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Probabilidad y
estadística para CEA
Mtra. Ma. Del Carmen
López Munive
Distribución Normal
Distribución normal
(probabilidad continua)
O En ocasiones llamada Gaussiana, utilizada más
comúnmente en estadística.
O Se representa por la clásica forma de campana y uno
puede calcular la probabilidad de que varios valores
ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos.
O Gráfica de Distribución Normal con una
media de 0, y una desviación típica 1
Ejemplo:
O Es factible determinar la probabilidad de que el tiempo
de descarga de una página principal de un navegador
de la Web esté entre 7 y 10 segundos, o que la
probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre
8 y 9 segundos.
O Sin embargo, la probabilidad de que el tiempo de
descarga sea exactamente de 8 segundos es cero.
O La función de la densidad normal de probabilidad es
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
∗ 𝑒
−
𝑥−𝜇 2
2𝜎 2
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
∗ 𝑒
−
𝑥−𝜇 2
2𝜎2
O Donde:
O μ= promedio
O σ= desviación estándar
O π= 3.1416
O e= 2.71828
O x= cualquier valor de la variable continua,
donde (-∞ <
X < ∞)
O a, b y c tienen igual μ, pero diferente σ
O b y d tienen igual σ, pero diferente μ
O a, d y e tienen diferente μ y σ
a
b
e
d
c
O El primer paso para encontrar una
probabilidad normal es usar la fórmula de la
transformación para convertir cualquier
variable aleatoria normal X en una variable
aleatoria estandarizada Z
O La fórmula de la transformación es:
𝑥−𝜇
𝑍=
𝜎
Características de la curva normal
1.
2.
3.
El 68.26% de las veces asume un valor entre ± una desviación estándar respecto a su
media
95.44% de las veces asume un valor entre ± 2 desviaciones estándar respecto a su
media
99.72% de las veces asume un valor entre ± 3 desviaciones estándar respecto a su
95.44%
media
68.26%
m-3s
m -2s
m -1s
m
m +1s
m +2s
m+3s
95.44%
68.26%
m-3s
m -2s
0.5
m -1s
m
+
m +1s
m +2s
0.5
m+3s
=1
Escala Z
Ejemplo
O El tiempo de descarga de la página Web se
distribuye normalmente con una media μ = 7
segundos, y una desviación estándar σ = 2
segundos. Por tanto, un tiempo de descarga
de 9 segundos equivale a 1 unidad
estandarizada (es decir, 1 desviación estándar
por arriba de la media, porque:
O 𝑍=
𝑥−𝜇
𝜎
y sustituyendo:
Z = (9-7)/2 = 2/2= 1
99.72%
95.44%
68.26%
-3
1
2
-1
3
5
m
1
2
7
9
11
3 Escala Z
Escala X
μ=7, σ= 2
O Un tiempo de descarga de 1 segundo
equivale a 3 unidades estandarizadas (3
desv. Est) por debajo de la media, porque
𝑥−𝜇
𝑍=
sustituyendo Z=(1-7)/2 = -3
𝜎
O Entonces, la desviación estándar es la
unidad de medida. En otras palabras, un
tiempo de 9 segundos es 2 segundos (es
decir 1 desviación est.) más alto o más lento
que la media de tiempo de 7 segundos.
Ejemplo 2,
O Suponga que la página principal de otro sitio
web tiene un tiempo de descarga que se
distribuye normalmente con una media de 4
segundos y una σ de 1 segundo. Si el tiempo
fue de 5 segundos.
O X=5, μ=4, σ=1 sustituyendo es igual a 1
O Haz la gráfica correspondiente
O Suponga que se quiere encontrar la
probabilidad de que el tiempo de descarga
para el ejemplo 1 sea menor a 9 segundos
O X=9, μ=7, σ=2 sustituyendo es igual a 1
O En tablas 0.8413 y en Minitab será:
En Minitab: Calc/probability distr/Normal
Cumulative/mean=7/input column elegir: C1/optional storage: C2
Práctica. Grafica lo que se solicita
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de
descarga sea de menos de 9 segundos.
2. Encontrar la probabilidad de que el tiempo de
descarga esté entre 7 y 9 segundos
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de
descarga sea menor a 7 segundos o mayor a 9
segundos?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de
descarga esté por debajo de 3.5 segundos?
1.