) =
10!
2!(10 – 2)!
(10 C2 )( 5 C3 )
15 C5
(5)!
(3)!(5–3)!
15!
5!(15–5)!
10 9
5 4
2
2
15 14 13 12 11
120
276
10 !
(2!) (8!)
(5)!
(3!) (2!)
15!
(5!) (10!)
20
90
2
2
360 360
120
(45) (10)
(3 003)
10 9 8 !
(2) (8!)
5 4 3!
(3!) (2)
15 14 13 12 11 10!
(5 4 3 2 1) (10!)
450
0.149850149
3 003
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
0.149850149
P (2) = 0.1499
La probabilidad de que el aspirante haya estudiado dos secciones es de 0.1499, lo cual es un
valor bajo que denota que sus posibilidades de aprobar el examen no son muy alentadoras.
Ejemplo 11
Una compañía recibe un pedido de 20 artículos. Debido a que la inspección de cada artículo es cara,
se sigue la política de analizar una muestra aleatoria de 6 artículos de cada envío, aceptando la remesa
si no hay más de un artículo defectuoso en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado
un pedido con 5 artículos defectuosos?
N = 20
k= 5
N – k = 15
n= 6
Al considerarsela probabilidad dequelacompañía acepte un pedido con 5 artículosdefectuosos,
se tiene que el número de éxitos en la muestra x = 5.
n– x=1
( k Cx )( N –k Cn–x ) ( 5C5 ) (15C1 )
P(5) =
( N Cn )
( 20 C6 )
P(5)
5!
5!(5 5)!
(15)!
(1)!(15 –1)!
20 !
6 !(20 – 6)!
1
15
1
1
20 19 18 17 16 15
(6 5 4 3 2 1)
5!
(5!) (0 !)
15 x 14 !
(1!) (14 !)
20 19 18 17 16 15 14!
(6 !) (14!)
1 15
1
1
27 907 200
720
(1) (15)
(38 760)
15
38 760
0.00038699
P(5) = 0.00039
La probabilidad de que un pedido que contenga 5 artículosdefectuosossea aceptado es0.00039,
el cual es un valor muy bajo.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
27 7
1.
Una empresa presenta 10 declaraciones a un auditor de Hacienda y éste selecciona una muestra
de seis declaraciones de impuestos de personas con una profesión particular para una posible
auditoría. Si siete de las declaraciones indican deducciones autorizadas no se auditará a todo
al grupo de 10 declaraciones, cuál es la probabilidad de que no se realice una auditoría más
detallada si las declaraciones correctas son:
a)
b)
27 8
Cinco.
Tres.
2.
Un gerente selecciona aleatoriamente a tres individuos de un grupo de 10 empleados de un
departamento para la formación de un equipo asignado a un proyecto. Suponiendo que
cuatro de los empleados fueron asignados anteriormente a un proyecto similar, determina la
probabilidad de que exactamente dos de los tres empleados hayan tenido experiencia en este
tipo de proyectos.
3.
Una analista financiera harecibido una listade losbonosde 12 compañías. La analistaselecciona
tres empresas de la lista cuyos bonos cree que están en peligro de caer el próximo año. En
realidad cuatro de las empresas de la lista verán caer sus bonos el próximo año. Supongamos
que la analista ha elegido las tres empresas de la lista aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad
de que ninguna de las elegidas esté entre aquellas cuyos bonos bajarán el próximo año?
4.
El director de un banco está considerando la concesión de un préstamo a 10 personas que lo
han solicitado. El perfil de todoslossolicitantes es similar, excepto en que cinco son menores de
edad y el resto no. Al final, el director aprueba seis solicitudes. Si estas seis solicitudes han sido
elegidasaleatoriamente del total, ¿cuál es la probabilidad de que dos de las solicitudesaprobadas
sean de menores de edad?
5.
En una tienda de autoservicio 15 de los 20 clientes encuestados por una marca reconocida de
botanas están insatisfechos con el sabor de algunos productos. Si una muestra aleatoria
de cuatro clientes es encuestada sobre el sabor de los productos, determina la probabilidad de
que tres de los clientes encuestados se muestren insatisfechos con el sabor de las botanas.
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
5.6. Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es otra función de distribución de probabilidad discreta que tiene muchas
aplicaciones prácticas. Algunos ejemplos de los fenómenos analizados con la distribución de Poisson son:
La distribución de Poisson emplea información referente a situaciones en las cuales se maneja que
el resultado de un ensayo se condicione por presentarse en un periodo determinado o en un área o
La distribución de Poisson puede emplearse para determinar la probabilidad de ocurrencia
de un número establecido de eventos cuando éstos ocurren en cierto periodo. Aunque es parecida
a la distribución binomial, se distingue de ella en que los eventos ocurren a lo largo de un
intervalo de tiempo o espacio. La variable aleatoria discreta –el número de éxitos por unidad
(es decir, por periodo, área, etc.)– es representativa de una distribución de Poisson. Cuando el
criterio es el área, se hace referencia a que se puede, por ejemplo, entrevistar a 100 personas en
un kilómetro cuadrado.
No sólo existen numerosos fenómenos discretos representados por una distribución de
Poisson, sino que es posible emplear la distribución de Poisson como una aproximación a la
distribución binomial cuando se proporciona el total de datos referentes a un problema y el
número de datos es grande (mayor a 30), ya que no se puede calcular fácilmente el factorial de
un número superior a ése, por lo que en este caso el promedio se define como = n · p, con la
característica de que el valor de la probabilidad es muy pequeño. Se dice que la distribución de
Poisson es la distribución límite de la binomial a medida que la muestra se hace muy grande y p
se aproxima a cero.
Para determinar la probabilidad de ocurrencia de un número establecido de eventos en una
distribución de Poisson sólo se requiere de un valor: el número promedio de eventos en la dimensión
temporal o espacial específica de interés. Por lo general esta media se representa por la letra griega
(lambda). Esta distribución se representa por:
P( x)
x
e
x!
Donde:
e = 2.71828, es la base de los logaritmos naturales.
= constante positiva igual a la media de la distribución.
x = cualquier número entero positivo o valor que toma la variable aleatoria.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
27 9
Ejemplo 12
El número promedio de ventas de una compañía en una hora es de 5, se desea conocer cuál es la
probabilidad de que en una hora determinada se realicen:
a)
b)
Tres ventas.
Seis ventas.
En los datos se puede apreciar que se conoce el valor de , por lo cual se emplea la distribución
de Poisson.
a)
Como el promedio de ventas por hora es cinco, entonces = 5, siendo x = 3.
(e 5 ) (5)3
3!
P(3)
(2.71828) 5 (5)3
3!
(0.0067)(125)
3 2 1
0.8375
6
0.1396
P(3) = 0.1396
La probabilidad de que se realicen en promedio tres ventas en una hora, es de 0.1396.
b)
Se desea conocer la probabilidad de que se realicen x = 6 ventas, por lo cual:
P(6)
(e 5 ) (5)6
6!
(2.71828) 5 (5)6
6!
(0.0067) (15 625)
6 5 4 3 2 1
104.6875
720
0.1454
La probabilidad de que se realicen en promedio seis ventas en una hora es 0.1454.
Ejemplo 13
Una compañía de seguros considera que en las pólizas que vende debe adicionar una cobertura de
gastosmédicos mayores para padecimientospoco frecuentes. La probabilidad de que un individuo
aleatoriamente seleccionado tenga ese padecimiento es de 0.001 y el grupo de asegurados es de
3 000 personas.
a)
b)
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 3 000 personas presente el padecimiento?
¿Cuál es la probabilidad de que 10 personas presenten el padecimiento?
Como puedes observar, en este caso se proporciona el total de elementos considerados en el
estudio (3 000), el cual es grande, por lo que se tiene que emplear la aproximación a la distribución
binomial con el fin de facilitar el cálculo de la probabilidad requerida.
Para conocer el promedio de personasque tienen el padecimiento hay que multiplicar la probabilidad de
que lo tengan por el total de elementos contenidos en la muestra, por lo que = n · P = (0.001)(3 000) = 3.
a)
Como el promedio de personas que puede presentar el padecimiento es = 3 y x = 0:
P(0)
(e 3 ) (3)0
0!
(2.71828) 3(3)0
0!
(0.049787068) (1)
1
0.049787068
1
0.049787068
P(0) = 0.049787068
280
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
Con el resultado puede deducirse que la probabilidad de que ninguna persona presente el
padecimiento es 0.049787068, siendo un valor muy bajo.
b)
El promedio de personas que puede presentar el padecimiento es = 3 y x = 10:
P (500)
(e 3 ) (3)10
10 !
(2.71828) 3 (3)10
10 !
(0.049787068) (59 049)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2 939.876578
3 628 800
= 0.000810151
P (10) = 0.000810151
El resultado muestra que la probabilidad de que 10 personas puedan presentar el padecimiento
es realmente bajo, con lo cual puede concluirse que a la compañía aseguradora le conviene incluir en
su cobertura el rubro de incremento en gastos médicos, ya que se considera que la probabilidad de
que se contraiga el padecimiento es baja y con ello no tendrá que pagar mucho.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
2 81
282
1.
Los clientes de una tienda de autoservicio llegan a una caja ocupada a una tasa media de tres
por minuto. La tienda desea conocer la probabilidad de que en un minuto determinado
se produzcan dos o menos llegadas para establecer el número de cajas que deben estar
funcionando para dar un mejor servicio.
2.
El conmutador de un edificio de consultoras publicitarias puede manejar un máximo de cinco
llamadas por minuto, según el fabricante. Si la experiencia indica que se recibe un promedio
de cinco llamadas por minuto que declara el fabricante, encuentra la probabilidad de que se
reciban tres llamadas en un minuto dado.
3.
Los clientes de una tienda de artículos deportivos llegan a un mostrador ocupado a una tasa
media decuatro por minuto. Se desea conocer la probabilidad deque en un minuto determinado
lleguen tres clientes.
4.
El número de accidentesmensualesen una cadena de producción esde2.6 para un mesconcreto,
¿cuál es la probabilidad de que no existan accidentes?
5.
Un profesor recibe en promedio 4.2 llamadas de sus estudiantes el día anterior al examen, ¿cuál
es la probabilidad de que reciba dos llamadas en esos días?
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
5.7. Distribución geométrica
En la distribución binomial nosinteresa conocer la probabilidad de que se susciten éxitoso fracasos, pero no
importa el orden en que se den, esdecir, no esde importancia si el primer éxito se da en el primer, quinto o
último experimento. Por ejemplo, si se tiene un lote de artículos y se elige una muestra de cinco para ver si
presentan defectos(fracaso), no importasi el primer defecto seencuentraen el primer, tercer o cuarto artículo,
lo importante es conocer la probabilidad de que dos o tres o cinco artículos sean defectuosos.
La distribución geométrica se basa en la distribución binomial sólo que en ésta nos interesan
las probabilidades de que el primer éxito o fracaso ocurra en un experimento dado, por ejemplo, es
de interés conocer si el primer éxito o fracaso ocurre en el tercer experimento.
En la distribución geométrica se tienen x experimentos y para que el primer éxito (fracaso) se dé
en el x-ésimo experimento (el experimento elegido), deberán ocurrir antes x – 1 fracasos (éxitos) cuya
probabilidad es (1 – P)x–1.
Por ejemplo, si se estudia la venta de 10 automóviles de tres marcas diferentes (A, B, C) en una
hora dada con probabilidades de éxito y fracaso conocidas y se desea saber la probabilidad de que
el primer éxito (la primera venta de la marca B) se dé en la tercera venta realizada, se tienen x = 3
experimentos (ventas) pero antes se dieron x – 1 = 3–1 = 2 fracasos (ventas de otras marcas).
La probabilidad de que el primer éxito o fracaso ocurra en el x-ésimo experimento es:
P(x) = P(1 – P)x–1
Donde:
P(x) = Probabilidad de que el primer éxito se de en el experimento x.
P = Probabilidad de éxito.
(1–P) = Probabilidad de fracaso.
x = Experimento elegido donde se espera que se obtenga el primer éxito.
x – 1 = Fracasos ocurridos antes de que se obtenga el primer éxito.
Ejemplo 14
Una casa de bolsa tiene un paquete de acciones con distintos rendimientos. Si la probabilidad de que
se eleve el rendimiento de las acciones es de 0.7, encuentra la probabilidad de que la cuarta acción sea
la que eleve primero su rendimiento.
La probabilidad de éxito está definida por la probabilidad de que las acciones eleven su
rendimiento, por lo cual P = 0.7; la probabilidad de fracaso es (1 – P) = 1 – 0.7 = 0.3. Como se
espera que la cuarta acción sea la que eleve primero su rendimiento, x = 4.
P(x) = P(1 – P)x–1
P(4) = (0.7) (0.3)4 – 1 = (0.7) (0.3)3 = (0.7) (0.027) = 0.0189
P(4) = 0.0189
La probabilidad de que la cuarta acción sea la que eleve primero su rendimiento es de 0.0189, lo
cual indica que es poco probable que esta acción sea la que eleve primero su rendimiento.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
283
Ejemplo 15
Al participar en un concurso, la probabilidad de que un participante acierte una respuesta esde 0.6. ¿Cuál
es la probabilidad de que el participante proporcione la primera respuesta correcta en su tercer intento?
La probabilidad de éxito es P = 0.6, la probabilidad de fracaso es (1 – P) = 1 – 0.6 = 0.4
P (3) = (0.6)(0.4)3 – 1 = (0.6)(0.4)2 = (0.6)(0.16) = 0.096
P(3) = 0.096
La probabilidad de que el concursante proporcione la primera respuesta acertada en su tercer
intento es 0.096.
284
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
1.
El departamento de recursos humanos de una compañía tiene tres candidatos factibles para un
puesto gerencial, los cualeshan sido seleccionados a travésde variaspruebas, determinándose que
la probabilidad de acertar las respuestas es de 0.9; para decidir cuál de ellos debe quedarse con
el puesto, se les hará una prueba más. ¿Cuál es la probabilidad que el primer candidato conteste
acertadamente a la prueba?
2.
Si la probabilidad de que un estudiante de una clase numerosa pueda dar la respuesta a un
problema asignado es de 0.3, ¿cuál es la probabilidad de que el cuarto estudiante seleccionado
al azar por el instructor sea el primero en dar la respuesta correcta?
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
285
5.8 Implementación en los procesos de pronóstico para los negocios
Sin lugar a dudas una de las partes más importantes dentro de la administración de un negocio es
la referente al proceso de pronosticación y predicción objetiva del futuro, la cual se basa en tratar
de adelantarse al escenario actual y vislumbrar el escenario futuro de la situación de la empresa o
de un proyecto en específico. Es aquí donde las diferentes distribuciones probabilísticas y la propia
estadística pueden apoyar de manera ardua y significativa.
Es importante señalar que esta actividad inherente al manejo eficiente de los negocios y de
las propias organizaciones se ha realizado con mucha antelación en la historia organizacional y
empresarial, debido a que saber o poder identificar qué se espera que suceda en el futuro es una
ventaja competitiva que proporciona, sin lugar a dudas, diferenciación y éxito en cualquier empresa y
negocio. Sin embargo, la parte importante radica en la forma en que estos pronósticos se han llevado
a cabo, y a decir verdad, hasta hace relativamente poco existen métodos para realizar con mayor
asertividad y objetividad el proceso de los pronósticos.
Lo que ha dado al traste con múltiplesproyectoses que muchasempresassustentan susprocesos
decisorios sólo en cuestiones cualitativas, cuando actualmente el mundo nos ha dado lecciones
referentes a que no todas las decisiones se deben dar y sustentar en un proceso cualitativo, sino más
bien en una mezcla estratégica de información cualitativa y cuantitativa. Y es ahí donde la cuestión
estadística y de pronosticación cobra mayor envergadura.
Un número cada vez mayor de organizaciones está redefiniendo y formalizando el proceso de
elaboración de pronósticos para llevar a cabo una serie de planificaciones organizacionales efectivas;
por ejemplo, podemos mencionar la planeación referente a los procesos comerciales, a la capacidad
productiva de una planta o una unidad de negocio, a los pronósticos financieros, a los pronósticos
de quejas y observaciones de nuestros clientes o proveedores, etc., y por ende generar un mejor
desempeño de todo lo largo y ancho de la organización.
Actualmente, dentro del lenguaje de los negocios y de la administración efectiva de las
organizaciones cobra gran relevancia el término de productividad, competitividad y rentabilidad;
sin embargo, atrás de estos conceptos primordiales para los negocios se encuentra un proceso de
pronosticación efectivo.
Riesgo
Rentabilidad
Pronosticación
efectiva
Productividad
Desarrollo de la
empresa, negocio
proyecto
Competitividad
Incertidumbre
Ahora bien, es importante señalar que para que el proceso de pronosticación sea efectivo debe
partir de una aculturización en dos vertientes muy importantes y que resultan ser la base de todo el
proceso: la cultura hacia la predicción y la cultura hacia la planeación. Se debe señalar que cuando
se lleva a cabo un proceso ineficiente de pronosticación, la incertidumbre y el riesgo se incrementan
286
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
de manera sustanciosa, y como resultado, la posibilidad de toma de decisiones poco efectivas es más
latente. Por ello el tema de pronosticar es extenso y requiere de técnicas adecuadas y tropicalizadas
para cada situación, empresa, producto, área funcional, etcétera.
¿Pero cómo se empieza a generar un pronóstico eficiente?La respuesta inicial es que se deben
identificar y comprender los elementos que influencian a la demanda, y su comportamiento a
partir de los diferentes componentes del entorno y de las características propias de los elementos
a pronosticar (ya sea un producto o servicio en específico, inversión, comportamiento de cliente,
tiempo de elaboración de un producto, etcétera).
Como segunda respuesta se puede mencionar que el hecho de pronosticar no puede ser
identificado como una mera predicción de lo que pasará en el futuro. Es por ello que un pronóstico
se integra a partir de datos que se convierten en información, y que esa información a su vez tiene
una gran probabilidad de ocurrencia. En otras palabras, normalmente se pudiera pensar que los
pronósticos son elementos mágicos y metafísicos que permiten adivinar de manera exacta lo que
sucederá en el futuro, y que además tienen una certeza total. Sin embargo los pronósticos, como otras
herramientas cuantitativas que son aplicables a la administración y al gerenciamiento efectivo de una
organización o proyecto, coadyuvan a un desarrollo efectivo pero no son la panacea solucionadora de
todos los problemas decisorios.
Ahora bien, en cuanto a lo que nos concierne en este apartado, podemosdecir que las diferentes
técnicas de pronósticos estadísticos son muy útiles, ya que cuantifican de manera muy precisa ciertos
componentes de la demanda, como tendencia, patrones de estacionalidad o de eventos.
Pronósticos y planeación: procesos críticos del negocio
Analicemosprimeramente qué se entiende por planeación y cómo lospronósticosson parte inherente
de esta etapa del proceso administrativo, y a partir de ello establezcamos la interrelación existente.
En primera instancia la planeación es pensar en las actividades, metas y objetivos que se deben
logran en un futuro, ya sea mediato o inmediato, y una herramienta que ayuda a este proceso es sin
lugar a dudas la pronosticación.
El diseño y elaboración de los pronósticos requiere información que surge de y se aprovecha
para la planeación. En toda organización, quien se encarga de desarrollar los pronósticos debe tomar
en cuenta las actividades planeadas, como ofertas, rebajas, promociones, modificación de precios,
cambios en el entorno o sector al que nos dirigimos, etc., ya que ello coadyuva al desarrollo efectivo
de pronósticos eficientes y competitivos.
Es indudable comentar que otra característica importante reside en que la parte histórica de
todos los acontecimientos planteados anteriormente se debe ir acumulando de manera formal, ya que
al tenerse a la mano servirá de referencia cuantitativa para elaborar pronósticos más objetivos.
Por ejemplo, un estudio realizado por el Institute of Business Forecasting (IBF), titulado “Why
Forecasting?” (www.ibf.org), comenta que “hoy en día es ineludible un proceso más formal para
elaborar los pronósticos sin importar en qué tipo de negocio o industria se localice la empresa o qué
función realiza. Siempre hay una necesidad de estimar el futuro sobre el cual construir un plan”.
Este estudio también señala que diversas áreas de la empresa establecen planes diferentes a
partir de los pronósticos:
El área de mercadotecnia o comercialización requiere pronósticos para determinar qué
productos o servicios pueden ser factibles de insertar en el mercado, así como terminar con
la comercialización de otros.
Identificar la cantidad de procesos que se pueden elaborar en cierta área de la empresa, es
decir, la capacidad de operación.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
287
El área de ventasrequiere pronósticospara establecer cuotasu objetivosde venta, y así poder
diseñar estrategias más particularizadas hacia sus vendedores, así como sus estrategias de
mercadeo o promoción.
El área de logística o cadena de valor necesita tener pronósticos efectivos para diseñar el
proceso de planeación de la producción, el abastecimiento y las estrategias de logística.
El área de recursos financieros necesita identificar las tendencias basándose en pronósticos
acerca de los ingresos, los egresos, la carga fiscal, etcétera.
El área de recursos humanos o capital humano requiere identificar su rotación de capital
humano con base en pronósticos de permananencia.
Pese a todo lo anterior, aún persisten miembros de organizaciones que son incrédulos de toda
la fortaleza decisoria que apoya una pronosticación efectiva, y siguen pensando que la experiencia y el
presentimiento son las bases para vislumbrar lo que sucederá en un futuro y tomar decisiones.
Ahora bien, cuando se trata de utilizar la estadística en el diseño y desarrollo de pronósticos,
debemos contemplar una serie de puntos de gran importancia, como:
a)
Cuál es la funcionalidad de las técnicas estadísticas en el diseño de pronósticos.
b)
Cuántos datos se requieren y de qué tipo.
c)
Cómo se puede cuantificar el impacto de la desviación de los pronósticos con respecto a
la realidad.
d) Cómo pronosticar cientos de productos y servicios en tiempo y forma adecuada.
e)
Cuál debe ser el perfil profesional y de habilidades del encargado de realizar pronósticos en
las organizaciones actuales.1
Esto le permitirá evaluar si tiene oportunidad de mejorar su proceso mediante el uso de
alguna herramienta o capacitación. Hoy en día las compañías cuentan con la posibilidad de romper
paradigmas culturales acerca de la realización de pronósticos. Hacer buenos pronósticos de demanda
es un proceso que agrega valor, ya que está íntimamente relacionado con la toma de decisiones que
impactan en el rendimiento financiero de la empresa.
Como ejemplo de lo anterior podemos mencionar el siguiente caso:
¿Qué ha estado ocurriendo con DELL últimamente? La respuesta es que siendo DELL un
gigante en el mercado de la tecnología, y de manera específica en la cuestión del hardware, que
innovó en el desarrollo de nuevas formas de producción y comercialización del mismo y que ha tenido
un desarrollo excepcional en los últimos años, hoy en día está sufriendo un grave colapso financiero
y comercial, debido en gran parte a una mala pronosticación de ventas de sus equipos en la parte
empresarial, es decir, su pronóstico en el sector de ventas a empresas y sus respectivos equipos no
fue objetivo y realista; algo falló, ocasionando que los resultados distaran mucho de la realidad y sus
planes estratégicos se fundaran en esa esperanza de ventas, las cuales nunca llegaron y hoy ponen en
serios aprietos a esta empresa de carácter mundial.
1
288
Adapt ado de “ Pronóst i cos de negoci os”. Armando Gonzál ez, su aut or, es gerente general de Forecast
Pro Lat i noaméri ca. Forecast Pro es el sof t ware l íder para pronóst icos de negocios (recogido del port al
http:// www.gerencie.com. Todo lo que un contador y empresario debe saber).
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
Sin duda la experiencia por la que está pasando DELL debe de servir para concluir que los
pronósticos tienen una gran importancia, y que de su objetividad dependen muchas expectativas de
la empresa.
Finalmente, es importante mencionar que las mejores prácticas en cuanto a pronosticación
sugieren una combinación de pronósticos estadísticos con pronósticos por experiencia, y la parte
cuantitativa y cualitativa deben estar relacionadas de manera sinérgica, a fin de que la empresa sea
competitiva de manera permanente y consolidada.
Ejemplo 15
1.
Una empresa de transportesurbanos de la ciudad de México realizó un estudio sobre el número
de autobuses carros de la ruta México-Acapulco por semana; adicionalmente, los expertos del
área de mantenimiento establecieron las probabilidades f(x) para cada uno de los eventos. Los
resultados se muestran en la tabla siguiente:
Carros averiados
Probabilidad f(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
0.01
0.05
0.10
0.22
0.28
0.24
0.08
0.02
La capacidad de operación del área de mantenimiento es de cuatro carros por semana;
el gerente del área de mantenimiento necesita definir un plan estratégico (pronosticar) para
prevenir contingencias en la próxima semana de vacaciones y minimizar los costos por unidades
averiadas, para lo cual se le solicita que determine:
a)
La probabilidad de dar servicio a cuatro carros por semana.
b)
La probabilidad de dar servicio a menos de cuatro carros a la semana.
c)
La probabilidad de atender a más de cuatro carros a la semana.
d) Con base en los resultados anteriores, ¿se justificaría la inversión para ampliar la estación
de mantenimiento?
Solución
Por las condiciones del problema se trata de una distribución de Poisson:
a)
La probabilidad de dar servicio a 4 carros por semana.
La fórmula que se aplicará para la solución de este problema es la función de probabilidad
de Poisson:
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
289
P( x)
x
e
x!
Para lo cual se requiere el valor de , que representa la media de la distribución. En este
caso la media de la distribución es el valor esperado, de donde
E
f(x).
Carros averiados
Probabilidad f(x)
f(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
Total
0.01
0.05
0.10
0.22
0.28
0.24
0.08
0.02
1.00
0.00
0.05
0.20
0.66
1.12
1.20
0.48
0.14
3.85
Por lo tanto = 3.85.
Para determinar la probabilidad de dar servicio a 4 carros únicamente a la semana, es
decir a 100% de la capacidad del área de mantenimiento, hacemos x = 4 y sustituimos en
la fórmula:
P(4)
(3.85)4 e 3.85
4!
0.1948
Por lo tanto, la probabilidad de dar servicio a 4 carros a la semana es de 19.48%.
b)
La probabilidad de dar servicio a menos de 4 carros a la semana.
Para resolver este problema se debe tomar la probabilidad cuando x es menor a 4, es decir,
para el caso x = 3, 2, 1 y 0.
P(0)
(3.85)0 e 3.85
0!
0.0213
P(1)
(3.85)1 e 3.85
1!
0.0819
P(2)
(3.85)2 e 3.85
2!
0.1577
P(3)
(3.85)3 e 3.85
3!
0.2024
La probabilidad para P(x < 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3).
P(x < 4) = 0.0213 + 0.0819 + 0.1577 + 0.2024 = 0.4633
Por lo tanto, la probabilidad de dar servicio a menos de 4 carros a la semana es
de 46.33%.
c)
La probabilidad de atender a más de 4 carros a la semana.
Para obtener la probabilidad de dar servicio a más de 4 carros a la semana determinamos
que P(x > 4) = 1 –P
P
P(x = 4) + P(x < 4) = 0.1948 + 0.4633 = 0.6581
P(x > 4) = 1 – 0.6581 = 0.3419
Por lo tanto, la probabilidad de atender a más de 4 carros a la semana es de 34.19%.
290
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
d) Con base en los resultados anteriores, ¿se justificaría la inversión para ampliar la estación
de mantenimiento?
Como se puede apreciar, el área de mantenimiento trabaja la mayor parte del año por
debajo de su capacidad máxima (4 carros a la semana con una probabilidad de 65.81%), y pocas
veces trabaja por arriba de su máxima capacidad, con una probabilidad de 34.19%. Por esta
razón no se recomienda hacer una expansión en el área de mantenimiento.
2.
Una empresa informa que 25% de sus cuentas por cobrar a otras empresas están vencidas.
Si un contador toma una muestra aleatoria de 10 de las cuentas por cobrar, determine la
probabilidad de:
a)
Que ninguna de las cuentas esté vencida.
b)
3 de las cuentas estén vencida.
c)
Si la probabilidad de que 3 de las 10 cuentas estén vencidas es mayor a 25%, la empresa
necesitará establecer medidas pertinentes. ¿Deberá tomarlas o no?
Solución
Se trata de una distribución de tipo binomial.
a)
Que ninguna de las cuentas esté vencida.
En este caso el tamaño de la muestra es n = 10, la probabilidad de éxito p = 0.25, y la
probabilidad de fracaso es q = 1–0.25 = 0.75.
Sustituyendo estos valores en la fórmula para obtener la probabilidad si x = 0, se tiene:
pk qn
k
n!
pk qn
k!(n k)!
k
p(k)
n Ck
p(0)
10!
(0.250 )(0.7510 ) 0.0563
0 !(10 0)!
La probabilidad de que ninguna de las cuentas esté vencida es: 0.0563.
b)
3 de las cuentas estén vencidas.
x = 3, sustituyendo tenemos:
p(3)
10!
(0.253 )(0.7510 3 ) 0.2503
3!(10 3)!
La probabilidad de elegir 3 cuentas vencidas es 0.2503.
c)
Si la probabilidad de que 3 de las 10 cuentas estén vencidas es mayor a 25%, la empresa
necesitará establecer medidas pertinentes. ¿Deberá tomarlas o no?
Como la probabilidad de que 3 de las 10 cuentas estén vencidas es de 25.03%, la empresa
deberá tomar medidas.
3.
La casa de bolsa Interacciones tiene un paquete de acciones con distintos rendimientos. Si la
probabilidad de que se eleve el rendimiento de alguna de las acciones es de 80%, determine
la probabilidad de que la tercera acción sea la que eleve su rendimiento.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
2 91
Solución
En este ejemplo, tenemos que la probabilidad de éxito es de 0.8, la probabilidad de fracaso es
1 – 0.8 = 0.2. Como se espera que la tercera acción eleve su rendimiento, x = 3, sustituyendo en la
fórmula para obtener probabilidad de la distribución geométrica tenemos:
P(x) = P (1 – P)x – 1
P(3) = 0.8 (1–0.8)3 – 1 = (0.8) (0.2)2 = 0.032
La probabilidad de que la tercera acción sea la que eleve su rendimiento es de 0.032.
Ejemplo 16
1.
El área de telemarketing de una empresa recibe los pedidos de sus clientes y los registra en el
sistema de ventas; el promedio de llamadas que se reciben es de 8 cada 5 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de recibir 3 llamadas en cualquier minuto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de atender más de 5 llamadas en cualquier minuto?
Solución
2.
a)
0.1378 = 13.78%
b)
0.0062 = 0.62%
El director de producción de la empresa Elektrica sabe que 7% de las piezas producidas en su
fábrica son defectuosas. De un lote se examinan 8 piezas. Determinar la probabilidad de:
a) Que una de las piezas elegidas esté defectuosa.
b) Que dos de las piezas elegidas estén defectuosas.
Solución
a) La probabilidad de que una de las piezas elegidas esté defectuosa es de 0.3370.
b) La probabilidad de que dos de las piezas elegidas estén defectuosas es de 0.0888.
3.
El gerente de operación y producción de Interceramic sabe que 7% de las piezas producidas por
su empresa son defectuosas. De un lote se examinan 8 piezas. Determine la probabilidad de que
la cuarta pieza elegida salga defectuosa.
Solución
La probabilidad de que la cuarta pieza elegida esté defectuosa es de 5.63%.
2 92
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
1.
Una variable aleatoria se caracteriza por:
a)
b)
c)
d)
2.
Una variable aleatoria se clasifica como:
a)
b)
c)
d)
3.
La suma de los valores que toma una variable multiplicados por su probabilidad.
La suma de los valores que toma una variable divididos entre su probabilidad.
La suma de los valores que toma una variable divididos entre el número de datos.
Un valor que mide la dispersión.
La varianza de una variable aleatoria discreta es útil para:
a)
b)
c)
d)
7.
Las probabilidades suman más de uno y son mayores a uno.
Las probabilidades suman uno y su valor está entre cero y uno.
Las probabilidades son negativas y suman menos que uno.
Las probabilidades son negativas y suman uno.
El valor esperado o esperanza matemática es:
a)
b)
c)
d)
6.
El valor cero.
Sólo valores enteros.
Valores negativos.
Cualquier valor dentro de un intervalo.
Dos características de las probabilidades asociadas a una distribución son:
a)
b)
c)
d)
5.
Dependiente o independiente.
Discreta o continua.
Probabilística o no probabilística.
Determinada o indeterminada.
Una variable aleatoria continua es aquella que toma:
a)
b)
c)
d)
4.
Ser un símbolo utilizado para representar cualquier valor de un conjunto.
No depender de factores al azar.
No tomar valores particulares dentro de un evento aleatorio.
No estar vinculada a un suceso aleatorio.
Determinar el valor esperado.
Conocer la variación de una distribución de frecuencias.
Comparar las dispersiones de las distribuciones de probabilidad.
Calcular una probabilidad.
Un investigador sugiere queel periodo quedura un artículo “de moda” dependedela clasedeartículo.
Sobrelabase de experiencias, una casaderopaha calculado lasiguientedistribución de probabilidad
para el número de vestidos de mujer (x) que se estima están de moda durante cierto periodo.
X
P(x)
1
1/12
2
3/12
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
3
4/12
4
4/12
293
Encuentra la desviación estándar.
Con los datos del problema, el valor es:
a)
b)
c)
d)
8.
La distribución binomial se caracteriza por:
a)
b)
c)
d)
9.
294
Se hace uso del muestreo sin reemplazo.
Sólo se considera una muestra.
Se usa el muestreo con reemplazo.
Se consideran dos o más muestras.
La distribución hipergeométrica:
a)
b)
c)
d)
13.
0.2637
0.3321
0.2655
0.2456
En la distribución hipergeométrica:
a)
b)
c)
d)
12.
El experimento consiste de un ensayo.
Cada experimento tiene muchos resultados posibles.
La probabilidad de un éxito suma más de uno.
Los ensayos son estadísticamente independientes.
Un político cree que25% delosmacroeconomistasqueocupan altoscargosapoyará una propuesta
que quiere presentar. Suponiendo que esta creencia es correcta y que se eligen cinco altos cargos
aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los cinco apoyen la propuesta?
Con esos datos, la probabilidad es:
a)
b)
c)
d)
11.
Considerar a los elementos de la población.
Incluir dos eventos o sucesos con probabilidades “p” y “q”.
Trabajar con promedios.
No incluir probabilidades.
Una propiedad de la distribución binomial es:
a)
b)
c)
d)
10.
Desviación estándar = 0.8965
Desviación estándar = 0.9538
Desviación estándar = 0.8125
Desviación estándar = 0.9864
Considera a los elementos de la población.
Incluye dos eventos o sucesos con probabilidades “p” y “q”.
Trabaja con promedios.
No incluye probabilidades.
Un analista financiero ha recibido una lista de losbonosde 12 compañías. El analista selecciona
tres empresas de la lista cuyos bonos cree que están en peligro de caer el próximo año. En
realidad, cuatro de las compañías de la lista verán caer sus bonos el próximo año. Suponiendo
que el analista ha elegido las tres empresas de la lista aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad
de que dos de las compañías estén entre aquellas cuyos bonos bajen el próximo año?
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
Con esos datos, la probabilidad es:
a)
b)
c)
d)
14.
La distribución de Poisson determina la probabilidad de ocurrencia de un evento:
a)
b)
c)
d)
15.
Considerando el número de datos en una población.
Tomando en cuenta el tiempo o área.
Considerando la probabilidad de éxito.
Considerando la probabilidad de fracaso.
La distribución de Poisson:
a)
b)
c)
d)
16.
0.2134
0.2182
0.2116
0.2237
Considera a los elementos de la población.
Incluye dos eventos o sucesos con probabilidades “p” y “q”.
Trabaja con el promedio de la distribución.
No incluye probabilidades.
En promedio al puerto llega un barco cada dos días. Una empresa importadora desea conocer
cuál es la probabilidad de que tres barcos lleguen a ese punto en un día aleatoriamente
seleccionado.
Con los datos anteriores, la probabilidad es:
a)
b)
d)
e)
0.0182
0.0164
0.0613
0.0126
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
295
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
c)
a)
a)
d)
a)
c)
b)
d)
c)
Recuerda que las probabilidades de los 4 puntos muestrales son las siguientes:
P(A, A) = (0.6) × (0.6) = 0.36 Probabilidad del 1er. punto muestral.
P(A, B) = (0.6) × (0.4) = 0.24 Probabilidad del 2do. punto muestral.
P(B, A) = (0.6) × (0.4) = 0.24 Probabilidad del 3er. punto muestral.
P(B, B) = (0.4) × (0.4) = 0.16 Probabilidad del 4to. punto muestral.
Si se define la variable “número de productos del tipo B que se pueden observar en una muestra
compuesta por dos clientes”, la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria es la siguiente:
Valor de la
variable
0
1
2
Probabilidad
0.36
0.48
0.16
Probabilidad del 4to. punto muestral.
Probabilidad del 2do. y 3er. punto muestral
(0.24 + 0.24).
Probabilidad del 1er. punto muestral.
1.
a)
E(X) = (0)(1/ 8) + (1)(2/ 8) + (2)(4/ 8) + (3)(1/ 8) = 13/ 8 = 1.625
E(X) = 1.625
b)
Var(X) = (0–1.625)2(1/ 8) + (1–1.625)2(2/ 8) + (2–1.625)2(4/ 8) + (3–1.625)2(1/ 8)
= (–1.625) 2 (1/ 8) + (–0.625) 2 (2/ 8) + (0.375) 2 (4/ 8) + (1.375) 2 (1/ 8)
= (2.640625) (1/ 8) + (0.390625)(2/ 8) + (0.140625) (4/ 8) + (1.890625) (1/ 8)
= 5.875/ 8
Var(X) = 0.734375
c)
Desviación estándar
a)
E(X) = (6) (0.25) + (7) (0.35) + (8) (0.25) + (9) (0.10) + (10) (0.05) =
= 1.5 + 2.45 + 2 + 0.9 + 0.5 = 7.35
E(X) = 7.35
0.734375
0.856957
2.
296
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
b)
Var(X) = (6–7.35)2(0.25) + (7–7.35)2(0.35) + (8–7.35)2(0.25) + (9–7.35)2(0.10) + (10–7.35)2(0.05)
= (–1.35) 2 (0.25) + (–0.35) 2 (0.35) + (0.65) 2 (0.25) + (1.65) 2 (0.10) + (2.65) 2 (0.05)
= (1.8225) (0.25) + (0.1225) (0.35) + (0.4225) (0.25) + (2.7225) (0.10)+ (7.0225)(0.05)
= 1.2275
Var(X) = 1.2275
Con lo anterior, la desviación estándar es
1.2275 1.1079
3.
a)
E(X) = (0)(0.05) + (1)(0.10) + (2)(0.15) + (3)(0.25) + (4)(0.30) + (5)(0.10) + (6)(0.05) = 3.15
E(X) = 3.15
b)
Var(X) = (0–3.15)2(0.05) + (1–3.15)2(0.10) + (2–3.15)2(0.15) + (3–3.15)2(0.25) +(4–3.15)2(0.30) +
(5–3.15)2(0.10) + (6–3.15)2(0.05)
= (–3.15) 2 (0.05) + (–2.15)2(0.10) +(–1.15)2(0.15) + (–0.15)2(0.25) + (0.85) 2 (0.30) +
(1.85)2(0.10) + (2.85)2(0.05)
= (9.9225) (0.05) + (4.6225) (0.10) + (1.3225) (0.15) + (0.0225) (0.25) + (0.7225) (0.30) +
(3.4225) (0.10) + (8.1225) (0.05) = 2.1275
Var(X) = 2.1275
Con lo anterior, la desviación estándar es
2.1275 1.4586
4.
a)
E(X)
X = (0) (0.15) + (1) (0.25) + (2) (0.25) + (3)(0.20) + (4) (0.10) + (5) (0.05) = 2
E(X)
X =2
b)
Var(X) = (0–2)2(0.15) + (1–2)2(0.25) + (2–2)2(0.25) + (3–2)2(0.20) + (4–2)2(0.10) + (5–2)2(0.05)
= (–2) 2 (0.15) + (–1)2(0.25) + (0)2(0.25) + (1)2(0.20) + (2) 2 (0.10) + (3)2(0.05)
= (4) (0.15) + (1) (0.25) + (0) (0.25) + (1) (0.20) + (4) (0.10) + (9) (0.05)
= 1.9
Var(X) = 1.9
Con lo anterior, la desviación estándar es
1.
1.9 1.3784
Los datos corresponden a una distribución binomial en la cual la probabilidad de éxito (que la
lámpara se funda) es p = 0.30 y la probabilidad de fracaso q = (1 – p) = 0.7.
a)
La probabilidad de que se fundan 10 lámparas en n = 10 pisos es:
P(10)
10 !
(0.3)10 (0.7)0
10 ! (10 –10)!
10!
(0.0000059) (1) (1) (0.0000059)
(10 !) (0 !)
= (1) (0.0000059)
P(10) = 0.0000059
La probabilidad de que se fundan las 10 lámparas del edificio es 0.0000059.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
2 97
b)
La probabilidad de que no haya lámparas fundidas es:
P(0)
10 !
(0.3)0 (0.7)10
0 ! (10 – 0)!
10!
(1)(0.0282) (1)(0.0282)
(0 !) (10 !)
P(0) = 0.0282
La probabilidad de que ninguna lámpara se funda es 0.0282
2.
Los datos corresponden a una distribución binomial, en la cual la probabilidad de fracaso es
q = 0.30 y la probabilidad de éxito p = (1–q) = 0.7
a)
La probabilidad de que ninguna de las cinco cuentas por cobrar (n = 5) esté vencida es:
P(0)
5!
(0.3)5 (0.7)0
0 ! (5– 0)!
(1) (0.00243) (1) 0.00243
P(0) = 0.00243
La probabilidad de que ninguna de las cuentas por cobrar esté vencida es 0.00243.
b)
La probabilidad de que dos cuentas por cobrar estén vencidas es:
P(2)
5!
(0.3)2 (0.7)3
2! (5 – 2)!
5!
(0.09) (0.343)
(2 !) (3!)
5 4 3!
(0.03087)
(2 !) (3!)
20
(0.03087) (10) (0.03087) 0.3087
2
P(2) = 0.3087
La probabilidad de que dos de las cuentas por cobrar estén vencidas es 0.3087.
3.
Los datos corresponden a una distribución binomial en la cual la probabilidad de fracaso es
q = 0.05 y la probabilidad de éxito p = (1–q) = 0.95
a)
La probabilidad de que ninguna de las seis piezas (n = 6) esté defectuosa es:
P(0)
6!
(0.05)6 (0.95)0
0 ! (6 – 0)!
(1) (0.000000046656) (1) 0.000000047
P(0) = 0.000000047
La probabilidad de que ninguna de las piezas esté defectuosa es 0.000000047.
b)
La probabilidad de que dos piezas estén defectuosas es:
P(2)
298
6!
(0.05)2 (0.95)4
2! (6 – 2)!
6!
(0.0025) (0.8145)
(2 !) (4 !)
6 5 4!
(0.00203625)
(2!) (4 !)
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
30
(0.00203625) (15) (0.00203625) 0.0305
2
P(2) = 0.0305
La probabilidad de que dos de las piezas estén defectuosas es 0.0305.
4.
La probabilidad de fracaso es q = 0.70 y la probabilidad de éxito p = (1 – q) = 0.3
a)
La probabilidad de que ninguno de los seis estudiantes (n = 6) deje el trabajo en las dos
primeras semanas es:
P(0)
6!
(0.7)6 (0.3)0
0 ! (6 – 0)!
(1) (0.117649) (1)
0.117649
P(0) = 0.117649
La probabilidad de que ninguno de los estudiantes deje el trabajo en las dos primeras
semanas es 0.117649.
b)
La probabilidad de que cuatro de los estudiantes dejen el trabajo en las dos primeras
semanas es:
P(2)
6!
(0.7)4 (0.3)2
4 ! (6 - 4)!
6!
(0.2401) (0.09)
(4!) (2!)
6 5 4!
(0.0216)
(4!) (2!)
30
(0.0216) (15) (0.0216) 0.3240
2
P(2) = 0.3240
La probabilidad de que cuatro de los estudiantes dejen el trabajo en las dos primeras
semanas es 0.3240.
5.
La probabilidad de fracaso es q = 0.40 y la probabilidad de éxito p = (1–q) = 0.6.
a)
La probabilidad de que cinco de los diez empleados (n=10) esté a favor de la representación
sindical es:
P(0)
10 !
(0.4)10 (0.6)5
5! (10 – 5)!
(252) (0.0001048576) (0.07776) 0.0021
P(0) = 0.0021
La probabilidad de que cinco de los empleados estén a favor de la representación sindical
es 0.00021.
b)
La probabilidad de que los 10 empleados estén a favor de la representación sindical es:
P(0)=
10 !
(0.4)10 (0.6)0 =(1) (0.0001048576) (1)=0.0001
10! (10–10)!
P(0) = 0.0001
La probabilidad de que losdiezempleadosestén a favor de la representación sindical es0.0001
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
299
1.
Los datos de este problema hacen referencia a una distribución hipergeométrica.
N = 10
k= 7
a)
N –k=3
n=6
La probabilidad de tener x = 5 declaraciones correctas con n–x = 1 es:
P(5)
7!
3!
5! (7– 5)!
1! (3–1)!
10!
6! (10 – 6)!
P(5)
42
3
2
1
5 040
24
(21) (3)
210
63
210
7!
(5!) (2!)
3!
(1!) (2!)
10!
(6!) (4!)
7 6 5!
3 2!
(5!) (2)
(1) (2!)
10 9 8 7 6 !
(6!) (24)
0.30
P(5) = 0.3
La probabilidad de que cinco declaraciones sean correctas es 0.3.
b)
La probabilidad de x = 3 declaraciones correctas con n–x = 3 es:
P(3)
7!
3!(7– 3)!
3!
3!(3– 3)!
(35)(1)
210
3!
(3!) (0 !)
10!
(6!) (4!)
10 !
6 ! (10 – 6)!
210
(1)
6
5 040
24
7!
(3!) (4!)
35
210
7 6 5 4!
(1)
(6) (4!)
10 9 8 7 6 !
(6 !) (24)
0.1667
P(3) = 0.1667
La probabilidad de que tres declaraciones estén correctas es 0.1667.
2.
Los datos de este problema hacen referencia a una distribución hipergeométrica.
N = 10
k= 4
N –k=6
n=3
a) La probabilidad de tener x = 5 declaraciones correctas con n–x = 1 es:
P(2)=
300
4!
2! (4–2)!
6!
1! (6 –1)!
10 !
3! (10–3)!
4!
(2!) (2!)
6!
(1!) (5!)
10 !
(3!) (7!)
4 3 2!
6 5!
(2 !) (2)
(1) (5!)
10 9 8 7 !
(6) (7!)
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
P(2)
12 6
2
1
720
6
(6) (6)
120
36
120
0.30
P(2) = 0.3
La probabilidad de que dos de los empleados haya tenido experiencia en proyectos como el
requerido es 0.3.
3.
Los datos de este problema son:
N = 12
k= 4
N –k=8
n=3
a) La probabilidad de tener x = 0 empresas cuyos bonos bajarán el próximo año es:
P(0)
4!
0! (4 – 0)!
4!
(0 !) (4 !)
12!
3! (12 – 3)!
336
6
1320
6
(1)
P(0)
8!
3! (8 – 3)!
(1) (56)
220
8!
(3!) (5!)
12!
(3!) (9!)
56
220
8 7 6 5!
4!
(6) (5!)
(1) (4!)
12 11 10 9 !
(6) (9!!)
0.2545
P(0) = 0.2545
La probabilidad de que dos de las empresas bajarán sus bonos el próximo año es 0.2545.
4.
Los datos de este problema son:
N = 10
k= 6
a)
N –k=4
n=5
La probabilidad de tener x = 5 declaraciones correctas con n–x = 1 es:
P(2)
P(2)
6!
2! (6 – 2)!
4!
3! (4 – 3)!
6!
(2!) (4!)
10!
5! (10 – 5)!
30
4
2
1
30 240
120
(15) (4)
252
4!
(3!) (1!)
10!
(5!) (5!)
60
252
6 5 4!
4 3!
(2!) (4 !)
(1) (3!)
10 9 8 7 6 5 !
(120) (5!)
0.2381
P(2) = 0.2381
La probabilidad de que dos de las solicitudes aprobadas sean de menores de edad es 0.2381.
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
3 01
5.
Los datos de este problema hacen referencia a una distribución hipergeométrica.
N = 20
N –k=5
k = 15
n=4
a) La probabilidad de tener x = 3 clientes insatisfechos es:
P(3)
15!
5!
3! (15 – 3)!
1! (5 –1)!
20 !
4! (20 – 4)!
P(3)
2 730
5
6
1
116 280
24
(455) (5)
4 845
15!
5!
(3!) (12!)
(1!) (4 !)
20 !
(4!) (16!)
2 275
4 845
15 14 13 12!
5 4!
(6) (12!)
(1) (4 !)
20 19 18 17 16 !
(24) (16!)
0.4696
P(3) = 0.4696
La probabilidad de que tres de los clientes encuestados estén insatisfechos con el sabor de
las botanas es 0.4696
1.
El promedio de clientes que arriban a una caja ocupada es = 3. Como se desea conocer la
probabilidad de que se produzcan dos o menos llegadas, hay que obtener la probabilidad de que
X tome valores 2, 1, y 0 y posteriormente sumarlas para garantizar las necesidades del problema.
P(0)
(e 3 ) (3)0
0!
(2.71828) 3 (3)0
0!
(0) = 0.049787068
(e 3 ) (3)1 (2.71828) 3 (3)1
P(1)
1!
1!
(1) = 0.149361204
(0.049787068) (1)
1
0.049787068
1
0.049787068
(0.049787068) (3)
1
0.149361204
1
0.149361204
(e 3 ) (3)2 (2.71828) 3(3)2 (0.049787068)(9) 0.448083612
0.224041806
2
2!
2!
2
(2) = 0.224041806
P(X 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.049787068 + 0.149361204 + 0.224041806
P(X 2) = 0.423190078
P(2)
La probabilidad de que en un minuto determinado se produzcan dos o menos llegadas a
una caja ocupada es 0.423190078.
2.
El promedio de llamadas que recibe el conmutador electrónico de un edificio de consultoras
es = 5, como se desea conocer la probabilidad de que se produzcan tres llamadas, hay que
obtener la probabilidad de que X tome un valor de 3.
P(3)
(e 5 ) (5)3
3!
(2.71828) 5 (5)3
3!
(0.006737946) (125)
6
0.842243374
6
0.140373895
(3) = 0.140373895
3 02
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS
La probabilidad de que el conmutador reciba tres llamadas en un minuto dado es
0.140373895.
3.
El promedio de clientes que llegan a un mostrador ocupado es = 4. Como se desea conocer la
probabilidad de que se produzcan tres llegadas, hay que obtener la probabilidad de que X tome
un valor de 3.
P(3)
(e 4 ) (4)3
3!
(2.71828) 4 (4)3
3!
(0.018315688) (64)
6
1.172204032
6
0.1954
(3) = 0.1954
La probabilidad de que lleguen tres clientes a un mostrador ocupado es 0.1954.
4.
El promedio de accidentes de la cadena de producción es = 2.6. Como se desea conocer la
probabilidad de que se produzcan cero accidentes, hay que obtener la probabilidad de que X
tome un valor de 0.
P(0)
(e 2.6 ) (2.6)0
0!
(2.71828) 2.6 (2.6)0
0!
(0.074273708) (1)
1
0.074273708
1
0.0743
P(0) = 0.0743
La probabilidad de que no haya accidentes en un mes determinado en la cadena de
producción es 0.0743.
5.
El promedio de llamadas que recibe el profesor es = 4.2. Como se desea conocer la probabilidad
de que se produzcan dos llamadas, hay que obtener la probabilidad de que X tome un valor de 2.
P(0)
(e 2.6 ) (2.6)0
0!
(2.71828) 2.6 (2.6)0
0!
(0.074273708) (1)
1
0.074273708
1
0.0743
P(2) = 0.1323
La probabilidad de que el profesor reciba dos llamadas un día antes del examen es 0.1323.
1.
La probabilidad de éxito es p = 0.9, la probabilidad de fracaso
q = (1 – p) = 1 – 0.9 = 0.1
P (1) = (0.9) (0.1)1 – 1 = (0.9) (0.1)0 = (0.9) (1) = 0.9
P(1) = 0.9
2.
La probabilidad de éxito es p = 0.3, la probabilidad de fracaso es
q = (1 – p) = 1 – 0.3 = 0.7
P (4) = (0.3) (0.7)4 – 1 = (0.3) (0.7)3 = (0.3) (0.343) = 0.1029
P(4) = 0.1029
UNIDAD 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
303
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
304
a)
b)
d)
b)
a)
c)
b)
b)
d)
a)
a)
a)
b)
b)
c)
d)
ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS