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tema
1
TRAZADOS
FUNDAMENTALES EN EL PLANO
1º BACHILLERATO
•perpendicularidad
•paralelismo
•operaciones con segmentos, proporcionalidad, sección áurea.
•operaciones con ángulos.
•circunferencia: arco capaz, rectificación, rectas y puntos
notables, potencia, eje radical
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Lugar geométrico: Es el conjunto de puntos del
plano o del espacio que gozan de la misma
propiedad.
¿Cuántos?: existen muchos lugares
geométricos. Su conocimiento es fundamental
para estudiar la geometría.
CONOCER MÁS...
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perpendicularidad
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la mediatriz es un lugar geométrico, ya que cualquier punto de ella equidista de los
extremos del segmento
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Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
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paralelismo
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Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
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segmentos
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Multiplicar entre si dos segmentos. Fig. 103

Construir
un
ángulo
cualquiera
transportando
sobre uno de los lados
sucesivamente la unidad y
uno de los segmentos.
Sobre
el
otro
lado
transportar el otro segmento
dado, uniendo los puntos
BC. Por D, trazar una
paralela
a
B
C,
determinando el punto E. El
segmento BE es el producto
de los dos segmentos
dados.
A
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Dividir entre sí dos segmentos. Fig. 104.

Trazar
un
ángulo
cualquiera,
transportando
sobre uno de sus lados a
partir del vértice, el segmento
dado como dividendo. Sobre
el otro lado del ángulo,
transportar sucesivamente el
divisor y la unidad, uniendo
los
extremos
BC
del
dividendo y divisor. Trazar
una paralela a este segmento
por el punto D, obteniendo el
punto E. El segmento B E es
el
cociente
entre
los
segmentos dados.
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• Proporcionalidad:
Teorema de la altura
Dados dos segmentos que sumados
constituyen la hipotenusa de un triángulo
rectángulo
A
C
a
b
B
D
1. Sobre la recta r se trasladan los
segmentos a=AB y b=CD, trazando una
semicircunferencia de diámetro la suma de
ambos AD
F
x
A
E
a
En todo triángulo rectángulo la altura sobre
la hipotenusa es media proporcional entre
los segmentos en que queda dividida la
hipotenusa
a
x
=
x
b
B-C
D
b
r
2. Por el punto B =C se traza recta
perpendicular a r hasta cortar a la
semicircunferencia en el punto F.
El segmento x = AF es la media media
proporcional buscada
• Proporcionalidad:
Teorema del cateto
Dada la hipotenusa y uno de los catetos
de un triángulo rectángulo
A
C
a
B
b
D
F
1. Sobre la recta r se trasladan los
segmentos a=AB y b=CD, trazando una
semicircunferencia de diámetro el mayor de
ellos.
x
A-C
E
b
D
En todo triángulo rectángulo un cateto es
media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella
a
x
=
x
b
B
r
2. Por el punto D se traza recta perpendicular
a r hasta cortar a la semicircunferencia en el
punto F. El segmento x = AF es la media
media proporcional buscada
a
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Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia. Fig. 97.
Sobre el segmento suma A C (S), sitúese el segmento diferencia A D (D) con
orígenes A comunes, trazando la mediatriz al segmento D C comprendido entre los
dos extremos no comunes, obteniendo el punto B. Los segmentos pedidos son A
B Y B C.
RAZONAMIENTO
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Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia
Según la construcción, la mitad del segmento S - D
es el segmento menor, puesto que
S = A B + B C y D = A B - B C. Restando miembro
a miembro, S - D = 2 B C, de donde B C =S/2-D/2
RAZONAMIENTO
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ALICACIONES DE LO ANTERIOR

Hallar dos segmentos conocida su suma y su
media proporcional. Fig. 98
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Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento
media proporcional entre ambos


Tomando como diámetro la
diferencia de segmentos M
N
conocida,
trazar
una
circunferencia así como una
tangente (perpendicular a M
N), por uno de los extremos M
del diámetro, transportando
sobre la misma la longitud A M
de la media proporcional
conocida. La recta que une el
extremo A con el centro O de
la
circunferencia
queda
interceptada por la misma en
los puntos B y C, siendo A C y
A B los segmentos pedidos.
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• Sección áurea de un segmento:
Definición:
Dados un segmento b = AC
C
A
b
a
a
x
Se denomina Sección Aurea de dicho
segmento a la división que le produce un
punto B de forma que:
x
A
B
C
x
=
b
La proporción entre la parte más pequeña a
y la más grande x es igual a la existente
entre la parte más grande x y el todo b
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• Sección áurea de un segmento
Dado un segmento, hallar
su división áurea
1. Por B se traza la perpendicular a r
2. Se halla el punto medio C de AB y con
centro en B y radio BC se traza un arco
Hallar el segmento cuya división áurea
es un segmento dado
3. Se unen A y D, y con centro en D y radio
DB se traza un arco
4. Con centro en A y radio AE se traza otro
arco. AF es la división áurea
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HALLAR UN SEGMENTO CUYA DIVISION AUREA ES UN
SEGMENTO DADO.
1. Dado el segmento AB.
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2. Por uno de los extremos B, se traza una recta r perpendicular al
segmento.
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3. Se halla el punto medio C del segmento AB trazando su
mediatriz, y con centro en B y radio BC se decribe un arco hasta
cortar a r en el punto D
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D
E
r
C
A
B
4.se une el punto D con el extremo A, y con centro en B y radio
DB se describe un arco hasta cortar a la prolongación de la recta
AD en el punto E
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D
E
r
C
A
B
F
5. Con centro en A y radio AE se traza otro arco hasta cortar la
prolongación del segmento AB en F. AF es el segmento c uya
parte aurea es AB
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ángulos
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definiciones
Se denomina ángulo a cada una de las dos regiones del plano que
determinan dos semirrectas con el origen común. Las semirrectas se llaman
lados y el punto vértice.
Ángulo agudo es el que mide menos de 90 º
Ángulo recto es el que mide 90°
Ángulo obtuso es el que mide más 90°
Ángulo llano es el que mide 180°
Ángulo cóncavo es el menor de los dos ángulos que determinan los dos
lados del mismo
Ángulo convexo es el mayor de los dos ángulos que determinan los dos
lados
Sean dos rectas concurrentes r y s y una secante t
Ángulos externos: 1, 2, 7 y 8. Ángulos internos: 3, 4, 5 y 6.
Ángulos adyacentes externos: 1-2 y 7-8. Ángulos adyacentes internos: 3-4 y
5-6. Ángulos alternos externos: 1-7 y 2-8. Ángulos alternos internos: 3-5 y 46.
Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que divide a éste en dos ángulos
iguales, o lo que es lo mismo: es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de los lados del ángulo.
Ángulos suplementarios: son los que suman 180 º
Ángulos complementarios: son los que suman 90º.
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propiedades
Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos son iguales
Los ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares son iguales
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ÁNGULOS MIXTILÍNEOS y CURVILÍNEOS.

Un ángulo rectilíneo es el formado por dos
líneas rectas. Un ángulo curvilíneo es el formado
por dos líneas curvas; por ejemplo, dos arcos de
circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es el
formado por una línea recta y una línea curva
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Bisectriz de un ángulo mixtilíneo




Sea la recta r y el arco de centro O
(fig. 30):
1. Por un punto B de la recta se traza
una perpendicular, llevando sobre
ella divisiones iguales: 1,2,3, etc., y
trazando paralelas a r.
2.- Por un punto e del arco se traza
el radio correspondiente, llevando
sobre él divisiones iguales a las
anteriores: 1, 2, 3, etc., y trazando
arcos concéntricos.
3 .-Los puntos de intersección de la
paralela 1 con el arco 1, de la
paralela 2 con el arco 2, de la
paralela 3 con el arco 3, etc., nos
determinan la bisectriz del ángulo
mixtilíneo.
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Bisectriz de un ángulo curvilíneo



Sean los arcos de centros 01 y
O2 (fig. 31):
1.- Por los puntos arbitrarios B
y C de los arcos se trazan
sendos radios, llevando sobre
ellos divisiones iguales: 1,2, 3,
etc., y trazando arcos
concéntricos.
2 .-Los puntos de intersección
de los arcos correspondientes
nos determinan la bisectriz del
ángulo curvilíneo.
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Construcción
ángulos con
el compás
CONSTRUCCIÓN
DEdeÁNGULOS
CON
COMPÁS
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Construcción de ángulos con la escuadra y cartabón
circunferencia
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DEFINICIONES en la circunferencia





Circunferencia es el lugar geométrico o
conjunto de puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado
centro.
Arco es un segmento de
circunferencia.
Círculo es la parte de plano interior a la
circunferencia.
Sector circular es la porción de círculo
comprendida entre dos radios (fig.
34).
Segmento circular es la parte de círculo
comprendida entre una cuerda y su
arco
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RECTAS DE UNA CIRCUNFERENCIA




Radio (rJ: es el segmento DA de la
recta que une el centro con
cualquier punto de la
circunferencia (fig. 35).
Diámetro (d): es el segmento que une los
puntos B y C intersección de la
circunferencia con cualquier recta
que pasa por el centro.
Cuerda (e): segmento DE que une
dos puntos de la circunferencia sin
pasar por el centro.
Tangente (t): es la recta que tiene un
solo punto común F con la
circunferencia.
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Ángulos en la circunferencia
Ángulo central es el ángulo que
tiene su vértice en el centro de la
circunferencia y los lados son
radios de ella.
La medida del arco AB es la del
ángulo central AOB. Arco AB =
Angulo AOB
Arco AB = Ángulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden
definirse en la circunferencia.
Angulo inscrito es aquel que
tiene su vértice en
la
circunferencia.
El ángulo semiinscrito, (uno de
los segmentos secante y el otro
tangente) es un caso particular, o
caso límite.
Ángulo interior, tiene su
centro en un punto interior del
círculo.
Ángulo exterior es aquel que
tiene su vértice en un punto
exterior de la circunferencia,
pudiendo ser sus lados, tangentes
o secantes a la misma.
El ángulo inscrito mide la mitad que
el arco que comprende.
La medida del ángulo interior es la
semisuma de los arcos que
comprenden él y su opuesto.
La medida del ángulo
exterior es la semidiferencia
de los arcos que abarca.
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Enlace de interés
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Angulos_en_l
a_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm
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Arco capaz.
Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una
condición común
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de los extremos
La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio
que equidista de uno fijo lamado centro
Se llama arco capaz de un ángulo@ dado respecto a un
segmento también conocido , al lugar geométrico de los
puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado
bajo el ángulo @.
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@
A
B
Dado el segmento AB y el angulo @
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@
9
0
-@
@
A
B
Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m
perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta
cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es
de 90-@
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Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B . Dicho arco
es el arco capaz buscado
@
o
´
9
0
-@
@
A
B
o
´
´
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APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN
DE UN TRIÁNGULO
Los datos del triángulo son el lado a
Y el ángulo  opuesto al lado a.
Se puede obtener el triángulo
construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo  son los
triángulos ABC en todas sus variantes
los cuales se obtienen haciendo centro
en C y con radio r cortando el arco
capaz, que es la circunferencia de
centro O y radio OB = OC
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Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo  opuesto al
lado a.
B
A
A
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Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
B
A
90-A
A
A
A
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B
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
B
A
90-A
A
A
A
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B
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del
segmento a, bajo el ángulo Â
C
B
A
90-A
B
A
A
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C
2
Trazados fundamentales en el plano
Hallar los puntos desde donde se ven dos segmentos
7
bajo dos ángulos conocidos
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Arco capaz (II)
Hallar los puntos desde los que se ven
dos segmentos bajo dos ángulos dados
1. Se dibuja el arco capaz de  respecto
de AB
2. Se dibuja el arco capaz de  respecto
de BC
3. Los puntos M y N son los puntos desde
los que se ve el segmento AB con un
ángulo  y BC con un ángulo 
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Trazados fundamentales en el plano
2
8 Rectificación de arcos de circunferencia
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Rectificación de arcos de circunferencia
A
C
O
E
F
D
B
Rectificación de un arco de 90º
Rectificación de un arco menor de 90º
1. Con centro en los extremos del diámetro
AB y radio en O se trazan sendos arcos
hasta cortar en C y D a la circunferencia.
2. Hallamos E, intersección de dos arcos
con centros en A y B y de radio AD=BC
3. Con centro en C y radio CE dibujamos un
arco hasta cortar en F a la circunferencia
4. El segmento AF es la rectificación de un
arco de 90º
1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales
2. Tres partes se trasladan sobre la
prolongación del diámetro
3. Se une el punto D con el B hasta cortar
a r en E
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2
Trazados fundamentales en el plano
9 Rectificación de la semicircunferencia y la circunferencia
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Rectificación de circunferencias
Rectificación de una semicircunferencia
B
1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB
y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un
arco hasta cortar en E a la circunferencia.
E
C
O
D
G
F
A
2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan
arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a
la circunferencia en el propio punto A
3. El segmento FG es la solución buscada
Rectificación de una circunferencia
1. Se divide el diámetro AB en 7 partes
iguales
2. Sobre una recta r se transporta 3 veces
el diámetro, más un séptimo
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Potencia de un punto respecto de una
circunferencia
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia


Concepto
de
potencia
Aparentemente
parece no existir
ninguna relación
entre un punto y
una
circunferencia
(Fig 26)
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

Si partiendo del
punto P se traza
un haz de rectas,
unas
serán
secantes,
otras
tangentes, otras
no cortarán a la
circunferencia.
(Fig. 27)
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

Las rectas que no corten a la
circunferencia no tienen ninguna
relación con ella, pero las que
sean secantes o tangentes
determinarán
unos
puntos
intersección con ella y, por tanto,
cada recta quedará dividida en
magnitudes,
segmentos
o
distancias desde el punto P a los
puntos
intersección
con
la
circunferencia. El producto de
distancias de dicho punto a los
puntos de la circunferencia,
determina una constante PA . PA'
= K que es la potencia de un
punto
respecto
de
una
circunferencia (Fig. 28)
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

Esta constante K
es la misma para
todas las rectas
que partiendo del
punto P sean
secantes o
tangentes a la
circunferencia.
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia

En el caso límite en que una
secante se transforme en
tangente el punto T es doble
pues cumple una doble
alineación con P , por tanto, PT
= PT' (Fig. 30)
2
Trazados fundamentales en el plano
Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
10
Eje radical de dos circunferencias
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Potencia de un punto
Definición: Potencia de un punto
Definición: Eje radical
Potencia del punto P respecto de la
circunferencia de centro O es el producto
de las distancias de P a los dos puntos
de intersección de una recta secante
Eje radical de dos circunferencias es el
lugar geométrico de los puntos que
tienen la misma potencia respecto de
ambas
p = PA x PB
p = MA x MB = MC x MD
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EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias de
centros 01 y O2 (fig. 14),
se llama eje radical al lugar
geométrico de los puntos del
plano que tienen la misma
potencia respecto de ambas
circunferencias:
MA x MB = MC x MD
El eje radical es siempre
perpendicular a la recta que une
los centros de las dos
circunferencias.
Trazados fundamentales en el plano
2
2.º BACHILLERATO
11 Eje radical de dos circunferencias
• Eje radical de dos circunferencias
A
O1
O2
B
e
O1
e
E
O1
B
A
Propiedad:
El eje radical es siempre una recta
perpendicular a la recta de los centros
de las circunferencias
e
r
Dibujo Técnico
s
C
O2
O
D
A
O2
Eje radical de dos circunferencias
secantes: es la recta que une los puntos
A y B de intersección de las
circunferencias
Eje radical de dos circunferencias
tangentes: es la recta tangente común
a ambas circunferencias
Eje radical de dos circunferencias
exteriores:
1. Se traza una circunferencia auxiliar de
centro O3 que corte a ambas. Se hallan
los ejes radicales de esta con las otras
dos obteniendo r y s
2. Se dibuja la recta perpendicular a
O1O2 desde E, intersección de r y s
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Dibujo Técnico
Trazados fundamentales en el plano
12 Centro radical de tres circunferencias
2.º BACHILLERATO
• Centro radical de tres circunferencias
Definición: Centro radical
Es el punto que tiene la misma potencia
respecto de las tres circunferencias
1. Se halla el eje radical de las
circunferencias que tienen por centro O1
y O2
2. Se halla el eje radical de las
circunferencias que tienen por centro O2
y O3
3. El punto O de intersección de e y e’ es
el centro radical
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Enlace de interés
ES MUY RECOMENDABLE VISITAR LA SIGUIENTE DIRECCIÓN
PARA COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA Y EJE RADICAL
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Potencia_pu
nto_respecto_circunferencia/Potencia_de_un_punto_respecto
_circunferencia.htm