Download Diapositiva 1 - aulafqjmondemina

TEMA-1
CINEMATICA
J.A. MONDEJAR MINAYA
1
1- INTRODUCCIÓN
 La cinemática, es la parte de la física que estudia el
movimiento de los cuerpos.
 Se define el movimiento de un cuerpo, como el
cambio de su posición con el tiempo, respecto de un
sistema de referencia fijo. (A todo cuerpo en
movimiento le llamaremos móvil)
1.1- SISTEMA DE REFERENCIA
 Un sistema de referencia está formado, por un
conjunto de ejes de coordenadas, X, Y, Z y un punto
llamado origen de coordenadas (punto 0)
J.A. MONDEJAR MINAYA
2
 S. de R. unidimensional: formado por un solo eje, X
y un punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos
en una sola dimensión: movimientos rectilíneos. Ej: un
coche que se mueve por una carretera recta.

v
X
0
 S. de R. bidimensional: formado por dos ejes
perpendiculares X e Y y el punto origen O. Se utiliza para
estudiar movimientos en dos dimensiones. Ej: el
movimiento de una mosca sobre la superficie de un cristal.
Y
O
J.A. MONDEJAR MINAYA
X
3
 S. de R. tridimensional: formado por tres ejes
perpendiculares entre sí X, Y, Z y el punto origen O. Se
utiliza para estudiar movimientos en tres dimensiones.
Ej: el vuelo de una mosca
Y
O
X
Z
J.A. MONDEJAR MINAYA
4
1.2- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES:
Una magnitud es toda propiedad de los cuerpos que se
puede medir.
 Una magnitud es escalar, cuando podemos expresar
su valor, mediante un número y sus unidades. Son
magnitudes escalares, la masa (5 kg), el volumen (3 m3),
la longitud (6,7 m), el tiempo (4 s) etc.
 Una magnitud es vectorial, cuando para definirla,
necesitamos indicar además de un número (que indica su
valor), una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
Son magnitudes vectoriales, la velocidad, la aceleración,
el peso etc.
J.A. MONDEJAR MINAYA
5
 Una magnitud vectorial se representa mediante un
vector (segmento orientado)
y se simboliza con una letra

con una flecha encima, v
 Un vector presenta las siguientes características:
 Módulo o intensidad: viene dado por la longitud del
vector y nos indica el valor de la magnitud. Dado el


vector v , su modulo se representa por v , o v
 Punto de aplicación: punto donde se aplica el vector.
 Dirección: viene dada por la dirección de la recta que
contiene al vector.
J.A. MONDEJAR MINAYA
6
 Sentido: viene dado por una punta de flecha en uno
de los extremos.

v
Vector velocidad
Dirección
Punto de
aplicación
J.A. MONDEJAR MINAYA
V: módulo
Sentido
7
2- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO
2.1- RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO:
 El movimiento es relativo, es decir, dependiendo del
sistema que se tome como referencia, las cosas se
mueven o no, y las trayectorias adoptan unas formas u
otras.
 Así, cuando circulamos en un coche y decimos:
“Estamos en reposo respecto al coche “, es cierto, y
cuando decimos: “nos movemos respecto de la carretera
“, también es cierto, ya que desde un punto de vista físico
no hay un sistema de referencia que sea mejor que otro.
En la práctica se elige el S. de R. que haga los cálculos
más sencillos.
J.A. MONDEJAR MINAYA
8
2.2- TRAYECTORIA:
Es la línea que resulta de unir los sucesivos puntos, por
los que pasa el cuerpo en su movimiento.
En función de la trayectoria, los movimientos se
clasifican en:
 Rectilíneos: la trayectoria es una línea recta (balón
rodando por el suelo…).
 Curvilíneos: la trayectoria es una línea curva. Pueden
ser circulares (vagón de noria…), elípticos ( movimiento
de la Tierra alrededor del Sol..), parabólicos
(lanzamiento de una jabalina… ) o de curvatura
irregular (vuelo de una mosca… ).
J.A. MONDEJAR MINAYA
9
2.3- POSICIÓN:
 Es el lugar que ocupa el móvil en cada instante de
tiempo, respecto del origen del S.de R. Es una
magnitud vectorial, y viene dada por el vector que une el
origen del S.de R. y un punto sobre la trayectoria.


 El vector posición se simboliza como r .El modulo de r
es decir r ,es la distancia entre el origen del S. de R. y
un punto sobre la trayectoria

 En los movimientos
en una dimensión, r viene dado por


el vector x en el movimiento horizontal y por el vector y
en el movimiento vertical.
J.A. MONDEJAR MINAYA
10

v
 
rx

v
Y
 
ry
X
O
O

r
 En los movimientos en dos dimensiones
viene dado
 
por dos coordenadas x e y, es decir r  x  y

 En los movimientos en tres dimensiones r viene dado




por tres coordenadas x, y, z. Es decir r  x  y  z
(x,y,z)
y
y
(x,y)

y
O

y

r

x
J.A. MONDEJAR MINAYA

z
X
11
z

r
O

x
x
 En este curso estudiaremos
los movimientos
rectilíneos (es decir en una dimensión), en los que la
posición del móvil viene dada por el valor de la
coordenada x, en el movimiento horizontal, y por la
coordenada y en el movimiento vertical.
También estudiaremos un movimiento
dimensiones: el movimiento circular.
en
dos
 Criterio de signos para la posición: en el movimiento
horizontal, x es positivo para valores a la derecha del
origen y negativo para valores a la izquierda. En el
movimiento vertical, y es positivo para valores por
encima del origen y negativo para valores por debajo.
J.A. MONDEJAR MINAYA
12
2.4- DISTANCIA RECORRIDA Y DESPLAZAMIENTO
 Distancia recorrida: es la longitud de la trayectoria
descrita por el móvil entre dos puntos de la misma. Se
representa con la letra s, y su unidad en el S.I. es el
metro.
 En el movimiento rectilíneo, la distancia recorrida,
viene dada por la diferencia entre la posición final (x) y
la posición inicial (x0), en valor absoluto.
s  x  x0
s

v
O
J.A. MONDEJAR MINAYA
X0
X
13
X
 Desplazamiento: es una magnitud vectorial. Es el

vector r , que une la posición inicial r0 con la posición
  
final r . Se cumple que: r  r  r0
  
 En el movimiento rectilíneo sería: x  x  x0
 En los movimientos rectilíneos el módulo del vector
desplazamiento x , coincide con la distancia recorrida
s; es decir x  s .En los movimientos curvilíneos r no
coincide con s, es decir r  s
Y
s
s  x  x0  x


r
0
r

x

r


x X
X
O x 0 X0
O
J.A. MONDEJAR MINAYA
14
X
ACTIVIDADES:
1- ¿Se podría estudiar el movimiento de un cuerpo, sin elegir
previamente un S.de R?
No, por la propia definición de movimiento.
2- Un ciclista recorre una curva semicircular de 50 m de
radio. ¿Cuál es la distancia recorrida? ¿y el modulo del
desplazamiento? ¿Valen lo mismo? ¿Por qué? Dibújalo.
s
x0  0
J.A. MONDEJAR MINAYA
dist . recorr.  s    R  3.14  50  157m
Mod . desplaz.  x  x  x0  100  0  100m
x  100m X
No, pues s es la longitud de la
trayectoria (línea verde) y el mod.
desplaz. es la distancia mas corta entre
las posiciones inicial y final (línea roja)
15
3- La pizarra está en reposo respecto a la pared, pero se
mueve respecto a la Luna. ¿Realmente se mueve o no?
Para un observador en la Tierra no se mueve, pero para un
observador en la Luna si se movería
4- Un móvil pasa de la posición inicial de - 400 m, hasta la
posición final de 13 km, siguiendo una trayectoria rectilínea.
¿Cuál es el espacio recorrido? Dibuja el vector desplazamiento.
s

x 

x0
x0  400m
x
x  13.000m
0
s  x  x0  13.000   400  13.400  13.400m
J.A. MONDEJAR MINAYA
16
X
3-LA VELOCIDAD
Vamos a distinguir entre y rapidez o celeridad y
velocidad
 La rapidez o celeridad de un móvil se define como el
cociente entre la distancia recorrida y el tiempo
empleado. Es una magnitud escalar.
Rapidez ( m)
x  x0
x  x0
s



t
t  t0
t
t 0  0 , pues tomamos el
origen de tiempos en x0
m
Unidad en el SI :
s
 Para intervalos de tiempo grandes tenemos la rapidez
media. Si el intervalo de tiempo se hace muy pequeño
(tiende a cero), tenemos la rapidez instantánea, en
cada punto de la trayectoria.
J.A. MONDEJAR MINAYA
17

 La velocidad ( v ) se define
como el cociente entre el

vector desplazamiento x , y el tiempo transcurrido t .
Es por tanto una magnitud vectorial.
  
 x x  x0
x x  x0 x  x0
Su módulo es: v 
v



t
t  t0
t
t  t0
t
 Para intervalos de tiempo grandes se trata de una
velocidad media. Cuando el intervalo de tiempo se hace
muy pequeño (tiende a cero) tenemos la velocidad
instantánea, en cada punto de la trayectoria.

 En el movimiento rectilíneo la dirección de v tiene la
dirección de la recta.
J.A. MONDEJAR MINAYA
18
 En el movimiento curvilíneo la velocidad tiene la
dirección de la tangente a la curva en cada punto.
Y

v
0
x
0

v

v
x
 En el movimiento rectilíneo el módulo de la velocidad
(media o instantánea) coincide con la rapidez (media o
instantánea). En el movimiento curvilíneo solo coinciden
el módulo de la velocidad instantánea y la rapidez
instantánea, pero no la velocidad media y la rapidez
media.
J.A. MONDEJAR MINAYA
19
 Criterio de signos para la velocidad: si el vector
velocidad apunta hacia la derecha o hacia arriba la
velocidad es positiva y si apunta hacia la izquierda o
hacia abajo velocidad negativa.
Y
V (+)
0
X
V (+)
V (-)
0 V (-)
 Unidades de velocidad: la unidad de velocidad en el
S.I. es el m/s. Otra unidad muy utilizada es el km/h.
J.A. MONDEJAR MINAYA
20
ACTIVIDADES
1- Realiza las siguientes transformaciones:
km
m
m
km
80
 ;15 
h
s
s
h
m
km 1000m 1h
80


 22,2
h
1km 3600s
s
m 1km 3.600 s
km
15 

 54
s 1000m
1h
h
2- Una bicicleta recorre 20 km en media hora. ¿Cuál es su
rapidez media en unidades del S.I.?
m
s 20.000
Rapidez m  
 11,1
t
1.800
s
J.A. MONDEJAR MINAYA
21
3- Juan, que está sentado en el vagón de una noria, describe la
circunferencia con una rapidez media de 1 m/s en 2 minutos.
¿Cuánto vale dicha circunferencia? ¿Qué altura tiene la noria?
s
s
Rapidez m   1 
 s  120m  longitud circunferencia
t
120
120
s  2R  R 
 19,11m  h  2 R  38,22m
2  3,14
J.A. MONDEJAR MINAYA
22
4- Sobre una
de lado un móvil
1,2 segundos en
en recorrer la
velocidad media
cuadricula formada por cuadrados de 3 metros
describe la siguiente trayectoria. Si se tardan
recorrer cada uno de los lados. ¿Cuánto tarda
trayectoria? Calcula, la rapidez media y la
t  11  1,2  13,2s
s 11  3
m
Rapidez m  
 2,5
t 13,2
s
r
12 2  9 2
m
vm 

 1,14
t
13,2
s
J.A. MONDEJAR MINAYA
23
4- CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS SEGÚN
LA VELOCIDAD
Según la velocidad, los movimientos se clasifican en:
 Movimientos uniformes:
Son aquellos cuya velocidad permanece constante.
Como la velocidad es un vector, ha de permanecer
constante:
 Su módulo: es decir no varía su rapidez.
 Su dirección: por tanto, la trayectoria ha de ser
una línea recta.
 Su sentido: el móvil no puede darse la vuelta.
J.A. MONDEJAR MINAYA
24
 Movimientos variados (o acelerados):
Son aquellos cuya velocidad es variable. De la velocidad
puede variar:
 Su módulo: es el caso de móviles que se mueven
aumentando o disminuyendo su rapidez. Ej: el
movimiento de caída libre.
 Su dirección: es el caso de los movimientos
circulares y en los curvilíneos en general.
 Su sentido: es el caso de los movimientos
vibratorios de los cuerpos elásticos.
J.A. MONDEJAR MINAYA
25
5- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
 En este movimiento la velocidad se mantiene
constante, por lo que no puede variar ni el módulo
(rapidez), ni la dirección, ni el sentido del movimiento. La
trayectoria por tanto es una línea recta.
El módulo de la velocidad viene dado por:
x  x0
v
 x  x0  v  t  t 0 
t  t0
x  x0  v  t  t 0 
J.A. MONDEJAR MINAYA
Ecuación de la posición del
M.R.U.: nos permite calcular la
posición del móvil x, en cualquier
instante, t conocidas la posición
inicial xo y la velocidad v.
26
5.1- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.:
 Gráfica velocidad- tiempo (v-t):
vm / s 
0
v  cte
v  cte
t s 
Al ser la velocidad constante,
la gráfica v-t será una recta
paralela al eje de los tiempos.
 Gráfica posición-tiempo (x-t):

Al representar x  x0  v  t  t 0 se
xm
obtiene una recta que corta al eje
x
de X en x0 . La pendiente de la
recta nos da la v.
x  x0
x0
Pendiente  v 
t  t0
t t s 
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
27
ACTIVIDADES
1- Representa la gráfica v-t que corresponde a un movimiento
con velocidad constante de 15 m/s
vm / s 
15m/ s
t s 
2- Representa la gráfica x-t que corresponde a la ecuación de
movimiento
x  10  15  t
t
x
0
10
1
25
2
40
3
55
J.A. MONDEJAR MINAYA
xm
60
50
40
30
20
10
0
0
2
28
t s  4
3- Un ciclista describe un M.R.U. con v = 5 m/s. a) Si el
cronómetro se pone en marcha, cuando pasa por la posición
200m, escribe la ecuación del movimiento del ciclista. b) ¿Cuál
es su posición cuando han transcurrido 25 segundos desde que
se empezó a medir el tiempo? c) Grafica x-t
a) x  x0  v  t  t 0   x  200  5  t
b) x  200  5  25  325m
t(s)
x(m)
0
200
5
225
10
250
15
275
20
300
25
325
J.A. MONDEJAR MINAYA
350
300
250
200
150
100
50
0
xm
0
29
20
t s 
40
4- La ecuación de movimiento de un esquiador es x  250  4  t
a) ¿Cuáles son su posición inicial y su velocidad. b) ¿Cuánto
tiempo tarda en llegar a la meta, que está en x = 1000 m?
m
a) Como : x  x0  v  t  t 0   x0  250m y v  4
s
1000  250
b) 1000  250  5  t  t 
 150s
5
5- Un autobús se mueve en línea recta a 90 km/h. En el
instante inicial se encuentra en el kilómetro 70: a) Escribe la
ecuación de su movimiento. b) ¿En qué posición se encontrará al
cabo de media hora?
a) x  70  90  t
J.A. MONDEJAR MINAYA
b) x  70  90  0,5  115km
30
6- Se han medido las distintas posiciones de un atleta en
distintos instantes de tiempo. Los valores obtenidos se indican
en la tabla. Representa gráficamente la posición frente al
tiempo y determina gráficamente la velocidad del corredor.
t(s)
x(m)
0
10
2
30
4
50
6
70
8
90
10
110
12
130
14
150
J.A. MONDEJAR MINAYA
xm
160
140
120
100
80
60
40
20
0
t s 
0
5
10
x  x0 150  10
m
v

 10
t  t0
14  0
s
31
15
7- Un galgo se desplaza en línea recta con una velocidad de
90 km/h. Si en el instante inicial su posición es 100 m y la
carrera dura 20 s: a) Escribe la ecuación del movimiento en
unidades S.I. b) Calcula las posiciones sucesivas que ocupa el
galgo cada 4 segundos y rellena la tabla siguiente con los
valores obtenidos. b) Haz la grafica posición-tiempo.
km
m
90
 25
h
s
700
t(s)
x(m)
600
0
100
4
200
400
8
300
300
12
400
200
16
500
100
20
600
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
x  100  25  t
xm
500
t s 
0
32
10
20
30
8- ¿En qué lugar se encontrará un móvil a los 25 minutos si su
posición inicial es de 3 km y su velocidad de 90 km/h? ¿Qué
espacio habrá recorrido en ese tiempo?
25 min  1.500s ; 3km  3.000m ; 90
km
m
 25
h
s
x  x0  v  t  t 0   3.000  25  1.500  40.500m  40,5km
s  x  x0  v  t  25  1.500  37.500m  37,5km
9- Indica las diferencias y semejanzas entre estos dos
movimientos. ¿Podrías determinar la ecuación de cada uno?
15
xm 10
x  x0  vt  t 0 
t s 
5
0
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
5
10
33
x
4
t
3
4
x  5  t
3
10- Sale un coche a 72 Km/h. Cinco minutos después sale en su
persecución una moto a 108 Km/h. ¿Dónde y cuándo lo
alcanzará? Dibuja las graficas posición-tiempo.
vm  30m / s
vc  20m / s
xe  ?; t e  ?
0 x0 m  0
X
Coche y moto se mueven con M.R.U. x  x0  v  t  t 0 
xc  x0 c  vc t c
Se cumple : t c  t m  300
x m  x0 m  v m t m
En el encuentro:
xc  x m  xe ; t m  t e
x0c  vc t m  300  x0m  vm t m
6.000
0  20t e  300  0  30t e  t e 
 600 s  10 min
10
xe  vm t e  30  600  18.000  18km
J.A. MONDEJAR MINAYA
34
Grafica - coche
20000
xc  6.000  20  t
18000
t(s)
x(m)
0
6.000
300
12.000
600
18.000
Grafica - moto
xm
16000
14000
12000
10000
Moto
8000
xm  30t
6000
t(s)
x(m)
4000
0
0
2000
300
9.000
600
18.000
J.A. MONDEJAR MINAYA
Coche
0
0
200
35
400
600
t s 
800
11- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de
Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de
443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62
Km/h y que ambos coches salen al mismo tiempo, calcular:
tiempo que tardan en encontrarse, ¿a qué distancia de Bilbao
lo hacen? Dibuja las graficas posición-tiempo.
Bilbao
v A  78km / h
A
0 x0 A  0
vB  62km / h
xe  ?; t e  ?
Los dos coches se mueven con M.R.U.
x A  x0 A  v A  t  78  t
J.A. MONDEJAR MINAYA
443
 3,16h
140
B
x0 B  443km
x A  x B  xe y t  t e
78  t e  443  62  t e
xe  78  t e  78  3,16  246,48km
36
X
x  x0  v  t  t 0 
En el cruce:
x B  x0 B  v B  t  443  62  t
te 
Madrid
Grafica–coche A
x A  78  t
500
t(h)
x(km
)
450
0
0
400
1
78
2
156
3
234
4
312
Grafica–coche B
xB  443  62  t
xkm
350
300
250
200
t(h)
x(km)
150
0
443
100
1
381
2
319
3
257
4
195
J.A. MONDEJAR MINAYA
CocheB
CocheA
50
t h
0
0
2
37
4
6
6- LA ACELERACIÓN
 Los movimientos acelerados son aquellos, en los que
varía la velocidad
Ej: el movimiento de caída libre de los cuerpos, el de un balón al
golpearlo, el movimiento de la Luna etc.
 La aceleración es por tanto, la magnitud responsable
de que se produzcan cambios en la velocidad de los
cuerpos. Se trata
de una magnitud vectorial, y se

simboliza por a
 Si el cambio se produce en el módulo de la velocidad,
la aceleración que provoca
este cambio, se llama

aceleración tangencial at . Si el cambio se produce en la
dirección de la velocidad,
 la aceleración responsable es
la aceleración normal, an
J.A. MONDEJAR MINAYA
38

 Aceleración tangencial ( at ): su módulo at , es la
variación que experimenta el módulo de la velocidad con
el tiempo.
La aceleración tangencial tiene la
v  v0 dirección del vector velocidad.
a 
t
t  t0
 Al igual que con la velocidad, podemos definir una
aceleración tangencial media y una instantánea.
Cuando el incremento de tiempo es infinitamente
pequeño tenemos la aceleración instantánea.

 Aceleración normal (o centrípeta) (a n) :se define como
el cambio que experimenta la dirección de la velocidad
con el tiempo. Este tipo de aceleración aparece en los
movimientos curvilíneos, pues cambia la dirección de la v
J.A. MONDEJAR MINAYA
39
 Se denomina normal, porque es un vector
perpendicular (normal) a la trayectoria, dirigido hacia el
centro de curvatura. Su módulo viene dado por la
ecuación:
v: módulo de la velocidad; r: radio de giro de
v2
la trayectoria
an 
r
 En el movimiento curvilíneo, pueden existir los dos
tipos de aceleraciones, tangencial
 y normal. La suma de
las dos es la aceleracion total, a

at

an
J.A. MONDEJAR MINAYA

an
  
a  at  a n

a

at
40

an
at

a
 Un ejemplo de movimiento en el que se dan los dos
tipos de aceleración, sería el vuelo de una mosca. Ésta, en
su vuelo, va variando tanto el módulo, como la dirección
de la velocidad.
 Criterio de signos para
la aceleración: en los
movimientos rectilíneos: si el vector aceleración apunta
hacia la derecha o hacia arriba, es positiva. Si apunta
hacia la izquierda o hacia abajo, negativa.
Y
a 
0
a 
X
a
J.A. MONDEJAR MINAYA
41
0
a
Actividades
1- Un móvil aumenta de 20 a 25 m/s su velocidad en 2,5 s, y
otro de 42 a 57 m/s en 7,5 s. ¿Cuál ha acelerado más?
v  v0
at 
t  t0
25  20
5
m
a

2 2
2,5
2,5
s
57  42 15
m
a

2 2
7,5
7,5
s
2- Un vehículo toma una curva de 25 m de radio con una
velocidad de 80 km/h. ¿Cuál ha sido la aceleración normal?

80km / h  22.2m / s
J.A. MONDEJAR MINAYA
2
v
22,2
m
an 

 19,75 2
r
25
s
2
42
7- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.)
 En este movimiento, varía de forma constante el
módulo de la velocidad, pero no varían ni la dirección ni
el sentido (movimiento rectilíneo); por tanto la
aceleración es constante.
 Ecuación de la velocidad:
v  v0
a
 v  v0  a  t  t 0  ; Si t 0  0  v  v0  a  t
t  t0
v  v0  a  t
Esta ecuación, me permite calcular la velocidad en
cada instante de tiempo, conocidas la velocidad inicial,
y la aceleración
J.A. MONDEJAR MINAYA
43
 Ecuación de la posición: Deducción:
v  v0  a  t
v  v0
vm 
2
v0  v0  a  t
1
vm 
 v0   a  t
2
2
1


x  x0
x

x

v


a

t
 0
t
vm 
 x  x0  v m  t 
0
2
t


1
2
x  x0  v0  t   a  t
2
Esta ecuación, nos permite calcular la posición del
móvil, en un instante t, conocida su posición inicial, su
velocidad inicial, y la aceleración.
J.A. MONDEJAR MINAYA
44
Combinando matemáticamente las ecuaciones de
velocidad y de la posición, obtenemos una tercera
ecuación del movimiento:
v 2  v0  2  a  ( x  x0 )
2
7.1-REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.A
 Gráfica aceleración-tiempo (a-t): como la
aceleración es constante, se obtiene una recta
horizontal.
2

a m/s

acte
acte
J.A. MONDEJAR MINAYA
45
t s 
 Gráfica velocidad-tiempo (v-t): es una recta con
cierta pendiente, que puede pasar o no por el origen. El
valor de la pendiente de la recta es igual a la
aceleración. vm / s 
t s 
v  v0
Pendiente  a 
t
 Gráfica posición-tiempo (x-t): es un tramo de
parábola. Resulta de representar la ecuación de posición
xm
t s 
J.A. MONDEJAR MINAYA
46
7.2- TIPOS ESPECIALES DE M.R.U.A.: LA CAIDA LIBRE Y
EL LANZAMIENTO VERTICAL
 La caída libre: es el movimiento de un cuerpo que
deja caer a cierta altura, sobre la superficie de la
Tierra. Su velocidad inicial es
 nula. La aceleración es la
aceleración de la gravedad g , que es siempre un vector
dirigido hacia el centro de la tierra de módulo 9,8 m/s2.
y 0  h ; v0  0
g  9,8
h
v  g t
m
s2
1
0  h   g t2
2
v 2  2  g  0  h 
v
y0
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
47
 El lanzamiento vertical: cuando se lanza un cuerpo
verticalmente hacia arriba, su velocidad inicial elevada,
irá disminuyendo hasta detenerse (v = 0), para empezar
a caer. La aceleración es la de la gravedad g = - 9,8
m/s2
v  0; y  h
0  v0  g  t
1
h  v0  t   g  t 2
2
2
0  v0  2  g  h
m
g  9,8 2
s
h
v 0 ( ) ; y 0  0
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
48
Actividades
1- Un coche arranca con una aceleración de 2 m/s2. ¿Qué
velocidad habrá alcanzado transcurridos 15 s? Calcula la
distancia que habrá recorrido en ese tiempo. Gráficas.
v0  0
a  2m / s 2
v?
MRUA
x?
0 x0  0
t0  0
v  v0  at  t 0   v  0  2  15  30
e  v0 t 
v  2t
t(s)
v(m/
s)
0
0
5
10
15
30
40
t  15s
m
s
1 2
1
at   2  15 2  225m
2
2
xt
v(m / s )
2
t(s)
x(m)
20
0
0
10
5
25
10
100
15
225
30
J.A. MONDEJAR MINAYA
0
0
10
t s 
20
49
X
x(m)
250
200
150
100
50
0
0
10
t s 
20
2- Determina e interpreta la aceleración del movimiento de la
figura y determina el espacio recorrido en los 6 primeros
segundos. Dibuja la grafica posición-tiempo.
v(m / s )
10
8
6
4
2
0
a
0
t s 
5
x  9t  0,75t 2
J.A. MONDEJAR MINAYA
10
t(s)
x(m)
0
0
2
15
4
24
6
27
v  v0 0  9  9
m


 1,5 2
t  t0 6  0
6
s
1 2
1
e  v0 t  at  9  6   1,5  6 2  27m
2
2
30
25
x(m)20
15
10
5
0
0
50
5
10
t s 
3- La ecuación de velocidad de un objeto que se mueve con
M.R.U.A.es, v  12  3  t (en unidades del S.I.). Calcula: a) la
velocidad inicial. b) la aceleración. c) la velocidad al cabo de 8
s. d) ¿en que instante la velocidad es de 27 m/s? e) haz las
gráfica v-t y x-t
a ) v 0  12
v  v0  at
c) v  12  3  8  36
e) v  12  3  t
m
s
m
b) a  3 2
s
27  12
d ) 27  12  3t  t 
 5s
3
m
s
x  12t  1,5t 2
v(m / s )
40
t(s)
v(m/
s)
0
12
2
18
20
4
24
10
6
30
0
8
36
t(s)
x(m
)
0
0
2
28
4
72
6
126
8
192
30
J.A. MONDEJAR MINAYA
t s 
0
5
10
51
x(m)
250
200
150
100
50
0
t s 
0
10
4- Dada la ecuación del movimiento, x  5  2  t  3  t 2 .Calcula
la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Dibuja
las gráficas v-t y x-t.
x  x0  v0 t 
1 2
at
2
v  2  6t
t(s)
v(m/
s)
0
2
1
8
2
14
3
20
4
26
x0  5m; v0  2
v(m / s )
30
25
20
15
10
5
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
m
m
; a6 2
s
s
t s 
0
5
52
t(s)
x(
m)
0
5
1
10
2
21
3
38
4
61
70
60
50
40
30
20
10
0
x(m)
t s 
0
5
5- Un coche que circula por una carretera recta a 50 km/h
acelera hasta 80 km/h en 5 s, velocidad que mantiene 10 s. A
continuación frena y para en 20 s. Dibuja la gráfica v-t, calcula
las dos aceleraciones, y determina el espacio total recorrido.
MRUA

v0  13,8m / s
a?
0 x0  0
t0  0

v1  22,2m / s
MRU

v 2  22,2m / s
x2  ?
x1  ?
t1  5s
t 2  15s
MRUR
a?
v3  0
X
x3  ?
t 3  35s


m
v1  v0 22,2  13,8
MRUA  v1  v0  a  t1  t 0   a 

 1,6 2
t1  t 0
50
s

m
v3  v 2 0  22,2
MRUR  v3  v2  a  t 3  t 2   a 

 1,1 2
t3  t 2
35  15
s
J.A. MONDEJAR MINAYA
53
MRUA


v  13,8  1,6  t
t(s)
0
2
5
x(m)
5
10
15
25
v(m / s )
MRUR


v  22,2  1,1  t  15

v  22,2m / s
t(s)

13,8

17,2

22,2
20
MRU
x(m)
t(s)

22,2

22,2

22,2
15
25
35
x(m)

22,2

11,1
0
B
A
15
C
10
5
0
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
10
20
54
30
t s 
40
eT  e A  eB  eC

1
1  2
2
e A  x1  x0  v0 t1  t 0   at1  t 0   13,8  5   1,6  5  90,27m
2
2
eB  x2  x1  v1  t 2  t1 


 22,2  15  5  222,2m




1
1
2
2
eC  x3  x 2  v 2 t 3  t 2   at 3  t 2   22,235  15   1,1 35  15
2
2



eC  444,4  222,2  222,2m


eT  90,27  222,2  222,2  534,71m
J.A. MONDEJAR MINAYA
55
6- Se deja caer un objeto de 2 kg desde cierta altura. Calcula
la velocidad y el espacio que habrá recorrido cuando hayan
pasado 1, 2 y 3 segundos. Dibuja las gráficas a-t, v-t e y-t.
0
t 0  0; y0  ?; v0  0
m
v1  v0  g t1  t 0   v1  0  10  1  0  10
s
t1  1s; y1  ?; v1  ?;
m
v 2  v0  g t 2  t 0   v 2  10  2  20
s
t 2  2s; y2  ?; v2  ?
m
v3  v0  g t 3  t 0   v3  10  3  30
s
t 3  3s; y3  ?; v3  ?
Y
J.A. MONDEJAR MINAYA
e1s   y1  y 0  v0 t1  t 0  
 0  1  5  12  5m
56
1
2
g t1  t 0  
2
e2 s   y 2  y 0  v0 t 2  t 0  
1
2
g t 2  t 0   0  2  5  2 2  20m
2
e3 s   y 3  y 0  v0 t 3  t 0  
1
2
g t 3  t 0   0  3  5  3 2  45m
2
v  10t
2
x


5t
t s 
0
t(s)
v(m/
s)
-10
0
0
-20
1
-10
2
-20
3
-30
0
2
4
-30
-40
v(m / s )
t(s)
x(m)
0
0
1
-5
2
-20
3
-45
0
-20
-60
t s 
-10
a m / s2
-20
J.A. MONDEJAR MINAYA

0
2

57
0
-40
0
a  g  10
t s 
4
x(m)
5
7- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 60 m/s. Calcula su velocidad a los 5 s, el
tiempo que tardará en llegar a su altura máxima y la altura
maxima. Graficas v-t y y-t
t 2  ? y 2  ? v2  0
v1  v0  g t1  t 0   v1  60  10  5  10
t1  5s y1  ? v1  ?
v2  v0  g t 2  t 0   0  60  10t 2 
t 0  0 y0  0 v0  60m / s
 t2 
60
 6s
10
0
1
2
y 2  y 0  v0 t 2  t 0   g t 2  t 0   y 2  0  60  6  5  6 2  180m
2
J.A. MONDEJAR MINAYA
58
m
s
v  60  10t
t(s)
v(m/
s)
0
60
2
40
4
20
6
0
y  60t  5t 2
t(s)
y(m)
0
0
2
100
4
160
6
180
J.A. MONDEJAR MINAYA
70
60
50
v(m / s)40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
t s 
200
150
y (m) 100
50
0
0
5
59
t s 
10
8- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
 El M.C.U. es el movimiento de un móvil, que recorre
una trayectoria circular con velocidad constante en
modulo; sin embargo varía la dirección y el sentido
del vector velocidad

v
sB
sA

v

v
B
A

v
 En la figura, tenemos un disco que hacemos girar con
rapidez constante, en el que hemos marcado dos puntos
A y B.
J.A. MONDEJAR MINAYA
60
 Cuando el disco efectúa un cuarto de giro, el punto A
recorre el arco SA y el punto B el arco mayor SB. Como el
tiempo transcurrido para cada punto en recorrer su arco
es el mismo, la velocidad lineal del punto B es mayor que
la del punto A.
SA
SB
vA 
; vB 
; como, S B  S A  vB  v A
t
t
 Por tanto para un cuerpo que gira la velocidad lineal de
sus puntos varía según la distancia al centro de giro. A
mayor distancia del centro de giro mayor velocidad lineal
y viceversa.
J.A. MONDEJAR MINAYA
61
 ¿Cómo expresar entonces la velocidad de giro del
disco?:
Para ello se introduce la velocidad angular ω, que se
define como el ángulo barrido en la unidad de tiempo.
Su unidad en el S.I. es el rad/s. También se suele
utilizar como unidad, revoluciones/minuto ó r.p.m.
    0    0



   0    t
t
t  t0
t
  Ángulo barrido: su unidad en el S.I. es el radián
(rad). Definimos el radián como el ángulo cuyo arco es
igual al radio. El ángulo también se mide en grados
sexagesimales.
J.A. MONDEJAR MINAYA
62
 Equivalencia entre grados y radianes:
La relación entre el ángulo barrido, el arco y el radio es:
S
Si el arco es la circunferencia completa S  2R
 
y el ángulo 3600
R
2R
 
 2 rad
R
Por tanto 360º son 2 rad 
360 0
 1 rad 
 57 01744
2 
 Relación entre la velocidad lineal (v) y la velocidad
angular (w):
Arco
S
Angulo 
    S  R  
Radio
R
S
R  
Como, v   v 
 v  Rw
t
t
J.A. MONDEJAR MINAYA
63
 Periodo y frecuencia en el MCU
 Periodo (T): es el tiempo que tarda un móvil en dar
una vuelta completa. Su unidad S.I. es el segundo.
2
T
w
 Frecuencia (f): es el número de vueltas que da el
móvil en un segundo. Su unidad S.I. es el hercio (Hz)
w
 vueltas ciclo

f 


Hz


s
s
2


Periodo y frecuencia se relacionan por la fórmula:
1
f 
T
J.A. MONDEJAR MINAYA
64
 Aceleración centrípeta (o normal)
En el M.C. varía la dirección de la velocidad. El
responsable de esta variación, es la aceleración
centrípeta (o normal). Se trata de un vector
perpendicular a la trayectoria, dirigido hacia el centro de
la circunferencia. Su módulo viene dado por:
v2
 2  R2
ac 
 ac 
 ac   2  R
R
R

ac

v

ac
R

ac

v
J.A. MONDEJAR MINAYA
65

v
Actividades
1- Realiza las transformaciones:
45r. p.m.  45
rad
rad
45r. p.m. 
; 28
 r. p.m.
s
s
rev
rev 2rad 1 min
45  2 rad
rad
 45



 1,5
min
min 1rev
60 s
60
s
s
rad 60s 1rev
28  60 rev
rev
28



 840
 840r. p.m.
s 1 min 2rad
2 min
min
2- Una rueda gira con w=0,5 rad/s ¿Qué ángulo habrá girado
en 1 min? Expresa el valor de w en r.p.m.
   0  wt    0  0,5  60  30rad
w  0,5
rad 1rev 60s 15 rev 15



 rpm
s 2rad 1min  min 
J.A. MONDEJAR MINAYA
66
3- Una rueda gira a razón de 50 r.p.m. ¿Cuál será su w en
rad/s? ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de su periferia
situado a 20 cm del eje de giro?
 rad
rev 2rad 1 mi n
w  50rpm  50


 1,6
mi n 1rev 60s
s

m
v  wR  1,6  0,2  1,05
s
4- Calcula la velocidad angular de la Tierra en su rotación y la
velocidad lineal de un punto del ecuador. (Dato: la Tierra da
una vuelta completa en 24 horas. Radio de la Tierra = 6.500km

2
rad
5 rad


 2,3  10
t 24  3.600 s
s
v  wR  2,3  10 5   6,5  10 6  3.051.3
J.A. MONDEJAR MINAYA
67
m
s
5- El radio de las ruedas de un coche que circula a 108 km/h es
15,9 cm. ¿Cuántas vueltas dará una rueda en 1 km? Calcula la w
de las ruedas en r.p.m. y en rad/s
v  wR  w 
v
30
rad

 188,7
R 0,159
s
rad 60 s
1rev
w  188,7


 5.661rpm
s 1 min 2rad
1000m
1vueltas
1km  vueltas; 1km 

 1.001,5vueltas
1km 2  3,14  0,159m
J.A. MONDEJAR MINAYA
68
6- Las aspas de un ventilador, de radio 25cm giran con w =600
r.p.m. Calcula: a) la distancia angular que habrán recorrido en 1
min, y los metros que habrá recorrido un punto del extremo de
una pala. b) la velocidad lineal de un punto a 5 cm del eje de
giro. c) el periodo y la frecuencia del movimiento de las aspas.
rev 2rad 1 mi n
rad
a) w  600rpm  600


 20
mi n 1rev 60s
s
   0  wt    0  20  60  1.200rad
Arco  R  Arco  1.200  0,25  300  300  3,14  942m
b)
v  wR  v  20  0,25  5  15,7
m
s
c) T  2  T  2  0,1 s f  1  f  1  1  10 rev  10Hz
20
rev
T 0,1
s
T
w
J.A. MONDEJAR MINAYA
69
PROBLEMAS – CINEMÁTICA
J.A. MONDEJAR MINAYA
70
A- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
1. Realizar las siguientes transformaciones: a) 36 km/h a
m/s. b) 10 m/s a km/h. c) 30 km/min a cm/s. d) 50 m/min
a km/h.
km 1000m
1h
m
a) 36


 10
h
1km 3.600s
s
b) 10
m 1km 3.600s
km


 36
s 1000m 1h
h
c) 30
km 100.000cm 1 mi n
cm


 50.000
mi n
1km
60 s
s
d ) 50
m
1km 60 mi n
km


3
mi n 1.000m
1h
h
J.A. MONDEJAR MINAYA
71
2- Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de
la mañana con una velocidad media de 90 Km/h. ¿A qué hora
llegará a su destino?
MRU : s  vt  t 
s 495

 5.5h
v 90
A las dos de la tarde
3- Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular: a) Su velocidad.
b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma
velocidad?
a) v 
s 98
km

 49
t
2
h
b) s  vt  s  49  3  147km
4- ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a
75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m?
s 25.000
t 
  1.200s  20 min
v
20,83
J.A. MONDEJAR MINAYA
72
5- En una prueba de 3000 metros obstáculos, el vencedor
invirtió en el recorrido 6 minutos y 40 segundos. El último
clasificado cruzó la meta 23 segundos después. Calcula la
velocidad media del primer y último clasificado.
s 3.000
m
Vencedor : v m  
 7,5
t
400
s
Ultimo : v m 
s 3.000
m

 7,1
t
423
s
6- Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un
policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del
sonido en el aire es de 330 m/s?
s 2.040
t 
 6,18s
v
330
7- ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la
velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el Sol se encuentra a
150.000.000 km de distancia.

s 150.000.000
t 
 500s  8,3 min
v
300.000
J.A. MONDEJAR MINAYA
73
8- La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de
300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un
observador. a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el
sonido? b) ¿con qué diferencia de tiempo los registra?
a) La luz
t sonido 
b) t luz
s 50.000

 151,51s
v
330

s 50.000
 
 0,16 s
v 300.000
Diferencia  151,51  0,16  151,35s
9- Un observador se halla a 510 m. de una pared. Desde igual
distancia del observador y de la pared, se hace un disparo; ¿al
cabo de cuántos segundos percibirá el observador: a) el sonido
directo; b) el eco? Velocidad del sonido 340 m/s.
t son.dir.
s 255
 
 0,75s
v 340
J.A. MONDEJAR MINAYA
t eco
74
s 765
 
 2,25s
v 340
10- Un movil recorre la recta, con velocidad constante. En el
tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1
= 3,5 m y x2 = 43,5 m. Calcular: a) ¿a qué v se desplaza el
auto? b) ¿en qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?
v  40m / s
0
x1  3,5m
x 2  43,5m
t1  0,5s
t 2  1,5s
x3  ?
t 3  3s
x2  x1 43,5  3,5
m
a) v 

 40
t 2  t1
1,5  0,5
s
b) x3  x1  vt 3  t1   x3  3,5  403  0,5  103,5m
J.A. MONDEJAR MINAYA
75
X
11- Dos ciudades distan entre sí 5 km. y las une una carretera
totalmente recta. Si de la primera ciudad parte un ciclista con una
velocidad de 36 km/h y de la otra ciudad y al encuentro del primer
ciclista parte otro ciclista con una velocidad de 900 m/min. Calcular:
a) El tiempo que tardan en encontrarse los ciclistas. b) La distancia
entre el punto de encuentro y la primera ciudad. c) Grafica x-t
MRU v  10m / s
A
t e  ? xe  ?
x B  x0 B  v B t B  t 0 B 
x0 A  v A t e  x0 B
X
 5.000m
t A  t B  t ; en el punto de encuentro 
 t  t e y x A  x B  xe
5.000
 v B t e  0  10t e  5.000  15t e  t e 
 200 s
25
xe  10t e  xe  10  200  2.000m
J.A. MONDEJAR MINAYA
MRU
t 0 B  0 x0 B
0 t0 A  0 x 0 A  0
x A  x0 A  v A t A  t 0 A 
vB  15m / s
76
Ciclista A
x A  10t
t(s)
x(m)
0
0
50
500
100
1.000
150
1.500
200
2.000
x(m)
6000
5000
4000
Ciclista A
3000
Ciclista B
xB  5.000  15t
t(s)
x(m)
0
5.000
50
4.250
100
3.500
150
2.750
200
2.000
J.A. MONDEJAR MINAYA
2000
1000
Ciclista B
t s 
0
0
100
77
200
300
12- Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h.
Un ciclista que lo ve, sale detrás de él tres minutos más tarde
a 22 Km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y donde lo alcanzará?
Graficas.
MRU

vC  6,1m / s
MRU

v L  5,5m / s
0 x0C  0
xe  ? t e  ?
X
x L  x0 L  v L t L
Se cumple que : t L  t C  180
xC  x 0 C  v C t C
En el punto de encuentro : x L  xC  xe y t C  t e


 vC t C  0  5,5t e  180  0  6,1t e
x0 L  v L t C  180  x0C



1.000
5,5  180  6,1t e  5,5t e  t e 
  1.800s  30 min
0,5


xe  6,1t  6,1 1.800  11.000m  11km
J.A. MONDEJAR MINAYA
78
Ladron

x L  1.000  5,5t
t(s)
x(m)
0
1.000
900
6.000
1.800
11.000

2.000 12.111,1
Ciclista

xC  6,1t
t(s)
x(m)
0
0
900
5.500
1.800
2.000
11.000

12.222,2
J.A. MONDEJAR MINAYA
12000
x(m)
10000
8000
Ladron
6000
Ciclista
4000
2000
t s 
0
0
500
79
1000
1500
2000
13- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de
Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de
443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62
Km/h y que el coche de Bilbao salió hora y media más tarde,
calcular: a) Tiempo que tardan en encontrarse b) ¿A qué
distancia de Bilbao lo hacen? Grafica x-t.
Bilbao
MRUV
vB  78km / h
MRUV
xe  ? t e  ?
Madrid
vM  62km / h
X
x0 M  443km
0 x0 B  0
x B  x0 B  v B t B
Se cumple que : t M  t B  1,5
x M  x0 M  v M t M
En el punto de encuentro  x B  xM  xe y t B  t e
x0 B  v B t B  x0 M  v M t B  1,5  78t e  443  62t e  1,5 
350
78t e  62t e  443  93  t e 
 2,5h
140
xe  78t e  78  2,5  195km
J.A. MONDEJAR MINAYA
80
Bilbao
x B  78t B
t(h)
x(km)
0
0
1
78
1,5
117
2,5
195
Madrid
xM  443  62t B  1,5
xM  350  62t B
T(s)
X(km)
0
350
1
288
1,5
257
2,5
195
J.A. MONDEJAR MINAYA
400
x(m)
350
300
Madrid
250
200
150
100
Bilbao
50
t s 
0
0
1
81
2
3
B- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (M.R.U.A.)
14- Un cohete parte del reposo con aceleración constante y
logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a)
Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? graficas
aceleracion-tiempo, velocidad-tiempo y posicion-tiempo
Y
t  30s y  ?
v  588m / s
a?
588  0
m
a) v  v0  at  a 
 19,6 2
30
s
1 2
19,6  30 2
b) s  y - y 0  v0 t  at  0  30 
 8.820m
2
2


a m / s 2 30
20
Grafica a  t
t 0  0 y 0  0 v0  0
a  19,6m / s
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
2
10
t s 
0
0
82
50
100
Grafica y  t
v  19,6t
t(s)
v(m/s)
0
0
10
196
20
392
30
588
700
600
v(m / s ) 500
400
300
200
100
0
0
Grafica y  t
10000
y  9,8t 2
8000
y (m)
20
30
40
6000
t(s)
y(m)
0
0
4000
10
980
2000
20
3.920
30
8.820
J.A. MONDEJAR MINAYA
10
t s 
t s 
0
0
10
83
20
30
40
15- Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración
constante hasta alcanzar una v de 36 km/h en 10 s. a) ¿Cuánto
vale la aceleración?; b) ¿Qué distancia ha recorrido en 10 s?
a?
0 t 0  0 x0  0 v0  0
a
MRUA
v  v0 10  0
m

1 2
t  t 0 10  0
s
s  x  x0  v0 t 
vt
t(s)
v(m/s)
0
0
5
5
10
10
15
t(s)
x(m)
0
0
t s 
5
125
20
10
500
10
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
0
t  10s x  ? v  10m / s
1
1
2
at  t 0    1  10 2  50m
2
2
x  5t 2
v(m / s )
5
X
84
600
x(m)
400
200
t s 
0
0
10
20
16- Un coche está parado en un semáforo, cuando se pone el
semáforo en verde inicia el movimiento con una aceleración de 1
m/s2 durante 6s.Calcular: a) El espacio recorrido. b) La
velocidad que adquiere el coche después de ese tiempo.
a  1m / s 2
MRUA
0 t 0  0 x0  0 v0  0
t  6s x  ?
v? X
1
1
2
a) s  x  x0  v0 t  at  t 0    1  6 2  18m
2
2
b) v  v0  at  t 0   v  0  1  6  0  v  6m / s
vt
t(s)
0
8
v(m/s)
0
3
3
6
6
J.A. MONDEJAR MINAYA
v(m / s )
x  5t 2
6
t(s)
x(m)
0
0
t s 
3
45
10
6
180
4
2
0
0
85
200
x(m)
150
100
50
t s 
0
0
10
17- Un móvil con velocidad inicial de 10 m/s acelera con
aceleración de 2 m/s2 a) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer
100m? b) ¿Qué velocidad alcanza cuando ha recorrido 150m?
a  2m / s 2
0 t 0  0 x0  0 v0  10m / s
a) x  x0  v0 t 
t ?
x  100m
x  150m v  ?
1 2
at  100  0  10t  t 2  t 2  10t  100  0
2
 10  10 2  4  1   100  10  22,3
t

 6,2s
2 1
2
b) v  v0  2ax  x0   10 2  2  2  150  0  700
2
2
m
v  700  26,5
s
J.A. MONDEJAR MINAYA
86
X
18- Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los
frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular:
a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? b)
¿Qué desaceleración produjeron los frenos? c) Graficas.
v0  ?
a?
MRUR
t 0  0 x0  0
0
b)
X
t  25s x  400m v  0
v  v0  at  0  v0  25a
1 2
x  x0  v0 t  at  400  25v0  312,5a
2
v0  25a
400  25 25a  312,5a
400
m
400  625a  312,5a  400  312,5a  a 
 1.28 2
 312,5
s
a) v  v0  at  0  v0   1,28  25  v0  32
J.A. MONDEJAR MINAYA
87
m
s
Grafica v  t
v  32  1,28t
t(s)
v(m/s)
0
32
5
25,6
10
19,2
18
8,96
25
0
35
30
v(m / s )
25
20
15
10
5
0
t s 
0
Grafica x  t
500
x  32t  0,64t 2
400
t(s)
x(m)
0
0
5
144
10
256
18
368,6
25
400
J.A. MONDEJAR MINAYA
10
20
30
x(m)
300
200
100
t s 
0
0
10
88
20
30
19- Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera
que puedan despegar con una velocidad de 72 m/s. Estos aviones
pueden acelerar uniformemente a razón de 4 m/s2. a) ¿Cuánto
tiempo tardarán los aviones en adquirir la velocidad de
despegue? b) ¿Cuál debe ser la longitud mínima de la pista de
despegue?
a  4m / s 2
v  72m / s
MRUA
0 t 0  0 x0  0 v0  0
t ? x?
72
a) v  v0  at  72  0  4t  t 
 18s
4
1 2
1
b) x  x0  v0 t  at  x   4  18 2  x  648m
2
2
J.A. MONDEJAR MINAYA
89
X
20- La aceleración de un móvil es constante y tiene como valor
40 cm/s2. Si en un cierto instante el valor de la velocidad es de
6 m/s, ¿cuál es su valor 2 minutos después?
40
cm
m
cm
1m
m


;
40


0
,
4
s2
s2
s 2 100cm
s2

v  v0  at  t 0   v  6  0,4120  0  v  54m / s
21- La velocidad de un móvil viene dada en m/s por la ecuación
v=225-5t con el tiempo t en segundos. Determinar: a) la
velocidad cuando empieza a contar el tiempo. b) la velocidad que
lleva en t=5 s. c) el momento en que la velocidad es nula.
a) Como : v  v0  at  v0  225m / s
b) v  225  5  5  200m / s
c) 0  225 - 5t  t 
J.A. MONDEJAR MINAYA
225
 t  45s
5
90
22- Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de
detenerse al aterrizar. Calcular: a) la deceleración de la pista si
aterriza a 100 km/h; b) el tiempo que tarda en pararse desde
que aterrizó; c) el espacio que recorre en los 10 primeros
segundos.

v0  27,7m / s
a?
MRUR
v0
t  ? x  1.200m X
0 t 0  0 x0  0
2
m
2
a) v  v0  2ax  x0   27,7  0  2a1.200  0  a  0,32 2
s

b) v  v0  at  27,7  0  0,32t  t  86,8s
2
2


1 2
1
2
c) s  x  x0  v0 t  at  27,7  10   0,32  10  s  43,7m
2
2
J.A. MONDEJAR MINAYA
91
23- Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad
inicial de 50 m/s. Calcular: a) La altura máxima alcanzada y el
tiempo empleado en alcanzarla. b) La velocidad que tiene al llegar
al suelo y el tiempo que tarda en caer. c) Graficas.
Y
v0
y?
t ?
g  10m / s 2
v0  50m / s
t 0  0 y0  0
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
50
a) v  v0  gt  0  50  10t  t 
 5s
10
1 2
1
y  y 0  v0 t  gt  50  5   10  5 2  y  125m
2
2
1 2
b) y  y 0  v0 t  gt  0  0  50t  5t 2
2
50
t 50  5t   0  50  5t  0  t 
 10s
5
v  v0  gt  50  10  10  50  100  v  50m / s
92
t(s)
v(m/s)
0
50
Grafica v - t
v  50  10t
2
30
4
10
6
-10
8
-30
10
-50
t(s)
y(m)
0
0
2
80
4
120
6
120
8
80
10
0
Grafica y - t
y  50t  5t 2
J.A. MONDEJAR MINAYA
60
40
v(m / s )
20
t s 
0
0
-20
5
10
15
-40
-60
140
120
y (m)
100
80
60
40
20
0
t s 
0
93
5
10
15
24- Desde la azotea de un edificio de 42 metros de altura,
dejamos caer un objeto. Calcula el tiempo que tarda en llegar al
suelo y la velocidad con la que lo hace. Graficas.
v 2  v0  2 g  y  y 0   v  0 2  2   10  0  42  840  29m / s
2
Y

v
 29
v  v0  gt  29  0  10t  t 
 2,9s
 10
t0  0
y 0  42m
v0  0
g  10m / s 2
Grafica v - t
Grafica y - t
v  10t
y  42  5t 2
t s 
0
-10
0
2
4
-20
t ?
y0
0
v?
v(m / s )
-30
0
-40
J.A. MONDEJAR MINAYA
50
y (m40
)
30
20
10
0
94
2
t s 
4
25- Una piedra cae libremente en el vacío. Calcula: a) La
distancia recorrida por la piedra durante los primeros 5
segundos de caída. b) La distancia recorrida por la piedra
durante los 5 segundos siguientes.
Y
t 0  0 y 0  ? v0  0
g  10m / s 2

v
t1  5s y1  ?
t 2  10s y2  ?
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
a) s 01  y1  y 0  v0 t1  t 0  
1
2
g t1  t 0  
2
1
2
 0  5  0    10  5  0   125  125m
2
b) s 0 2  y 2  y 0
 0  10  0 
1
2


 v0 t 2  t 0  g t 2  t 0 
2
1
2
  1010  0   500  500m
2
s12  s02  s01  500  125  375m
95

26-Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una v inicial
de 7 m/s. a) ¿Cuál será su v después de haber descendido 3 s? b)
¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s? c) ¿Cuál será su v
después de haber descendido 14m? d) Si el cuerpo se lanzó desde
una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo y con que v llega al suelo?
Y
t0  0
y 0  200m
v0  7m / s
t 0  3s
y?
v?
g
a) v  v0  gt  v  7   10  3  7  30  37m / s
1
1
b) s  y  y 0  v0 t  gt 2   7   3    10  3 2   66  66m
2
2
t ?
c) v 2  v0  2 g  y  y 0   v 
 72  2   10   14  18,14m / s
v?
d ) v 2  v0  2 g  y  y 0   v 
 72  2   10  0  200  63,63m / s
y  186m
2
2
t ?
y0
0
v?
v  v0  gt  t 
J.A. MONDEJAR MINAYA
v  v0  62,86   1,2

 5,09s
g
 10
96
27-Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura
máxima? Graficas.
t ?
y?
90
0
v  v0
3,6
v  v0  gt  t 

 t  2,5s
g
 10
v0
t0  0
y0  0
0
v0  25m / s
t(s)
y  25t  5t 2
v  25  10t
t(s)
30
v(m v(m / s)
/s)
0
25
1
15
2
5
2,5
0
y(m)
20
0
0
10
1
20
2
30
2,5
31,25
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
0
t s 
5
97
y (m)
40
30
20
10
t s 
0
0
2
4
28- Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s,
calcula: a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿Qué altura
alcanzó? c) ¿Con qué velocidad llega abajo?
a) y  y 0  v0 t 
Y
1 2
20
m
gt  0  0  v0  2  5  2 2  v0 
 10
2
2
s
t ?
y?
v0
b) v  v0  gt  t 
y  y 0  v0 t 
v0  ?
t  2s
y0  0
t0  0
y0
0
1 2
gt  0  10  1  5  12  5m
2
m
c) v  v0  gt  v  10  10  2  10
s
v?
J.A. MONDEJAR MINAYA
0  10
m
1
 10
s
98
29- Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre
con una velocidad de 5 m/s. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota
al cabo de 7 s? b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?
a) v  v0  gt  5  10  7  75
m
s
1 2
b) s  y  y 0  v0 t  gt   5  7  5  7 2   35  245  280m
2
30- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 25 m/s, ¿qué altura alcanzará?
v  v0  gt  t 
y  y 0  v0 t 
J.A. MONDEJAR MINAYA
0  25
 2,5s
 10
1 2
gt  0  25  2,5  5  2,5 2  32,25m
2
99
31- Desde la terraza de un edificio de 100 m de altura se tira
un objeto hacia abajo con una velocidad de 10 m/s. Despreciando
la resistencia del aire. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar
al suelo. b) La velocidad al llegar al suelo.c) Graficas
b) v 2  v0  2 g  y  y0   v 
2
 102  2 10  0  100 
2.100  44,7m / s
v  v0  44,7   10
a) v  v0  gt  t 

 3,47 s  3,5s
g
 10
t(s)
v(m
/s)
v  10  10t
0
-10 0
2
t s 
4
t(s)
y(m)
0
0
85
0
-10
1
-20
-20
1
2
-30
-30
2
60
3
-40
3
25
3,5
-44,7
-40
-50
3,5
0
J.A. MONDEJAR MINAYA
v(m / s )
100
y  100  10t  5t 2
150
y (m)
100
50
t s 
0
0
2
4
32- Un alumno esta en una ventana de la 2ª planta del colegio
situada a 8 m sobre el patio. Un alumno lanza una pelota desde el
patio y hacia arriba con una v de 20 m/s. Calcular: a) La altura
máxima que alcanza la pelota, medida desde el patio. b) El tiempo
que tarda, el alumno, en ver pasar la pelota, por delante de la
ventana, contado desde el momento del lanzamiento y la velocidad.
1 2
0  20
a) v  v0  gt  t 
 2s ; y  y 0  v0 t  gt  0  20  2  5  2 2  20m
2
 10
1 2
b) y  y 0  v0 t  gt  8  0  20t  5t 2  5t 2  20t  8  0
2
20  15,5

 3,55s
2
10
2






20


20
 458
 b  b  4ac
t


20  15,5
2a
25

 0,45s
10
m
v  v0  gt  20  10  0,45  15,5
s
J.A. MONDEJAR MINAYA
101
C- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)
33-Calcula la veloc. angular de una rueda que gira describiendo
un ángulo de 2 rad en 10 s. ¿Cuál será la velocidad lineal de un
punto de la rueda situado a 30 cm de su eje de giro?
w
  0
t
20
rad

 0,2
10
s
m
; v  wR  0,2  0,3  0,06
s
34- Una rueda gira describiendo un ángulo de 900 en 1 min.
Calcula su velocidad angular. Si el radio de la rueda es de 15 cm
calcula la velocidad lineal de un punto de su periferia.
w
  0
t
  0,15
m
0,5  0
 rad
;
v

wR


0
,
004


120
s
60
120 s
J.A. MONDEJAR MINAYA
102
35- Calcula el tiempo que tarda en completar una vuelta un móvil
que se mueve con M.C.U. con w = 10 rad/s. ¿Cuántas vueltas
completas habrá dado en 35 s?
   0  wt  t 
35s
s
0,628
vuelta
  0
w

2  0
 0,628s
10
 55,73vueltas  55vueltas
36- Un cochecito da vueltas en una pista circular y recorre 1m
en 10s. El radio de la pista es de 50cm.a) ¿Cuál es su v. lineal?,
b) ¿Cuál es la v. angular?, c) ¿Cuántas vueltas da en 1 min?
s 1
m
a) v  
 0,1
t 10
s
v 0,1
rad
b) v  wR  w  
 0,2
R 0,5
s
c)    0  wt  0  0,2  60  12rad
J.A. MONDEJAR MINAYA
103

12
nº vueltas 

 1,91vuel
2 6,28
37- Calcula el período y la frecuencia de un objeto que describe
un M.C.U. con una w = 500 r.p.m

rev 2rad 1 mi n
w  500


 16,6rad
mi n 1rev 60s
2
6,28
T
   2s
w 16,6
1 1
f    0,5Hz
T 2
38- Una rueda de un coche, de 35 cm de radio, gira con una
frecuencia de 15Hz. Calcula: a) la velocidad angular de la rueda,
b) ¿Cuánto tiempo tarda la rueda en dar una vuelta completa?, c)
¿A qué velocidad lineal se desplaza el coche?
a) f 
w
rad
 w  f  2  15  2  3,14  94,2
2
s

1
1
b) T  
 0,06s
f 15
J.A. MONDEJAR MINAYA
m
c) v  wR  94,2  0,35  33
s
104