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INSTITUCIÓN EDUCATIVA
JUAN HURTADO
Belén de Umbría
UNIDAD DE PRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTO N° 2
TRIGONOMETRÍA GRADO 10° Año 2.010
Esp. Jorge Iván Lugo C.
NOMBRE ____________________________ GRADO ________
2.1. TÍTULO
“APRENDAMOS
TRIGONOMETRÍA
A TRAVÉS DE
UN TRIÁNGULO”
2.2. PLANTEAMIENTO
Muchos problemas que se presentan en carpintería, construcción de edificios y de
máquinas, topografía, mecánica, astronomía, movimientos ondulatorios y
armónicos, pueden representarse mediante figuras planas y de esta manera utilizar
las funciones circulares y trigonométricas como herramienta eficaz para su solución.
Mediante el uso y las reglas de la trigonometría bastan unas cuantas medidas muy
simples para poder determinar por el cálculo las formas y las dimensiones de las
partes de piezas en máquinas o la estructura de edificios, la forma y el área de lotes
de terreno que por la conformación topográfica presentan ondulaciones, la anchura
de ríos sin necesidad de cruzarlos, el tamaño de la Tierra, la distancia y el tamaño
del Sol, y para la orientación en cartas de navegación marítima y aérea.
2.3. LOGRO
 Reconoce y calcula las funciones trigonométricas de cualquier ángulo.(IP)
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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2.4. ORIENTACIÓN TEMÁTICA
Teorema de Pitágoras
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Es aplicado a triángulos rectángulos, los cuales poseen un ángulo de 90º.
h
h2= a2 + b2
a
b
Ejemplos: hallar el valor del lado que falta
h
20
4
10
4
a
10
b
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Triángulos Rectángulos
Los valores de las funciones trigonométricas fueron definidos en términos de la
razón entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Consideremos un
triángulo rectángulo con ángulos agudos  y , los lados opuestos a estos ángulos
por a y b, respectivamente, y sea r la longitud de la hipotenusa del triángulo. El
vértice del ángulo  en el origen de un sistema de coordenadas, cuyo eje positivo de
las X es una extensión del lado de longitud b:
Y
a : Lado Opuesto a ángulo 
b : Lado Adyacente a ángulo 
r : Hipotenusa: Radio
: Ángulo
(b,a)

r
a

X
b
Las coordenadas del vértice de  son (b,a). Como el ángulo  queda en posición
normal, se puede escribir:
sen 
a
r
cos 
b
r
Estas
tan 
a
b
cot 
b
a
r
b
r
csc 
a
sec 
ecuaciones se
pueden escribir de
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la siguiente forma:
Si  es un ángulo agudo de un triángu lo rectángulo , entonces :
lado opuesto a 
lado adyacente a 
cos  =
hipotenusa
hipotenusa
lado opuesto a 
lado adyacente a 
tan  =
cot  =
lado adyacente a 
lado opuesto a 
hipotenusa
hipotenusa
sec  =
csc  =
lado adyacente a 
lado opuesto a 
sen  =
El uso de las ecuaciones anteriores para resolver triángulos (es decir, determinar los
lados y ángulos desconocidos) se ilustran a continuación. Para resolver un triángulo
basta con conocer: un lado y un ángulo agudo o dos lados cualesquiera. Ejemplos:
Ejemplos:
1. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 cm y su hipotenusa
mide 18 cm encuentre las razones trigonométricas para el ángulo A.
2. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 10 cm. Encuentre las
razones trigonométricas para el ángulo B.
3. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 cm y su hipotenusa
mide 22 cm encuentre las razones trigonométricas para el ángulo B.
4. Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30° y el lado opuesto tiene
longitud 8 cm, encuentre los valores faltantes en el triángulo.
5. Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 60° y la hipotenusa tiene
longitud 20 cm, encuentre los valores faltantes en el triángulo.
6. Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 40° y el lado adyacente
tiene longitud 14 cm, encuentre los valores faltantes en el triángulo.
7. Sea α un ángulo en posición normal, tal que M(-8, 15) es un punto ubicado sobre
su lado final. Determinar el valor de Sen α, Cos α y Tan α.
8. Encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ en
posición normal, donde P y Q son puntos ubicados sobre el lado final:
a) P(2, -3)
b) Q(-1, -2)
c) P(3, 5)
Signo de las Funciones Trigonométricas
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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El signo de las funciones trigonométricas para un ángulo α, se determina según el
cuadrante en el cual está ubicado α.
Ejercicio:
Complete el siguiente cuadro escribiendo los signos de
trigonométricas para un ángulo θ ubicado en cualquier cuadrante:
Función
Sen θ
Cuadrante
I
II
III
IV
Cos θ
Tan θ
Cot θ
las
Sec θ
funciones
Csc θ
Funciones Trigonométricas de ángulos cuadrantales
Son aquellos ángulos cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano
cartesiano, siendo ellos los ángulos: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º
(0, r) :
90º
r
(r, 0) : 0º y
360º
(-r, 0) :
180º
(0, -r,) :
270º
Ejercicio
Complete la siguiente tabla para las funciones trigonométricas de ángulos
cuadrantales, teniendo en cuenta el plano cartesiano anterior:
Función
Ángulo
0º
90º
180º
270º
360º
Sen θ
Cos θ
Tan θ
Cot θ
Razones Trigonométricas de Ángulos Especiales
Sec θ
Csc θ
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Se consideran ángulos especiales aquellos que se generan de un triángulo
equilátero (ángulos de 30º y 60º) y de un triángulo rectángulo isósceles (ángulo de
45º).
Ejercicio
Dibuje los correspondientes triángulos y deduzca los resultados para las razones
trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º. Pueden ser resumidos en la
siguiente tabla:
Razón
Ángulo
Sen θ
Cos θ
Tan θ
Cot θ
Sec θ
Csc θ
30º ó π/6
45º ó π/4
60º ó π/3
Aplicando los valores para ángulos de 30º, 45º y 60º hallados en la tabla anterior,
calcule:
a) Sen 30º + Tan 45º
b) Sen 60º + Cos 60º - Cot 45º
c) Sen 30º - Cos 45º + Tan 45º
2.5. TRABAJO INDIVIDUAL
Esp. Jorge Iván Lugo C.
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1. Considere el triángulo rectángulo de la figura y resuélvalo en cada caso.

r
a

b
a) a = 5, b = 3
b) a = 10,  = 30°
c) a = 17,  = 43°
d) a = 7, r = 12
e) b = 8,  = 15°
f) b = 3a
g) a = b
h) r = 120,  = 75°
2. De acuerdo con la figura anterior, hallar los elementos pedidos:
a) Si a = 5 y sen  = 4/5, hallar b, r,  y 
b) Si r = 50 y tan  = 2, hallar a, b, sen  y cos 
c) Si r = 10 y sen  = 4/7, hallar a, b y cos 
d) Si b = 10 y cos  = 3/5, hallar a, r, sen  y cos 
e) Si a = 6 y b = 8, hallar r, sen  y cos 
3. Encontrar la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo si la longitud de
dos lados son dados:
a) a = 3, b = 4
b) a = 7, r = 25
c) a = 5, b = 12
d) a = 8, r = 17
4. Encontrar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo si la medida de un
ángulo y la longitud de uno de sus lados son dados:
a) a = 5,  = 40°
b) a = 3,  = 10°
c) b = 8.21,  = 26°
d) r = 7,  = 64°
5. En la siguiente figura el Sen A = 2 / 7. Encuentre el valor de las demás razones
trigonométricas para el ángulo A
B
10
a=8
C
A
b
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2.6. TRABAJO GRUPAL
Reúnase con dos compañeros más y resuelvan los siguientes problemas:
1. Sea α un ángulo en posición normal, tal que A (4, -2) es un punto ubicado sobre su
lado final. Determinar el valor de Sen α, Cos α y Tan α.
2. Si θ es un ángulo en posición normal, determinar los posibles valores de la función
Csc θ si Tan θ = 1 / 3.
3. Aplicando los valores para ángulos de 30º, 45º y 60º hallados en la tabla de ángulos
especiales, calcule:
a)
b)
c)
d)
Sen 60º . Cos 30º - Sen 30º . Cos 60º
(Tan 45º + Tan 45º ) / ( 1 – Tan 45º . Tan 45º)
Tan 30º - Cot 30º - Sen 60º
2. Cos 60º + 2. Cot 45º - Sen 90º
2.7. VALORACIÓN
 Se verificará la producción individual y grupal en el aula
 Cada estudiante sustentará por escrito su producción individual y grupal.