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circunferencia
Trazados fundamentales en el plano
Dibujo técnico
1.º Bachillerato
Circunferencia
• Definiciones
Circunferencia: conjunto de puntos del plano
que equidistan de un punto O
O
Arco: segmento de circunferencia
Radio (r): Segmento que une el centro con un
punto A cualquiera de la circunferencia
Diámetro (d): Segmento que une dos puntos A y
B de la circunferencia y pasa por el centro
Cuerda (c): Segmento que une dos puntos D y E
cualesquiera sin pasar por el centro
Tangente (t): Recta que solo tiene un punto
común con la circunferencia
Círculo: parte del plano interior a la
circunferencia
Sector circular: parte del círculo comprendida
entre dos radios
Segmento circular: parte del círculo
comprendida entre una cuerda y su arco
Trazados geométricos
TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS
r
CONOCIDO EL RADIO
0
A
A
º
A PARTIR DE TRES
PUNTOS DADOS
B
B
O
º
C
C
r
4
Trazados geométricos
(repaso)
6 La circunferencia II.
Circunferencia
POSICIONES RELATIVAS DE
DOS CIRCUFERENCIAS
TÉRMINOS RELATIVOS
A LA CIRCUNFERENCIA
A
O
ARCO
O’
O
B
EXTERIORES
O
SEMICIRCUNFERENCIA
O
P
O’
TANGENTES EXTERIORES
O
O
O
O
CÍRCULO
SEMICÍRCULO
ÁNGULO
CENTRAL
SECANTES
O
O’
INTERIORES
OO
TANGENTES INTERIORES
O’
O’
O
CONCÉNTRICAS
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central es el ángulo que
tiene su vértice en el centro de la
circunferencia y los lados son
radios de ella.
La medida del arco AB es la del
ángulo central AOB. Arco AB =
Angulo AOB
Arco AB = Ángulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden
definirse en la circunferencia.
Angulo inscrito es aquel que
tiene su vértice en
la
circunferencia.
El ángulo semiinscrito, (uno de
los segmentos secante y el otro
tangente) es un caso particular, o
caso límite.
Ángulo interior, tiene su
centro en un punto interior del
círculo.
Ángulo exterior es aquel que
tiene su vértice en un punto
exterior de la circunferencia,
pudiendo ser sus lados, tangentes
o secantes a la misma.
El ángulo inscrito mide la mitad que
el arco que comprende.
La medida del ángulo interior es la
semisuma de los arcos que
comprenden él y su opuesto.
La medida del ángulo
exterior es la semidiferencia
de los arcos que abarca.
Dibujo técnico
1.º Bachillerato
Trazados fundamentales en el plano
Circunferencia
• Ángulos de una circunferencia (I)
Ángulo central
El vértice es el centro de la circunferencia
Ángulo inscrito
El vértice es un punto de la circunferencia y los
lados son cuerdas
Dibujo técnico
1.º Bachillerato
Trazados fundamentales en el plano
Circunferencia
• Ángulos de una circunferencia (II)
Ángulo semiinscrito
El vértice es un punto de la circunferencia, un
lado es secante y el otro tangente
Ángulo interior
El vértice es un punto interior de la
circunferencia
Dibujo técnico
1.º Bachillerato
Trazados fundamentales en el plano
Circunferencia
• Ángulos de una circunferencia (III)
Ángulo exterior
El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los
lados secantes
Ángulo circunscrito
El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los
lados tangentes
Enlace de interés
Angulos inscritos 1
Angulos inscritos 2
Angulos inscritos 3
Cuadrilatero inscrito
Angulos inscritos 4
Angulos semiinscritos
Angulos interiores a una circunferencia
Angulos exteriores a una circunferencia
Angulos interiores y exteriores en la circunferencia
Arco Capaz.
Recordemos: Lugar geométrico es el conjunto de puntos que
cumplen una condición común:
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de los extremos
La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio
que equidista de uno fijo lamado centro
Se llama Arco Capaz de un ángulo α dado respecto a un
segmento también conocido , al lugar geométrico de los
puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado
bajo el ángulo α.
Dado el segmento AB y el angulo @. Trazar el Arco Capaz
@
A
B
@
90-@
@
A
B
Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m
perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta
cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es
de 90-@
Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que
pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado
@
o´
90-@
@
A
B
o´´
APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN
DE UN TRIÁNGULO
Los datos del triángulo son el lado a
Y el ángulo  opuesto al lado a.
Se puede obtener el triángulo
construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo  son los
triángulos ABC en todas sus variantes
los cuales se obtienen haciendo centro
en C y con radio r cortando el arco
capaz, que es la circunferencia de
centro O y radio OB = OC
Los datos del triángulo son el lado a (AB) Y el ángulo  opuesto
al lado a.
B
A
A
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
B
A
90-A
A
A
A
B
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
B
A
90-A
A
A
A
B
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
C
B
A
90-A
B
A
A
C
Trazados fundamentales en el plano
Hallar los puntos desde donde se ven dos
segmentos bajo dos ángulos conocidos
• Arco capaz (II)
Hallar los puntos desde los que se ven
dos segmentos bajo dos ángulos dados
1. Se dibuja el arco capaz de  respecto
de AB
2. Se dibuja el arco capaz de  respecto
de BC
3. Los puntos M y N son los puntos desde
los que se ve el segmento AB con un
ángulo  y BC con un ángulo 
Trazados fundamentales en el plano
2
8 Rectificación de arcos de circunferencia
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Rectificación de arcos de circunferencia
A
C
O
E
F
D
B
Rectificación de un arco de 90º
Rectificación de un arco menor de 90º
1. Con centro en los extremos del diámetro
AB y radio en O se trazan sendos arcos
hasta cortar en C y D a la circunferencia.
2. Hallamos E, intersección de dos arcos
con centros en A y B y de radio AD=BC
3. Con centro en C y radio CE dibujamos un
arco hasta cortar en F a la circunferencia
4. El segmento AF es la rectificación de un
arco de 90º
1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales
2. Tres partes se trasladan sobre la
prolongación del diámetro
3. Se une el punto D con el B hasta cortar
a r en E
Contenido
Hagamos una
pequeña prueba
2
Trazados fundamentales en el plano
9 Rectificación de la semicircunferencia y la circunferencia
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Rectificación de circunferencias
Rectificación de una semicircunferencia
B
1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB
y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un
arco hasta cortar en E a la circunferencia.
E
C
O
D
G
F
A
Rectificación de una circunferencia
1. Se divide el diámetro AB en 7 partes
iguales
2. Sobre una recta r se transporta 3 veces
el diámetro, más un séptimo
2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan
arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a
la circunferencia en el propio punto A
3. El segmento FG es la solución buscada
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia
Concepto de
Potencia
 Aparentemente
parece no existir
ninguna relación
entre un punto y
una
circunferencia
(Fig 26)
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

Si partiendo del
punto P se traza
un haz de rectas,
unas serán
secantes, otras
tangentes, otras
no cortarán a la
circunferencia.
(Fig. 27)
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

Las rectas que no corten a la
circunferencia
no
tienen
ninguna relación con ella, pero
las que sean secantes o
tangentes determinarán unos
puntos intersección con ella y,
por tanto, cada recta quedará
dividida
en
magnitudes,
segmentos o distancias desde el
punto P a los puntos intersección
con
la
circunferencia.
El
producto de distancias de dicho
punto a los puntos de la
circunferencia, determina una
constante PA*PA' = K que es la
potencia de un punto respecto
de una circunferencia (Fig. 28)
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

Esta constante K
es la misma para
todas las rectas
que partiendo
del punto P sean
secantes o
tangentes a la
circunferencia.
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

En el caso límite en que una
secante se transforme en
tangente el punto T es doble
pues cumple una doble
alineación con P , por tanto,
PT = PT' (Fig. 30)
Trazados fundamentales en el plano
Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Eje radical de dos circunferencias
Definición: Potencia de un punto
Definición: Eje radical
Potencia del punto P respecto de la
circunferencia de centro O es el producto
de las distancias de P a los dos puntos
de intersección de una recta secante
Eje radical de dos circunferencias es el
lugar geométrico de los puntos que
tienen la misma potencia respecto de
ambas
p = PA x PB
p = MA x MB = MC x MD
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias de
centros 01 y O2 (fig. 14),
El eje radical es siempre
perpendicular a la recta que une
los centros de las dos
circunferencias.
Trazados fundamentales en el plano
Eje radical de dos
circunferencias
Propiedad:
El eje radical es siempre una recta
perpendicular a la recta de los centros de las
circunferencias
e
A
O1
O2
Eje radical de dos circunferencias
secantes: es la recta que une los puntos A y B
de intersección de las circunferencias
B
e
O1
E
O1
B
A
O2
Eje radical de dos circunferencias
exteriores:
e
r
A
Eje radical de dos circunferencias
tangentes: es la recta tangente común a
ambas circunferencias
s
C
O2
O
1. Se traza una circunferencia auxiliar de
centro O3 que corte a ambas. Se hallan los
ejes radicales de esta con las otras dos
obteniendo r y s
D
2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2
desde E, intersección de r y s
Trazados fundamentales en el plano
Centro radical de tres
circunferencias
Definición: Centro radical
Es el punto que tiene la misma potencia
respecto de las tres circunferencias
1. Se halla el eje radical de las
circunferencias que tienen por centro O1
y O2
2. Se halla el eje radical de las
circunferencias que tienen por centro O2
y O3
3. El punto O de intersección de e y e’ es
el centro radical
Enlaces web
Posiciones relativas de recta y circunferencia
Posiciones relativas de 2 circunferencias