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A2. Razones e identidades
trigonométricas
Gustavo Rocha
2011 - 1
Objetivo del tema
Utilización intensiva de las razones trigonométricas.
Utilización intensiva de las identidades trigonométricas.
Notas históricas sobre trigonometría.
Contenido del tema
Razones trigonométricas. Funciones trigonométricas.
Notación. Ángulos y su medición. Seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante.
Ley de los senos. Ley de los cosenos.
Identidades recíprocas.
Identidades pitagóricas.
Identidades de ángulos opuestos.
Identidades de ángulos complementarios.
Identidades de ángulos suplementarios.
Identidades de la suma y diferencia de ángulos.
Identidades del ángulo doble.
Identidades del ángulo medio.
Notas históricas sobre trigonometría.
Razones trigonométricas
La relación de proporcionalidad entre la longitud de los
lados de triángulos semejantes, depende solamente de
los valores de sus ángulos; de ahí surgen, de manera
natural, las denominadas razones trigonométricas,
definidas como cocientes entre las longitudes de dos
lados de triángulos rectángulos.
Razones trigonométricas
opuesto
sen  
hipotenusa
adyacente
cos  
hipotenusa
opuesto
tan  
adyacente
Clave mnemotécnica:
soh cah toa
Razones trigonométricas
de ángulos notables
Escuadras
Radianes
0
/6
/4
/3
/2
Grados
0
30
45
60
90
sen 
0
1/2
 2/2
 3/2
1
cos 
1
 3/2
 2/2
1/2
0
tan 
0
 3/3
1
3

Ángulos
Las dos unidades más usuales para expresar ángulos
son los grados sexagesimales y los radianes.
Para la conversión de una unidad a otra sólo hay que
tomar en cuenta la relación: 180    radianes
180

1 radián 
 57.296 ; 1  
 0.0175 radianes

180
Al trabajar con funciones trigonométricas los ángulos se
miden en radianes, es decir, los dominios de estas
funciones se expresan en términos de .
La medición de un ángulo  se hace, a partir del semieje
positivo x en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Y un ángulo negativo -, se hace en el mismo sentido de
las manecillas del reloj.
Radián
Medición de ángulos
positivos y negativos
/3
5 / 6
 / 3
5 / 6
4 / 3
4 / 3
Ley de los senos
La ley de los senos establece que, en cualquier triángulo,
la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo
opuesto es constante.
Ley de los cosenos
La ley de los cosenos permite calcular el tercer lado
desconocido, cuando se conocen dos lados y el ángulo.
Identidades trigonométricas








Las identidades trigonométricas son igualdades que
involucran funciones trigonométricas, verificables para
cualesquiera valores de los ángulos que se consideren.
Identidades recíprocas.
Identidades pitagóricas.
Identidades de ángulos opuestos.
Identidades de ángulos complementarios.
Identidades de ángulos suplementarios.
Identidades de la suma y diferencia de ángulos.
Identidades del ángulo doble.
Identidades del ángulo medio.
Identidades recíprocas
Identidades trigonométricas
en función de las otras cinco
El signo de cada valor depende del cuadrante en el que se encuentre 
Identidades pitagóricas
sen2   cos 2   1
sen 2   cos 2 
1

;
2
2
cos 
cos 
sen 2  cos 2 
1


2
2
cos  cos  cos 2 
tan 2   1  sec 2 
sen 2   cos 2 
1

;
2
2
sen 
sen 
sen 2  cos 2 
1


sen 2  sen 2  sen 2 
cot   1  csc 
2
2
Identidades pitagóricas
1
sen2   cos 2   1
1

cos 
cos 2 
sen
2
sen
Identidades pitagóricas
sec 2 
1  tan   sec 
2
sec 
2

1
1
tan
tan
2 
Identidades pitagóricas
1  cot   csc 
2
2
?
Identidades de
ángulos opuestos
sen     sen 
cos     cos 
tan      tan 
cot      cot 
sec     sec 
csc      csc 
Identidades para la suma y
diferencia de ángulos
sen      sen cos   cos  sen 
cos      cos  cos   sen sen 
tan   tan 
tan     
1  tan  tan 
sen      sen  cos   cos  sen 
cos      cos  cos   sen sen 
tan   tan 
tan     
1  tan  tan 
Identidades de ángulos
complementarios
sen  / 2     cos 
cos  / 2     sen 
sen  / 2     cos 
cos(  / 2   )  sen 
Identidades de ángulos
suplementarios
sen      sen 
cos       cos 
sen      sen 
cos       cos 
Identidades del ángulo doble
sen  x  x   sen x cos x  cos x sen x
sen 2x  2 sen x cos x
cos  x  x   cos x cos x  sen x sen x
cos 2x  cos 2 x  sen 2 x
tan x  tan x
tan  x  x  
1  tan x tan y
2 tan x
tan 2 x 
1  tan 2 x
Combinación de identidades
cos 2 x  sen 2 x  1
cos 2 x  sen 2 x  cos 2x
 Sumando (1) y (2) se obtiene:
2 cos 2 x  1  cos 2x
 Restando (2) de (1) se obtiene:
2 sen2 x  1  cos 2x
1
2 
Identidades del ángulo medio
2 sen 2 x  1  cos 2x;
sen 2 x 
1  cos 2x
;
2
sen 2
x 1  cos x

2
2
x
1  cos x
sen  
2
2
2 cos x  1  cos 2x;
2
1  cos 2x
cos x 
;
2
2
cos
x
1  cos x

2
2
sen 2 x 1  cos 2x
tan x 

;
2
cos x 1  cos 2x
2
tan
x 1  cos x
cos

2
2
2
x 1  cos x
tan

2 1  cos x
x
1  cos x

2
1  cos x
2
Notas históricas sobre trigonometría
Los inicios de la trigonometría
Trigonometría: Del griego, , triángulo y , medida,
medida de triángulos. Rama de las matemáticas que estudia
las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras
matemáticas conocidas de Egipto y Babilonia. Fueron los
egipcios los que establecieron la medida de los ángulos en
grados, minutos y segundos.
En su origen, el objetivo principal de la trigonometría era el
estudio de la astronomía, buscando descifrar los misterios del
Universo. El principal problema era determinar distancias
inaccesibles
Los fundamentos trigonométricos fueron desarrollados, en
una línea por sumerios, egipcios y griegos, y en otra por
indios y árabes.
Tales de Mileto
Los iniciadores de la trigonometría formal fueron los
griegos presocráticos.
A Tales de Mileto se le atribuye el descubrimiento de
cinco teoremas geométricos y su participación en la
determinación de las alturas de las pirámides de Egipto,
utilizando la relación entre los ángulos y lados de un
triángulo.
Aristarco de Samos
En el siglo III a.C. Aristarco de Samos observó que la
distancia Tierra-Sol era mucho mayor que la Tierra-Luna
y que, por consiguiente, el Sol tenía que ser mucho más
grande, unas 300 veces mayor que la Tierra; el método
que usó era correcto, no así las mediciones, pues el Sol
se encuentra unas 400 veces más lejos. Su hallazgo le
indujo a pensar que los cuerpos más pequeños son los
que orbitaran alrededor del sol (modelo heliocéntrico).
Eratóstenes de Cirene
Treinta años después, Eratóstenes determinó por primera vez
las dimensiones de la Tierra, por métodos trigonométricos.
Sabiendo que el 21 de junio, el sol estaba en su zenit en la
ciudad de Siene, midió la sombra de una estaca en la ciudad
de Alejandría, situada 800 km al norte; los rayos del sol
tenían un ángulo de 7.2 con la vertical, proyectando una
sombra perfectamente definida; luego, mediante una regla de
tres simple, estimó la circunferencia de la Tierra.
Hiparco de Nicea
En el siglo II a.C., Hiparco de Nicea, notable geómetra y
astrónomo griego, considerado el padre de la trigonometría;
construyó una tabla cuerdas trigonométricas, similar a una
tabla de senos actual, cuyo propósito es relacionar las
medidas angulares de los triángulos planos con sus medidas
lineales; la necesidad de hacer cálculos astronómicos lo llevó
a construir también la trigonometría esférica, ya que los
triángulos sobre una superficie esférica no son planos.
También introdujo en Grecia la división del
círculo en 360 grados, calculó la duración del
año tropical, determinada por las estaciones,
descubrió la precesión de los equinoccios y
describió el movimiento aparente de las
estrellas fijas.
Claudio Ptolomeo
Tolomeo hizo contribuciones notables a la trigonometría
plana y esférica creada por Hiparco. Empleando el sistema
sexagesimal de los babilónicos, calculó cuerdas para una
circunferencia de radio 60. Expuso su teorema relativo al
cuadrilátero inscrito en una circunferencia, dando la fórmula
que relaciona la cuerda de un ángulo con la cuerda de su
mitad. La prevalencia de su teoría geocéntrica durante 1400
años es testimonio de su elocuencia como expositor.
La trigonometría india y árabe
Los astrónomos de la India desarrollaron otro sistema
trigonométrico, basado en la función seno, que entonces
era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un
triángulo rectángulo de hipotenusa dada.
La función seno aparece registrada por vez primera en el
“Sulba Sutras”, texto que pertenece a una época que
oscila entre los 800 a.C. y los 200 a.C.
Hacia finales del siglo VIII los astrónomos árabes
prefirieron trabajar con la función seno y en el siglo X
completaron el estudio de la seis funciones
trigonométricas; también descubrieron y demostraron
teoremas fundamentales de la trigonometría.
Trigonometría en occidente
En Europa fue hasta 1533 que aparece el primer trabajo
importante sobre trigonometría; es una obra póstuma del
astrónomo alemán Johann Müller, conocido como
Regiomontano, un extenso tratado de trigonometría plana y
esférica con el título “De triangulus omnimodis”, que incluía
nuevas tablas, fundamentales para desarrollos posteriores.
El también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido
como Retico, fue el que introdujo el concepto moderno de las
funciones trigonométricas como proporciones, en vez de
considerarlas como longitudes de líneas; en su libro “El
Canon doctrinae Triangulorum”, en 1551, definió las seis
funciones trigonométricas como funciones de un ángulo, en
vez de un arco y, principalmente como razones entre los
lados de un triángulo.
Trigonometría en occidente
En 1583, el matemático danés Thomas Fincke publicó su
famoso libro “Geometríae Rotundi” en el que introdujo los
términos tangente y secante.
El invento de los logaritmos por John Napier, a principios del
siglo XVII dio un gran impulso al cálculos trigonométrico;
Napier propuso reglas mnemotécnicas para resolver
triángulos esféricos y algunas proporciones para resolver
triángulos esféricos oblicuos.
Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas
fueron incorporadas al análisis; uno de los fundamentos del
trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones
matemáticas utilizando series infinitas de potencias, entre las
que destacan el seno, el coseno y la tangente.
Trigonometría moderna
A mediados del siglo XVIII, la obra de Euler “Introductio
in analysin infinitorum”, fue la que estableció el
tratamiento analítico moderno de las funciones
trigonométricas, definiéndolas como series infinitas.
Euler estableció también la notación universal para las
seis funciones trigonométricas.
La famosa fórmula de Euler proporciona una potente
conexión entre el análisis matemático y la trigonometría.
Se utiliza para representar los números complejos en
coordenadas polares y permite definir el logaritmo para
números negativos y números complejos.
La trigonometría actual
Por ejemplo, la posición sobre la Tierra se puede localizar de
forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento
global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están
difundiendo constantemente su posición, todo ello mediante
la sistematización de los conceptos básicos de trigonometría.