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Lógica Proposicional
Lógica (concepto)
La Lógica es la Ciencia que expone las
leyes, modos y formas de raciocinio.Aporte de la Lógica a la Matemática
De acuerdo al concepto anterior,
podemos asegurar que la simbología que
usa la lógica, ayuda a la Matemática en
todos sus razonamientos.-
Lógica Proposicional
PROPOSICIÓN
Una proposición es toda oración de la cual se puede
decir que es verdadera o falsa.
Por ejemplo:
V
Hoy es lunes
F
Toda proposición se la representa con letras minúsculas
y preferentemente las últimas del abecedario, o sea:
p, q, r, s, t, u
Lógica Proposicional
LOS CONECTIVOS LOGICOS
Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar
proposiciones con otras proposiciones. Estos son:
 Ó -: “NO”
: “Y”
: “O” EN SENTIDO INCLUYENTE
: ENTONCES O IMPLICA
 : SI Y SOLO SI
∆ : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE
Lógica Proposicional
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está
afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que
la proposición es compuesta o molecular.
SIMPLE: p
PROPOSICION
COMPUESTA: p  q
Lógica Proposicional
TABLA DE VALORES DE VERDAD
Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una
tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen, con la finalidad de
obtener el valor de verdad de la proposición dada.Cantidad de valores de verdad debe llevar una tabla
nº valores  A'
2
n º proposiciones
2
n º proposiones
O sea que, si el número de proposiciones simples que
componen una proposición es 5, los valores de verdad
serán:
nº valores  25  32
Lógica Proposicional
OPERACIONES PROPOSICIONALES
La Negación
La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de
valores de verdad es la siguiente:
p
~p
V
F
F
V
Como conclusión podemos decir que la negación es
verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.
Lógica Proposicional
La disyunción o suma lógica
La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición
pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, cuya tabla de valores
de verdad es la siguiente:
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p: estudio
q: veo TV
p v q: estudio o veo TV
Como conclusión podemos decir que la disyunción es
verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-
Lógica Proposicional
La conjunción o producto lógico
La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición
pq, donde p y q se llaman conjuntivos, cuya tabla de valores
de verdad es la siguiente:
pq
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
p: estudio
q: veo TV
p  q: estudio y veo TV
Como conclusión podemos decir que la conjunción es
verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-
Lógica Proposicional
El condicional o la implicación
El condicional de las proposiciones p y q es la proposición
pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya
tabla de valores de verdad es la siguiente:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p: apruebo
q: te presto el libro
p  q: apruebo, entonces te
presto el libro
Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si
el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º
línea de la tabla).-
Lógica Proposicional
Condiciones necesarias y suficientes
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p condición SUFICIENTE para
q (q si p)
q condición NECESARIA para
p (p sólo si q)
Lógica Proposicional
El bicondicional o la doble implicación
El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición
pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
pq
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p: apruebo
q: te presto el libro
p  q: solamente si
apruebo, te presto el libro
Como conclusión podemos decir que el bicondicional es
verdadero si los valores de verdad de las proposiciones
simples que la componen son iguales.-
Lógica Proposicional
La diferencia simétrica
La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la
proposición p ∆ q, cuya tabla de valores de verdad es la
siguiente:
p
q
p∆q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p: estudio
q: veo TV
p ∆ q: estudio o bien veo TV
Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es
verdadera si los valores de verdad de las proposiciones
simples que la componen son distintos.-
Lógica Proposicional
Tautología
Definición
Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera
independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen.-
Por ejemplo:
p q
(pq)  [(pq)  (q p)]
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
1
3
2
1
Lógica Proposicional
Contradicción
Definición
Una proposición es una contradicción, si es falsa
independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen
Por ejemplo:
p
q (p q)  - [(p q)  (q  p)]
V V
V
F F
V
V
V
V F
F
F V
F
F
V
F V
F
F V
V
F
F
F F
V
F F
V
V
V
1
4
1
3
2
Lógica Proposicional
Contingencia
Definición
Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni
falsa independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen
Por ejemplo:
p
q (p q) v [(p q)  (q  p)]
V V
V
V
V
V
V
V F
F
F
F
F
V
F V
F
F
V
F
F
F F
V
V
V
V
V
1
3
2
1
Lógica Proposicional
LEYES LOGICAS
Una ley lógica es una proposición verdadera.1º) Involución
La negación de la negación de una proposición, es
equivalente a la misma proposición
p
-(-p)  p
V V F
V
F F V
V
2 1
Lógica Proposicional
2º) Idempotencia de la conjunción
La conjunción de una misma proposición es equivalente a la
misma proposición.-
p
(p  p)  p
V
V
V
F
F
V
1
Lógica Proposicional
3º) Idempotencia de la disyunción
La disyunción de una misma proposición es equivalente a la
misma proposición.-
p
(p  p)  p
V
V
V
F
F
V
1
Lógica Proposicional
4º) Conmutatividad de la conjunción
La conjunción es conmutativa
(p  q)  (q  p)
p
q
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
1
1
Lógica Proposicional
5º) Conmutatividad de la disyunción
La disyunción es conmutativa
(p  q)  (q  p)
p
q
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
1
1
Lógica Proposicional
6º) Asociatividad de la conjunción
La conjunción es asociativa
r
(p  q)  r  p  (q  r)
p
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
1
2
2
1
Lógica Proposicional
7º) Asociatividad de la disyunción
La disyunción es asociativa
r
(p  q)  r  p  (q  r)
p
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
1
2
2
1
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
8º) Ley de De Morgan (de la conjunción)
La negación de una conjunción es equivalente a la
disyunción de las negaciones.-
p
q
-(p  q)  -p  -q
V
V
F
V
V F F F
V
F
V
F
V F V V
F
V
V
F
V V V F
F
F
V
F
V V V V
2
1
1 3
2
Lógica Proposicional
9º) Ley de De Morgan (de la disyunción)
La negación de una disyunción es equivalente a la
conjunción de las negaciones.-
p
q
-(p  q)  -p  -q
V
V
F
V
V F F F
V
F
F
V
V F F V
F
V
F
V
V V F F
F
F
V
F
V V V V
2
1
1 3
2
Lógica Proposicional
10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción
La conjunción es distributiva con respecto a la disyunción
r
(p  q)  r  (p  r)  (q  r)
p
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
1
2
1
3
2
Lógica Proposicional
11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunción
La disyunción es distributiva con respecto a la conjunción
r
(p  q)  r  (p  r)  (q  r)
p
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
1
2
1
3
2
Lógica Proposicional
10º) Las implicaciones asociadas
p  q Directa
-p  -q Contraria
-q  -p Contra - recíproca
Recíprocas
qp
Recíprocas
-q  -p
-p  -q
Contrarias
Contrarias
pq
q  p Recíproca
Lógica Proposicional
Propiedad
Las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes.
O sea que:
p  q  -q  -p
p
q
V
V
V
V F V F
V
F
F
V V F F
F
V
V
V F V V
F
F
V
V V V V
1
1 3
2
Lógica Proposicional
11º) Negación de una implicación
La siguiente proposición es una tautología, o sea:
p
q
(p  q)  -(p  -q)
V V
V
VV F
F
V F
F
VF V
V
F V
V
VV F
F
F F
V
VV F
V
Ahora:
1
3 2 1
-(pq)  -[-(p  -q)  p  -q
Pero:
-(pq)  -[-(p  -q)  -(-p  q)
Ahora:
(pq)  -(p  -q)
 -p  q
Lógica Proposicional
12º) La doble implicación y la implicación
La doble implicación es equivalente a la conjunción de
la implicación y su recíproca.
p q
(p  q)  [(pq)  (qp)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
1
3
2
1
Lógica Proposicional
13º) La diferencia simétrica y la doble implicación
La diferencia simétrica es equivalente a la negación de
la doble implicación.
p q
(p  q)  - (p  q)
V
V
F
V F
V
V
F
V
V V
F
F
V
V
V V
F
F
F
F
V F
V
1
2
1